・適切な難度で、実力差の現れやすい(選抜試験としての)良問
・高度だが、興味深いテーマや結論を持つ問題
などを挙げて鑑賞しましょう。
過去問でも模擬試験の問題でもよし。
自作問題もどうぞ。腕がなる人も多いでしょう。
別解の研究なども面白いでしょう。
3人チームで行う作業がある。作業を行う候補者は男4人、女6人の合わせて10人であり、
このうちに2組の姉と妹がおり、他に親族関係にあるものはいない。
作業能率が3人の組合せでどのように変化するかを調べるため、
あらゆる組合せで作業を行ってみることにした。
チームの編成に当たっては、3人のうち1人は必ず女性でなければならず、
しかも3人ともお互いに親族関係がないことが必要であるという。
チームの組合せは何通りあるか。
1. 60通り 2. 70通り 3. 80通り 4. 90通り 5. 100通り
出典は平成10年国II 。
特に面白みのある問題ではないが、
程よい難度で差の現れやすい良い問題だと思います。
答えが綺麗なのもよい。
問題作成に任命されたのか
よっ、勝ち組！
36+52+12=100通り と解いた。
順に、男2女1の場合、男1女2の場合、女3の場合 を求めて合計。
去年の合格者だが、すでに解けない・・・ｗｗ
去年なら楽々解けてた問題だがなぁ・・・涙
10人から女1人以上を含む3人を選ぶ選び方は、
10C3-4C3=116通り
ある姉妹2人と、残る8人から選んだ1人とを合わせた3人を選ぶ選び方は、
2C2*8C1=8通り
姉妹は2組あるから、求める選び方は、
116-2*8=100通り
この解法いいね。これだと手間もずいぶん楽だし。
旧課程の数Ⅰ基礎程度だと思うよ。
“全員男は不可”、“姉妹同士は不可”って条件を
落ち着いて解釈して立式できるかが分かれ目だと思う。
もすかするとうまい考え方をすると 10×10＝100通りとかいうふうに解けるとか・・・
やはり >>9 のように「余事象の考え方」でいくほうがスマートでしょうか。
ただし、>>2 の問題で、「3人のうち1人は必ず女性」を「3人のうち1人は必ず男性」と変更した問題では、
「余事象の考え方」ではウッカリ間違える可能性もあるので要注意。
すなわち、
男4人と、姉妹2組を含む女6人から
「少なくとも1人は男」「姉妹を含まない」を満たす3人チームの組合せは何通りか。
という問題で、
>>9 の解法を“そのまま”真似て、10C3 - 6C3 - (2C2 * 8C1) = 84通り、とすると間違います。
平成17年の国家Ⅱ種から
四つの袋A～Dがあり、袋の中にはいくつかの碁石（黒石・白石）が入っており、次のことが分かっている。
○Aには合計１０個以上の石が入っている。
○Bには黒石９個・白石５個、Cには黒石５個・白石６個、Dには黒石３個・白石４個がそれぞれ入っている。
○袋から任意に1個の石を取ったときそれが黒石である確率は、Aの方がBより高く、またCの方がDより高いが、
逆にAとCを合わせたものと、BとDを合わせたものを比較すると、後者の方が前者よりも高い。
このときAに入っていた黒石の個数は何個か。
1. ６個 2. ７個 3. ８個 4. ９個 5. １０個
この問題、スッキリ解く方法あるんだろうか？
難問じゃないがうざい問題だなw
例えば C(7, 3) = (7×6×5)/(3×2×1) 、 C(10, 4) = (10×9×8×7)/(4×3×2×1) だ。
これで分かるかな？
これを例えばどんな風な問題でどんな風に利用したらよいのでしょうか？
バカですいません…
質問スレにでもﾄﾞｿﾞｰ
とりあえず真ん中の選択肢から当てはめたら解けた。
A＞B、C＞DであればA+C＞B+Dは当たり前だけど、割合に
ついては単純な足し算は意味がないんだね。
Aの中の全個数を S, そのうち黒石の個数を x として、仮定より
x/S > 9/14
(x+5)/(S+11) < 12/21
で、これを整理すると
(7x-9)/4 < S < (14x)/9 ・・・(甲)
となる。
選択肢の x=6,7,・・・を(甲)に代入していくと、
Sとして整数値を選べるのはx=8のときのみ( 11.75 < S < 12.4・・・ より S=12)。
最後の詰めで、選択肢の候補を代入していくしかないのかな、この問題は。ちょっと鬱陶しいな。
AとBの2人がサイコロを1回振り、出た目が大きいほうが勝ちとするゲームを行う。
A、Bが勝つ確率をそれぞれP(A)、P(B)とおく。
Aは1～6の目が1つずつ書かれた普通のサイコロを用いるが、
Bは次の条件1と条件2を満たす範囲で自由に目を決めることができる。
(条件1) 各面の目は自然数で、その総和は21。
(条件2) 最大の目は6。
このとき、( ア )。
また、条件1はそのままで、条件2を次の
(条件2') 最大の目は7。
に変更すると、( イ )。
空欄アとイに入る文として妥当なものを次のa～cから選べ。
a. どのように目を決めてもつねにP(A)＝P(B)である
b. どのように目を決めてもつねにP(A)＞P(B)である
c. うまく目を決めるとP(A)＜P(B)となるようにできる
公務員試験の問題としては少し難しすぎるかもしれないが、
面白い問題だと思う。
Ａに入っている白石の数をｘ個、黒石の数をｙ個とおく。
合計１０個以上なので ｘ＋ｙ ≧ １０ 【１】
黒石確率が、Aの方がBより高いので
ｘ／（ｘ＋ｙ） ＞ ９／１４
整理して ｙ ＜ （５／９）ｘ 【２】
黒石確率が、BDの方がACより高いので
１２／２１ ＜ （ｘ＋５）／（ｘ＋ｙ＋１１）
整理して ｙ ＞ （３／４）ｘ － （９／４） 【３】
【１】～【３】が示す領域を座標平面上に図示する。
全ての不等式を満たし、かつｘとｙが整数になる点は（８，４）のみ。
よって、黒石は８個。
>>25のように「図示」するのが完璧だろうけど、
y=(5/9)x とか、y=0.75x-1.75 なんて直線は、ちゃんと描くのがなかなか邪魔くさい。
公務員試験だと選択肢を代入していくほうが楽じゃないかな。
y=0.75x-2.25 だった。
[アについて]
Bのサイコロの目を小さいほうから a, b, c, d, e, f とする(同じ目でも区別する)。
条件1より、a ～ f の総和は21.
AとBの出すサイコロの目の組は36通り。
そのうち、Bが勝つ場合は、
Bの目が a のとき ⇒ a-1通り
Bの目が b のとき ⇒ b-1通り
Bの目が c のとき ⇒ c-1通り
Bの目が d のとき ⇒ d-1通り
Bの目が e のとき ⇒ e-1通り
Bの目が f のとき ⇒ f-1通り により、全部で (a～fの総和) -6 = 15通り。
また、Bの目がa～fのいずれでも、引き分けになる場合(つまりAがBと同じ目になる場合)が1通りずつある (★)
ので、引き分けになる場合は全部で6通り。
ゆえに、Aが勝つ場合は36 - 15- 6 = 15通り。
つまり、AとBの勝つ確率は常に等しい。
[イについて]
上記の★の前の行まではまったく同じ。
しかし、Bの最大の目が7だと、Bが7を出したときは引き分けはありえないので、引き分けになる場合は
6通りより少なくなる。するとAが勝つ場合は 36 - 15- (6より少ない数) = (15通りより多い) となる。
つまりイでは、つねにAが勝つ場合のほうが多い(すなわちAが勝つ確率のほうが高い)。
がわかんないんだけど・・・・
2の解答なら >>6 や >>9 に書いてあるが
最大の目が6でも7でも、Bが勝つ場合の数は同じだが、
最大の目が7だと、引き分けになる場合が減るので、その分だけAが勝つ場合が増える、というわけか。
のとき52通りにならん…
男性4人から1人を選ぶ ⇒ 4通り。
一方、女性6人から2人を選ぶ方法はC(6, 2)=15通りだが、そのうち姉妹2人を選ぶ場合が2通りあるので、
姉妹を含まない女性2人の選び方は 13通り。
よって「男1女2」の選び方は 4×13 = 52通り。
ありがとうございました！
この中から3個の整数を取り出す組合せは10通りあるが、そのそれぞれの3個の整数の和は、
13、14、18、16、11、12、17、19、15、15
であった。この5個の整数に含まれるもののみを正しく挙げているのはどれか。
１. 1,5 ２. 1,6 ３. 2,8 ４. 3,9 ５. 4,7
H3国Ⅰ
5個の整数を小さいほうからa,b,c,d,eとおく。
「3個の整数の和」を小さいほうから並べると
11, 12, 13, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 19
である。
これらの総和は150で、ここにはa～eがすべて6回ずつ含まれるので
a～eの和は 150/6 = 25 ・・・★である。
一方、a+b+c = 11 であり、また c+d+e = 19 だから、★と比較すると c=5 がわかる。
すると a+b = 6 なので(a,b)=(2,4) もわかり、またd+e = 14 なので (d,e)=(6,8) もわかる。
よって肢3が正解。
この問題は「5個」だけど、「4個」のバージョンもしばしば見かけられるね。
の問題てレベル低い方だよね?
初めて見た問題だ。
総和にa～eが６回ずつってのが閃かない。
言われてみると確かにそうだね。
６回ずつってパっとわかる方法が知りたい。
3個選ぶ×10通り÷5個の整数＝６回ずつ
a＋b＋c＝11の組合せを作る。
1,2,8
1,3,7
2,3,6
1,4,6
2,4,5
次に
c＋d＋e＝19の組合せを作る。
すると上から４つは作れない事が判明する。
つまり、一番下の
2,4,5,6,8が作られる。
よって『３』が正答となる。
understand?
過去問をランダムに開いたらコレだったから凹んだorz
出たデータ解説ではBDは15/14だったんだが。
コレ確率で、1越えてるし納得いかん。
>>25とか12/21だし（俺もこれでやった）
ホントすっきりしねー問題だな。
スマン、うそうそ！！
よく見たら12/21ですた！！
出たデータごめんｗ
解説も肢検証をしてるが、やっぱり数字が分数でやたら汚い。
実戦的でｲｲ解法だ！
Aを出発点として一筆書きする方法は何通りあるか。
１. 8通り
２. 16通り
３. 32通り
４. 64通り
５. 128通り
地方上級予想新作問題。
Aを出発してBにイク場合を考える。
頂点の移動パターンは次の4通り。
・A⇒B⇒C⇒A→B→C→A
・A⇒B⇒C⇒A→C→B→A
・A⇒B⇒C→B→A⇒C→A
・A⇒B→A⇒C⇒B→C→A
A～B間、B～C間、C～A間をそれぞれ2回通るが、
先に円周を通るか辺を通るかでそれぞれ2通りの選択ができる。
（上記でいうと、⇒のところでその選択をする）
よって、経路の選び方まで含めた移動パターンは4×(2^3)＝32通り。
Aを出発してCにいく場合も同様なので、32×2＝64通りが答えかな。。
他に方法あるかいな。
頭良い人降臨期待あげ
656 名前： 受験番号774 投稿日： 2006/12/09(土) 05:12:18 ID:l34Aq6hg
教えてください
Ａは甲町を、Ｂは乙町を同時に出発し、甲乙間を往復した。
ＡはＢが甲町を折り返した時刻から３時間後に甲町に帰ってきた。
ＢはＡが乙町を折り返した時刻から２時間後に乙町に帰ってきた。
Ａは甲乙間を往復するのに何時間何分かかったか？
答は５時間２０分みたいなんですがダイヤグラムを使えば簡単に
解けるようです。図を描いてみたものの、右側の上下の三角形の
相似比が３：２になる以降は数的が全くダメな当方には
答が分かっていても見当がつきません。
これに対する次の解答がなんか感動的だった。
660 名前： 春待小町 投稿日： 2006/12/09(土) 21:47:43 ID:bWDwOGyK
>>656
こんな解法もあります。
求めるもの、すなわち
Aの往復の所要時間を T(時間) ・・・(i) とおく。以下、単位としての「時間」をしばしば省略。
⇒ Aの、片道の所要時間は T/2 (∵片道は往復の半分)
⇒ Bの、往復の所要時間は (T/2) + 2 (∵BのゴールインはAが折り返してから2時間後、つまり上記+2)
⇒ Bの、片道の所要時間は (T/4) + 1 (∵上記の半分)
⇒ Aの、往復の所要時間は (T/4) + 4 (∵ AのゴールインはBが折り返してから3時間後、つまり上記+3)
最後に得た式は(i)と等しいので T = (T/4) + 4 。これを解いて T= 16/3 。
今年の京大文系の入試を元にしたんでしょ？
(京大の問題は正三角形のかわりに正n角形だった。)
すげー
このときa,b,cの和はいくらか。 選択肢30,32,34,36,38 答34
1386＝2・3・3・7・11
これでa＝9、b＝11、c＝14となる。
そのいずれか片方または両方を合計2箱以上買う人は１０％の値引きをしている。
ある日のせんべいの売り上げを調べたところ、両方合わせて１０箱売れ、
値引き額が合計１０００円であったため、売上高は１３０００円であった。
この日、せんべいを一箱だけ買った人は何人いたか。
２００６年地上の問題だが、いい問題だと思う。
1,000円が2箱で1,500が8箱売れた。
割引額が1,000円だから、割引対象額は10,000円。
割引されなかったのが4,000円。
4,000円になる組み合わせは、1,000円1箱1,500円2箱のみ。
(答)…３人かな？
「1000円4箱」はありえんだろ
これら5個の数の中には2の倍数も3の倍数も5の倍数もちょうど3個ずつあるという。
このとき、A＋B＋C＋D＋Eの値として考えられる最小の値はいくらか。
どちらに就職すれば幸福になれるかを、占い師に見てもらうことにした。
占い師Ｐは的中率７０％で見料が７万円で、
占い師Ｑは的中率２０％で見料が２万円である。
ＰとＱどちらに見てもらったほうが得か。
（出典：光速の解法テクニック 実務教育出版）
ナンセンスな問題だなｗｗ
経済学の問題だな
５、６、６、１０、１５ の五個で、合計４２が最小かな？
「論理学ってのはどういったもんですか？」
「やって見せましょうか。お宅には芝刈機があります？」
「ありますよ」
「ということは、広い庭があるわけですね？」
「その通り！うちには広い庭があります」
「ということは、一戸建てですね？」
「その通り！一戸建てです」
「ということは、ご家族がいますね？」
「その通り！妻と２人の子供がいます」
「ということは、あなたはホモではないですね？」
「その通り！ホモじゃありません」
「つまりこれが論理学ですよ」
「なるほど！」
深く感心したジョーは、翌日友人のスティーブに言った。
「論理学を教えてやろう。君の家には芝刈機があるか？」
「いや。ないよ」
「ということは、君はホモだな！！」
ラムゼーの定理に関連する問題。
ネタは面白いのに、問題の作り方が下手というかなんというか・・・
ラムゼーの定理という元ネタを知ってる受験生はいいが、
そうでないとはっきりいって、問題を読む気にもならんだろう。
小学校で駅伝が行われ、各クラス（１組～３組）から各６名が代表となり、
学校から校区を３周しタイムを競うものである。
① ３組は区間賞を三つとった。
② １区において１組は１位でたすきを渡すことができなかった。
③ ３組の第２走者は一人追い越し、追い越した走者と別の走者に追い抜かれた。
④ ３組は４区で一人に追い抜かれた。
⑤ 最終区で３組は追い上げたにも関わらず２位だった。
⑥ たすきを受けてから渡すまでに二人を追い抜いたのは全部で2人だけだった。
このとき、ア～オのうち誤っているものはどれか？（誤っているものは、１つとは限らない）
ア 区間賞を一人も受賞しなかったクラスはない
イ ３区において最下位は２組だった
ウ 優勝したのは２組だった
エ ３組はたすきを渡す地点ではいつも２位だった
オ １位でたすき受けた回数がもっとも多いのは１組だった
１区 ３ １ ２
２区 ３ １ ２
↓ ↓ ↓
１ ３ ２
４区→３組以外が区間賞。この時点で２組少なくとも一区の一回、１組少なくとも二区の一回、１組か２組のいずれかが４区区間章。
→３組は３５６区区間章確定。(区間章取っても、他選手を抜けないこともあることに注意)
ここで３組は優勝してないので、５・６区は１位になることは一度もない。３区開始時点で３組は２位。
→ごぼう抜きは３組は無理。したがって４区最下位のクラスがごぼう抜き。
１組 ２組 ３組
３区 １ ３ ２
↓ ↓ ↓
ｱ ２ ３ １
ｲ ３ ２ １
ｳ １ ３ ２
のいづれか
４区はそれぞれ
ｱ ３ １ ２
ｲ １ ３ ２
ｳ ２ １ ３
に変化する。
ｱ､ｲなら５・６区の順位変動無し
ｳなら５区または６区で
３ １ ２
となり、以降変動無し。
携帯からなので、ずれたらごめんね。
解答していただき、ありがとうございます。
まだ、上の問題で解らないところがあるのですが
なぜ、２区の１組 ２組 ３組における３ １ ２ という順位がわかるのですか？
↓ ↓ ↓
１ ３ ２
② １区において１組は１位でたすきを渡すことができなかった。
③ ３組の第２走者は一人追い越し、追い越した走者と別の走者に追い抜かれた。
③より、３組の第２走者は２位から走り始め、１人追い越し２人に追い抜かれた
ので、３組は２区で３位になるのではないかと思っているんですが。。
50人の料理人に教えていくことにした。
料理人Aは7月1日から毎日1人ずつ、
新しい料理のレシピを教えてもらっていない料理人に教えていき、
新しい料理のレシピを教えてもらった料理人は、
教えてもらった翌々日から毎日1人ずつ、
新しい料理のレシピを教えてもらっていない料理人に教えていくとき、
新しい料理のレシピを50人の料理人に教え終わる日として、
正しいのはどれか。
1.7月5日
2.7月6日
3.7月7日
4.7月8日
5.7月9日
('08 都Ⅰ)
最近都庁が始めた
有名な定理を絡めた問題です。
最後の日には教える場所はあるんだろうか？
ナンセンスな問題だ
占い師Ｑ。
単なるフィボナッチじゃないの？
Aが教えた人数 ｜ 1｜ 1｜ 1｜ 1｜ 1｜ 1｜ 1｜ 1｜
教わった人が教える人数 ｜ 0｜ 0｜ 1｜ 2｜ 4｜ 7｜12｜20｜
その日までに教わった合計人数｜ 1｜ 2｜ 4｜ 7｜12｜20｜33｜50｜
となり、7月8日が正解。
>>79
問題文をよくよめば、フィボナッチでないことはわかるはず。
よく考えないで決め付けるのはよくないよ
「レシピを知っている人」を数えることしてAも勘定に入れればフィボナッチじゃん。
つまり「レシピを教わった人」はフィボナッチから1引けばいいんでしょ
この問題に絡まっている「有名な定理」って何？
このゲームは引き分けがなく、
また1回のゲームにつき、Aが勝つ確率は3/4で、Bが勝つ確率は1/4である。
このとき、AとBの優勝する確率の比はどうなるか。
3:1
5:1
7:1
9:1
11:1
４５：７
この化け物を倒すために、魔法の剣を使う
この剣は一度に、頭１個or頭２個or尾１本or尾２本を切り落とすことができる
頭１個が切り落とされると、頭が１個再生される
頭２個が一度に切り落とされると、何も再生されない
尾１本が切り落とされると、尾が２本再生される
尾２本が一度に切り落とされると、頭が１個再生される
頭と尾がなくなり、なおかつ再生不可能になれば、化け物は死ぬ
例えば、頭１個、尾０本の場合、頭を切り落としても、また頭が再生されるので死なない
またこの化け物は、頭も尾も３個より多く生えることができる
さてこの化け物を倒すためには、最低何回、剣を使う必要があるか？
その上で頭を2本ずつ切り落とす必要がある。
尾3本は最短3回(2,1,2)で全部切り落とせるが
それだと頭が5個になってし切れなくなる。
よって、まず尾を1本ずつ3回切り落として頭3個尾6本。
次に尾を2本ずつ3回切り落として頭6個尾0本。
最後に頭を2本ずつ3回切り落として頭0個尾0本再生不能で勝利。
よって最低9回。
地元の守り神だったらどうするのかね
まさかバックストーリーを想像させることによって
他の問題に使う時間を削るという
意地の悪い問題なのだろうか
尾2本→頭2個→頭2個と切り落とした上で
尾を1本ずつ地道に切っていったら
四方八方に無数の尾が伸びた気色悪い肉塊ができるよなとか
うっかり考えて非常に気分を害した
この中から任意に７個をとる方法は何通りあるか。
だたし、１つもとらないものがあってもいいとする。
C(9,2)通り。典型的過ぎてつまらん。
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