数学の問題の出題・解答☆

1 ：11/08/10 〜 最終レス ：11/11/27

これだけは守ってほしいルール
・出題者は然るべき後に解答を必ず提示すること
・高校数学範囲外の場合は注釈をつけること
こんなもんかな
みんなで数学力をアップさせよう

2 ：

Problem1.
Let F_0=0,F_1=1,and F_n=F_(n-1)+F_(n-2) for n≧2.
Evaluate the series
�納1,∞]1/(F_n*F_(n+2)

3 ：

頭悪そうだなー

4 ：

>>3
解けないからって文句垂れんなよｗ
頭にセシウムでも詰まってんのか低能ｗｗｗ

5 ：

>>2
中抜けでいけそう

6 ：

半径1の球に内接する正四面体の体積を求めよ

7 ：

lim[n→∞]1/n=0 を示せ

8 ：

１．４万人到達までもう少し！ 　目指せ、１０万投票！！　
Ｋポップって聴く？　　　ググってアンケートに回答して！

9 ：

>>2
�納1,∞](1/F[n]F[n+2])
=�納1,∞]{(1/F[n]F[n+1])-(1/F[n+1]F[n+2])}
=1/F[1]F[2]　　(∵lim[n→∞]F[n]=∞)
=1
なんで英語で書いてるの？

10 ：

>>9
正解
原文が英語だったから。
アメリカの大学の試験問題から取ってきた。

11 ：

>>9
最初の等号の部分はどうやったのでしょうか。

12 ：

>>11
式変形だから、なるからなるとしか言いようがないんだけど、一応書くと
F[n+2]=F[n+1]+F[n]だから、(1/F[n])-(1/F[n+2])=(F[n+2]-F[n])/F[n]F[n+2]=F[n+1]/F[n]F[n+2]
両辺をF[n+1]で割れば(1/F[n]F[n+1])-(1/F[n+1]F[n+2])=1/F[n]F[n+2]
でもそれよりも重要なのは、あらかじめ隣接項の差になるんじゃないかなーとあたりをつけながらやること
�@基本的に分母にnの式が入ってきたら和は求まらない、�A数列の形のまま書かれている
これらのことから、それが発想できるかのほうがはるかに重要

13 ：

>>12
その式変形なんですが、とっかかり方に困ったんです。
1/{n(n+1)}とかなら、最初にa/n-b/nの形から入れるんですが、今回のような形だとどうすればいいのかなーと。
本質的には>>12さんの最後の部分が大事なのは分かりますが、どう変形できそうか掴めなかったんです。
(1/F[n])-(1/F[n+2])から入っていく勇気が無かったというか（汗
レスありがとう。

14 ：

座標平面において、媒介変数tを用いて、x=cos2t　y=tsint　(0≦t≦2π)と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ。　(08年度東京大前期)
答えは32/9
ヒントは、”曲線が交差していなければ、媒介変数の場合の面積公式にぶち込むだけ”ということ。

15 ：

>>8
Ｋポップって聴く？　　　ググってアンケートに回答して！
２万人到達が見えてきたから、まだの人は急いで！　 目指せ、１０万投票！

16 ：

>>15
　２万人越え　達成！　次は　２万１千回答を目指そう
　
　ツィッターも、３５０ツィート到達まで　あと６
　ツィッターで、Ｋポップって　って検索すると笑えるｗ
Ｋポップって聴く？　　　ググってアンケートに回答してね！
アンケに正しく回答し、半島の逆法則で運気アップ、アップ

17 ：

2^(0.5)は有理数か。

18 ：

以下の等式をみたす正整数の組(m,n)をすべて求めよ。
m^2 + 8 = n^2

19 ：

(logx)'=1/xを示せ.
これめっちゃむずいよ。初見でできたらすごいと思う。

20 ：

y=log(x)
e^y=x
e^y.dy/dx=d/dx(x)=1
dy/dx=1/e^y=1/x

21 ：

方程式x^7=1を解け

22 ：

{x:x^7=1}={cos(2kπ/7)+isin(2kπ/7):k=0,1,2,3,4,5,6}

23 ：

すいません　ここでは簡単な問題かもですが教えてください。
方程式 x^2-kx+k-3=0 は負でない２つの異なる実数の解をもつ
という。ここで, k は定数とする。
この方程式の1 つの解が他の解より3 だけ大きいとき, kの値を求めよ。
という問題なんですが、判別式でD=(-k)^2-4k+12で求めていっては解けないんでしょうか？
ご回答お願いします。

24 ：

解と係数でおｋ

25 ：

>>23　私の場合
�@　判別式使ってみるか→異なる２つの実数解ならいいけど先に進まない・・・
�A　グラフ書いてみるか
�B　グラフでの解をα、βで置いてみようか→解と係数の関係ってあったな
�C　他の解より３大きいって条件　この２文字で置きやすいじゃん
�D　解けたー

26 ：

いや、1つの解が...を見た瞬間に解と係数だろw

27 ：

ありがとですー　解けました

28 ：

a(1)=3,
a(n+1)=a(n)-tan{a(n)}
のとき、lim(n→∞)a(n)=?

29 ：

放物線の一部y=x^2、0≦x≦2をy軸のまわりに回転してできる回転体型の
容器に水を満たし、このなかに半径rの鉛を、それが容器につかえて
止まるまでゆっくり沈めた。ただし、鉛直線をy軸とする。
このとき次の問いに答えよ
(1)もとの水面の高さから球の中心の高さを引いた差sをrの関数として表せ
(2)あふれ出る水の体積を最大にするrの値を求めよ
(東京大)

30 ：

>>29
(-1+2√5)/2

31 ：

>>30
合ってるけど(1)は？

32 ：

>>21
∴x={[{7+21√(3)i}/2]^1/3+[{7-21√(3)i}/2]^1/3-1±√([{147√(3)i-637}/2]^1/3-[{147√(3)i+637}/2]^1/3-14-2[{21√(3)i+7}/2]^1/3-2[{21√(3)i-7}/2]^1/3-35)}/6,
({(-1-√(3)i)/2}[{7+21√(3)i}/2]^1/3+{(-1+√(3)i)/2}[{7-21√(3)i}/2]^1/3-1±√({(-1+√(3)i)/2}[{147√(3)i-637}/2]^1/3-{(-1-√(3)i)/2}[{147√(3)i+637}/2]^1/3-14-2{(-1-√(3))/2}[{21√(3)i+7}/2]^1/3-2{(-1+√(3)i)/2}[{21√(3)i-7}/2]^1/3-35)}/6,
({(-1+√(3)i)/2}[{7+21√(3)i}/2]^1/3+{(-1-√(3)i)/2}[{7-21√(3)i}/2]^1/3-1±√({(-1-√(3)i)/2}[{147√(3)i-637}/2]^1/3-{(-1+√(3)i)/2}[{147√(3)i+637}/2]^1/3-14-2{(-1+√(3))/2}[{21√(3)i+7}/2]^1/3-2{(-1-√(3)i)/2}[{21√(3)i-7}/2]^1/3-35)}/6
∴x={[{7+21√(3)i}/2]^1/3+[{7-21√(3)i}/2]^1/3-1±√([{147√(3)i-637}/2]^1/3-[{147√(3)i+637}/2]^1/3-14-2[{21√(3)i+7}/2]^1/3-2[{21√(3)i-7}/2]^1/3-35)}/6,
({(-1-√(3)i)/2}[{7+21√(3)i}/2]^1/3+{(-1+√(3)i)/2}[{7-21√(3)i}/2]^1/3-1±√({(-1+√(3)i)/2}[{147√(3)i-637}/2]^1/3-{(-1-√(3)i)/2}[{147√(3)i+637}/2]^1/3-14-2{(-1-√(3))/2}[{21√(3)i+7}/2]^1/3-2{(-1+√(3)i)/2}[{21√(3)i-7}/2]^1/3-35)}/6,
({(-1+√(3)i)/2}[{7+21√(3)i}/2]^1/3+{(-1-√(3)i)/2}[{7-21√(3)i}/2]^1/3-1±√({(-1-√(3)i)/2}[{147√(3)i-637}/2]^1/3-{(-1+√(3)i)/2}[{147√(3)i+637}/2]^1/3-14-2{(-1+√(3))/2}[{21√(3)i+7}/2]^1/3-2{(-1-√(3)i)/2}[{21√(3)i-7}/2]^1/3-35)}/6

33 ：

x^7=1
x^7-1=0
(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0
x≠1のとき、
x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
x≠0より、両辺x^3で割って
x^3+x^2+x+1+1/x+1/x^2+1/x^3=0
x^3+1/x^3+x^2+1/x^2+x+1/x+1=0
(x+1/x)^3-3(x+1/x)+(x+1/x)^2-2+(x+1/x)+1=0
(x+1/x)^3+(x+1/x)^2-2(x+1/x)-1=0
x+1/x=tとおくと、
t^3+t^2-2t-1=0
(t+1/3)^3-7/3(t+1/3)-7/27=0
t+1/3=uとおくと
u^3-7/3u-7/27=0
u=p+7/(27p)とおくと
p^3+7/3p+49/(81p)+343/(729p^3)-7/3p-49/(81p)-7/27=0
p^3+343/(729p^3)-7/27=0
(p^3)^2-7/27p^3+343/729=0
729(p^3)^2-189p^3+343=0
p^3={7±21√(3)i}/54
p^3-{7±21√(3)i}/54=0
(p-[{7±21√(3)i}/54]^1/3)
(p^2+[{7±21√(3)i}/54]^1/3•p+[{7±21√(3)i}/54]^2/3)=0
p=[{7±21√(3)i}/54]^1/3,
{(-1±√(3)i)/2}[{7±21√(3)i}/54]
u=[{7+21√(3)i}/54]^1/3+[{7-21√(3)i}/54]^1/3,
{(-1-√(3)i)/2}[{7+21√(3)i}/54]^1/3+{(-1+√(3)i)/2}[{7-21√(3)i}/54]^1/3,
{(-1+√(3)i)/2}[{7+21√(3)i}/54]^1/3+{(-1-√(3)i)/2}[{7-21√(3)i}/54]^1/3
x+1/x=([{7+21√(3)i}/2]^1/3+[{7-21√(3)i}/2]^1/3-1)/3,
({(-1-√(3)i)/2}[{7+21√(3)i}/2]^1/3+{(-1+√(3)i)/2}[{7-21√(3)i}/2]^1/3-1)/3,
({(-1+√(3)i)/2}[{7+21√(3)i}/2]^1/3+{(-1-√(3)i)/2}[{7-21√(3)i}/2]^1/3-1)/3
∴x={[{7+21√(3)i}/2]^1/3+[{7-21√(3)i}/2]^1/3-1±√([{147√(3)i-637}/2]^1/3-[{147√(3)i+637}/2]^1/3-14-2[{21√(3)i+7}/2]^1/3-2[{21√(3)i-7}/2]^1/3-35)}/6,
({(-1-√(3)i)/2}[{7+21√(3)i}/2]^1/3+{(-1+√(3)i)/2}[{7-21√(3)i}/2]^1/3-1±√({(-1+√(3)i)/2}[{147√(3)i-637}/2]^1/3-{(-1-√(3)i)/2}[{147√(3)i+637}/2]^1/3-14-2{(-1-√(3))/2}[{21√(3)i+7}/2]^1/3-2{(-1+√(3)i)/2}[{21√(3)i-7}/2]^1/3-35)}/6,
({(-1+√(3)i)/2}[{7+21√(3)i}/2]^1/3+{(-1-√(3)i)/2}[{7-21√(3)i}/2]^1/3-1±√({(-1-√(3)i)/2}[{147√(3)i-637}/2]^1/3-{(-1+√(3)i)/2}[{147√(3)i+637}/2]^1/3-14-2{(-1+√(3))/2}[{21√(3)i+7}/2]^1/3-2{(-1-√(3)i)/2}[{21√(3)i-7}/2]^1/3-35)}/6

34 ：

x,y,zを定義できる任意の実数とする。
(y^2+z^2)/x^2+(x^2+z^2)/y^2+(x^2+y^2)/z^2の最小値を求めよ。またその時のx,y,zも求めよ。
相加相乗平均を使えばかなり早く解ける。が敢えて無しでやってみて欲しい。かなり鍛えられる。
相加相乗平均なしの時のヒント。
3次元空間において、原点からの距離をrとすれば後角度を二つとることで任意の点を表せる。極座標の拡張的な捉え方だが。

35 ：

#=φ　$=θとする。（打ちやすさの都合から）
A=(y^2+z^2)/x^2+(x^2+z^2)/y^2+(x^2+y^2)/z^2と置くと、
A+3=(x^2+y^2+z^2)^3/(xyz)^2となる。
今、x=rcos#cos$ y=rcos#sin$ z=rsin#と置くと、
A+3=1/(cos^4#sin^2#cos^2$sin^2$)となる。B=cos^4#sin^2#cos^2$sin^2$とする。Bの最大値を求めれば良い。
ここで、#と$は互いに無関係なのでC=cos^2$sin^2$とすると、C=sin^2(2$)/4より、max of C=1/4($=π/4)
D=cos^4#sin^2#とおく。この時D={(1+cos2#)^2×(1-cos2#)}/8と変形できる。
E=(1+cos2#)^2×(1-cos2#)として、E`=2sin2#(cos2#+1)(3cos2#-1)なので、下の増減表を得る。（割愛）
よってmax of E=32/9(#はcos2α=1/3となるα)
だから、max of B=32/9×1/8×1/4=1/9
よって、min of(A+3)=9 より　min of A=6
x,y,zの値は割愛（x=y=zとなる）

36 ：

て

37 ：

>>34
良問だな

38 ：

座標平面の直線y=ax＋bが2点A(2.5)、B(3.6)を通っている
この時、この直線を通ってくれない原点Oの気持ちを15字程度で述べよ

39 ：

文章がないと無理だろ。
国語の観点からは、人物が葛藤状態に置かれたとき、
いわゆる、補償・昇華・抑圧など、どのような適応規制を
するかが文脈から読みとれるから、それに従って解答すればよい。

40 ：

マジレスｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
×この直線を
○この直線が

41 ：

関数f(x)は第2次導関数f"(x)をもち、全てのxに対してf"(x)≧0を満たすとする
aを実数とするとき、全てのxに対して
f(x)≧f'(a)x+f(a)-f'(a)aが成り立つことを示せ
お願いします

42 ：

>>41
質問スレじゃないです
こちらへどうぞ
高校生のための数学の質問スレPART314
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319372731/

43 ：

10をいくつかの正の実数の和に分割したとき、それらの積の最大値を求めよ。

44 ：

ｎ個の分割したとする。
つまり、
x1+x2+…+xn=10
未定乗数法を用いると、
F=x1*x2*…*xn-λ(x1+x2+…+xn)
の極値条件は、
∂F/∂x1=0,∂F/∂x2=0,…,∂F/∂xn=0より、
1/x1=1/x2=…=1/xn　⇔　x1=x2=x3=…=xn
これは相加相乗から考えると極大条件。
そこで、
y=(10/x)^xの最大値を求めると、
logy=x*log(10/x)=x*(log10-logx)
(1/y)*y'=(log10-logx)+x(-1/x)=log10-logx-loge
y'=y*log(10/ex)
ex=10のときy'=0でこれは極大値
よって、10/e 分割のとき極大だが、
2＜e＜３なので、1/3＜1/e＜1/2　⇔ 10/3＜10/e＜10/2
3.33…＜10/e＜5
４分割で最大で、(10/4)^4=(5/2)^4=625/16

45 ：

>>44
正解です

46 ：

ｐがa^2+b^2（a,bは整数）の奇素因数ならば、
ｐはa、bをともに割り切らない限り、4で割ると
1余る整数（p≡1(mod4)）であることを示せ。

47 ：

つまんね

48 ：

一辺の長さ2の立方体の表面に二点PQがあり、PQ=1を保ちながら動いている。このとき線分PQの通過しうる領域を求積せよ。

49 ：

nを自然数とするとき
Σ_[k=0,n] {(-1)^k}*C[n,k]*k^n を nの式で表せ。

50 ：11/11/27

k