数学　入試で使える高校範囲外の内容

1 ：10/09/26 〜 最終レス ：11/11/28

外積、ド・モアブルの定理、グリーンの定理、ロピタルの定理やバウムクーヘン分割など
これを知っとけば受験数学が楽になる！ものについて情報交換しませう

2 ：

バルキスの定理

3 ：

安田の定理

4 ：

コーシー・シュバルツの定理

5 ：

>>2
まじめに調べちゃったじゃん・・・
>>3
大数書いてる安田亨さんのことだよな・・・
学力コンテストだっけ　それではいろんな解法でといてるらしいけど・・・
>>4
コーシー・シュワルツの不等式？
シュバルツで調べたら微分がどうたらって出たがそれのことか

6 ：

入試で使えないだろ>>1

7 ：

二次で使ったら減点される恐れがあるという意味でか？

8 ：

1に挙げられてるものなんか減点するほうがアホ

9 ：

ですよね
と言いつつ、
〜の定理を使うには〜の条件が必要
とかそういうのを含めて情報交換がしたいな、と。
問題の具体的な使用例とかも。
まず第一にすることは正攻法で解けるようになることだけどな・・・

10 ：

数学の知識を問うているのではないからなあ

11 ：

線形写像のdim

12 ：

とりあえず、知ってる人も多いけど外積について書こうと思う
以下同様に他の定理とか説明してくれる人がでてくるなら非常に嬉しい
内積は授業で習うと思うけど、
内積は、ベクトルとベクトルをかけるとスカラーになる一方、外積はベクトルとベクトルをかけるとベクトルになる掛け算。
内積はスカラー積、外積はベクトル積とも呼ばれる。
ベクトルaとbが与えられたとき、外積はa×bであらわす。
aとbの成す角をΘ(0≦Θ≦π)とすると、
|a×b|=|a||b|sinΘ（aとbを隣り合う二辺とする平行四辺形の面積に等しい）
で、大きさが定義され、
また向きは、
aをπ以内で回転させてbに重ねるときの、右ねじの進む方向（ローレンツ力とかイメージしたらわかりやすいと思う）
（aとbで定められる平面に対する法線方向）
成分表示であらわすと、
a=(x,y,z) b=(X,Y,Z)とすれば、
a×b=(yZ-zY,zX-xZ,xY-yX)となる
成分を
x y z x
X Y Z Xと並べて
求めたい成分以外をクロスさせて書いたらわかりやすい

13 ：

>>10
証明問題とかは抜きにして、
例えば微分せよ　が問われてない限り、
グラフを書いたりするのに途中でロピタルを利用したりするのは問題ないと思うんだ
式だけ書いて、これを解くとこれになる　みたいな感じに言い切ったら問題ないと思うし、
数列の特性方程式とかだって一応は使っちゃ駄目なんだろ？
けど特性方程式なんてみんな使ってるし・・・それを利用したとは書かないから、似たようなもんだと思う
>>11
詳しく

14 ：

２つのベクトルに垂直なベクトルを求めるときに使う奴だろ？
答案は正攻法で解いて　計算だけ外積使えば大丈夫なのかな？

15 ：

で、外積を使えば何が便利かというと、
一つ例を出すと四面体の体積を求めたりするときなどに使える。
四面体OABCにおいて、OA=a,OB=b,OC=cとすると、
体積V=|a・(b×c)|/6で求まる
以下証明
�儖BCの面積をSとすれば、
S=｜b×c｜/2(∵外積の大きさは、二つのベクトルが成す平行四辺形の面積の大きさと等しいから)
また、点Aから�儖BCに下ろした垂線の長さをhとすれば、
ｈ=｜a・(b×c)｜/｜b×c｜
よって、V=SH/3より
V=|a・(b×c)|/6が求まる
センターで体積求めるとかもたまにでると思うから、
センターなんか過程いらないから一発で求まるし、
時間短縮且つ計算ミスを減らせるってわけで一石二鳥

16 ：

>>13
>式だけ書いて、これを解くとこれになる　みたいな感じに言い切ったら問題ないと思うし、
志望校によるのでは?
例の東北大学は
∫[a.b](x-a)(b-x)dx={(b-a)^3}/6 (a<b)
という単なる部分積分の計算結果としての1/6公式でさえ
認めないって入試懇談会で言ってるそうだし。

17 ：

>>14
問題ないと思う
てか、「この平面に垂直なベクトルの一つは〜だから」って言い切るのも一つの手だと思う。

18 ：

外積でクロスとか誰がそんなバカげたこと言い出したんだろうな
恥ずかしくて使えねえよ。まあ検算で使うこともあるけど

19 ：

ガイセキって高校で習うやん。
それに写像のdimとか有界な単調数列の収束とかの方が役に立つ。

20 ：

>>16
まじでかｗｗｗﾜﾛﾀｗｗ
というかまさに
∫[a.b](x-a)(b-x)dx={(b-a)^3}/6 (a<b)
みたいな類の知識を俺は欲しいんだｗ
できたらなぜそうなるのかと具体例を出してくれると助かるｗ
てか上の積分も、途中式は見られないと思うんだけどなぁ
数学の配点が多ければ、途中経過にもたくさん配点かもしれないから、いろいろまずいかもね。
大問一つに20点(東大とか)とかだったら、減点されないと思う
あくまで俺の妄言だが。

21 ：

>>19
昔はそうだったのかもしれないが今は外積とか習わない

22 ：

>>21
数学じゃなくて物理で習うよ。
ビオ=サヴァールのあたりで。

23 ：

>>18
あやふやだからうまい表現見つからなかったんだよｗ
行列の計算式と一緒とかいう話だが・・・突っ込むなそこは
>>19
外積は一応高校の範囲外だぞ
授業で説明する高校もあるみたいだけどね。俺の高校もそうだった。
写像のdim教えてくれよ
有界な単調数列の収束は大数で見たぞ！
俺知ってるから俺書くね

24 ：

>>22
物理でビオ=サヴァールも高校では習わないｗｗｗ
かく言う俺は理論物理への道標で外積を理解したんだが・・・

25 ：

>>22
ビオサヴァールも物理でやらないだろ

26 ：

>>20
>できたらなぜそうなるのかと具体例を出してくれると助かるｗ
ttp://www.jikkyo.co.jp/downloadcontents/4735482868.pdf
ここによると「積分の意味を理解しているか確認できない」
かららしい。
ついでにいうと合同式についても東大が意見してるらしくて
定義くらいは書いてほしいんだとさ
ttp://www.jikkyo.co.jp/downloadcontents/3524158248.pdf

27 ：

>>13
記憶力を問われているのではないから
記述問題では天下りで使うのは減点対象にしかなんないよ

28 ：

写像のdimが例えば1なら像は直線になる。0なら点、2なら平面。
dimは写像の一次独立なベクトルの本数。だったはず。
>>25
まじで？
教科書にあるぞ。

29 ：

>>26
資料ありがとう
なぜそうなるのかってのは、
この定理使えるよ！　って書いたときに、利用具体例があったら理解されやすいから頼むってことなｗ
合同式については、
mを自然数とする。2つの整数a,bについて、a-bがmで割り切れるとき、「aとbは法mのもとで合同である」といい、
a≡b (mod m)
と表す。
と使う前に断っておけばいい　ということで・・・

30 ：

>>20
計算すれば求まるでしょ

31 ：

>>27
残念ながら普通の教科書の物理とかの公式はほとんど天下りです・・・
知識使って欲しくないのは作問者のエゴ。

32 ：

>>28
俺の物理�Uの教科書の索引にはビオサヴァールは載ってない……
東北大は行列のCH定理も使っちゃダメなんだよな

33 ：

>>27
むむ、
んじゃここは、「計算方法が楽になる知識だが、入試本番では使わないほうが賢明な内容を情報交換する」
って趣旨のスレにしておこう・・・
>>28
dimってディメンションか
>>dimは写像の一次独立なベクトルの本数
これの意味は理解できるが、どうやったら利用できるのかいまいち想像できないな
正射影？え、関係ないか・・・

34 ：

多重積分したらいかんのか。
変換とか使えれば体積がスパッとでるのに。

35 ：

入試って記憶力の勝負ではなく論理力の勝負だから
高校で出てこない公式を使いたい人は、それを簡単に証明できるようにしておけ
証明できないものは使うな

36 ：

>>33
例えばfによる像は定点を通るある直線になることを示せ。
って言われたらdim=1示して点代入してあぼん。

37 ：

1/6の公式は（　）^3と括れることに意味があるんで
3次方程式の解法をキチンと教えない以上禁じ手にするのはナンセンスなんだがな

38 ：

じゃ俺も書いてみよう
元ネタは『数学の計算革命』って本
f(x)が多項式のとき
∫e^xf(x)dx=e^x{f(x)-f'(x)+f''(x)-・・・・・・)+C
って公式が成り立つらしい
例えばe^x*(x^2+3x+1)なら　不定積分は
e^x{(x^2+3x+1)-(2x+3)+2}+C
=e^x(x^2+x)+C
って簡単に求まるね
注意点としてはf(x)が多項式じゃないと無理みたい
微分していったらいつか０になる式じゃないとダメ　だからsinとかは無理っぽい

39 ：

>>36
でも、なぜそれでよいのか、説明できないと、0点ですよ

40 ：

>>34
その変換とかなんかdimとか言ってる人いるけど、
そういうの情報交換したいんだってば！
説明めんどくさいなら説明してくれてるサイトとかのＵＲＬ貼るのでもいいぜ
大幅に得しちゃうのは俺になってしまうのだが・・・
>>35
>>1に書き忘れたが、
その定理を利用する条件等も理解したうえで使おうとする　って趣旨で立てたから、
>>それを簡単に証明できるようにしておけ
はい、その通りです

41 ：

>>32
ケーリーはミルトンだよな？
それ使わないほうが無茶じゃね・・・
単調で有界な数列は収束する　について・・・
大数で確認したが、証明等は載ってなかった。
から、とりあえず　
単調で有界な数列は収束する
という事実は覚えておくというわけで・・・
どこに使えるかは次かく
レスしてくれる人多くなってきてるからありがたい話だ！

42 ：

答案に証明まで書かないと、公式使えないってことだよ
終了

43 ：

>>39
そういうのに対し、コピーですまないのだが、
高校範囲外の内容を受験で使うときは、必ず定理を使う前提条件を確認し、正しく定理を用いないと採点者の印象は非常に悪くなります。
あと、「この公式で一瞬」というような下らない問題は二次試験ではまず出ません。
あとは証明問題で証明しようとしている命題そのものの定理や、それよりも強い定理を用いるのはダメです。
例）問：〜を証明せよ。
答：〜は○○の定理の特殊な場合であるから、成立する。
ここのスレの人は上記の内容を踏まえている　という前提でこれから進めていってくれると助かる

44 ：

>>41
さっき誰かが貼ってくれたPDF読んでみるといいよ
そう書いてあるからなぁ……

45 ：

>>43
おまえができてないよ（笑

46 ：

まああれだ
入試で証明しないと使えないよ　って言うのなしの方向で頼む
建前は「入試本番で使わない。けど知ってたら楽しいから情報交換しようぜ」と言っとく

47 ：

はさみうち同様教科書にも書いてあるが
厳密には高校では証明できなくて
尚且つ意識して使えると結構面白いものといえば
カバリエリの原理が真っ先に浮かぶ
空間の回転体の問題とか
斜軸の回転体の問題とか
減衰曲線の求積とかにも使えるし顔を出す。

48 ：

>>36
なぜってそれが直線の定義だからですよ。

49 ：

パップスギュルダンは明らかにアウトだしあんま意味ないか……

50 ：

忘れてた。一つ追加
ド・モアブルの定理
iを虚数単位とすると、(cosx+isinx)^n=cos(nx)+isin(nx)
この定理の左辺のn乗を展開して実部･虚部を比較することで、三角関数のn倍角の公式を導くことがでる
n倍角の公式が欲しいときに便利。

51 ：

テイラー展開とかはどうだろう
極限もとめるときにロピタル以外の裏技としたらテイラー

52 ：

カルダーノの公式

53 ：

sinhxとかも知ってれば楽になる問題が多々ある。

54 ：

sinhってなんだっけ？　逆三角関数なら知ってる

55 ：

>>54
カテナリーだけど置換に使うことが多い。

56 ：

なるほど，調べてみます

57 ：

まず、お前ら高校生なのか
なんかいろいろ知ってるな
テイラー展開とかパップスギュルダンならわかるが、
カバリエリの原理？カルダーノ公式？oh...
ネットで調べて理解できて尚且つ利用できそうならここに書いてく
（と言っても利用できるかどうかなんて実際具体的な問題出されないと想像もつかなさそうだが）
みんな有利になると思うからな

58 ：

カバリエリもカルダノも中学のとき使ってた数学のテキストに載ってたからねー

59 ：

まじかよどんだけレベル高いんだよ･･･
数学いろいろ調べる課題が増えそうだな
問題演習ばっかだと飽きてくるからこういう好奇心をそそるようなのがあればなｗ
数学もやる気がでる

60 ：

中高一貫の進学校で中学のときはZ会のテキストを使っていたのだけれど
結構レベル高かった

61 ：

なるほど
てかスレに張り付いてるわけにもいかないからまた夜に来ます

62 ：

>>48
っていうのを証明しないとダメだよ
それが入試の答案作成ですから

63 ：

カルダーノの公式はいわゆる三次方程式の代数的解法。
解と係数とかぶっちぎりで超越してる。
sinhx（ハイポサイン）は三角比みたいな関係が成り立つというだけで実際はe^xとe^ｰxの和の平均。
使いこなせればあるタイプの積分計算が素早くできる。
つか教科書にあるぞ。

64 ：

>>62
は？
じゃあお前、方程式とくときも方程式の定義かいてろよｗｗｗｗｗｗ

65 ：

中高一貫の進学校でフォーカスゴールドを使っていたのだけれど
フォーカスゴールドの解説は面白いね。
コラム、チャレンジ編、実践編は本当に読み応えがあって
ほかの出版社とは一線を画していることだけは間違いない。

66 ：

xy座標における原点Oを基点とした(x1,y1)(x2,y2)の三点からなる三角形の面積公式
S＝1/2｜x1y2-x2y1｜は有名ですが
xyz空間座標における三点からなる三角形の面積公式はありますか？

67 ：

>>66
(1/2)x(外積の大きさ)

68 ：

>>66
ベクトルで瞬じゃない？

69 ：

>>66
ベクトル利用すればいいんじゃね？
空間内に3点A,B,Cがあるとき
CA(→)=a,BA(→)=bとすると
S=√(|a|^2|b|^2-(a･b)^2)/2

70 ：

公式を知ってても、それを導出できないのなら使えないよ

71 ：

てか>>67のほうが普通にはやいな

72 ：

空間内の三角形の面積なら四平方の定理で。

73 ：

>>70
導出できるよ

74 ：

>>7
大学教授の連中はそこまで学習指導要領とか詳しくないから無問題

75 ：

空間内の円のパラメータ表示は・・・役に立たぬな。

76 ：

>>72
それいいな

77 ：

大事なのは解答が証明済みの公式や定理に基づいた論理的なものであるかでしょ
高校範囲外のものであれば、心配なら証明付きで使うか、時間不足などの場合に減点覚悟で使うか
採点者のおっちゃん俺の解答読んでくれ〜という気持ちになれば妙なテクニックに縋ろうとは思わない

78 ：

過程吹っ飛ばしでも構わんセンターとかで使えばいいんじゃない
大学数学の範囲の公式やら定理は証明つけなきゃ駄目だったな
再受験の人が話してた

79 ：

偏微分　ニ重積分　検算用に

80 ：

出題者が頭を使って答えあってりゃ天晴れみたいな問題を作れば良い

81 ：

高校範囲外の時点で二次の答案に書いたら簡単に証明つけなきゃほとんどの大学で減点される
検算に用いると便利なだけで答案に外積やらロピタルの定理とか書いたらもうそこでお終いだからな

82 ：

ロピタルも証明できないようじゃマトモなとこ受かんないよ。

83 ：

まあ「白紙で出すよりはマシ」って程度に考えといたら？
その技を使うことによって劇的に時間を短縮でき、
そのおかげでもう1問余分に回答できるっていうんだったら使った方がいいでしょ。

84 ：

ところで>>1のグリーンの定理って何？　

85 ：

>>84
面積公式

86 ：

パラメータ表示されている図形の扇形近似の積分

87 ：

留数定理を使って計算しないで積分解いても構わないのかね？

88 ：

��

89 ：

中国剰余定理・ユークリッドの互除法はどうよ
ユークリッドはまぁ証明もそんな大変じゃないからいいけど。

90 ：

>>88
大抵誘導ついてるからそのままでないだろ。
どっかの入試物理で一度出たがｗｗ

91 ：

>>89
数学Bのプログラムでやるでしょ。十分高校の範囲。

92 ：

CRTも？

93 ：

極座標表示の積分のことかな。

94 ：

今のセンター２Bだとベクトルを捨てて統計をやった方が楽だな
統計なら高校〜大学初等レベルでも十分満点が取れる
ベクトルは計算が爆発したり、うまい図形的考察が出来ないと20分かけても満点は無理

95 ：

>>93
もっとすごい

96 ：

良スレかもしれない。

97 ：

対角化とか使えるんじゃね？

98 ：

対角化といえばAX=XAを一般的に解くのに冗談標準形が使えるらしい

99 ：

それを言うならジョルダン

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