巨大数探索スレッド9

1 ：10/09/11 〜 最終レス ：11/11/30

大きな実数を探索するスレッドです。

2 ：

君の思いつく数に１をたすスレッドを創設する

3 ：

簡単すぎwwwwwwww
10…(0が10兆個)…00^10…(0が10兆個)…00
ハンパなくでけえwwww

4 ：

糞スレ終了

5 ：

意味のある数ならグーゴル数でFA

6 ：

age

7 ：

>>3
3↑↑6よりちいせえ

8 ：

アホなこと言ってるやつは前スレ読めよ
と言いたいが、前スレ張ってないなあ
ふぃっしゅ数とか面白い話もあったんだが

9 ：

>>8
> アホなこと言ってるやつは前スレ読めよ
> と言いたいが、前スレ張ってないなあ
> ふぃっしゅ数とか面白い話もあったんだが
同意
前スレはちゃんとしたrecursion theory的な巨大数に関する内容だったからね
早く古いスレをHDから復旧してくれないかなあ
つうことで前スレ張っておく
前スレ　巨大数探索スレッド8
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1194777915/

10 ：

sage

11 ：

前スレみれねえよ。
↑記号より効率よく巨大化してしかもシンプルな定義が与えられている記号ある？

12 ：

既に名前がついていてそれなりに知られてる記号だと、
クヌースの矢印表記 (↑)
ハイパー演算子 (�@ �A �B ....)
コンウェイのチェーン表記 (→)
くらいじゃないか？
この中だとチェーンが一番大きい数が作れるが、
クヌースの矢印表記よりは多少定義は複雑。
以下に示す多変数アッカーマン関数は
コンウェイのチェーンと同じくらいの複雑さの定義で
チェーンよりずっと大きな数が作れる。
-----------------
□ : 0個以上の0をカンマ区切りで並べた記述
Ｘ : 0個以上の0以上の整数をカンマ区切りで並べた記述
a, b : 0以上の整数
Ak(□, a) = a+1
Ak(Ｘ, b+1, 0) = Ak(Ｘ, b, 1)
Ak(Ｘ, b+1, a+1) = Ak( Ｘ, b, Ak(Ｘ, b+1, a) )
Ak(Ｘ, b+1, 0, □, a ) = Ak(Ｘ, b, a, □, a)

13 ：

>>12
正直そこくらいまでしか具体的によくわからん

14 ：

巨大数研究室の現行スレはいつまで７のままなの

15 ：

sage

16 ：

sage

17 ：

lim[x→0]{1/x}

18 ：

> 大きな実数を探索するスレッドです。

19 ：

intで括ればいいの？

20 ：

sage

21 ：

大きな実数を数値計算に応用する

22 ：

猫に小判、まで読んだ。

23 ：

猫に巨判、まで読んだ。

24 ：

過去スレは結構ドラマティックで 2ch の中ではかなり優良スレだと思うんだが。
魅力が伝わってなさそうなのでリンク。
過去ログ
part１〜７: http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/
part８：http://desktop2ch.net/math/1194777915/
まとめサイト「巨大数研究室」
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
ふぃっしゅ氏著「巨大数論」
http://gyafun.jp/ln/
Large numbers - Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Large_numbers
あと、Robert Munafo 氏 (Part 3 あたりでふぃっしゅ氏がメール送ってた人）のサイトが
移転して見つからなかったけど探したら出てきたのでリンク
http://mrob.com/pub/math/largenum.html

25 ：

猫が寝転んだ。

26 ：

エメラルド・ポテト数というものを考える
エメラルド・ポテト数は、グラハム数が、今までに数学史において証明に使われた最大の数であるならば、
逆に、今後何年かかろうが数学史において証明に使われることが絶対にないであろう最小の数をそう定義する。
数学史は人類の歴史と同じぐらい長く続くだろうが、
宇宙に寿命があるように、いずれ人類の歴史も終わりを迎える。
宇宙の法則を打ち破るほどの科学技術だかなんだか分からんものを
作れないかぎり、50億年後だか150億年後だか分からないが、いずれ終わりはくる。
それまでの数よりも大きな数を定義する方法として、人は足し算の次の掛け算という表現法を編み出した。
そしてべき乗を編み出し、その延長線上にあるのかどうかわからないが、グラハム数というものも編み出した。
しかし、人の思考はどんなものでも時間をかけて行われるものであり、
仮に宇宙最短の時間間隔でこれを為したとしても、大きな数を定義することを無限に行うことはできない。
つまり、どんな編み出しにも少しの時間はかかるということである。
科学技術は偉大であり、人は思考することなくコンピューターを用いて編み出しを行わせることにも成功しただろう。
しかし、コンピューターの制作にも当然時間はかかる。つまり、いかなる大きな数の編み出しにも相応の時間がかかるのである。

27 ：

>>26
エメラルド・ポテト数の逆数は、グラハム数より大きいの？

28 ：

そもそも実数を指示しなければならないんだから、操作回数は文字数で限られるに決っている。
一番効率が良い指数はなにかって話だよな。

29 ：

たとえばここで、誰かがグラハム数：G_64(3)　よりも大きな数を編み出したとしよう。
この数はどのような数か分からないが、グラハム数を用いて
最短時間によって編み出したものだとする。これをグラハム数の”子供”と定義し、
編み出した手法を”継承”と呼ぶ。一方、グラハム数を用いないでグラハム数よりも大きな数を編み出したとする。
この数と、先に述べたグラハム数の"子供"との大小を比較し、より大きい方(等しい場合も含める)を、"第一世代数"と呼ぶ
ここでは、最短でも3つの手順が行われている。
"継承"による編み出し、それ以外の編み出し、比較による"第一世代数"の3手順である。
このうち、2つの編み出しは同時に行えるので、最短時間でまとめて行える。
しかし、比較して"第一世代数"を決定するのは編み出しが終わった後でなければ行えない
から、どうしてももう一度最短時間がかかる。この2回の最短時間による"第一世代数"を、先のグラハム数に置き換え、
同様の手順を実行して"第二世代数"を編み出す。つまり、最短時間が4回かかっている。最短時間をtとすれば、4tの時間が経過しているわけである。
同様に第三世代数・・・・第n世代数を編み出すことが可能である。第n世代数を編み出すには
2のn乗倍tの時間がかかる。 2のn乗倍t をこの先人類の歴史において数学史にかけられる時間とした場合の、nの値を決定し、
最後に編み出すことのできるものを最終世代数と呼び、最終世代数+1を、エメラルド・ポテト数と呼ぶ。
(別に+1でなくてもいいのではないかとも考えられるが、1を足す以外に、より大きな数を生み出すのに
もっとも短時間で済む手続きは存在しない。最小の自然数1を加えるのがもっとも最速だと判断した。)

30 ：

言葉が足らなかった。
エメラルド・ポテト数は、
それは数学史上で使われることがあるであろう
最大の巨大数が取り得る数よりも大きな最小の数という意味。
最大の巨大数の上限+1がエメラルド・ポテト数
別に +1でなくてもいいが、理由は上で述べた。
つまり、数学史がどうしても辿りつけないであろう、謎のベールの最初の数。
あと一瞬、あと一瞬でも数学史が続いていれば知り得た数。

31 ：

ビジービーバーじゃないの？

32 ：

アキレスとカメが居る。
アキレスはカメの位置まで走るのを繰り返し、追い抜いたとする。
この繰り返しの回数をアキレス数と定義する。

33 ：

>>31
長文でややこしくなってるけど、
例えばビジービーバーのBB(10)とか概数すら分かってないし、
急速な増大をすればいいってことじゃないって問題提起なんじゃない？
f(x)ではなく、f(x)/TIME[f(x)]を評価しようってことじゃ？
※TIME[f(x)]は、f(x)の時間計算量とでもしよう。

34 ：

>>33
>>32みたいなのは？

35 ：

そもそも止まらないアルゴリズムだっていうのは置いておいて、
アキレス数の計算中は、繰り返し回数との比は1じゃね？

36 ：

>>35
追い抜いたって言ってるんだから必ず有限時間で止まるんだよ。

37 ：

最小時間が存在すれば、アキレス数は計算できるってことでいい？

38 ：

そういえば量子論的には空間距離には解像度があるって聞いたけど、
だとしたらそのアキレス数は有限の値を取るのかな。

39 ：

>>30
> エメラルド・ポテト数は、
> それは数学史上で使われることがあるであろう
> 最大の巨大数が取り得る数よりも大きな最小の数という意味。
エメラルド・ポテト数が数学史上で使われたら矛盾するじゃねえか。

40 ：

巨大基数と巨大数ではどっちが大きいの？

41 ：

比較すな

42 ：

>>29の 2のn乗倍tの時間がかかるというのは誤りで、
実際は2n倍tの時間がかかる。
現時点ではエメラルド・ポテト数は確定していない。
数学史がいずれ終わることは、宇宙時間が無限でなければ間違いない
ことだから、エメラルド・ポテト数が存在すること自体は明らかだが、
存在することが明らかであることと、その数が確定的に分かっていることは違う。
最小時間を、およそ5.39×10^(-44)秒であるプランク時間Tpだと仮定すると、
宇宙の寿命を、たとえば10^(100)年後(1googo年後) だとすると、
この寿命のときまで何らかの理知的な手法により数学的編み出しが可能だと考え、
1年＝31 556 926秒≒3.2×10^7秒と考えれば、
3.2×10^107秒程度の時間が、数学史に残されている時間だと考えられるから、
(3.2×10^107) ÷ (5.39×10^(-44)) ≒6 ×10^150 回の編み出しが可能である。
第n-1世代数から第n世代数を編み出すには2回編み出しが必要だから、
実際にはおよそ第 310^150 世代数 が、数学史において最終最大の数ということになる。
したがって、(第3×10^150世代数)+1が、エメラルド・ポテト数ということになるが、
この数が確定するためには、第3×10^150世代数が確定しなければならない。
しかし、第3×10^150世代数の確定は、数学史の終わりの時に実現するから、
エメラルド・ポテト数は永遠に分からないままである。

43 ：

エメラルド・ポテト数 ： およそ 第3×10^150世代数+1
宇宙の寿命（厳密には数学史の寿命)が伸びれば、もっと大きい可能性はある。
ここでは10^100年後を宇宙の終焉(数学史の終焉)と仮定している。
宇宙の終わりが約50億年後であれば、 第1.5×10^60世代数+1になる。
宇宙の終わりが1年後であれば、第3×10^50世代数+1
宇宙の終わりが1秒後であれば、第10^43世代数+1
宇宙の終わりが(プランク時間(秒)Tpの10倍)秒後であれば、第5世代数+1

44 ：

アキレスがカメを追い抜くのは確実だけど、そもそも宇宙って発散するか収束するか決まった訳？

45 ：

>>42
「エメラルド・ポテト数」は既に掲示板の数学板で語られている。
これは「エメラルド・ポテト数」の定義と矛盾する。
よって「エメラルド・ポテト数」を定義することは出来ない。
「数学史上で使われることがあるであろう巨大数」をもっと数学的に記述しないと、
「このスレで一番大きな数 +1」と同レベルの記述。

46 ：

sage

47 ：

で、巨大数は増加しているの？

48 ：

ここ3年くらいまったく。

49 ：

※初めてこのスレを覗いた人へ
以下の内容は、過去スレを読んでいることを前提としています。興味のある人は過去スレを読んで下さい。
計算可能な範囲では、おそらくこれまでのスレで最も巨大な数(を作り出せる関数)を定義しています。
8スレ目6レス目(以下、8-6のように表記)の関数の元となる、順序数としてのψの定義を見返してみると、問題がありました。
ψの定義は7-202を8-11で修正したもの
　ψ_α(β)は、0に対して加法、Veblen関数、ψを繰り返し適用しても
　作ることのできない、濃度がω_α(α番目の無限基数)の最小の順序数である。
　ただし、ψの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。
　また、ψの添字としては上の条件を満たさない順序数を用いてもよいが、
　そのようにして作った順序数をψの引数として用いてはいけない。
これだと、例えばψ_1(1)=ψ_1(0)+ψ_0(1)になってしまいます。
7-202や8-11を書いた頃とは英語版Wikipediaの記述が変わっているので、
今の英語版Wikipediaの記述に沿ってψを定義しなおすと、
　ψ_α(β)は、ω_α(α番目の無限基数)より小さい順序数に対して
　加法、Veblen関数、ψを繰り返し適用しても作ることのできない最小の順序数である。
　ただし、ψの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。
のようになります。ただ、この定義に従うと、
ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)))=ψ_0(ψ_1(0))は成り立ちますが、
ψ_1(ψ_0(ψ_1(0)))=ψ_1(ψ_1(0))は成り立ちません。
というのも、ψ_1(ψ_1(0))を考えるときにω_1=ψ_1(0)より小さい順序数を用いることができるので、
ψ_1(ψ_0(ψ_1(0)))＜ψ_1(ψ_1(0))となるからです。
古い定義では、ψ_1(ψ_1(0))=lim{ψ_1(0), ψ_1(ψ_0(0)), ψ_1(ψ_0(ψ_0(0))), …}
となっていたのが、新しい定義だとψ_1(ψ_1(0))に収束列は存在せず、
ψ_0(ψ_1(ψ_1(0)))=lim{0, ψ_0(ψ_1(0)), ψ_0(ψ_1(ψ_0(ψ_1(0)))), …}
のようになります。

50 ：

新しい定義のψに比べると、古い定義のψの値はずっと小さくなると思われます。
というのも、新しい定義だとψ_1(ψ_1(0))=Γ_(Ω+Ω)となる所が
古い定義だとψ_1(ψ_1(0))=Γ_(Ω+ψ_0(Ω))というようになってしまい、
巨大な非可算順序数がうまく作れないからです。
8-696で、8-6のψ_0(Ψ)と同じ大きさの順序数をより簡潔に定義したという人がいましたが、
古い定義でVeblen関数を除いた8-696は、8-6より小さい可能性もあります。
もしかしたら、新しい定義に基づいた英語版Wikipediaのψ_0(ε_{Ω_ω+1})の方が
古い定義に基づいた8-6のψ_0(Ψ)より大きいかもしれません。
新しい定義ではψの定義からVeblen関数を除いても、ψ_0(Ψ)の大きさはおそらく変わらないと思われます。
新しい定義をきちんと書くためには収束列以外にも色々と書くべきことがあり、
それらを書くと非常に長くなるので、txtファイルにまとめてアップロードしました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/177597.txt
txtファイルの中身の説明
■ψの定義でVeblen関数を用いた時の定義
Veblen関数を用いたせいでやたらと複雑になっているので、読む必要はないと思います。
細かい所まであまりチェックしていないので、間違いがあるかもしれません。
■ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義
巨大数を計算するプログラムを書くために必要な情報はすべて書いてあります。
■2種類の関数ψ、Ωを用いた定義
Ordinal collapsing functionをもう一種類定義することで、より巨大な帰納的順序数を定義しています。
■三変数ψの定義
上のψ、Ωをψ_α(β)=ψ(0,α,β)、Ω_α(β)=ψ(1,α,β)として、三変数のψに拡張したもので、
上よりさらに巨大な帰納的順序数を定義しています。
間違いはできる限り見つけて直しましたが、それでも間違いはあるかもしれません。

51 ：

以下、txtファイルの中身の補足
新しい定義と古い定義では、ψ_α(0)を入れ子にして置き換える方法が変わります。
古い定義では、ψ_α(f(ψ_{β+1}(0)))の形の順序数が出てきたら必ず
ψ_α(f(ψ_β(f(ψ_β(…)))))のように置き換えていたので、
ψ_α(f(ψ_{β+1}(0)))は常に収束列の存在する極限順序数となります。
これは、ψ_β(f(ψ_{β+1}(0))以上でψ_{β+1}(0)より小さい数を用いることができないからです。
しかし新しい定義では、もしα≧β+1なら、ψ_α(0)未満の数が自由に使えるので、
ψ_α(f(ψ_{β+1}(0)))自体は収束列の存在しない極限順序数となります。
そして、ψ_β(ψ_α(f(ψ_{β+1}(0))))のようになったときに、
ψ_β(ψ_α(f(ψ_β(ψ_α(f(ψ_β(…)))))))と入れ子にすることになります。
結局、入れ子にするかどうかは、ψの添字の大小関係で決まることになります。
新しい定義では順序数の大小関係を考える必要があるので、
順序数の大小関係を判断する方法もきちんと書く必要があります。
そうすると、異なる表記が同じ順序数を表しているかも判断する必要があるので、
「正則な表記」というものを表記可能な各順序数に対して一つ定めるのが便利です。
正則な表記はできる限り簡潔な表記を選び、
和は大小関係の規則を単純にするためα+(β+(γ+δ))のように右結合で考えます。
ψの引数はψ_α(β)＜ψ_α(β+1)となるようなものを選んでいます。
もし、ψ_α(β+1)を考えるときにβを作ることができないと、ψ_α(β)=ψ_α(β+1)となってしまいます。
以前の定義では同じ順序数でも表記が異なると収束列の定義が異なったので、
順序数の関数としてきちんと定義されたものではありませんでしたが、
新しい定義では正則な表記が一つ定まるので順序数の関数としてもきちんと定義されます。

52 ：

txtファイルの定義は、
　1.正則な表記の定義
　2.正則な表記への書き換え
　3.大小関係の定義
　4.収束列の定義
の順で書いてあります。
収束列の定義に単純に従うと、正則でない表記が出てきてしまうので、
正則な表記への書き換え規則も書く必要があります。
ψの引数がψ_α(β)=ψ_α(β+1)のようになってしまう表記が出てくる例としては、
ψ_0(φ_{ψ_0(ψ_1(0))}(φ_0(ψ_1(0)+1)))があります。
{ψ_0(φ_{ψ_0(ψ_1(0))}(φ_0(ψ_1(0)+1)))}_0=ψ_0(φ_{ψ_0(ψ_1(0))}(0))=ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)))
となりますが、ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)))=ψ_0(ψ_0(ψ_1(0))+1)=ψ_0(ψ_1(0))となります。
定義を変えて、収束列の存在しない極限順序数もきちんと大量に作れるようになったので、
定義がややこしくなるだけのVeblen関数は除いて考えることにします。
さらに巨大な順序数を作るにはどうすればいいかということを考えて、
ψと同じ考え方で新たな基数を次々と作り出せる関数Ωを定義しました。
ω_0, ω_1, ω_2…を使ってψを定義したのと同様に、
ω2_0, ω2_1, ω2_2…という順序数を考えてΩを定義することにします。
ω2_αは以下のような性質を持っているとします。
　ω_0＜ω_1＜ω_2＜…＜ω2_0=ω_{ω2_0}＜ω_{ω2_0+1}＜…＜ω2_1=ω_{ω2_1}＜ω_{ω2_1+1}＜…
　「α→ω2_αという写像を使わずにω2_α未満の数からω2_αを作り出すことはできない」
「…」の定義は曖昧ですが、ψやΩを規則で定義する分には問題ありません。
ψ_αがω_α以上ω_{α+1}未満の順序数を次々と作り出すように、
Ω_αはω2_α以上ω2_{α+1}未満の順序数を次々と作り出すようにします。

53 ：

そのようなψ、Ωの定義を考えた結果、以下のようになりました。
　ψ_α(β)は、ω_α(α番目の無限基数)より小さい順序数(ただしα=0のときは0のみ)に対して
　加法、ψ、ψ_α、Ωを繰り返し適用しても作ることのできない最小の順序数である。
　ただし、ψ、Ωの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。
　Ω_α(β)は、ω2_αより小さい順序数に対して加法、ψ、Ωを適用したり、
　γ＜ω2_(α+1)を満たすγからδ＜γを満たす任意の順序数δを得ることを繰り返しても
　作ることのできない最小の順序数である。
　ただし、ψ、Ωの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。
ψ_α(β)の定義でψ_αを使えるようにしたのは、ω_α=αとなるようなαに対しても
ψ_α(0)＜ψ_α(1)＜ψ_α(2)＜…となるようにするためです。
例えば、ψ_{Ω_0(1)}(1)を考えるとき、Ω_0(1)はω_{Ω_0(1)}=Ω_0(1)未満ではなく、
1にΩ_0を適用することもできないので、ψ_{Ω_0(1)}を使えるようにしないとψ_{Ω_0(1)}(0)が作れず、
ψ_{Ω_0(1)}(0)=ψ_{Ω_0(1)}(1)となってしまいます。
Ω_α(β)の定義で「γ＜ω2_(α+1)を満たすγからδ＜γを満たす任意の順序数δを得る」という操作があるのは、
ψ_{Ω_α(0)}を用いたときよりも大きな順序数を作れるようにするためです。
ω2_0は十分大きな順序数でω_{ω2_0}=ω2_0を満たしていればどんな順序数でもいいのですが、
ψやΩの引数に入れたとき常にω_ω_ω_…ω_0の極限と同じ収束列になるので、
ω2_0をω_ω_ω_…ω_0の極限と定義します。
例えばψ_α(Ω_1(0))がどのような順序数となるかは、αの大きさによって異なります。
ψ_α(0)≧Ω_1(0)のときは、Ω_1(0)より小さい任意の順序数をψ_αの引数に使えるので、
ψ_α(Ω_1(0))に収束列は存在しません。
ψ_α(0)＜Ω_0(Ω_1(0))のときは、引数がΩ_1(0)を超えるまでΩ_0(Ω_1(0))を使えないので、
ψ_α(Ω_1(0))=ψ_α(Ω_0(Ω_1(0)))=lim ψ_α(Ω_0(Ω_0(…Ω_0(0)…)))となります。
Ω_0(Ω_1(0))≦ψ_α(0)＜Ω_1(0)のときは、
ψ_α(Ω_1(0))=lim ψ_α(ψ_{ψ_{…ψ_{ψ_α(0)+1}(0)…}(0)}(0))となります。

54 ：

ψ、Ωの定義を参考にして、さらに大きな順序数が作れる三変数ψを定義しています。
三変数ψでも収束列でψ(α,β,γ)=ψ(α,β,γ+1)のようになってしまう表記が出てくることがあります。
例としては、{ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0)),ψ(0,ψ(ψ(0,1,0),0,0),1),0))}_0
=ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0)),0,0))が正則な表記ではなく、
ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0)),0,0))=ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0))となります。

55 ：

とりあえず、アキレス数はどの範囲にあるの？

56 ：

新しい定義と古い定義で作れる順序数の大きさが違うという例を書いておきます。
Veblen関数も「加法も」用いずに新しい定義のψと古い定義のψ'を定義すると、
　ψ'_0(ψ'_{ψ'_1(0)}(0))=ψ_0(ψ_ω(0))=ψ_0(ψ_{ψ_0(ψ_1(0))}(0))=ε_0=φ_1(0)
　ψ'_0(ψ'_{ψ'_{ψ'_1(0)}(0)}(0))=ψ_0(ψ_{ω^2}(0))=ψ_0(ψ_{ψ_0(ψ_1(ψ_1(0)))}(0))=η_0=φ_2(0)
十分大きい順序数Ψに対し、
　ψ'_0(Ψ)=ψ_0(ψ_{ω^ω}(0))=ψ_0(ψ_{ψ_0(ψ_2(0))}(0))=φ_ω(0)
となるようです。
ψ_0(Ψ)より大きな順序数で収束列まで定義されているものには、7-571のたろう氏の多変数C1があります。
http://gyafun.jp/ln/archive/7-571.txt　7-850、7-858で補足、訂正あり
といっても、私には理解力不足で多変数C1はよく分からないのですが…。
(規則自体が分からないのではなく、それぞれの規則がどういう意味なのかがよく分からない)
あと、収束列は定義されていても、C1で表された順序数の大小関係の規則が明記されていないので、
プログラムで計算できるようにはなっていません。
ただ、7-389を参考にし、「帰納的定義で表現できない順序数」がψの新しい定義と同じくらい有効活用されていると考えると、
　C1(1,0,0)≒ω(0,1)=ψ(0,1,0)
　C1(2,0,0)≒ω(0,2)=ψ(0,2,0)
　C1(1,0,0,0)≒ω(1,1)=ψ(1,1,0)
　C1(1,1,0,0)≒ω(0,ω(1,1)+1)=ψ(0,ψ(1,1,0)+1,0)
　C1(2,0,0,0)≒ω(1,2)=ψ(1,2,0)
　C1(1,0,0,0,0)≒ω(2,1)=ψ(2,1,0)
ということで、多変数C1ではψ(0,0,ψ(ω,0,0))=ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,1),0,0))未満の
帰納的順序数を表せるのではないかと推測はできます。
(古い定義では「帰納的定義で表現できない順序数」が十分に活用されていないので、
C1(C1(1,0,0,0),0)はおそらく古いψ_0(Ψ)よりずっと大きいと思います)

57 ：

wikipedia の ψ は、
昔が[ψの定義でVeblen関数を用いた時の定義]
で
今が[ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義]
だから
今の方が小さいと思うんだけど、違うの？
それとも、新しい定義のψってのは、wikipedia のとは違うあなたの定義？
8-6 は昔の定義のψ、
8-696 は（実質）今の定義のψ、
だと思ってるんだけど。
古いψの限界のΨ、
新しいψの限界のΨ、
はどちらも同じ大きさだと思う。

58 ：

今のwikipediaのψの定義は「べき」も含まれてるけど、
>>50 の [ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義] には含まれてない。
wikipedia の [Making the function less powerful] の定義の方？

59 ：

>>57
古い定義と新しい定義で一番重要な違いは、
「0に対して……濃度がω_α(α番目の無限基数)の最小の順序数」を
「ω_α(α番目の無限基数)より小さい順序数に対して……最小の順序数」に変えたことです。
昔のwikipediaには方針だけで具体的な定義が書いてなかったので上のように解釈したのですが、
今のwikipediaでより詳しく書かれているのを読むと、下の方がおそらくずっと大きくなることが分かりました。
古い定義では、ψ_α(β)はβ＞0ならば常に収束列の存在する極限順序数となるので、
加法しか使えなければω^(ω_1+ω_1)のような数を作ることはできませんし、
加法とVeblen関数しか使えなければΓ_(ω_1+ω_1)のような数を作ることはできません。
しかし、新しい定義では収束列の存在しない極限順序数も作れるので、
使える演算が限られていてもω^(ω_1+ω_1)やΓ_(ω_1+ω_1)などを作ることができます。
なので、(Hardy functionのHとFの定義の違いがε_0以上でほとんど関係ないように)
おそらく新しい定義では使える演算の種類はほとんど関係ないと思います。
各定義でのψ_0(Ψ)の大きさはおそらく、
「旧定義Veblenなし(8-696)」＜「旧定義Veblenあり(8-6)」＜「新定義Veblenなし」=「新定義Veblenあり」
となるでしょう。
新定義では使える演算の種類はあまり重要ではないと思われるので、
できる限り定義が単純になるように加法のみを用いています。
(加法が無くとも大きさは同じだと思いますが、
定義は単純にならず分かりにくくなるだけなので加法は入れました)
"Making the function less powerful"ではψ_1などがないので、
使える演算の種類によって作れる順序数の大きさは大きく変わります。

60 ：

ところでこういう関数って、増加率のグラフ書いたらどんな形しているの？

61 ：

>>60
普通に書いたらほぼ垂直に上がっていく
縦軸を1桁になるまでのlogの回数にしても
縦軸をコルモゴロフ複雑性にしたら
途中からほぼ真横に伸びていく

62 ：

A. >50 ■ψの定義でVeblen関数を用いた時の定義
B. >50 ■ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義
C. >50 ■2種類の関数ψ、Ωを用いた定義
D. >50 ■三変数ψの定義
E. wikipediaの古い定義の添え字付きψ
F. wikipediaの新しい定義の添え字付きψ
G. 7-202
H. 8-6
I. 8-696
D > C > A = B = F > E = G = H > I
これであってますか？

63 ：

>>62
wikipediaには添え字付きψの定義自体はないので、E、Fというのはありません。
G(正確には7-203)とHは同じものです。
　D > C > A = B > G = H > I
なお、7-202、8-11の言葉での定義は間違っています。
>>50のtxtの言葉での定義には今のところ間違いを見つけてはいません。

64 ：

7-202 はwikipediaに載ってたψの拡張法って書いてあるけど違うの？
今のwikipediaもψ1 とかの記述があって、その1を順序数に拡張したのかと思った。
添え字無しのψだと、
古いwikipediaのψ(α)は
{0,1,ω,Ω,+,φ,ψ} で到達できない最小の順序数 (ただしψにはα未満のみ入れられる)
新しいwikipediaのψ(α)は
{0,1,ω,Ω,+,^,ψ} で到達できない最小の順序数 (ただしψにはα未満のみ入れられる)
で、やっぱり古い方が大きいと思う。

65 ：

>>64
古い定義で参考にしたのは、
　http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Large_countable_ordinal&oldid=98790666
です。新しい定義で参考にしたのは、
　http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_collapsing_function
です。どちらも、wikipediaの記述そのままではありません。
添え字なしなら、使える演算の種類が多いほど作れる順序数は大きくなります。
添え字が0と1に限られている場合や、Ω_ωまでの基数を用いる場合も同様です。
なので、wikipediaのψは使える演算の種類によって大きさは変わります。
添え字ありの場合、新定義では積や冪やVeblen関数が含まれていなかったとしても、
ψ_α, ψ_{α+1}, ψ_{α+2}, …を用いることで、
Ω_αに積や冪やVeblen関数を用いた順序数を作ることができます。
なので、使える演算の種類にほとんど関係なく、作れる順序数は同じになると思われます。
旧定義では、おそらく使える演算の種類に大きく影響されます。

66 ：

>>65 の古い定義の方には
添え字付きψもΩ_nも書かれないけど、
古いwikipediaの定義では「Ω_αに積や冪やVeblen関数を用いた順序数を作ることができない」
というのはどういうこと？
リンク先が間違ってる？

67 ：

>>66
>>65で「旧定義」と言っているのはwikipediaの定義ではなく、7-203や8-6の定義のことです。
昔のwikipediaではψの拡張の方針だけが書かれていて、添え字付きψはありません。
wikipediaのψの拡張の方針に基づいて私が定義した添え字付きψが7-203や8-6です。
7-203や8-6の定義は私が自分で考えた事なので、定義に問題があって
「Ω_αに積や冪やVeblen関数を用いた順序数を作ることができない」ということです。

68 ：

>>67
了解しました。
ということは Ruby でプログラムを書いた人ですね？
新定義の3変数ψも Ruby 化お願い出来ませんか？

69 ：

いくつか疑問点
121, 126行目 : maxargとは？
137-144行目 : maxpsiarg はここでしか出てこないけど、H[ψ_0(Ψ)](n) の定義に必要なの？
82, 280, 445 行目 : ψ_α(β) のαの方はαが正則であれば変更不要ということ？
493 行目 : Ω_α(β) のαの方はαが正則であればそのままで良いということ？
706 行目 : ψ(α,β,γ) のα, β はα, βが正則であればそのままで良いということ？
131, 198, 327, 587行目 : 131行目のcardは引数の濃度、198行目のcard_s, 327行目のcard, 587行目のcardは引数の共終数の濃度を表わす？
784行目 : subst_arg1 はsubst の後継？
796行目 : subst_arg2 はsubst_typeの後継？
2変数ψの極限ΨをψとΩで表わすとどうなる？
ψとΩの極限Ψを3変数ψで表すとどうなる？

70 ：

>>68
時間があったら書きます。
>>69
＞121, 126行目 : maxargとは？
＞137-144行目 : maxpsiarg はここでしか出てこないけど、H[ψ_0(Ψ)](n) の定義に必要なの？
maxpsiargと書くべき所をmaxargと書いていました。
121, 126行目のmaxargはmaxpsiargの間違いです。
＞82, 280, 445 行目 : ψ_α(β) のαの方はαが正則であれば変更不要ということ？
そうです。αはψ_α(β)の濃度を表しているので、正則な表記に書き換えるときに変わることはありません。
＞493 行目 : Ω_α(β) のαの方はαが正則であればそのままで良いということ？
＞706 行目 : ψ(α,β,γ) のα, β はα, βが正則であればそのままで良いということ？
これも上と同様です。
＞131, 198, 327, 587行目 : 131行目のcardは引数の濃度、198行目のcard_s, 327行目のcard, 587行目のcardは引数の共終数の濃度を表わす？
131, 198, 327行目についてはそうです。
587行目のcardは、subst_type(γ)が0のときγの共終数の濃度がω_card(γ)となり、
subst_type(γ)が1のときγの共終数の濃度がω2_card(γ)となります。
＞784行目 : subst_arg1 はsubst の後継？
＞796行目 : subst_arg2 はsubst_typeの後継？
subst_typeに対応するものがsubst_arg1で、cardに対応するものがsubst_arg2です。
γの共終数の濃度はω(subst_arg1(γ),subst_arg2(γ))となります。
＞2変数ψの極限ΨをψとΩで表わすとどうなる？
Ψ=Ω_0(0)です。
＞ψとΩの極限Ψを3変数ψで表すとどうなる？
Ψ=ψ(2,0,0)です。

71 ：

>>70
thx

72 ：

>>50のtxtでの定義に、問題がありました。
言葉での定義に従うと、例えばΩ_0(ψ_{Ω_0(0)+1}(0))には収束列がないのに、
規則に従うとΩ_0(ψ_{Ω_0(0)+1}(0))は収束列を持つことになってしまいます。
それに関連して、例えばψ(0,ψ(1,0,0)+1,ψ(1,1,ψ(0,ψ(1,0,0),ψ(1,2,0)))+ψ(1,1,0))の
収束列のn≧2を求めて正則な表記に書き直すと、
ψ(0,ψ(1,0,0)+1,ψ(1,1,ψ(0,ψ(1,0,0),ψ(1,2,0)))+ψ(1,1,0))に戻ってしまうという問題も生じます。
言葉での定義に一致するように規則を訂正したものをアップロードしました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/179316.txt
また、Rubyでのプログラムが完成したので、消えていた前のプログラムと一緒にアップロードしました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/179317.lzh

73 ：

8-696 が 8-6 より小さいってのが良くわからない。
ψ[8-696]_0 {ψ[8-696]_2n(0)} > ψ[8-6]_0 {ψ[8-6]_n(0)}
となって、
ψ[8-696]_0 {ψ[8-696]_ω(0)} ＝ ψ[8-6]_0 {ψ[8-6]_ω(0)}
で追いつくと思う。

74 ：

>>72
規則とプログラムに誤りがあったので、修正したものをアップロードしました。
規則のtxtファイル
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/180654.txt
プログラム
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/180655.lzh
>>73
以下では、8-6のψをψと書き、8-696のψをψ'と書きます。
また、厳密な議論は困難なので、大雑把な話をしています。
もしも新定義の方針で定義されたならば、ψ_1(ψ_1(0))やψ'_1(ψ'_1(0))が収束列を持たず、共終数がΩ_1なので、
ψ_1(ψ_1(0))=Γ_{Ω_1+Ω_1}、ψ'_1(ψ'_1(0))=ε_{Ω_1+Ω_1}のようになります。
ψ'_1(Ω_2を用いた順序数)でΩ_1にVeblen関数を用いるより大きい順序数を作れるので、
ψ'_0(Ω_2を用いた順序数) ＞ ψ_0(Ω_1を用いた順序数)となり、
同様にしてψ'_0(Ω_2nを用いた順序数) ＞ ψ_0(Ω_nを用いた順序数)のようになり、Ω_ωで追いつくと思われます。
しかし、旧定義の方針(元々の8-6、8-696)だと、ψ_1(ψ_1(0))やψ'_1(ψ'_1(0))は収束列のある順序数で、
ψ_1(α)≒Γ_{Ω_1+ψ_0(α)}、ψ'_1(α)≒ε_{Ω_1+ψ'_0(α)}のようになってしまいます。
　ψ_0(f(ε_{Ω_1+Ω_1}))≒ψ_0(f(ε_{Ω_1+ψ_0(f(…))}))
　ψ'_0(f(Ω_2))≒ψ'_0(f(ψ'_1(f(…))))≒ψ'_0(f(ε_{Ω_1+ψ'_0(f(…))}))
となることから、8-696でのΩ_2は8-6でのε_{Ω_1+Ω_1}に相当する程度の働きしかしません。
同様にして、おそらく8-696でのΩ_αは8-6でのε_{Ω_1×α}に相当します。
なので、ψ'_0(Ψ)≒ψ_0(η_{Ω_1+1})≒ψ_0(φ_2(ψ_1(0)+1))となりそうです。
上での考察は大雑把なので間違いがあるかもしれませんが、8-696は8-6より小さいと思います。

75 ：

>>74
ありがとうございます。
ちょっと考えてみます。
新定義のψと旧定義のψの違いは、
ψ(δ, γ) で、δ ≧ card(γ) の場合だけである
ψ(δ, γ) で、δ ＜ card(γ) の場合と、ψ(α, 0) の定義が異なっているのは単に記述方法の違いである
というところまで理解したつもりです。
あってますか？
Ω = ψ(1,0)
Ω2 = ψ(2,0)
とすると、
ψ(0, α) = ω^α    (0≦α＜ε_0)
ψ(0, α) = ε_0    (ε_0≦α≦Ω)
ψ(0, Ω*2) = ε_1
ψ(0, Ω*3) = ε_2
ψ(1, Ω) = Ω^2
ψ(1, Ω^2) = Ω^3
ψ(1, Ω^3) = Ω^4
ψ(1, Ω2) = Ω^ω
これで合ってますか？

76 ：

アキレス数ってそれらに追いつく？　追いつかない？

77 ：

これって記述量を分母として、その上で現れた数がどれだけでかいかだよね
記述量の定式化って過去スレのどっかにあった？

78 ：

>>74
ψ以外で許す関数を、add(x,y) = x+y じゃなくて、successor(x) = x+1 だけでもψ(0,Ψ)の大きさは同じですかね？
もし同じなら定義がすごく簡単になると思うので。
ψ(0,α) = ω*(1+α)    (0≦α＜ω^ω)
ψ(0,Ω) = ω^ω
ψ(0,Ω*2) = ω^ω *2
ψ(0,Ω^2) = ω^ω^2
ψ(1,α) = Ω+ω^α
ψ(1,Ω) = Ω*2
ψ(1,Ω*2) = Ω*3
ψ(1,Ω*3) = Ω*4
ψ(1,Ω2) = Ω*ω
こうかな？
はじめはすごくゆっくり。

79 ：

>>77
計算可能なものに限定すれば、
巨大数探索スレッド7 の >>260 や、
■■C++で大きな数を作るスレ■■
http://hibari.2ch.net/test/read.cgi/tech/1237894070/

80 ：

>>75
新定義と旧定義の本質的な違いはδ≧card(γ)の場合のψ(δ,γ)で、
それ以外の違いは作れる順序数の大きさに影響しないと思います。
ψ(1,Ω)=Ω^2までは合ってますが、
ψ(1,Ω*2)=Ω^3
ψ(1,Ω*3)=Ω^4
ψ(1,Ω^2)=Ω^Ω
ψ(1,Ω^3)=Ω^Ω^2
ψ(1,α)=Ω*ω^α (0≦α≦ε_{Ω+1})
ψ(1,Ω2)=ε_{Ω+1}
となります。
>>78
単なる私の直感ですが、加法ありと加法なしの場合、二変数関数の有無という差が大きいのではないかと思います。
二変数関数である加法があれば、ψの引数にψ(ψ()+ψ()+ψ()+…)の形でψを複数入れることができますが、
二変数関数がないとψの引数にψ(ψ_{ψ_{ψ_{…}()}()}())の形でしかψを複数入れることができないので、
両者の差が埋まる前にψ_0(Ψ)に達してしまうと思います。

81 ：

http://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/180654.txt
[An Ordinal Notation] vs [三変数ψ]
C(1,0,0)                    ψ(0,1,0)
C(1,0,C(1,0,0))           ψ(0,2,0)
C(1,1,0)                    ψ(0,ω,0)
C(1,α,0)                   ψ(0,ω^α,0)
C(2,0,0)                    ψ(1,0,0)
C(1,0,C(2,0,0))           ψ(1,1,0)
C(1,1,C(2,0,0))           ψ(1,ω,0)
C(1,α,C(2,0,0))          ψ(1,ω^α,0)
C(2,0,C(2,0,0))           ψ(2,0,0)
C(1,0,C(2,0,C(2,0,0)))   ψ(2,1,0)
C(1,1,C(2,0,C(2,0,0)))   ψ(2,ω,0)
C(1,α,C(2,0,C(2,0,0)))  ψ(2,ω^α,0)
C(2,0,C(2,0,C(2,0,0)))   ψ(3,0,0)
C(2,1,0)                    ψ(ω,0,0)
C(2,α,0)                   ψ(ω^α,0,0)
C(3,0,0)                    Ψ

82 ：

>>81
Dmytro氏のページは読んでもよく理解できなくて挫折していましたが、
もしそれが正しければ、Dmytro氏のnotationは7-389でたろう氏が解釈していたよりも
ずっと大きいということになりますね。
Bachmann-Howard ordinalは、Dmytro氏によればC(0^{++},0)=C(C(1,0,C(1,0,0)),0)であり、
三変数ψで表すとψ(0,0,ψ(0,2,0))となるので、この二つを比較する分には、
たろう氏の言っていたC1(2,0,0)がψ_2(0)=ψ(0,2,0)に相当するというのは間違いで、
C(1,0,C(1,0,0))がψ(0,2,0)に相当するという方が正しいように思えます。
すると、たろう氏の定義した多変数C1で表せるのは、実のところC(2,1,0)未満の順序数ということになりそうです。

83 ：

>>81
もっと小さかったかも。
C(1,C(2,0,0),0)                            ψ(1,0,0) 
C(1,0,C(1,C(2,0,0),0))                   ψ(1,1,0) 
C(1,α,C(1,C(2,0,0),0))                 ψ(1,ω^α,0) 
C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0))          ψ(2,0,0) 
C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0)))       ψ(3,0,0) 
C(1,C(2,0,0)+1,0)                        ψ(ω,0,0) 
C(1,C(2,0,0)+α,0)                       ψ(ω^α,0,0) 
C(1,C(2,0,0)*2,0)                        Ψ

84 ：

ψ(α+1,0,0)自体は共終数がωの順序数と定義しているので、
ψ(α+1,0,0)ではなくψ(α+1,1,0)の方が正しいと思います。
それは些細なことですが、さらなる拡張の方針として、
　ψ(0,α,β)=ψ2(0,ψ2(1,0)*α+β)
　ψ(1,1,0)=ψ2(0,ψ2(1,0)^2)
　ψ(1,α,0)=ψ2(0,ψ2(1,0)^2*α)
　ψ(α,β,0)=ψ2(0,ψ2(1,0)^(1+α)*β)
のようなものができないか考えていたのですが、
この時のψ2(1,0)がC(2,0,0)に相当するということでしょうか？
あと、例えばψ(1,1,0)とψ(1,2,0)の間には、
ψ(1,1,0)＜ψ(0,ψ(1,1,0)+α,0)＜ψ(1,1,1)＜ψ(1,1,α)＜ψ(1,2,0)
のような基数が存在しますが、
　C(1,0,C(1,C(2,0,0),0))　　　　　ψ(0,ψ(1,1,0)+1,0)
　C(1,α,C(1,C(2,0,0),0))　 　 　 ψ(0,ψ(1,1,0)+ω^α,0)
　C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0))　ψ(1,1,1)
　C(1,C(2,0,0)+α,0)　　 　 　 　 ψ(1,1,ω^α)
　C(1,C(2,0,0)+C(2,0,0),0)　　　 ψ(1,2,0)
　C(1,C(2,0,0)*α,0)　　 　 　 　 ψ(1,α,0)
　C(1,C(2,0,0)^2,0)　　　　　　　 ψ(2,1,0)
　C(1,C(2,0,0)^α,0)　　 　 　 　 ψ(α,0,0) (αは極限順序数)
　C(1,C(2,0,0)^C(2,0,0),0)　　　 Ψ
となりませんか？
C(2,0,0)^C(2,0,0)=C(0,C(0,C(2,0,0),C(2,0,0)),C(2,0,0))だと思うので、
C(2,1,0)どころかC(1,0,C(2,0,0))にすら達していないみたいですが。

85 ：

Zという値を定義してみた。
z=(十分に大きな自然数)
z以外の変数=(0以上の整数)
演算記号の結合法則(優先順位)
(a,b,c)=(a,(b,c))=((a,b),c)
(a+b,c)=((a+b),c)
(a,b+c)=(a,(b+c))
(a,b:0)=(a)
(a:0,b)=(b)
(a:b+1)=(a,a:b)
(a:b+c)=(a:(b+c))
(a+b:c)=((a+b):c)
(a,b:c)=(a,(b:c))
(a:b,c)=((a:b),c)
((a,b):c+1)=(a,b,(a,b):c)
(#a)=(a_{a},a_{a-1},a_{a-2},...,a_{3},a_{2},a_{1})
(a,#0)=(a)
(#0,a)=(a)

86 ：

Zの定義
f(0)=z
f(a+1)=f(a)+z
f(0:n+2)=f(z:n+1)
f(0:n+1,a+1)=f(f(0:n+1,a):n+1)
f(#c,b+1,0:n+1)=f(#c,b,z:n+1)
f(#c,b+1,0:n,a+1)=f(#c,b,f(b+1,0:n,a):n+1)
f([0])=f(z:z)
f([a+1])=f(f([a]):f([a]))
f([0],0:n+1)=f([z:z],z:n)
f([a+1],0:n+1)=f([f([a],0:n+1):f([a],0:n+1)],f([a],0:n+1):n)
f([0],#d,b+1,0:n)=f([z:z],#d,b,z:n)
f([a+1],#d,b+1,0:n)=f([f([a],#d,b+1,0:n):f([a],#d,b+1,0:n)],#d,b,f([a],#d,b+1,0:n):n)
f(0:n+1,[0])=f(z:n,[z:z],z:z)
f(0:n+1,[a+1])=f(f(0:n+1,[a]):n,[f(0:n+1,[a]):f(0:n+1,[a])],f(0:n+1,[a]):f(0:n+1,[a]))
f(#e,b+1,0:n,[0])=f(#e,b,z:n,[z:z],z:z)
f(#e,b+1,0:n,[a+1])=f(#e,b,f(#e,b+1,0:n,[a]):n,[f(#e,b+1,0:n,[a]):f(#e,b+1,0:n,[a])],f(#e,b+1,0:n,[a]):f(#e,b+1,0:n,[a]))
f(#e,[0:n+2],#d)=f(#e,[z:n+1],#d)
f(#e,[0:n+1,a+1],#d)=f(#e,[f([0:n+1,a]):n+1],#d)
f(#e,[#c,b+1,0:n+1],#d)=f(#e,[#c,b,z:n+1],#d)
f(#e,[#c,b+1,0:n,a+1],#d)=f(#e,[#c,b,f(b+1,0:n,a):n+1],#d)
Z=f(z:z,[z:z],z:z)

87 ：

>>84
訂正します。やはり、ψ(α+1,1,0)ではなくψ(α+1,0,0)が正しいようです。
　C(1,0,C(1,C(2,0,0),0))　　　　　ψ(0,ψ(1,0,0)+1,0)
　C(1,α,C(1,C(2,0,0),0))　 　 　 ψ(0,ψ(1,0,0)+ω^α,0)
　C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0))　ψ(1,0,1)
　C(1,C(2,0,0)+α,0)　　 　 　 　 ψ(1,0,ω^α)
　C(1,C(2,0,0)+C(2,0,0),0)　　　 ψ(1,1,0)
　C(1,C(2,0,0)*α,0)　　 　 　 　 ψ(1,α,0)
　C(1,C(2,0,0)^2,0)　　　　　　　 ψ(2,0,0)
　C(1,C(2,0,0)^α,0)　　 　 　 　 ψ(α,0,0)
　C(1,C(2,0,0)^C(2,0,0),0)　　　 Ψ
だと思います。
帰納的順序数で比較すると、
C(0,C(0,C(1,C(2,0,0)^C(2,0,0),0),C(2,0,0)),0)=ψ(0,0,Ψ)
でしょうか。
二変数ψと比較すると、
ψ_{ω^α_1+ω^α_2+…+ω^α_m}(ω^β_1+ω^β_2+…+ω^β_n)
=C(0,β_n,…C(0,β_2,C(0,β_1,C(1,α_m,…C(1,α_2,C(1,α_1,0))…)))…)
だと思います。

88 ：

>>84
> あと、例えばψ(1,1,0)とψ(1,2,0)の間には、
> ψ(1,1,0)＜ψ(0,ψ(1,1,0)+α,0)＜ψ(1,1,1)＜ψ(1,1,α)＜ψ(1,2,0)
> のような基数が存在しますが、
あらすみません。
よく定義を見ずに書いてしまいました。
>>86
f(#(e+1), [a], #(d+1)) の定義が無いような。

89 ：

>>84
> この時のψ2(1,0)がC(2,0,0)に相当するということでしょうか？
wikipediaにある普通の1変数のψは、突然Ωという順序数が現れます。
この順序数Ωは十分に大きく、十分にキリが良ければ絶対的な大きさはどうでもよく、
最小の帰納的でない順序数としても、
最小の非可算順序数としても、
もっとずっと大きな基数としても、
ψで作れる帰納的順序数の大きさに影響しません。
ψ(2,0,0) も、
{ 0, +, ψ(0,a,b), ψ(1,a,b) } で作れる順序数に比べて
十分大きく十分キリの良い順序数としておけば良いと思います。
たとえば、最小の到達不能基数であるとか。

90 ：

C(a,b,c) の場合、実際には作れる順序数はすべて可算です。
絶対的な大きさで比べるならば、すべてψ(0,1,0)未満です。
C(a,b,c) は、admissibility degree が a である順序数と記述されています。
正確な定義は判りませんが、意味的には、
e の admissibility degree が a+1 である <====>
e は e未満の順序数有限個と関数fと帰納的定義では作れない順序数である
（ただし、f(x) = 『xを超える最小の (degree が a) の順序数』）
のようなものと思っています。
C(1,0,0) = ω_1^CK
C(1,0,C(1,0,0)) = ω_1^CK
C(1,0,a) = 『aを超える最小のadmissibleな順序数』= 『aと帰納的定義で作れない最小の順序数』
C(1,0,ω_a^CK) = ω_(a+1)^CK
実際のCの定義は以上のようなものですが、
e の degree が a+1 である <====> e が a-到達不能基数 である
e の degree が a+1 である <====> e が a-Mahlo基数 である
などとしてもまったくCが作れる帰納的順序数の大きさは変わりません。

91 ：

>>87
訂正
> ψ_{ω^α_1+ω^α_2+…+ω^α_m}(ω^β_1+ω^β_2+…+ω^β_n)
> =C(0,β_n,…C(0,β_2,C(0,β_1,C(1,α_m,…C(1,α_2,C(1,α_1,0))…)))…)
にβ_i≧ψ_{ω^α_1+ω^α_2+…+ω^α_m+1}(0)という条件を追加します。
>>89
帰納的でない順序数の大きさを直接比較するのに意味がないのは分かっているので、
表記上の役割としてψ2(1,0)がC(2,0,0)に相当するかどうかという意味で書きました。
ψ(0,0,α)は帰納的順序数でC(1,0,0)未満の数に相当し、
ψ(0,α,β)はある順序数から帰納的に定義される順序数を作るためにcollapseさせて用いる、
より大きい順序数でC(2,0,0)未満の数に相当すると考えています。
ただ、より大きい順序数を作るためにψ(α,β,γ)を定義したものの、
それは役割的にはC(2,0,0)未満の数に相当するものでしかなかったので、
どのような役割をすればC(2,0,0)に相当するか知るために聞きました。
ψ2(1,0)はcollapseさせることでψ(α,β,γ)など、
C(2,0,0)未満に相当する帰納的に定義されない順序数が作れる(という構想だった)ので、
役割的にC(2,0,0)に相当するだろうか、ということです。
ただ、Dmytro氏の記法はAn Ordinal Notationの時点でも、
今までこのスレに出てきた帰納的順序数よりずっと大きな帰納的順序数が表せるようだということが分かったので、
むやみにこれ以上ψの拡張を考える前に、Dmytro氏の表記を正しく理解すべく努力しようと思っています。
7-389の「ψ_a(0)がAn Ordinal NotationのC(a,0,0)に相当する」という意味の発言に
このスレの>>81まで誰も異を唱えなかったということは、
それまで誰もDmytro氏の表記を正しく理解していなかったということですし。

92 ：

Dmytro氏のAn Ordinal Notationで表される順序数の収束列を定義しました。
ただし、細かくチェックをしていないので間違いがあるかもしれません。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/183328.txt
間違いさえなければ、今までこのスレで出てきた収束列の定義のある帰納的順序数の中では最も大きく、
これを用いて定義される関数は、今まで出てきた計算可能な関数の中で最も巨大なものになります。
>>91
さらに訂正
C(0,C(1,0,0),C(0,C(1,0,0),0))=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))ですが、
C(0,C(1,0,C(1,0,0)),C(0,C(1,0,C(1,0,0)),0))=ψ_0(ψ_2(0)+ψ_1(ψ_2(0)))となり、
C(0,C(0,C(1,0,C(1,0,0)),C(1,0,C(1,0,0))),0)=ψ_0(ψ_2(0)+ψ_2(0))となるようです。
なので、そう簡単にはψとCの書き換えはできないようです。

93 ：

さすが。
数日で理解して収束列定義まで完成させてしまいましたか。
今後はΩの追加、Ω_n の追加と進んで行って、
最終目標は最後の章のC(a, b, c)の収束列定義でしょうか。
>>92 についていくつか疑問、質問があるのでお願いします。
○ 大小比較、
元のドキュメントでは、C(a, b, c) の a, b が最大であれば良いように書かれていますが、
>>92 では c, f が最小であるという条件が加わっています。
この条件は必要でしょうか？
○ standard representation
各収束列からは標準形でないものが生まれにくいような感じがするのですが、
H[C(0,X,0)](n) を求める上で標準形でない形が生まれる場合がありますか？
○ 誤植
subst_arg1(...,x) / subst_arg3(...,x)
x は不要ですよね？

94 ：

>>92
案の定、問題点があったので訂正したものをアップしました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/183811.txt
C(pred(subst_arg1(c)),subst(c,C(pred(subst_arg1(c)),0,subst_arg3(c))),subst_arg3(c))と
C(d,subst(c,C(pred(subst_arg1(c)),0,subst_arg3(c))),e)を比較して場合分けをしていましたが、
これだと例えばC(0,C(2,0,0),C(1,C(1,0,0),0))で問題が生じます。
C(pred(subst_arg1(c)),c,subst_arg3(c))とC(d,c,e)で比較すればおそらく問題ないと思いますが、
きちんと確かめたわけではありません。
>>93
> ○ 大小比較
c,fは最小でなくとも大小比較には問題ないようです。
結局のところ、(aは常に最大なので)bさえ最大であれば、
standard representationであろうとなかろうと大小比較はできます。
> ○ standard representation
きちんと確かめたわけではありませんが、標準形でない形はおそらく出ないと思います。
標準形でない形が出る可能性のある箇所としては、
cの中にf(x)という形の順序数が出てきて、f(x)＞C(subst_arg1(c),0,subst_arg3(c))かつx＞cだと、
{C(d,c,e)}'_{n+1}=subst(c,C(pred(subst_arg1(c)),{C(d,c,e)}'_n,subst_arg3(c)))
のC(pred(subst_arg1(c)),{C(d,c,e)}'_n,subst_arg3(c))が標準形でなくなることがあり得ます。
ただ、このときC(d,c,e)が標準形であるためにはf(x)＜C(d,c,e)となる必要があり、
C(subst_arg1(c),0,subst_arg3(c))＜C(d,c,e)となります。
すると、C(d,c,e)＞C(pred(subst_arg1(c)),c,subst_arg3(c))となり、
もう一つの規則の方が適用されるので問題は生じないかと思います。
> ○ 誤植
コピペした時に消し忘れただけなので、xは不要です。

95 ：

比較の条件だけじゃなくて、
収束列が微妙に変わったのは、
こっちの方が値がきれいになるからですか？
前の方が定義が簡単そうですが。

96 ：

>>95
C(d,c,e)=C(pred(subst_arg1(c)),c,subst_arg3(c))のとき、
どちらでも収束列が同じになるようにしたかっただけです。
同じにする必要性はありませんが。

97 ：

きちんと検証せずに類推で書いたので正しいか保証はできませんが、
A Stronger Ordinal Notationの収束列を定義しました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/184484.txt

98 ：

>>92 で作られる順序数の
標準形判別、標準形化、収束列の表示などを行うツールを作りました。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/184531.lzh

99 ：

>>97 の C(Ω*a+b, c) が >>94 の C(a,b,c) に対応するので、
C(X,0) は帰納的じゃない、もっとずっと大きな順序数だと思う。
C(C(X,0),0)
こうしなきゃいけないんじゃ？

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