★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問

1 ：10/10/15 〜 最終レス ：11/11/30

理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
前々スレ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/

2 ：

自然数の数列{a[n]}で全ての自然数nに対してa[n+1]はa[n]の倍数であり
0.20101022=Σ[n=1,∞] 1/a[n]
となるものが存在することを示せ

3 ：

>>2
明らか

4 ：

1 と 0 の数字が合計で n 個一列に並んでいる。
最低 1 個は 0 があるとする。
次の規則にしたがって 0 を取り除いていく。
1．0 が複数個ある場合は、残りが 1 だけにならない限り
どれを選んで取り除いてもよい。
2．取り除いた 0 が端にない場合は、その取り除いた 0 の両隣が
0 なら 1 に変え、1 なら 0 に変える。
3．取り除いた 0 が端ならば、その片隣が 0 なら 1 に変え、1 なら 0 に変える。
4．最後の 1 個になるまで続ける。
このとき、最初の並びが同じならば、最後はいつも同じ数字になる事を示せ。

5 ：

つまらん

6 ：

>>2
a[n+1] > a[n] でつね。
2進法で表わせば
　0.00110011011101010110011111100001000011111100111111

7 ：

文句ぎりいってる奴は解いてからいえよ、ｸｽﾞ

8 ：

このスレの住人で解けないやつはいない

9 ：

君はどこでほえてるの？
頂上？
谷底？

10 ：

もしかして>>4を出した人？
悔しかったの？

11 ：

>>10
>>7

12 ：

出す問題もカスだし性格もカス

13 ：

今後の流れ
1．>>5=>>8 がもったいぶりながら自慢の回答を披露
2．回答に致命的な瑕疵が見つかる
3．訂正を試みるも撃沈
4．何事もなかったように退散
5．以後数日はROM専
6．ほとぼりが冷めた頃こっそり復帰
7．1．〜6．を繰り返す

14 ：

>>13
土下座して解いてくださいとお願いしろ

15 ：

>>4
１． が曖昧な件

16 ：

数学的帰納法で示せる

17 ：

a[n]=n!
a^-1=n!^-1

18 ：

>>2
0.20101022 ＝ 2/10 + 1/10^3 + 1/10^5 + 2/10^7 + 2/10^8
　　　　　　　 ＝Σ[n=1〜5]1/a[n]
と置く。n＝1,2,3,4,5 について
a[n]＝10^{kn}/b[n]　(b[n]＝1,2　knは狭義単調増加の自然数列)
という形をしているので、a[n]は自然数であること、及び
a[n]｜a[n+1] であることが簡単に言える。また、
1/a[5] ＝ 1/a[5](1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋･･･)
　　　 　＝ Σ[n＝1〜∞]1/(a[5]*2^n)
なので、数列A[n] を
A[n] = a[n]　(n＝1,2,3,4)
A[n] = a[5]*2^n　(n≧5)
と置くと、A[n]は自然数列であり、かつA[n]｜A[n+1] となることが
簡単に分かる。そして 0.20101022 ＝Σ[n=1〜∞]1/A[n] である。

19 ：

>>6見て気づいたけど、2進法で無限小数展開すれば自然に題意を満たす……
>>4
数字が1つの状態で、逆向きの手順によって数字の個数を増やすことを
考えると、この作業は98年の東大後期の数学3(2)と同じ作業であることが
分かる。しかも3(2)より かなり強いことを主張している。すなわち、
初期状態が○の状態でマルの個数をn個まで増やしたときと、
初期状態が●の状態でマルの個数をn個まで増やしたときでは、
同じマルの配列が得られることは無い
ということを主張している。わからん(＾q＾)

20 ：

このスレもレベル落ちたな

21 ：

>>4
0が1個のときは4が適用されてなにもせずに終り、でいいのか？

22 ：

Σ1/n!=eを証明しなさい。世界で2番目に短いテスト問題

23 ：

>>16=>>20
そういうの、もういいから

24 ：

>>23
え？お前示せないの？

25 ：

俺は示せるよ

26 ：

俺も

27 ：

m, nを自然数とする
|36^m−5^n|の最小値を求めよ

28 ：

11
はい論破

29 ：

じゃあ、俺も

30 ：

>>29
どうぞ、どうぞ

31 ：

>>19
を見た限りでは、入試数学最難問といわれた問題の一般化を
>>5があの短い時間で解けたとは到底思えない。

32 ：

すでに知っていたし
>>4=>>31

33 ：

そういうのいいから

34 ：

後だしジャンケン必勝法ですか？

35 ：

書きたくてうずうずしてしょうがないが、今更嬉しがって書けないか．．．
他行ってくれよw

36 ：

数学的帰納法

37 ：

言うほど難しくないからちゃんと考えなさい

38 ：

『え、いつ解けたの？』
『きにょう』

39 ：

出題者以外で煽っているやついるの？ｗ

40 ：

1.があるから問題が成り立っているけど1.があるから難しくない

41 ：

朝まで講釈垂れてなさい

42 ：

むしろ出題者がわかってないんじゃね？

43 ：

∫[0, π]e^x |sin nx|dx

44 ：

00000
0001
101
00000
0001
010
00

45 ：

>>43
このスレの住人にはちょうどいいレベルだね

46 ：

>>44
おいやめろ

47 ：

1010001
101111
1010001
000001
…

48 ：

>>47
だからやめろ

49 ：

>>27>>43
解けました

50 ：

>>4
文意がいい加減過ぎる。
出直しだよ。。

51 ：

円周上にm個の赤い点とn個の青い点を任意の順序に並べる。
これらの点により、円周はm+n個の弧に分けられる。
このとき、これらの弧のうち両端の点の色が異なるものの数は
偶数であることを証明せよ。ただし、m≧1、n≧1であるとする。

52 ：

5つの整数が小さい順にA.B.C.D.Eと並んでいます。
このうち2つずつの整数を取り出して加えると、その和は次の8種類の数となります。
17.22.25.28.31.33.36.39
このとき、B＋Cはいくつですか。
また、5つの整数A.B.C.D.Eの平均はいくつですか。
制限時間3分 立教中入試問題

53 ：

25
14.5

54 ：

25
14.2

55 ：

>>53>>54正解
で何分で解けた？

56 ：

失礼>>54だけ正解
おい>>53！

57 ：

>>55
1分半くらい

58 ：

平均×5=自然数だから14.5はない

59 ：

私は-5秒だ

60 ：

>>43
　∫[0,π] e^x |sin(nx)| dx = Σ[k=0,n-1] (-1)^k ∫[kπ/n, (k+1)π/n] (e^x)sin(x)dx
　　　　= Σ[k=0,n-1] (-1)^k a_k, とおく。

　∫(e^x)sin(x)dx = (e^x){sin(x)-cos(x)}/2 = (e^x)sin(x-π/4)/√2,

a_k = ∫[kπ/n, (k+1)π/n] (e^x)sin(x)dx
　　= [ (e^x){sin(x-π/4)}/√2 ](x=kπ/n, (k+1)π/n)
　　= e^((k+1)π/n){sin((k+1)π/n - π/4)/√2 - e^(kπ/n)sin(kπ/n - π/4)/√2,
>>55
8.5時間ぐらいだが何か

61 ：

>>4
>>19の要領で，
初期状態が○の状態でマルの個数をn個まで増やしたときの並び方を ａｎ 通り．．．�@
初期状態が●の状態でマルの個数をn個まで増やしたときの並び方を ｂｎ 通り．．．�A
とする（左右は区別する）と，
ａ（ｎ+1）＝ａｎ＋２ｂｎ＋１
ｂ（ｎ+1）＝ａｎ
より，ａｎ＋ｂｎ＝2＾ｎ−1
よって�@と�Aは重複しない

62 ：

>>60
>>52の書き込みから8.5時間も経ってないが

63 ：

>>61
＞ａ（ｎ+1）＝ａｎ＋２ｂｎ＋１
＞ｂ（ｎ+1）＝ａｎ
なんでこうなるの？

64 ：

出題者が馬鹿だから

65 ：

一人必死で張り付いている奴がいて笑えるw

66 ：

>>65
統合失調症か？

67 ：

既知外が住み着いて誰も寄り付かなくなったw

68 ：

7 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2010/10/23(土) 10:15:01
文句ぎりいってる奴は解いてからいえよ、ｸｽﾞ

69 ：

文句ぎりって愛知の方言だっけ？

70 ：

>>67
ちゃんとした問題だせ

71 ：

単芝

72 ：

ｆ（ｘ）が２ｎ次の整式のとき、関数 ｙ＝ｆ（ｘ） のｸﾞﾗﾌは極値を奇数個持つ事を示せ。

73 ：

>>2=>>4=>>72

74 ：

>>72
いいかげんにしろ

75 ：

荒れすぎ
>>72
死んだほうがいいよ

76 ：

>>72
はいはいワロスワロス

77 ：

2n+1以下の奇数の総積をTとし、T/(2k+1)=T[k](k=0,1,…n)とする。
このとき、�納0〜n](-1)^k*T[k]*[n]C[k]=(2n)!!を示せ。

78 ：

>>72
　f(x) が極値を持つ。　⇔　f '(x) の符号が反転する。

f '(x)は2n-1次の整式で、
　x→-∞ で f '(x) < 0,　x→∞ で f '(x) >0,
　この間で 奇数回 符号が反転する。

79 ：

>>72
f(x)のx^(2n)の係数が正のとき
f(x)は連続でlim(x→-∞)f(x),lim(x→+∞)f(x)のいずれも+∞なので
f(x)の増減はxの値が小さい方から見ていくと
減少、増加、減少、・・・・、増加となる。
極値を取る点は増減の変わり目であるから ｙ＝ｆ（ｘ） のｸﾞﾗﾌは極値を奇数個持つ
f(x)のx^(2n)の係数が負のときも同様

80 ：

なんか直感的過ぎかなぁ

81 ：

お前らバカすぎ
反論
x^4-x^3

82 ：

x→±∞　f(x)→±∞から明らか

83 ：

>>82
正解

84 ：

>>27
はやくしろ

85 ：

関数f(x)は次のような性質を持つ
f(x)>0
単調増加
上に凸
このとき
f(x+1)/f(x)は単調減少関数であることを示せ

86 ：

>>85
多分高校生スレでインスパイアされただろ

87 ：

だろうな
log(x+1)/log(x)が単調減少ってすぐに分かるの？

88 ：

>>85
{f(x+1)/f(x)}'={f'(x+1)f(x)-f(x+1)f'(x)}/{f(x)}^2 …(1)
ここで
f'(x)/f(x)について{f'(x)/f(x)}'={f''(x)f(x)-{f'(x)}^2}/{f(x)}^2≦0
(∵条件よりf(x)>0かつf''(x)≦0)
よってf'(x)/f(x)は単調減少なので
f'(x+1)/f(x+1)≦f'(x)/f(x)
任意のxに対しf(x)>0より
f'(x+1)f(x)≦f(x+1)f'(x) …(2)
(1)(2)より題意は示された

89 ：

M(x):=f(x+1)/f(x)
Let h>0
M(x+h)-M(x)=f(x+1+h)/f(x+h)-f(x+1)/f(x)=(f(x+1+h)f(x)-f(x+h)^2)/(f(x)f(x+h))
分子＝-(1/4)(f(x)-f(x+h+1))^2 <=0
(because 上に凸 ＝＝＞f(x+h)>=1/2 (f(x)+f(x+h+1)) )
so M(x+h)-M(x) <=0
M(x) is monotonously decreasing function.

90 ：

>>85
f(x)≠0
上に凸
でいい

91 ：

>>88
微分可能なんて…

92 ：

log_{4}(5)とlog_{5}(6) 大小関係

93 ：

(because 上に凸 ＝＝＞f(x+h)>=1/2 (f(x)+f(x+h+1)) )
-->
f(x+h)>=tf(x)+(1-t)f(x+h+1), here t=h/(1+h) and 0<t<1 for h>0
分子<= -(tf(x)-(1-t)f(x+h+1)^2<=0
so M(x+h)-M(x) <=0

94 ：

O(0, 0), A(1, 0)
x^2+y^2=1上の動点P, Q

95 ：

>>81
>>81
>>81

96 ：

81にとっては4は奇数なんだろう

97 ：

a[1],…,a[2010]が2010の約数であるときa[1],…,a[2010]からいくつか選びその和が2010であるようにできることを示せ

98 ：

まず2010の約数が2010個もないのにどうa[k]を定義してんだよ

99 ：

>>98
あほ
重複

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