四則演算、log（自然対数）、三角関数、タワー表記（クヌースの矢印表記）など
の使用もOKです
３＾３３がでかいのか･･･。
それのtanをとれば終了じゃね？？
π≒３だから π／２ に近い数は出来るね
↑をいくらでも使っていいのなら、どんなに大きな数も作れてしまう。
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猫
((3!)!)! とか、繰り返せばいくらでも大きくできるが
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猫
単位を駆使すればこういうせこい事も出来るな
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猫
tan(tan(3))
tan(tan(tan(3)))
...
常用対数で
|log 3|^{-1}
|log|log 3||^{-1}
|log|log|log 3|||^{-1}
...
あるいは
exp(3)
exp(exp(3))
exp(exp(exp(3)))
...
大きい順に並べるのは無理だけど，小さい順に並べるのも無理そうだね．
むずいな｡｡｡
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猫
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猫
[Sinh(((3!)!!)/3!+.3)]=2011
3!/(3+3)
(3+3)/3
3+3-3
(3!+3!)/3
3!-3/3
3*3-3
3!+3/3
3!+3!/3
3+3+3
すごい！
ピタリ賞
３を３個使って作れるもっとも大きな数は？
３！↑３！↑↑３！であってる？
自分のレス番号数を作る！っていうのは面白いかも。
とりあえず
３＾３ー３＾０＝２６
０は使わない！
3!-(3+3) ＝０
3!/(3+3) ＝１
(3+3)/3 ＝２
3+3-3 ＝３
(3!+3!)/3 ＝４
3!-3/3 ＝５
3*3-3 ＝６
3!+3/3＝７
3!+3!/3 ＝８
3+3+3 ＝９
３＾３＋３＝３０
(3!+3!)^3=1728
[exp(3) * sinh(3) * sinh(3)] = 2015
[Sinh[3]^3.3]=2007
[Sinh(((3!)!!)/3!+3)]=2011
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猫
(3/3)^3=1
(3+3)/3=2
3*3/3=3
(3!+3!)/3=4
3!/3+3=5
3*3-3=6
3!+3/3=7
3!+3!/3=8
3+3+3=9
とりあえず1桁
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猫
せこいな
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猫
極力、３３や３３３は使わない方針で。数式の美しさに欠ける気がする。
たまたま１０進表示だから３３－３で良いが
別の進法なら駄目だ。
ところが１０進表記の３３を表すとき
３＾３＋３であれば、４進以上であれば、何進表記であっても
１０進表記の３３を表すことが出来る
ところが１０進表記の３０を表すとき
３＾３＋３であれば、４進以上であれば、何進表記であっても
１０進表記の３０を表すことが出来る
> １０進表記の３３を表すことが出来る
①３を２個使って四則演算で出来る数を考える。
その数の 三角関数 指数対数 などを考える
②あと１個の３を使って出来ることは・・・
３を足す ３を引く ３倍する ３で割る
ここの３を ３！ √３ Sin３ log3 などに置き換えてみる
いったい何通りくらいの可能性が･･･ 記号は無限に使えてしまうからなぁ
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猫
関数はどこまで使えるの、微積したのとか俺様関数とかどうなん
ハイパボリックとかチートだよねぇ
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猫
別にいいじゃん
3*3+Γ(Γ(3))
(3!)!!/3!+3
3*3+3
3!+3!+Γ(Γ(3))
3!+3!+Γ(3)
3!+3!+3
(3!)!/((3!)!!-3)
3*3!-Γ(Γ(3))
3!+3!+3!
3*3!+Γ(Γ(3))
3*3!+Γ(3)
3*3!+3
(3!)!!/3+3!
((3!)!!-Γ(3))/Γ(3)
3*3!+3!
((3!)!!+Γ(3))/Γ(3)
(3!)!!/Γ(3)+Γ(3)
3*3*3
3^3+Γ(Γ(3))
3^3+Γ(3)
3!*3!-3!
[3*Cosh(3)+Tanh(3)]
((3!)!!+(3!)!!)/3
3!*3!-3
3!*3!-Γ(3)
3!*3!-Γ(Γ(3))
3!*(3+3)
3!*3!+Γ(Γ(3))
3!*3!+Γ(3)
3!*3!+3
(3!)!!-3!-Γ(3)
(3!)!!-3!-Γ(Γ(3))
(3!)!!-3-3
(3!)!!-3!+Γ(Γ(3))
(3!)!!-Γ(3)-Γ(3)
(3!)!!-3/Γ(Γ(3))
(3!)!!-3!/3
(3!)!!-3/3
(3!)!!+3-3
(3!)!!+3/3
(3!)!!+3!/3
ガンマ関数あるとだいぶ楽だな
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猫
Γ関数を使わなければならない事はない。
使ったのが最初に見つかったから、示しただけ。
(3!)!!/3-3!
(3!-3)/.3
Log(3)/Log(√√3)+3!
Log(3)/Log(√√√√3)-3!
Γ(3!)/(3!+3!)
まず使用する関数：
sin(x)、cos(x)、tan(x)
asin(x)、acos(x)、atan(x)
exp(x)(=e^x)、ln(x)(=log_e(x)）、sqrt(x)(=√x）
1.以下の直角三角形ABCを考える。
底辺AC=1、高さBC=x、∠A：底辺と斜辺の成す角、∠C=90ﾟ
このときx=tan(A)よりA=atan(x)、cos(A)=sin(B)よりB=asin(cos(A))
2式より1/x = tan(B) = tan(asin(cos(atan(x))))
ここでxの逆数1/xをinv(x)と定義する。
inv(x) = 1/x = tan(asin(cos(atan(x)))) （ただしx>0)
また、以下の関数を定義する。
hf(x)= x/2 = ln(sqrt(exp(x)))
db(x) = 2x = inv(1/(2x)) = inv((1/2)(1/x)) = inv(hf(inv(x))) (x>0)
sq(x) = x^2 = exp(ln(x^2)) = exp(2ln(x)) = exp(db(ln(x))) (x>0)
底辺AC=1、高さBC=sqrt(x)、∠A：底辺と斜辺の成す角、∠C=90ﾟ
三平方の定理よりAB^2=1^2+(√x)^2 = x+1
cos(A) = 1/ABよりAB = 1/cos(A)
tan(A) = sqrt(x)よりA = atan(sqrt(x))
2式より AB = 1/cos(atan(sqrt(x))) =inv(cos(atan(sqrt(x))))
AB^2 = x+1 = sq(inv(cos(atan(sqrt(x)))))
ここでsuc(x) = x+1 = sq(inv(cos(atan(sqrt(x))))) (x>0)
が定義できる。すなわちsuc^n(x) = x+n が成り立つため、
x=3のとき3以上の全ての自然数が生成可能となる。
またsuc(x)を構成する関数には全て逆関数が存在するため
suc^(-1)(x) = x-1 が定義可能である。(x>0)
すなわちx=3のとき、3未満の自然数が生成可能である。
さらにx>0のとき、ln(inv(exp(x))) = -xとなること、
x=1のときln(x)=0であることから、自然数xから(初等関数の
有限回の組合せで）任意の整数nが生成可能である。
(例えば、2011＝suc^2008(3)となる）
つまり2つの"3"と有限回の関数の組合せで、任意の有理数が生成可能。
でもちょっと面白味に欠けるかな、こういうのは。
それを底辺にして高さ１の直角三角形を書くと斜辺に√３
それを底辺にして高さ１の直角三角形を書くと斜辺に√４
．．．とアンモナイトみたいな図を書く方法を利用したんですね。
ところで、suc(x)を陽に表すと、
suc(x)=x+1=exp(1/log(sqrt(exp(1/log(1/cos(atan(sqrt(x))))))))
ですよね。inv(x)がネックとなって、このままだと、３は一つで済みますが、1を三つ使っている事になるのでは？
＞inv(x) = 1/x = tan(asin(cos(atan(x))))（ただしx>0)
inv(x)もただの三角関数の組合せなので、
数字を1つも使ってないことになります。
x+1=exp(tan(asin(cos(atan(log(sqrt(exp(tan(asin(cos(atan(log(tan(asin(cos(atan(cos(atan(sqrt(x))))))))))))))))))))
と表現できますね。
すべての数字が作れるの？
ガウス記号を使ってよければ、3^{2^m}を作ってから逆数とって2^k倍することでも
1つの3によって任意の自然数を作れるね。
分母が2のベキの有理数も作れる。
逆数をとって2のベキ倍することで1つの3で任意の有理数が作れる。
ｎ＝１の時・・・＋、－、÷、× などの演算子が使えないが
どこまでの数字を作れるだろう。
０＝ｌｏｇ１
１＝１！＝√１
２＝ すでにここで躓いた･･･ ａSin１÷ａtan１ １を２こ使ってしまった
>60, 61
で全て解決なわけ
2 = suc(1)
3 = suc^2(1) = suc(suc(1))
N+1 = suc^N(1)
>>50-52あたりの流れに戻そうぜ
こっちの方が冗長にならなくて良いね。
マイナスを付けると言う発想が全くなかった。お恥ずかしい。
と言うわけでちと修正。
>>60
1.以下の関数を定義する。
inv(x) = 1/x = exp(-(ln(x))) (x>0)
hf(x)= x/2 = ln(sqrt(exp(x)))
db(x) = 2x = inv(1/(2x)) = inv((1/2)(1/x)) = inv(hf(inv(x))) (x>0)
sq(x) = x^2 = exp(ln(x^2)) = exp(2ln(x)) = exp(db(ln(x))) (x>0)
>>61
＞またsuc(x)を構成する関数には全て逆関数が存在するため
誤：逆関数が存在する → 正：逆関数が定義されている
＞suc^(-1)(x) = x-1 が定義可能である。(x>0)
誤：(x>0) → 正：(x>1)
＞さらにx>0のとき、ln(inv(exp(x))) = -xとなること
マイナス付ければいいだけなのでこれ要らない。
一つの数字を表す方法が幾つも存在しうる。
その中で、「美しい」と思えるものを選択するため、各演算に「コスト」というものを設ける。例えば↓
足し算＋：１
引き算、負号－：２
かけ算×：１０ （かけ算が省略されている場合もカウントする）
割り算÷：１１
よく見る演算√,！,!!,P(m,n),C(m,n),[],.：順に１００～１０６
初等関数：１０００
特殊関数：１１００
みたいな感じ
なお、括弧“(”、“)”は、演算ではなく、順番を指定したり、明確にしたりする際に
用いるものなのでコストは０、初等関数同士の四則演算作られる関数も初等関数と定義されるので、
>>72の関数も一つの初等関数とする。
(例えば単純なsucの繰り返しだとn)
使用する演算記号はより少ない方が良い
これでいいんじゃね？ルールは単純明快なのが一番。
「>>51に『31=[3*Cosh(3)+Tanh(3)]』とあるけど、
『31=33-Γ(3)』の方がいいんでない？」て感じで
出すだけ出して後から塗り替えていく形で良いと思う。
あんまり制限設けると出来るものも出来なくなっちまうよ。
“＋”や“÷”も f(a,b)=a+b、g(a,b)=a/bという一つの関数として扱い、
全体の関数の使用回数の少ない方を選択するという事だと思う。
この場合、ガンマ関数も、プラス関数も同じコストとして扱う事になるが、
俺としては、“美しさ”を求めたい気分がある。
10を表す方法として、
3+3+suc(3)=f(f(3,3),suc(3))
(3!)!!/3-3!
(3!-3)/.3
Log(3)/Log(√√3)+3!
Log(3)/Log(√√√√3)-3!
Γ(3!)/(3!+3!)
3*3+Γ(Γ(3))
[3√3!]+3
[sinh(3)+tanh(3)+cos(3)]
[sinh(3)-cos(3+tan(3))]
等、たくさん考えられるが、俺には、(3!)!!/3-3!が一番“美しく”見え、
それを実現するためには、作為的かも知れないが、関数毎に、別々のコストを与える方を望みたい。
四則演算と、!,!!,^ 等、予めキーボードに登録されている記号で示されるよく知られている関数
については、関数としてカウントせず、という扱いも良いかも知れない。
しかし、単純に「一般関数の使用回数の少ない方」では、
2=(suc(3)+suc(3))/suc(3)
2=Γ(3)*Γ(3)-Γ(3)
に優越をつけられない。
ルールの単純化を掲げて、使用回数を最大考慮事項にしたとしても、その他に何かの基準を
設ける必要があると思われる。
例えば、予め関数や演算に序列を与えておくのも良いかも知れない。
こうすれば、第一基準として関数の使用回数で比較、同じ場合、序列を基準に優越をつけられる。
ただ演算子ごと、関数ごとにコストを別々に決めるとなると
今度は「じゃあどの関数（演算子）が美しいのか」に
論点が持っていかれてグダグダな流れになってしまう。
ここは広義的に大別して
四則演算子：コスト無（3つの数しか扱わない為、2項演算子を使うのはたかだか2回）
その他の演算記号（ルート、べき乗、階乗など）：コスト低
小数点、無限小数（.3=0.3、.3'=0.333…=1/3)：コスト低
数字を2つ繋げて2桁の数にする：コスト中
初等関数（三角関数、対数など）：コスト高
特殊関数（Γ関数、ガウス記号など）：コスト高
てな感じで話を進めるのが良いのではなかろうか。
ランダウの記号でのオーダーをいっているのか？
ファクターと対をなす意味でのオーダーをいっているのか？
どちらの場合でも、正確に順位付けをする立場では、あまり重要なものではないと考えたのだが、別の意味？
教科書形式の数式表記を使って教えてください。
分かりそうで、こんがらがる・・・
自然数ｎから(初等関数の有限回の組合せで）任意の整数ｍが生成可能である。
使う自然数ｎの個数については言及出来ませんか？
ｑ個の自然数ｎを用いて(初等関数の有限回の組合せで）任意の整数ｍが生成可能である。
といえますでしょうか？
>>60-61が示すのは、任意の自然数nと任意の整数mについて
f(n)=mを満たす関数f(x)を、初等関数の有限回の組合せで
構成することができるということ。決められた関数を
使えさえすれば、1つの自然数nで任意の整数mが生成できる。
個数を言及するもしないも、1個あれば十分ってこと。
任意の有理数が作れてしまえば好きな桁まで一致できるんだよな。
３を３コ使った漸化式で素数をよりたくさん生成するものを探そうというのはどう？
CosＡ=AC/AB、TanＡ=BC/AC なので
Ａ=ArcCos(AC/AB)=ArcTan(BC/AC)
だが、AC=1,BC=√n,AB=√(n+1)という直角三角形を考えると、
ArcCos(1/√(n+1))=ArcTan(√n)
のようになり、n+1 と n が√、逆数、ArcCos、ArcTanを介して繋がった事にあります。
そして、上を n+1 ＝ の形に変形すると、逆数を求める関数や、二乗を行う関数等が
必要になるが、>>60のようにすれば、それらが、初等関数の組み合わせで、実現できるというものです。
それぞれの表現方法について、ポイント Σ[k=0,5]a(k)*10^k を計算し、少ない方を採用する。
なお、a(k)は、以下の分類による、Lv.kの演算子、関数の使用回数。
《分類》
Lv.0：+,-,*,/
Lv.1：!,!!,^,√,C(n,m)=n!/(m!(n-m)!),P(n,m)=n!/(n-m)!,H(n,m)=C(n+m-1,m)
Lv.2：小数点“.”,無限小数のドット“`”,[数字の連結](33のような使用法)
Lv.3：指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数、双曲線関数、逆双曲線関数
Lv.4：一般的に認知のある関数でLv.0～3、Lv.5以外のもの
Lv.5：ガウス記号[]
ポイントが同じ場合には、序列（+,-,*,/,!,!!,^,√,...,[]の順で、上位のものが多くある方を採用）に従う。
コストを計算する必要が無く、感覚的に理解できるものだと思います。
とりあえず>>87に準じて埋めていってみる
0=(3-3)*3 [2]
1=3^(3-3) [11]
2=(3+3)/3 [2]
3=3+3-3 [2]
4=3+3/3 [2]
5=3!+3/3 [12]
6=3*3-3 [2]
7=3!+3/3 [12]
8=(3!/3)^3 [21]
9=3+3+3 [2]
10=(3!)!!/3-3! [32]
11=(3!)!!/3!+3 [32]
12=3*3+3 [2]
13=(3!)!!/3-3 [32]
14=(3!)!!/3!+3! [42]
15=3*3+3! [12]
16=(3+3)!!/3 [12]
17=((3!)!!+3)/3 [22]
18=(3+3)*3 [2]
19=(3!)!!/3+3 [22]
20=(3!)!/(3!*3!) [42]
22=(3!)!!/3+3! [32]
23=3!/.3+3 [112]
24=3!*3+3! [22]
25=3^3-inv(cos(atan(√3))) [4022]
26=3!/.3+3! [122]
27=3*3*3 [2]
28=(3!)!!-3!/.3 [132]
29=ln(3)/ln(√√√√√3)-3 [2052]
30=3^3+3 [11]
31=33-inv(cos(atan(√3))) [4112]
32=((3!)!!+(3!)!!)/3 [42]
33=3^3+3! [21]
34=(3!-.3')*3! [122]
35=(3!-inv(3!))*3! [2033]
36=3!*(3+3) [12]
37=(3!+inv(3!))*3! [2033]
38=(3!)!!-3/.3 [122]
39=(3!)!!-(3*3) [22]
40=(3!)!!-(3!)!!/3! [52]
※inv(x) = 1/x = exp(-ln(x)) [2001]
とりあえず感じたことは、ガンマ関数のレベルを下げてやらないと
三角関数や対数関数の羅列で冗長になり逆に見苦しくなるのでは。
（特に25,29,31）
Lv.2あたりに属するのが妥当ではないかなと。
42=3!*3!+3! [32]
43=Γ(3!)/3+3 [10012]
44=(3!)!!-(√((3!)!!/3)) [52]
45=(3!)!!-3!+3 [32]
46=(3!)!!-3!/3 [32]
47=(3!)!!-3/3 [22]
48=(3!)!!+3-3 [22]
49=(3!)!!+3/3 [22]
50=(3!)!!+3!/3 [32]
51=(3!)!!+3!-3 [32]
52=(3!)!!+√((3!)!!/3) [52]
53=(3!)!!+3+Γ(3) [10022]
54=(3!)!!+3+3 [22]
55=(3!)!!+3!+Γ(Γ(3)) [20032]
56=(3!)!!+(3!)!!/3! [52]
57=(3!)!!+3+3! [32]
58=(3!)!!+3/.3 [122]
59=(Γ(3!)-Γ(3))/Γ(3) [30012]
60=(3!)!!+3!+3! [42]
ガンマ関数はLv.3として扱うくらいで良いと思った。
Lv.4以上にしてしまうと2=inv(cos(atan(√3))) [4002]を多用して
しまうので面白味がなくなってしまう。
24=3^3-3 [11] （以下ポイント優位なもの）
42=(3!)!!-3-3 [22]
45=(3+3)!!-3 [12]
51=(3+3)!!+3 [12]
57=(3!)!!+3*3 [22]
あと、三角関数にはsec(x)=1/cos(x)と言うものも用意されている事を思い出すと、
2=sec(atan(√3)) [2010]で良いですね。
>> ガンマ関数はLv.3として扱うくらいで良いと思った。
Γ関数をLv.3とすると、
2=Γ(3) [1000]
1=Γ(Γ(3)) [2000]
のように、低コストで実現できるので、ほとんどのsec-atan系はΓ系に取って代わられそうな気がします。
初等関数も特殊関数も同じレベルにするというのには、どちらかというと賛成です。
が、Γ関数ばかりが、のさばるのも思考を単純化させ面白味に欠けると思います。
本来なら、コストとか、ポイントでなんとか上手くバランスが取れればいいのですが、しばらくの間は、
レベルを同じにした上で、Γ関数の使用を認めるパターンと、認めないパターンの両方を考えてはどうでしょう。
＞ほとんどのsec-atan系はΓ系に取って代わられそうな気がします
とは言え、Γ関数を高コスト(Lv.4)にしてしまうと、2=Γ(3) [10000]は
基本的に安価な2=sec(atan(√3)) [2010]に取って代わられることになり、
これを含む数式は冗長になり、まず見た目が"美しく"無くなると言う欠点を
孕む気がしてなりません。式の"美しさ"を追求すると言う目的でそれの
数値化が「コスト」という形でなされたのであれば、低コストを追求する
あまり式の"美しさ"が損なわれることは本末転倒ではないでしょうか。
思考の単純化や面白味という観点も、suc(x)=x+1が
exp(exp(-(ln(ln(sqrt(exp(exp(-(ln(ln(sec(atan(sqrt(x)))))))))))))) [10022]
とLv.4相当の関数として扱えることから、結果的に同じことに
なってしまうのではないでしょうか。（ただ、ほぼ同コストであれば
"2"しか作れないΓ(3)よりも、"4"と"2"を作れるsuc(3)の方が
当然汎用性は高いですよね）
まぁ、これらを考慮してのバランシングを今から行なうのは非常に
難しいでしょうから、スレ進行に伴い改定していくと言う形が
一番良いのではないでしょうか。そういうわけで
＞レベルを同じにした上で、Γ関数の使用を認めるパターンと、
＞認めないパターンの両方を考えては
には全面的に同意します。
62=Γ(3)^(3!)-Γ(3) [20021]
63=(3!)!!+(3!)!/(3!)!! [62]
64=((3!)!!/3!)!!/3! [52]
65=Γ(3)^(3!)+Γ(Γ(3)) [30021]
66=(3!)!!+3!*3 [32]
67=Γ(3)^(3!)+3 [10021]
68=(3!)!!+3!/.3 [132]
69=Γ(3!)-(3!)!!-3 [10032]
70=Γ(3)^(3!)+3! [10031]
3を1個と演算子だけで表せる数が6=3!と48=(3!)!!しかないので
そろそろ厳しくなってきました。
結局のところ、
・自然数nをq個使って他の自然数mを生成する
・関数の使用を認める（有限個であれば）
・各演算子、関数には「使用コスト」が設けられている
・総コストは少ない方が良い(≒美しい)とする
と言うルール下に於いては、最終的に「f(n)=mを満たす関数f(x)を
どれだけ低コストで実現させることが出来るか」という考えに
帰結すると言えます。
（たとえば、f(4)=10を考えるにしてもf(x)=suc^6(x)よりも
f(x)=db(suc(x))の方が低コストなのは明白ですよね。）
飽くまでこれは最終的な話なので、mが2桁のうちはあまり
必要でない概念かもしれませんが、3桁以上のオーダーでは
そういう流れになりそうな気はします。
70=3/.3*<7> [2150]
71=√(<7>!+3/3) [2052]
72=(3!)^3/3 [21]
73=db(3!(cosh(log(3!))+3)) [6012+2022]=[8034]
74=hf(cosh(log(3!))*(3+3)!!) [4011+2022]=[6033]
75=Γ(3!)-(3!)!!+3 [10032]
76=
77=
78=Γ(3!)-(3!)!!+3! [10042]
79=
<7>=sec(atan√((3!)!!))=sec(atan(√48) [2030]
使用数が３個というのがネックになりつつあります。
代入演算子と、呼び出し記号があれば、便利かな．．．
あと、
PrimePi[n]:n以下の素数の数
Prime[n]:n番目の素数
の使用が許可されれば、大分楽になります。
77=H(<7>,3)-<7> [4071]
79=sec(atan(√((3!)!cosh(log(3))+<7>!))) [6072]
25=3^3-<2> [2021]
26=3!+C(3!,3) [31]
40=P(3!,3)/3 [21]
60=C(3!,3)*3 [21]
68=(3!)!!+C(3!,3)[41]
70=H(3!,3)/tanh(ln(3)) [2021]
73=ln(√√(exp((cosh(ln(3!))+3)*(3!)!!)) [4052]
74=cosh(ln(3))*(3!)!!-3! [2032]
76=(sinh(ln(3!))-sinh(ln(3)))*(3!)!! [4032]
77=cosh(ln(3))*(3!)!!-3 [2022]
79=<90>-sec(atan(sqrt(P(3!,3)))) [4081]
Γ(x)を使わない場合のもの
28=(3!)!!-C(3!,3) [41]
29=3^3+<2> [2021]
31=(√((3!)!!/3))!+<7> [2072]
35=sinh(ln(3!))*(3!+3!) [2032]
37=cosh(ln(3!))*(3!+3!) [2032]
41=C(<7>,3)+3! [2051]
43=3!*3!+<7> [2052]
53=H(3!,3)-3 [21]
55=(3+3)!!+<7> [2042]
59=H(3!,3)+3 [21]
61=sinh(ln(3))*(3!)!!-3 [2022]
62=H(3!,3)+3! [31]
67=sinh(ln(3))*(3!)!!+3 [2022]
69=(3!)!!+<7>*3 [2052]
75=(3!)!!+3^3 [31]
78=<90>-(3!+3!) [2072]
80=(3!)!/(3*3) [22]
81=3^3*3 [11]
82=<90>-(3!)!!/3! [2082]
83=cosh(ln(3))*(3!)!!+3 [2022]
84=(3!)!!+3!*3! [42]
85=<90>-(3+<2>) [4062]
86=cosh(ln(3))*(3!)!!+3! [2032]
87=ln(√√√(exp((3+3)!)-3 [2041]
88=<90>-3!/3 [2062]
89=<90>-3/3 [2052]
90=(3!)!!+(3!)!!-3! [52]
※ <2>=sec(atan(√3)) [2010]
<90>=ln(√√√(exp((3!)!) [2050]
2桁後半ともなると2000ポイントくらいが安価と言えるね
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