バッハの音楽を数学的に解明するスレ

1 ：11/04/17 〜 最終レス ：11/11/19

　バッハの音楽は非常に数学的である．バッハの作品は単純なテーマに転調，
音型の展開，左右の反転，平行移動，音符の長さを2倍ないし1/2倍にすると
いった操作を施すことによって作曲されていることが多い．数学的にはこれは
集合に群を作用させることに他ならない．バッハの1つの作品に含まれる音符
の集合Xを考える．上に述べた操作を詳しく述べると次のようになる．
属調に転調する　これは位数12の巡回群である．属調に12回転調すれば元の
調に戻るということである．下属調に転調することは11回属調に転調することと同値．
同主調に転調する　短調から長調及びその逆であり，位数は2である．尚長調
から短調の平行調に転調することは，3回属調に転調してから同主調に転調することと同値．
音型の展開，左右反転　明らかにそれぞれ位数2．
平行移動　平行移動する単位は小節とは限らないので位数は∞．
音符の長さを変える　「2倍する」という元で生成される位数∞の巡回群である．
　上の生成元から生成される群（アーベル群）GをXに作用させて軌道分解すると，
テーマからなる同値類に分かれる．逆に言えば，バッハの作品はテーマの集合を
YとするとX=GYによってほぼ作られる（「ほぼ」と書いたのは「繋ぎ」が必要だから）．
このように小数のテーマから複雑で深い作品を作ること自体，小数の公理から
壮大な定理を導くという数学的営みに酷似している．

2 ：

私は３才からピアノを弾き始め、幼稚園では
「もしかしたら天才かもしれない」
と先生を唸らせていたけれども、どうやら天才ではなく、単に「芸事」に長けて生まれていただけで、
その「天才」は極めて楽譜を読むことを嫌い、また、不得意で、今でも不得意で、それが故に、即興演奏がうまくなったり、
ムソルグフスキーを勝手に弾きやすいようにアレンジして弾いたりしていた。
私が最初にテレビに出たのも幼稚園の頃で、NHKで、やはり楽器の演奏のためだった。
そして、最初のピアノの発表会のとき、私はいきなり簡単なバロック音楽を２曲弾くことになったのだけれども、発表会
というのは年齢の小さいほうから演奏を始めるので、割と最初のほうでの出番になった。
そして、いきなり１オクターブ違う所から弾き始め、舞台脇から先生が
「違う！」
と指摘され気づいたけれども、ここでやめたらミスがまるわかりだから、ひとまず切りのいいところまで弾いて、
まともなキーに戻って弾くことにした。
まだほんの子供だったから、やっぱり初めての発表会はあがっていたのでしょう。
私は子供の頃から
「その他大勢」
というのが嫌いで、楽器演奏になっても、その他大勢のハーモニカや、縦笛などを担当する気になれず、必ず、１名か２名しか担当できない楽器
じゃないと演奏する気になれなかった。
だから、もし、私がクラシック音楽の世界に進んでいたとしても、オーケストラの一員ではなく、ソリストにしかなりたくないと思っただろう。
それだけの技量があるかどうか、おかまいなしに。
私にとって「バッハ」の音楽というのは「数学」に似ている。
あんなに簡単にいろいろな楽曲を耳でコピーしてきているのに、なぜか、バッハの割と簡単な楽曲である「アリア(BWV1068)」ですら、楽譜が必要。
まあ、バロック自体数学的な音の組み合わせが多く、また、教会音楽が多いためか、やたらと神様に捧げられた曲が多く、それでオルガン曲も多く、
私はオルガンは余り好きではないのだけど、パイプオルガンは好きで、教会で聴くパイプオルガン曲はロックに負けない迫力がある。

3 ：

フランスの田舎。
シャルトルに行きたかったのは、単に学校で世界史の授業中にM先生が
「シャルトル寺院のステンドグラスの「青」は今の技術をもってしても再現できないほど素晴らしく、それはシャルトルブルーと呼ばれているのです」
という説明を聞いた時、当時、油彩をやっていて、やたらと「青」にこだわって油彩の絵の具を選んだりしていた私にはとてつもなく魅力的に感じて、
今度フランスに行ったら、絶対その「シャルトルブルー」を見に行きたいと思っていたからだった。
実際に見たシャルトル寺院のステンドグラスは、私が今まで見たステンドグラスの中でも特に緻密にできていて、やはり、「青」は美しかった。
そして、そこでパイプオルガンが流れて来て、神様って恵まれているなあ・・・こんな「青」とこんなに美しい「音楽」を捧げられて、などと思ったものだった。
パリで大学に通っていた１学期間、私はとても幸せな時間を過ごした。
（アメリカの大学では許可があれば、他の大学で単位を取得することができるシステムになっているのです）
パリの夜。
セーヌ川にかかった橋の上から見上げた夜空には、無数の流れ星が見えていた。
もちろん、それは「流れ星」ではなく、大気圏に突入した宇宙のゴミが燃え尽きているだけのことなのだけれども、それでも、数えきれないほどの流れ星が次から次へと流れ
ては消え、その「時」が永遠であればとさえ思った。
音楽は多分、ワインに似たところがあって、本当に美味しいワインをしらなかったら、まずいことに気づかないものかもしれない。
私はチック・コリアも好きだけれども、彼が弾くモーツアルトのピアノコンチェルトNo.20 in D, K466を聞いて、その後にフリードリッヒ・グルダの同じ演奏を聴いたら・・・
その差を思いっきり知ることになった。
チックコリアは素晴らしいジャズピアニストの一人であることには変わりはないけれども、モーツアルトは・・・彼のモーツアルトは「ピアノの発表会」みたいな感じかなあ。
さすがに１オクターブ間違ったりはしてないけど。

4 ：

宇宙に流れる音楽、宇宙を貫く音楽が存在する、
　あるいは、
　宇宙の森羅万象は音楽的である、
　という考え方の起源は、
　紀元前のアリストテレスやプラトン、さらには、ピタゴラスにまでさかのぼります。
（つまり、偉い人は口をそろえてそう言ってるわけです。例：プトレマイオス｢ハルモシア論｣他）
　宇宙のすべての事象は、数学的法則に基づいている、
　音楽は、それを知覚し得る最も明確な現象に他ならない。
　つまり、
　宇宙調和（天空和合）の原理＝数学理論＝音楽理論
　ということ。
　この考えを発展させたものが、　
　６世紀のボエティウスの｢音楽教程｣です。
　１、数学
　　　数学原理（＝音楽原理）の学習
　２、幾何学
　　　実際に目に見えるものを原理に基づき、測定し、理解する。
　３、音楽
　　　目に見えぬが、聞えるものを原理に基づき、測定し、理解する。
　４、天文学
　　　目にも見えず、音にも聞えない、測定不可能な天体の世界（中世においては神の世界）
　　　の事象を、
　　　音楽の比例関係等によって、類推、把握する
　これによると、音楽は、人間が知覚し得る最高位の現象と位置づけられ、
　逆に言えば、たった一つの楽器の音の関係から、宇宙のすべてを類推できる、
　ということになります。

5 ：

▽　ボエティウスの一弦琴の図
　　一弦琴から、ピタゴラスの宇宙調和理論を説明している。
http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/007/710/90/N000/000/000/118226159706416407251.jpg
ボエティウスの｢音楽教程｣は、なんと、その後１千年の長きにわたって、中世の学問の根幹を成すこととなり、
　それは、そのままルネッサンスへと引き継がれていきます。
　ボエティウスが、古代とルネッサンスの架け橋の役割を担ったのですね。
　ケプラーなどの理論も、おそらくそこから派生したものなのでしょう。
　ケプラーは、古代や中世においては観測できなかった天体を、実際に観測し、
　その結果、実際に、妙なる神秘の音楽を感じ取ったのではないでしょうか。

6 ：

普遍の音楽の世界は数学的で、宇宙の果てしない世界を感じます。
それは、バッハから中世にさかのぼる程感じてなりません。
グレゴリオ聖歌集の誕生から、ヒルデガルト聖歌、そしてそれに続く吟遊詩人達の音楽とそのロマンは拡がって行きます。

7 ：

ビバルディ「調和の幻想」より四季
この有名な曲はバッハと同時代に作曲されたんじゃね？

8 ：

バッハと多体問題
グレン・グールドによれば、J. S. バッハは、人間には同時に生起する複数の出来事をそのまま知覚し理解する能力があることを認識し、それを音楽の形で実践した最初の人だという。バッハの多声的な鍵盤楽器曲には、主旋律と伴奏という区分はない。
異なる二つ、あるいは三つの旋律は互いに完全に対等であり、
それらが緻密に計算された方法で絡み合い、全体として一つの完璧な楽曲が構成される。バッハを真の意味で理解するためには、同時に進行する複数の声部を独立に認識しながら、楽曲全体の姿を感じとらなくてはいけないという。
私のように音楽的能力の乏しい者にとっては、これは至難の業である。それでも、比較的透明な構造の曲を繰り返し聴いたとき、突然霧が晴れ渡るように同時進行する複数の声部の姿が完全に認識されることがある。それは、我々の中の、
知性と感性が未だ分化しない深い所を魅了する素晴らしい体験である。
しかし、そういう例外的な場合を除けば、私に聞こえてくるバッハは、一番覚えやすい「主旋律」と、その背後で漠然と響いている「伴奏」の重ね合わせでしかない。音楽的な認識能力の不足のために、無意識の内にバッハを
安易に再解釈しながら聞いているのだろう。
物理学における多体問題は、数多くの構成要素が互いに対等に振る舞い、相互作用しながら織りなす複雑にして壮大な構築物である。この構築物の構造を理解し、そこから様々なストーリーを聴き取っていくのが、
我々理論物理学者の仕事である。そのために我々が最初に試みるのは、この交響楽の中から「主旋律」
を拾い出して理解するという「一体問題による近似」である。これによって、楽曲＝物理現象の大ざっぱなイメージが得られる。
次の段階は、主旋律を陰から支えている「伴奏」を理解しようとする「平均場近似」だろう。「伴奏」が「主旋律」と和声的にしっくりと調和していれば、

9 ：

つまり、「平均場」のふるまいが「一体問題」と無撞着であれば、楽曲＝物理現象はほぼ完全に理解されたということになる。実際、多くの物理学者が、多体問題の理論の最終目標は優れた平均場近似を作ることだと考えているようだ。
しかし、バッハの鍵盤曲に中に「主旋律」と「伴奏」の区別が存在しないのと同様に、多体系の中にも特別な「一体問題」と「平均場」の区別は存在しない。
「一体問題」と「平均場」という区分は、多体問題をあるがままに解析できない人間が作り出した便宜的なものにすぎないのだ。
人間には多体問題の中で同時に生起する複数の出来事を、そのまま知覚し、理解することができるか？あるいは、「一体問題」と「平均場」という便宜的な区分に頼らずに、多体問題をあるがままに解析することは可能か？
これが、この解説のテーマである。はじめから壮大な交響曲に挑戦するのは無謀だろう。
まずはなるべく透明な構造を持った Hubbard 模型という鍵盤曲を繰り返し聴くことからはじめよう。

10 ：

何でバッハ以前の対位法の歴史を完全に無視してるんだろう……＜グールド
複数の声部の絡み合いという点ではルネサンス時代の声楽こそが至高の完成度なんだがなぁ。

11 ：

猫

12 ：

バッハも余り聞いたこと無いし
数学も実は余り知らない
って言いたいの？

13 ：

　　　　　　　　,, -―――　 ､
　　　　　 ,,ｒ'"　　　　　　　　　　｀ヽ､
　　 　　/　　　　　　　　　　　　　　　ヽ
　　　　iﾞ　　　　　　　　　　　　　　　　 .i
　　　　i　　 　　　　　　　　　　　　　　　|
　　　　|,　　''''''　　　''''''　　　　　　　　 .!
　　　　 i （●）,　　　､（●）､ 　　　　 /　
　　.　　 i　　.,,ﾉ(､_, )ヽ､,,　 　　　　 ^ﾞ｀ヽ

14 ：

バッハの作品の中でも：
１．平均律クラヴィーア曲集第一巻、第二巻、合わせて全４８曲。
２．マタイ受難曲。
は人類最高の財産。バッハの作品群が持つその価値は数学ではブルバキの原論
が持つその最高級の価値に充分に匹敵スルであろう。
猫

15 ：

ガウスとかライプニッツの原著レベルだと思うが。
ブルバキほど玉石混交じゃないだろ。

16 ：

>>14
自分の耳でまともに音楽を聴いたことがないというのはよく分かった。

17 ：

バッハったら、カンタータの『主よ人の喜びよ』が最高でしょ

18 ：

Ｇ線上の加群っていう曲もたしかあったよなぁ〜

19 ：

無伴奏チェロではカザルスの名演があります。
猫

20 ：

>>15
いや、バッハは周波数とかの理屈があやふやだった時代に「平均律１２
音階」とか対位法、フーガ、カノン、通奏低音等の『近代音楽の礎』を
置いた大音楽家であり、音楽の基本を定めたという測り知れない貢献が
アルのではないでしょうか。だから現代抽象数学の礎という認識である
ブルバキと対比しました。
猫

21 ：

お前いらんわ…話にならん

22 ：

>>21
だったらスレを閉鎖して下さい。
猫

23 ：

>>20
せめて西洋音楽史の勉強してからこいよ。
対位法も通奏低音もバッハが作ったものじゃなく、
バッハの時代に一度終わりを迎えかけたものだろうが。

24 ：

ギリシャ音楽理論史もね。

25 ：

>>23
ああ、そうですか。ではまた勉強しときますワ。私は唯単にバッハの作品が大好き
なだけですから。
猫

26 ：

食えよ

27 ：

なるほど。先ずは対位法から：
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E4%BD%8D%E6%B3%95
猫

28 ：

では次は通奏低音も：
http://en.wikipedia.org/wiki/Figured_bass
なるほど、随分と古そうですね。
猫

29 ：

和音とピタゴラスの定理♪

30 ：

バッハのキンタマは数学的である

31 ：

ドヴォルザーク

32 ：

あんでぃ

33 ：

あげ

34 ：

ゴルドベルクは好きだけど平均律はどこを切っても似たような味わいで
聞きどころがどこかよく分からない

35 ：

あ

36 ：

あげ

37 ：

平均律は最高の鍵盤楽曲。
猫

38 ：

Bruckner Symphony no. 8 4th Mov. 1/3 Karajan VPO 1979
http://www.youtube.com/watch?v=2i_Ja0FTCKY&feature=BFa&list=PL0D6F4C940E988747&index=8
カラヤン指揮、ブルックナー、交響曲8番。
オーストリア、聖フローリアン教会にて。
圧倒的な迫力でもって魂に訴えかけ、この世の底からの響きが伝わる。

39 ：

ゴールドベルク変奏曲、
ひとつの旋律が高まりそして、凪のような静けさが現れ
繰り返される
そこから生み出される調和がたまらん。
もともと子守唄だったんと。
グールドの人生のなかでも何度も収録されていて
それぞれに味わいがある。
でもブランデンブルク協奏曲のが
華やかで好きだ。無伴奏チェロとかもいいけど
ブランデンブルグがやっぱバッハで一番好きだわ。

40 ：

バッハの楽曲は抽象美の世界の存在。
猫

41 ：

×G線上のアリア　○G線上の加群

42 ：

猫

43 ：

ブランデンブルグ協奏曲を聴いてると
音の一つひとつに色を感じる。
やわらかい明度の高い色たち。

44 ：

>>39
子守歌ってのはデマ。実際は眠れない夜のBGM。
と言うか子守歌だったら第一変奏でビックリして間違いなく目が覚める。

45 ：

>>44
爆笑

46 ：

>>44
そうだそうだ。誰だか伯爵が眠れないっつうんだったわ。
すまんすまん。眠る曲→子守唄と記憶違い。
今も聴いてるが、生きてんのもまだ悪くないかもと思えてくる。
てかみんな意外と聴いてるんだね。

47 ：

ゴルドベルグがいいねえ

48 ：

>>46
俺は数学科の准教授だけど、死にたい。
もう生きていたくないな

49 ：

死ぬのも大変そうだけど、もう生きてるのやめたい。

50 ：

これだけレスが進行してフーガと数学の関係が唯の一言も
触れられていないことが情けなさすぎる

51 ：

>>50
http://mathforum.org/library/drmath/view/52312.html
--neko--

52 ：

女子サッカーかっこいいねえ！
それに比べて日本の男は引きこもりで
腰抜けで情けないねえ。

53 ：

そうか？

54 ：

加古隆　「パリは燃えているか」　太平洋戦争
http://www.youtube.com/watch?v=Iv-FTxisEpM
２１世紀になっても続く波乱の世界。

55 ：

女は得だよね。すごいはすごいんだけど

56 ：

ただバレーなんかと同じで欧米の女子が本気でやりだしたら
日本はすぐ三流になりさがってしまうだろう

57 ：

こぼれ球、セットプレー、PK
絶妙だよね　ある意味無敵

58 ：

ワーグナーやリヒャルトシュトラウスの方がいいね

59 ：

リヒャルトシュトラウスの「死と変容」
は最高だよ。

60 ：

「ゲーデル・エッシャー・バッハ」を読め

61 ：

Goldberg:The last gladiator
http://www.youtube.com/watch?v=gasRZ7HAss4
超人類、ビル・ゴールドバーグ。

62 ：

❶東大❷R
❸BHG❹ラミ
❺BEN❻ACT
❼23458❽禁8

63 ：

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❺BEN❻ACT
❼23458❽禁8

64 ：

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❼23458❽禁8

65 ：

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❺BEN❻ACT
❼23458❽禁8

66 ：

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❸BHG❹ラミ
❺BEN❻ACT
❼23458❽禁8

67 ：

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❼23458❽禁8

68 ：

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❼23458❽禁8

69 ：

❶東大❷R
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❼23458❽禁8

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❶東大❷R
❸BHG❹ラミ
❺BEN❻ACT

71 ：

❶東大❷R
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❷禁8

72 ：

❶東大❷R
❸BHG❹ラミ
❺BEN❻ACT
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❷禁8

73 ：

❶東大❷R
❸BHG❹ラミ
❺BEN❻ACT
❶23458
❷禁8

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79 ：

『一本足の栄光』ポール・マーティン
『黄金の魂』小川竜生
『10月の満月に一番近い土曜日』石渡治
『空をつかむまで』関口尚

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『一本足の栄光』ポール・マーティン
『黄金の魂』小川竜生
『10月の満月に一番近い土曜日』石渡治
『空をつかむまで』関口尚

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『一本足の栄光』ポール・マーティン
『黄金の魂』小川竜生
『10月の満月に一番近い土曜日』石渡治
『空をつかむまで』関口尚

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＞[S]
＞個2
＞もの2
＞知6
＞[A]
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＞禁8
＞[B]
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