∑[i=1,n][xi]=[∑[i=1,n]xi]
ただし[x]はxを四捨五入した整数を表す。
つまり、確率1
n=2のときは…わからん
x=x1,y=y2とする。
x,yの小数部をa,bとする。(0<a,b<1)
[x]+[y]=[x+y]は
[a]+[b]=[a+b]が必要十分条件。
ここでa≧bとなるようにxとyを入れ替える。
[a]+[b]=[a+b]となるのは
([a],[b],[a+b])=(1,1,2),(1,0,1),(0,0,0)の3通り。
([a],[b],[a+b])=(1,1,2)のとき
1+4/9<a+b≦2+4/9となる。
座標平面ab上の
1+4/9<a+b≦2+4/9,0<a<1,0<b<1が占める面積は
25/162(=A[1]とおく)
([a],[b],[a+b])=(1,0,1)のとき
4/9<a+b≦1+4/9となる。
座標平面ab上の
4/9<a+b≦1+4/9,0<a<1,0<b<1が占める面積は
121/162(=A[2]とおく)
([a],[b],[a+b])=(0,0,0)のとき
0≦a+b≦4/9となる。
座標平面ab上の
0≦a+b≦4/9,0<a<1,0<b<1が占める面積は
8/81(=A[3]とおく)
以上より
[a]+[b]=[a+b]となる確率は
4/9*A[1]+A[2]+4/9*A[3]=1253/1458
[x]+[y]=[x+y]となる確率はこれに等しい。
n=2のときの求める確率は
1253/1458
変だと思うのは俺だけか？ちなみに俺のn=2のときの答えは3/4なんだが。
わかっていないから本当は解けない。多分、一様分布なんだろうけど。
頻繁に出現する4/9ってどっからきてるの？
>>4
俺もn=2のときの確率は3/4になった
>>5
その通りだね。
だけど確率1で一様分布ｗ
>>5
>>3の者ですが、
>>3に書いた答えは間違っていました。
1+4/9<a+b≦2+4/9,4/9<a,b<1
の面積 A[1]=25/162
4/9<a+b≦1+4/9,0≦a≦4/9,4/9<b<1
と
4/9<a+b≦1+4/9,0≦b≦4/9,4/9<a<1
を合わせた面積 A[2]=2*20/81
0≦a+b≦4/9,0≦a,b≦4/9
の面積 A[3]=16/162
これらを足し合わせて、
A[1]+A[2]+A[3]=121/162=0.7469・・・≒3/4
となりました。
3/4とは違うのですが、どこが間違っているのでしょうか？
＞x,yの小数部をa,bとする。(0<a,b<1)
＞[x]+[y]=[x+y]は
＞[a]+[b]=[a+b]が必要十分条件。
と書いているが、
一般のnについてこれをきっちりと示そうと思う。
任意の実数xは、床関数floorを用いて
x=a+b
a=floor(x)
b=x-a
と表せる。
このとき0≦b<1である。
これを用いて題意の式を表現し直すと
∑[i=1,n][ai+bi]=[∑[i=1,n](ai+bi)]
∑[i=1,n](ai+[bi])=[∑[i=1,n]ai+∑[i=1,n]bi]
∑[i=1,n]ai+∑[i=1,n][bi]=∑[i=1,n]ai+[∑[i=1,n]bi]
∑[i=1,n][bi]=[∑[i=1,n]bi]
したがって、題意のxiは任意の実数であるが、
区間[0,1)内の実数を考えればよい。
領域の考え方を使うこと自体は間違っていないが、四捨五入って普通、
x∈R、n∈Z、n-1/2≦x＜n+1/2のとき[x]=nと定義される。さらに、aとbを
大小関係から交換するのはいいんだが、結局最後は二倍しなくてはいけない。
[0.445]=[0.45]=[0.5]=1は四捨五入ではないのでしょうか？
整数を...」と書いているので、本問では小数第一位を四捨五入すると考えるのが自然です。
L={ai|ai∈{0,1}}
p(n)=Σ[xi∈L]∫∫…∫∫[(y1,y2,…,yn)∈(x1,x2,…,xn)]dy1dy2・・・dyn
訂正
誤：L={ai|ai∈{0,1}}
正:L={(a1,a2,・・・,an)|ai∈{0,1}}
再度訂正
求める確率を、p(n)
<x>をx以上の最小の整数とする。
L={(a1,a2,・・・,an}|ai∈{0,1/2}}
(a1,a2,・・・,an)∈L
p(n)＝Σ[(ai≦xi<ai+1/2)∧(Σ[i=1,n]<ai>≦Σ[i=1,n]xi≦Σ[i=1,n]<ai>+1/2)](∫∫・・・∫∫dx1dx2・・・dxn)
その式は
p(1)=1
p(2)=3/4
になる？
p(3)計算すると何になる？
『アンディ』へ、
貴方が『あんでぃ』氏と同一人物かどうかを教えて下さい。
猫
で、それが終わったら･･･
『アンディ』へ、
貴方が『あんでぃ』氏と同一人物かどうかを教えて下さい。
猫
simulation[n_, itr_] := Block[{b, ctr = 0},
Do[
b = RandomReal[1, n];
If[Total[Round[b]] == Round[Total[b]], ctr++];
, {itr}];
Return[ctr/itr];
]
『アンディ』へ、
貴方が『あんでぃ』氏と同一人物かどうかを教えて下さい。
猫
simulation[3, 1000000] // N
0.666784
simulation[4, 1000000] // N
0.598473
simulation[5, 1000000] // N
0.550854
simulation[6, 1000000] // N
0.511683
simulation[7, 1000000] // N
0.479829
simulation[8, 1000000] // N
0.4529
simulation[9, 1000000] // N
0.429578
simulation[9, 10000000] // N
0.430426
『アンディ』へ、
貴方が『あんでぃ』氏と同一人物かどうかを教えて下さい。
猫
n=3のときはどうやら2/3になるっぽいな
『アンディ』へ、
貴方が『あんでぃ』氏と同一人物かどうかを教えて下さい。
猫
0≦x,y,z≦1/2で定まる小立方体領域で、<x+y+z>=<x>+<y>+<z>=0が成立するのは、x+y+z≦1/2の領域だけ、
つまり、この小立方体の1/6。これと同様なのが、1/2≦x,y,z≦1で定まる領域の小立方体。
0≦x,y≦1/2,1/2≦z≦1で定まる小立方体領域で、<x+y+z>=<x>+<y>+<z>=1が成立するのは、1/2≦x+y+z≦3/2の領域だけ。
つまり、0≦x+y+(z-1/2)≦1。これは、0≦x,y,z≦1/2で定まる小立方体から、1≦x+y+z≦3/2の部分を除いたものに等しい。
つまり、体積比で1-1/6=5/6
x,y,zの入れ替えでも同様。x→1-x、y→1-y、z→1-zの入れ替えでも同様なので、上で書いた２つの小立方体以外は全て、これと同様。
つまり、(2/8)×(1/6)+(6/8)×(5/6)=2/3が求めるもの。
『アンディ』へ、
貴方が『あんでぃ』氏と同一人物かどうかを教えて下さい。
猫
ガウス記号との混乱を避けるため、勝手に導入した四捨五入関数。説明してなかった。すまん。
同様な計算をn=4でも行ったら、115/192=598958333...になった。。
となった。
考えるべき領域は次元をnとすると、2^nの領域に分解。
n次元体の考えられる最小体積が1/n!。
全ての 座標xiについて、xi→1-xi という変換対称性
これらを考慮すると、分母に来るのは2^n n!/2 = 2^(n-1) n! の約数のみと考えられる。
n=4では、 2^3 4!=192で、114/192=0.59375 115/192=0.59896 116/192=0.60417なので、
>>22の結果(0.598473 )をみると、115/192は妥当そう？
『アンディ』へ、
貴方が『あんでぃ』氏と同一人物かどうかを教えて下さい。
猫
妥当そうだね。
というか人間がイメージできない4次元について解けるってすごいね！
一般のnについて定式化ができてしまったってこと？
p(n)=∫…∫[D]dx1…dxn
ここでn重積分の定義域Dは以下の通り。
D={0<x1<1,…,0<xn<1,∑[i=1,n][xi]=[∑[i=1,n]xi]}
これは題意と>>8の結果しか使っていない。
なんと！この上流式をMathematicaにプログラミングするだけで
Mathematicaはp(n)を計算してくれる！！
ただしnは与える必要がある。
integration[n_] := (bb = Table[b[i], {i, n}];
Integrate[
Boole[And @@
Append[Table[0 < bb[[i]] < 1, {i, n}],
Total[Round[bb]] == Round[Total[bb]]]],
Sequence @@ Table[{bb[[i]], 0, 1}, {i, n}]])
integration[1] // Timing
{0., 1}
integration[2] // Timing
{0.124, 3/4}
integration[3] // Timing
{1.061, 2/3}
integration[4] // Timing
{14.602, 115/192}
integration[5] // Timing
{161.305, 11/20}
integration[6] // Timing
{1770.07, 5887/11520}
n=6を計算するのに30分かかった。
n=7を計算するには5時間はかかるだろう。
『アンディ』へ、
貴方が『あんでぃ』氏と同一人物かどうかを教えて下さい。
猫
1/(2^n n!) Σ[r=0,[n/2]]{(-1)^r C(n+1,r) (n+1-2r)^n}
でいけそう。この式を使って、n=1から順に計算すると
1 , 3/4 , 2/3 , 115/192 , 11/20 , 5887/11520 , 151/315 , 259723/573440 , 15619/36288 , 381773117/928972800 , ...
35さんの結果とも一致してます。
『アンディ』へ、
貴方が『あんでぃ』氏と同一人物かどうかを教えて下さい。
猫
すごいですね！
その式で間違いないと思います。
導出の過程を教えてもらえないでしょうか？
ここに書き込むのがめんどうならノートの写メうｐとかでも結構ですので^^;
よろしくお願いします。
何度、生き恥晒してもログアウトしても
復活する執念。
『アンディ』へ、
貴方が『あんでぃ』氏と同一人物かどうかを教えて下さい。
猫
1/(2^n n!) ∑[s=0,n]C(n,s)∑[j=0,s](-1)^(s-j) (2C(n+1,s-j)-C(n+2,s-j))(j+1)^n
って感じ。
でも俺の結果より>>37さんの結果の方がシンプルだなぁ。
俺のは∑が2個にCが3個だからなぁ。
∑[s=0,n]C(n,s)∑[j=0,s](-1)^(s-j) (2C(n+1,s-j)-C(n+2,s-j))(j+1)^n = Σ[r=0,[n/2]](-1)^r C(n+1,r) (n+1-2r)^n
を示したいんだけど、どうしたらいいかなぁ。
誰か組み合わせ理論に強い方、変形の指針をくだせい。
数学的帰納法による証明も歓迎です。
=∑[j=0,n]∑[s=0,n]C(n,s)(-1)^(s-j) (2C(n+1,s-j)-C(n+2,s-j))(j+1)^n
=∑[j=0,n]∑[s=0,n]C(n,s)(-1)^(s-j) (C(n,s-j)-C(n,s-j-2))(j+1)^n
=∑[j=0,n] (-1)^j (C(n,(n+j)/2)cos((n+j)π/2)-C(n,(n+j+2)/2)cos((n+j+2)π/2))(j+1)^n
=∑[j=0,n] (-1)^j cos((n+j)π/2) C(n+1,(n+j+2)/2)(j+1)^n
=∑[j=0,n] cos((n-j)π/2) C(n+1,(n+j+2)/2)(j+1)^n
=∑[p=0,n] cos(pπ/2) C(n+1,(n+n-p+2)/2)(n-p+1)^n
pが偶数の時にのみ和を取ればよいので、
=∑[r=0,[n/2]] (-1)^r C(n+1,n+1-r)(n-2r+1)^n
途中で、Σ[r=0,n](-1)^r C(n,r) C(n,r-k) = C(n,(n+k)/2) cos((n+k)π/2)を用いている
この変形は正しい？
あとCの引数が負にならない？
>>∑[s=0,n]∑[j=0,s]f(s,j)=∑[j=0,n]∑[s=0,n]f(s,j)
一般のfに対し、これは正しくないが、C(n,s-j)がかかった形である
∑[s=0,n]∑[j=0,s]f(s,j)C(n,s-j)
=∑[s=0,n]∑[j=0,n]f(s,j)C(n,s-j)
=∑[j=0,n]∑[s=0,n]f(s,j)C(n,s-j)
なら、ok。
C(n,k)=0 (k<0,n<k)
と定義したのならそれで正しいね。
Good Job!!!!!
ところで
C(n,k)=0 (k<0,n<k)
の定義って一般的？
俺が勉強してきた教科書では見かけたことないけど…。
=(-1)^r C(n,r) (m=2r) (r=0,…)
=0 (m=2r+1) (r=0,…)
の証明を一応しておく
(1+x)^n=∑[r=0,n]C(n,r)x^r
(1-x)^n=∑[r=0,n](-1)^r C(n,r)x^r
(1+x)^nのx^(m-k)の係数はC(n,m-k)
(1-x)^nのx^kの係数は(-1)^k C(n,k)
(1+x)^n (1-x)^nのx^mの係数は∑[k=0,m](-1)^k C(n,k)C(n,m-k)
一方
(1-x^2)^n=∑[r=0,n](-1)^r C(n,r)(x^2)^r=∑[r=0,n](-1)^r C(n,r)x^(2r)
(1-x^2)^nのx^(2r)の係数は(-1)^r C(n,r)
したがって
m=2rのとき
∑[k=0,m](-1)^k C(n,k)C(n,m-k)=(-1)^r C(n,r)
m=2r+1のとき
∑[k=0,m](-1)^k C(n,k)C(n,m-k)=0
50レス記念に新しい問題を提案します
っていっても変更点はただし書きだけ
ただし[x]はxを四捨五入した整数を表す。
↓
ただし[x]はxを閾値t(0≦t≦1)で丸めた整数を表す。
t=1/2のときが>>1の四捨五入問題
t=0のときは[x]=ceiling(x) （天井関数）
t=1のときは[x]=floor(x) （床関数、ガウス関数）
一様分布
↓
一般分布
でしょ？それなら俺も考えた
ただ、この場合「一般分布」のままだと手のつけようがないと思うんだが…
標準正規分布とかならOKだと思うけど、これは一様分布からの拡張ではなくて改題になってしまうよね
理論解析の参考にしてくれ
round[x_, t_: 1/2] :=
If[FractionalPart[x] < t, IntegerPart[x], IntegerPart[x] + 1]
SetAttributes[round, Listable]
integration[n_, t_: 1/2] := (bb = Table[b[i], {i, n}];
Integrate[
Boole[And @@
Append[Table[0 < bb[[i]] < 1, {i, n}],
Total[round[bb, t]] == round[Total[bb], t]]],
Sequence @@ Table[{bb[[i]], 0, 1}, {i, n}]])
integration[1] // Timing
{0., 1}
integration[2] // Timing
{0.842, 3/4}
integration[3] // Timing
{13.385, 2/3}
integration[4] // Timing
{143.177, 115/192}
integration[1, 1/3] // Timing
{0., 1}
integration[2, 1/3] // Timing
{0.843, 13/18}
integration[3, 1/3] // Timing
{14.352, 31/54}
integration[4, 1/3] // Timing
{157.42, 11/24}
>>51だがその通りだ。嫌といっても、一般分布の場合、単に確率密度関数を
f(x)としてそれを条件を満たすn次元ユークリッド空間の部分集合で積分したものとして
表せばいいだけだからそこまで問題ない。ただ、やはり個別の分布に立ち入って計算するのは
相当苦労すると思われ。正規分布はまだ対称性を使えばいけそうな気がするが
まともな方法で計算できる分布はそうそうないんじゃないか？
>>53>>54
サンクス。
【一様分布】
p(n)=∫…∫[D]dx1…dxn
D={(x1,…,xn)|0<x1<1,…,0<xn<1,∑[i=1,n][xi]=[∑[i=1,n]xi]}
【一般分布】
確率密度関数：f(x1,…,xn)
p(n)=∫…∫[D]f(x1,…,xn)dx1…dxn/∫…∫[E]f(x1,…,xn)dx1…dxn
D={(x1,…,xn)|0<x1<1,…,0<xn<1,∑[i=1,n][xi]=[∑[i=1,n]xi]}
E={(x1,…,xn)|0<x1<1,…,0<xn<1}
【例】
一般分布においてf(x1,…,xn)=cのときを考えると一様分布の式が得られる。
「手のつけようがない」と書いたのは、定式化は>>56のようにできるけど、
そこから先に進むことができないということ。
確率密度関数を与えれば解は得られる（ちゃんと数字で）はずだけど、
正規分布や指数分布を与えるのは>>1の問題の拡張にはならない。
拡張はおいといて、個別の分布を与えることを考えると、
計算が難しいことは同意。
ただこれは厳密積分を計算する場合の話であって、数値積分の計算はおそらく容易。
ポチ
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性を害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>><宗教<<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索
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無差別で猥褻、日本は危険知ったかブッタの日本人
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