防衛医大の数学って独特だよな

1 ：11/07/04 〜 最終レス ：11/11/10

解いてて面白い

2 ：

糞スレ立てるなって言っただろJス君

3 ：

＞＞１
ｋｗｓｋ

4 ：

またこうして一つ糞スレが生まれたのである。

5 ：

もし潰す必要があったらワシに言うてくれや。協力したるさかいナ。
猫

6 ：

>>5
もしよければ削除依頼出してください。
最近受験関連スレが乱立してますから

7 ：

>>6
私が行う行為は「削除依頼を出す事」ではなくて『積極的な書き込みに拠
ってスレを無意味化スル』という事です。この点、ご了承くださいませ。
猫

8 ：

>>7
それは荒らし行為と言うんだよアホ
糞スレだから別にいいけど

9 ：

>>8
別にいいならば、今後も全く同じ行動を問答無用に続行します。
猫

10 ：

関数f(x)をf(x)=x^2+4ncosx+1-4nとするとき、以下の問いに答えよ。ただしnは自然数とする。
(1)各nに対して、f(x)=0かつ0＜x＜π/2を満たす実数xがただ1つずつあることを示せ。
(2)(1)の条件を満たすxをx[n]とするとき、lim[n→∞]x[n]=0であることを示せ。
(3)lim[n→∞]n{x[n]}^2を求めよ。
この問題の(1)から分かりません。(1)のヒントをください。

11 ：

>>10
防衛医大の問題なのか？

12 ：

防衛大の数学者は知っている。
防衛医大の数学者っているはずだが、誰？

13 ：

あんでぃ

14 ：

>>10
ヒント：中間値の定理

15 ：

>>14
それだけで解けるかカス

16 ：

>>15
だからヒントって書いてあるだろタコ

17 ：

算数は他所で。受験板のボクちゃんは10年ROMってから数学板に書きこむように

18 ：

というかスレ立てなどもってのほか。恥を知ることからはじめ

19 ：

というか板立てなどもってのほか。罪悪感を培う事からはじめ

20 ：

>>16
それはわかってました
大したヒントでもないのに威張らないでください
解が一つだけなのがわからなったですけど解決しました

21 ：

糞スレ建てるなカス

22 ：

10/31実施の防衛医大記述式問題をどなたかUpしてくれませんか？

23 ：

>>22
おまえ、公共心の欠片も無いな。
お前みたいな医者、それも自衛隊の医者がいるとはっきりいって恐ろしい。
悪いこと言わないから、公共の仕事につくのはやめろ。

24 ：

祖父の遺言状に宝の場所が書いてあるとかいうのも防衛医大の問題だっけか？

25 ：

>>10がようやく解けましたので、解答をここに披露いたします。
(1) f'(x)=2x-4nsinx+1-4n < 2x-4n+1-4n < π+1-8n <0　（0<x<π/2）
よって、f(x)は0≦x≦π/2で単調減少である。
また、f(0)=1, f(π/2)=π^2/4+1-4n<0だから、中間値の定理より、
f(x)=0となるxが0<x<π/2に存在する。f(x)はこの区間で単調減少であることから、そのようなxはただひとつである。
(2) f(x[n])=0
x[n]^2+4ncosx[n]+1-4n=0
0<x<π/2より
4ncosx[n]+1-4n<0
0<(π/2)^2+4ncosx[n]+1-4n
∴ (4n-1-(π/2)^2)/4n<cosx[n]<(4n-1)/4n (*)
n→∞とすると、はさみうちの原理よりcosx[n]→1
cosxは連続で、0<x<π/2で一対一なので、x[n]→0
(3) nf(x[n])=0
∴ nx[n]^2=4(1-cosx[n])n^2-n
(*)より
4(1-(4n-1)/4n)n^2-n<nx[n]^2<4(1-(4n-1-(π/2)^2)/4n)n^2-n
∴ 0<nx[n]^2<(π/2)^2/n
n→∞ とすると、はさみうちの原理より、nx[n]^2→0

26 ：

>>24
それは自治医大の問題ですね。
ある青年が、曽祖父の遺品の中から、宝物を埋めてある場所を書いた紙片を見付けた。
「広大な草原に桜の木と梅の木と松の木が1本ずつさびしく立っている。
松から桜に向かって歩数を数えながら歩け。桜の木についたら右へ90度向きを変え、
さらに同じ歩数だけ歩け。そしてそこに棒を立てよ。
また、松から梅に向かって歩数を数えながら歩け。梅の木についたら左へ90度向きを変え、
さらに同じ歩数だけ歩け。そこにも棒を立てよ。2本の棒の中間点に宝が埋めてある」
青年が草原に来てみると、松の木は松くい虫に枯らされたか、跡形もなかった、
青年は宝探しを諦めた、この青年に代わって宝のありかをつきとめてもらいたい。

27 ：

>>26
それは自治医科大学にそういう問題があったというだけで、
俺の言った問題が自治医大の問題だという証拠じゃないだろ。
お前頭悪そうだな。数学には向いてないよ。

28 ：

>>26
それに、俺のいったのは「祖父」で、お前の出してきた反例は「曽祖父」ｗｗｗ
日本語も読めない奴が偉そうに、反論じみたことなんかするんじゃねえよ＾＾；

29 ：

>>27>>28
ギャグ？真性？

30 ：

彼はいったい何を興奮しているのでしょうか？

31 ：

>>29
は？意味分からん＾＾；
文脈考えてしゃべれよカス
>>30
「何に興奮する」だ。日本語くらい正しく使え

32 ：

彼はいったい、何をそんなに興奮しているのでしょうか？

33 ：

>>31
本物だ。本物の池沼だ。

34 ：

>>25
まだやってたのかよ。しかも(3)が完全に間違ってるぞ。(*)から言える不等式は
0 ＜ nx[n]^2 ＜ n*(π/2)^2　だから、n→∞としても何も言えないでしょ。
かわいそうだから解いてやったぞ↓
(3)の解答：1−cos(t)＝2sin^2(t/2) に注意して、
x[n]^2＝4n*(1−cos x[n])−1＝8n*sin^2(x[n]/2)−1 となる。
よって n*sin^2(x[n]/2)＝(x[n]^2＋1)/8 となる。この等式でn→∞とすると、
右辺は 1/8 に収束するから、lim[n→∞] n*sin^2(x[n]/2)＝1/8 …(a) となる。
次に、lim[t→0] t/(sin t)＝1 及び lim[n→∞](x[n]/2)＝0 から、
lim[n→∞](x[n]/2)/(sin(x[n]/2))＝1 となる。すなわち
lim[n→∞]x[n]/(sin(x[n]/2))＝2 …(b) となる。最後に、
n*x[n]^2＝n*x[n]^2*sin^2(x[n]/2)/(sin^2(x[n]/2)) ＝ (n*sin^2(x[n]/2)) * (x[n]/(sin(x[n]/2)))^2
だから、この等式でn→∞とすると、右辺は(a),(b)より(1/8)*2^2に収束する。
すなわち 1/2 に収束する。よって lim[n→∞] n*x[n]^2＝1/2 となる。[終]

35 ：

補足。
(3)みたいな問題で極限値がゼロになったら、自分の計算ミスを疑った方がいい。
一般に、数列a[n]が0に収束するとき、n*a[n] とか n*a[n]^2 とかの極限値は
∞ * 0 となって不定形だから、詳しく計算してみないと、どうなるか分からない。
こういう、あからさまに不定形になる問題で答えがゼロになることは あまり無い。
なぜなら、それでは面白くないから。出題者は、答えがゼロにならないような問題を作る。
今回の(3)も、このたぐいの問題。n*x[n]^2 の極限値は ∞ * 0 となって不定形だから、
詳しく計算しないと どうなるか分からず、おそらく答えはゼロでは無い。
で、(3)の答えは 1/2 であり、やっぱりゼロではなかった。

36 ：

倍角の公式か
俺には無理だわ

37 ：

大学教授ってすごいね
問題が作れるってことは、作った問題は自分で解けるってことだもんね

38 ：

そりゃ高校の数学なんて数学者から見れば精々おもちゃだからな。

39 ：

>>34-35
偉そうに能書き垂れてるけど、回答がまわりくどい。

40 ：

>>39
何の批判なのか不明。
その "能書き" に「俺のような簡潔な解答を心がけよ」とでも書いてあったなら
批判として成立するが、>>35ではそんな話はしていない。
能書き云々は抜きにして、単に「回答がまわりくどい」とクレームつけているだけなら、
そんなの、野次馬が文句垂れることでは無い。解答が間違ってるわけでもないのに。
一応返答しておくと、回りくどいことは承知の上で>>34を書いている。
この程度の問題に7月から11月まで約4ヶ月もかかっていて、なおも
解けてない>>25のレベルがよく分からないので、いちいち(b)式について
冗長に書いてみた。
また、俺としてはどうしても(a)式を明示したかった。(a)さえあれば、
あとは終わったも同然であり、ただの消化試合だからだ。
(a)も(b)も明示せず、1回の極限操作で答えが出るようにも出来るが、
それだと計算が天下り的すぎるのでやめた。

41 ：

後だしジャンケン乙。
『天下り的』 の使い方がおかしいし。

42 ：

何がおかしいかわからんw
数学科の教授とかもよく言うぞ｢天下り的に…｣って

43 ：

>>41
＞後だしジャンケン乙。
そんな論法が通用するなら、相手がどんな説明をしても
「後だしジャンケン乙」で切り捨てることが出来てしまう。
この論法においては、何でもかんでも先にケチをつけた者が勝ちになる。
実にくだらない。
クレーム合戦をしたいだけなら、お前に勝利をくれてやる。
先にケチをつけた者、すなわちお前の勝利だ。
『天下り的』については、ここでも見ればいい。
ttp://okwave.jp/qa/q6420930.html
ttp://www4.airnet.ne.jp/tmt/topics/amakudar.html
このような意味において、>>40の使い方は間違ってない。
あるいは、国語辞典に載っている意味に限定するなら、
数学で使われる『天下り的』は全て間違っているとも言える。
理数系の学科なら、一度は『天下り的』を目にすると思うのだが、
>>41は高校生なのだろうか？まさか>>25本人ではあるまいな？

44 ：

>>34の説明も天下り的だね。
>>34が天下り的な書き方しかできないだけでは？

45 ：

>>44
まあ、定石を知ってないと天下り的に見えるだろうな。
(a)式を見た段階でピンと来ない人には、その後の計算は
とても消化試合には見えないだろうな。
＞また、俺としてはどうしても(a)式を明示したかった。(a)さえあれば、
＞あとは終わったも同然であり、ただの消化試合だからだ。(>>40より)

46 ：

(a)式なんかをドヤ顔で書いているのが痛い。
余計問題を難しく解いてる。

47 ：

>>46
(a)式の時点で、もう解き終わってるんだよ。「余計難しい」とは言えないだろ。
なぜこの感覚が分からないのか？定石を知らないのか？
たとえば、a[n]は正の実数列で、a[n] → 0 かつ
lim[n→∞] n * sin(a[n]) * log(1＋a[n]) ＝ α
が成り立つとする。このとき、sin も log も外せて
lim[n→∞] n * a[n]^2 ＝ α　… (*)
が成り立つ。証明は log(1＋x)/x → 1 (x→0) とか使うだけ。
また、(*)を "予想する" だけなら、もっと簡単。なぜなら、
x≒0 のとき sin(x)≒x, log(1＋x)≒x だから。

48 ：

もう1つ例を出す。a[n]が正の実数列で、 a[n] → 0 かつ
lim[n→∞] sin^2(a[n]) * sin(tan(a[n])) ＝ α
が成り立つとする。このとき、sin も tan も外せて
lim[n→∞] a[n]^3 ＝ α
が成り立つ。これも、証明は sin(x)/x → 1 (x→0) とかを使うだけ。
同じく、"予想する" だけなら、x≒0 のとき sin(x)≒x, tan(x)≒x を使うだけ。
このように、sinとかlogとかは "外せる" ことが多い。そして、
その外し方というか、「外せることの証明」はワンパターン。
このことが身についていれば、(a)のような中間的な極限を見つけた段階で
"もう解き終わっている" のだから、求めたい極限に執着する必要がなくなる。
一方で、(a)を明示せず、1回の極限操作で答えが出るように解答を書いた場合、
行数は減るけど、読む側は得をしない。そのような上手い式変形に執着するように
なってしまう。そういう解答は、それ単独では美しいが、「簡単な解答」とは違う。

49 ：

>>10
Ｆラン大で微積分の演習に使えそうだなｗ

50 ：

>>34　の説明だと唐突に　n*sin^2(x[n]/2)＝(x[n]^2＋1)/8　が出てきてる。
これは　n*x[n]^2 ＝ (n*sin^2(x[n]/2)) * (x[n]/(sin(x[n]/2)))^2　と変形するのを
先に見せとおかないと分かりにくい。
さらにこれらを分離して説明するより、
n*x[n]^2＝ (x[n]^2＋1)/２*{ (x[n]/2)/(sin(x[n]/2))}^2　として極限とった方がいいだろ。
もっとシンプルにしたければ　y[n]＝(1−cos x[n])/(x[n])^2　として
n*x[n]^2＝１/{４(y[n])^2−(１/n)}　としてもよい。
lim[n→∞]y[n]＝１/2　は準公式。

51 ：

>>50
＞>>34　の説明だと唐突に　n*sin^2(x[n]/2)＝(x[n]^2＋1)/8　が出てきてる。
＞これは　n*x[n]^2 ＝ (n*sin^2(x[n]/2)) * (x[n]/(sin(x[n]/2)))^2　と変形するのを
＞先に見せとおかないと分かりにくい。
いやいや、>>47-48 を読めよ。お前の見方だと、>>34でやっていることは
・まず(a)式を導きます。
・なぜ(a)式を導くかというと、n*x[n]^2 ＝ (n*sin^2(x[n]/2)) * (x[n]/(sin(x[n]/2)))^2
　という式変形に当てはめるためです。
・最後に、この式変形に当てはめて、答えが出ます。
という解釈になるが、そうじゃないんだよ。これじゃあまるで
n*x[n]^2 ＝ (n*sin^2(x[n]/2)) * (x[n]/(sin(x[n]/2)))^2
という式変形ありきで(a)を導いていることになるが、そうじゃないんだよ。
・まず(a)式を導きます。
・ああ、この形は、sin が外せますね。
・sinが外せることの証明は、おなじみのワンパターンな証明ですね。もう消化試合ですね。
こうなんだよ。
(もっとも、>>47-48が分からない状態で>>34を読めば、>>50のような解釈になるのは仕方が無いが)

52 ：

>>50
＞さらにこれらを分離して説明するより、
＞n*x[n]^2＝ (x[n]^2＋1)/２*{ (x[n]/2)/(sin(x[n]/2))}^2　として極限とった方がいいだろ。
それがまさに、(a),(b)を明示せずに1回の極限で答える方法。
が、その方法には欠点がある。どうして
n*x[n]^2＝ (x[n]^2＋1)/２*{ (x[n]/2)/(sin(x[n]/2))}^2
このような変形を思いつくのか、読み手に全く伝わらない。
読み手が全く得をしない。天下り的すぎる。
こんな式変形を見たところで、読み手は このような式変形を
出来るようにならない。 この解答は、短くてスッキリしているが、
しかし簡単な解答では無い。　短い解答 ＝ 簡単な解答　とはならない。

53 ：

3連投になってしまうが、まあ許せ。
>>50
＞もっとシンプルにしたければ　y[n]＝(1−cos x[n])/(x[n])^2　として
＞n*x[n]^2＝１/{４(y[n])^2−(１/n)}　としてもよい。
＞lim[n→∞]y[n]＝１/2　は準公式。
その解答はアリだ。最初に与えられた x[n]^2＝4n*(1−cos x[n])−1 を
n*x[n]^2 で割るだけで行ける。短いし、"天下り的すぎる" ということも無い。
これが一番いいかもしれん／＾o＾＼
あと、４(y[n])^2 じゃなくて ４y[n] な。

54 ：

>>53
言いたい事は分かったが>>25には伝わって無かったと思うぞ。

55 ：

>>54
貴様程度に俺の何が分かる？
分を弁えずに他人の心中を斟酌などしないことだ……。

56 ：

>>55
あらやだ
かっこいい

57 ：

良かれと思って採用した解答の書き方だが、思いのほか
「誰にも」伝わってなかったようなので、俺は反省しなければならない。
短いけど天下り的すぎる解答は、俺は嫌いなのだ。
多少泥臭くても、"やさしい" 解答にしたいのだ。
だが、今回の>>34は完全に失敗だったようだ。
俺の自己満足になってしまったようだ。すまぬ。
それと、>34-35で "上から目線" で書いたのは悪かった。
>>15, >>20を見てね、「質問者のくせに生意気だ。けしからん」と思ったのだ。
しかし、俺もまた「この程度の解答で生意気だ」と思われたようだ。
やはり、悪態をついていると いいことはないようだ。すまん。

58 ：

>>26
設定が愉快だね。

59 ：11/11/10

よくそんなツマンナイ書き込みに
一生懸命なれるね
若いっていいね
とりあえずそんなエネルギーあったらEGAでも読んどけ