分からない問題はここに書いてね361

1 ：11/10/19 〜 最終レス ：11/11/11

さあ、今日も１日頑張ろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね360
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1316096657/

2 ：

∫1/[(K-x^2)^2+A^2x^2]dx
xは-∞から∞です。
この積分はどうすればいいのでしょうか？
やはり留数計算でしょうか？

3 ：

>>2
わかんない・・・

4 ：

ちなみに値はわかっているのですが
∫1/[(K-x^2)^2+A^2x^2]dx =π/AK
です。

5 ：

>>4
[(K-x^2)^2+A^2x^2]=(-K+x^2 -iAx)(-K+x^2 +iAx)=(x-α)(x-β)(-K+x^2 +iAx)
α,β = { iA ± √(K-A^2) }/2
K＞0, K≠A^2 なら α,βはガウス平面上半分にありかつ重複しない。
留数定理より
∫1/[...] = 2πi/[(α-β)*2iAα] + 2πi/[(β-α)*2iAβ]
=π(β-α)/{(α-β)*Aαβ} = -π/(Aαβ}) = π/(AK)
途中で
-K+α^2 = +iAα
-K+β^2 = +iAβ
αβ= -K
の関係を使った。
他の場合分けは任せた。

6 ：

訂正
α,β = { iA ± √(4K-A^2) }/2
K＞0, 4K≠A^2 なら α,βはガウス平面上半分にありかつ重複しない。
だった。

7 ：

方程式x^2=2^xをx<0の範囲で解け。

8 ：

995 ：１３２人目の素数さん：2011/10/19(水) 14:39:17.89
α(1)<π<α(2)｛α(1),α(2)∈Q｝をみたす
最大の有理数α(1)および最小の有理数α(2)を求めよ。
お願いします。
996 ：１３２人目の素数さん：2011/10/19(水) 14:46:47.04
>>995
ない
997 ：１３２人目の素数さん：2011/10/19(水) 14:49:49.68
>>995
そんな有理数があったとしたら、{α(1)+α(2)}/2　がどんな意味を持つか考えましょう。
998 ：１３２人目の素数さん：2011/10/20(木) 06:59:23.57
10進法では有理数になるから超越数はオーダー０で有理数近似ができる。
小学生のレベルの問題です。
>>998 の言いたい事が分かりません。
πが10進法では有理数になると思っている？

9 ：

>>8
きっと寂しがり屋なんだよ998は

10 ：

>>5
感激です！ありがとうございます。

11 ：

代数の本に
Ｆ上のベクトル空間Ｖが無限次元であるとは、ある無限個のＶのベクトルがあって それらがＦ上線形独立である
とあるのですが、普通の次元の定義は 線形独立かつ生成している、ですよね？
なぜ無限次元の場合は 生成しているという条件がないのですか？

12 ：

K⊂Cをコンパクト集合、C＼Kは連結とする。f∈O(K)に対して多項式の列｛fn｝でlim max�Tf(z)−fn(z)�T＝0 (z∈K) を満たすものが存在することを示してください

13 ：

>>11
「少なくとも無限次元」ならば無限次元なんでは？

14 ：

>>13
そういえばそうですね
ありがとうございました

15 ：

開集合と開集合の直積で開集合にならない例を教えて下さい

16 ：

すみません>>15ですが
無限個の開集合の直積で開集合にならない例を教えて下さい

17 ：

∫xln(x+a)dx　aは定数
ってどうなりますか？
方針だけでも結構です。

18 ：

>>17
部分積分

19 ：

いい気分

20 ：

n次元（複素数全体の集合）でも三角不等式って成り立つんですか？

21 ：

？

22 ：

n次元（複素数全体の集合）ってなんだ

23 ：

すいません。えと、
ベクトルX＝(x1,x2,…,xn),ベクトルY=(y1,y2,…,yn)∈C^n
に対し、
|X+Y|≦|X|+|Y|
が成り立つかどうかが知りたいんです。

24 ：

>>16お願いします…

25 ：

>>18
1/2*x^2ln(x+a)-∫1/2*x^2*1/(x+a)dx
ですよね？
第二項目の積分はどうすればいいんですか？

26 ：

>>25
割り算。多項式 + c/(x+a) なら積分できるだろ？

27 ：

>>26
ありがとうございます！

28 ：

>>16
全体でも空でもない開集合の無限直積

29 ：

>>28
何故ですか…？
本にはそう書いてありますが、よくわかりません…

30 ：

R^Nを可算直積空間とする。f:R→R^N, f(t)=(t, 2t, 3t,・・・) は連続写像
J=(-1,1)×(-1,1)×(-1,1)×・・・
とするとf^{-1}(J)={0}は開集合ではないのでJも開集合ではない

31 ：

f(t)=(t, 2t, 3t,・・・) が連続であることを照明してください。

32 ：

f(t) = (t,t,t,.....)
J=(-1-ε1,1+ε1)x(-1-ε2,1+ε2)x(-1-ε3,1+ε3)x..
εn=1/n
f^-1(J)= Intersection(n=1...)((-1-εn,1+εn) = [-1,1] closed
qed

33 ：

　ばか！
おまえらは黙っておれ！>>31-32

34 ：

R^Nには直積位相を入れてるので
fが連続であることと成分関数がすべて連続であることは同値

35 ：

すみません，ご教示いただきたく‥‥．
\sum _{k_1}f_1(k_1)
+ \sum _{k_1}\sum _{k_2}f_2(k_1,k_2)
+ \sum _{k_1}\sum _{k_2}\sum _{k_3}f_3(k_1,k_2,k_3)
+ ・・・
これをキレイに一発で
\sum (hogehoge)
の形に書きたいのですが出来ますか？

36 ：

>>33
βは消えろ
うざいンだよ
オマエは

37 ：

行列について教えてください。
|a1 b1 c1|
|a2 b2 c2| = (a,b,c) = (ai+bj+ck)
|a3 b3 c3|
っていうふうに書いてあったんですが、
これはどういう意味なんでしょうか？
何で行列が足し算？で表せるのでしょうか？
a,b,cはベクトルだと思います。
i,j,kは何？
誰か教えてください。お願いします。

38 ：

>>37
画像かなんか出してくれ、左辺は行列式なの？行列なの？

39 ：

>>35
\sum_{n = 1}^\infty \sum _{k_1} \sum _{k_2} \dots \sum _{k_n} f_n(k_1, k_2, \dots, k_n)
とか？

40 ：

>>38さん
ttp://www.teu.ac.jp/clab/kondo/research/cadcgtext/Chap4/Chap401.html
にあります。
よろしくお願いします。

41 ：

>>39
うん，それなんだけれど，\dots　を使わずに書きたい，という訳です．
とりあえず深夜にレスありがとう．

42 ：

>>37
左辺は行列のことだな。
この行列の列ベクトルを順にa,b,cとおけば、この行列は
列ベクトルを成分とする横ベクトル　(a,b,c)　とみなすことができる。
すると、これをベクトルの和で書けば
(a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c)　となり、
さらに、列ベクトルa,b,cを普通のベクトルのスカラーのように扱えば
a*(1,0,0)+b*(0,1,0)+c*(0,0,1)
個々に現れる基本単位ベクトルを順にi,j,kと書けば
ai+bj+ck
となる。

43 ：

>>40
大袈裟な引用先だなあ

44 ：

>>42さん
ありがとう！
このページに関しては理解できました。
でも、次のページの
単位行列が、E=uu+vv+ww となる
が、どうすれば証明できるのか分からないです。

45 ：

>>44
こういうのはuuとかのベクトルの積を、
左側が縦ベクトル(3行1列の行列)、右側が横ベクトル(1行3列の行列)、
としてるんじゃないかな。
ふつうは(u↑)を縦ベクトルとして
X=(u↑)(u↑)^T+(v↑)(v↑)^T+(w↑)(w↑)^T
とか書く((・↑)はボールド体の代わり)。
この行列Xに例えば右から(u↑)を掛けると(u↑)になるから
任意の行列Aを掛けてもXA=AとなってX=Eであることが分かる。

46 ：

>>45さん
ありがとう！
理解できました！

47 ：

For a real number $a$, let $d(k)$ be the difference between the largest and the smallest real root of $x^3-12x+k=0$. Determine the range of value of $d(k)$ when $k$ varies.
どなたか答えだけで構いませんから, 答えを示していただけませんか？
Thanks in advance.

48 ：

Sorry, I had a typo. I have just edited it.
For a real number $k$, let $d(k)$ be the difference between the largest and the smallest real root of $x^3-12x+k=0$. Determine the range of value of $d(k)$ when $k$ varies.

49 ：

k=0で最大、k=±16で最小かな

50 ：

Thank you for quick reply.
Is the answer 6≦d(ｋ)≦4\sqrt{3}?

51 ：

どっちに凸で、傾きがどうで、と議論して、
その範囲を越えないことを証明しないといけないけどね

52 ：

あぁ、あと、d(k)=0 もありうるとした方がいいんじゃないか？
その問題を字義どおりに読むと。

53 ：

グラフから, 直感的には, 答えてはいけないということですね。
ところで, この問題の答えは, d(k)=0 or 6≦d(ｋ)≦4\sqrt{3}らしいのです。
やはり, d(k)=0 は考慮しなければならないのでしょうか？

54 ：

One more check! You'd better add the possibility that d(k)=0 .
Oh! this is deduced literally from that problem

55 ：

You can't be intuitively dependent on the graph with entire acceptance attitude.
By the way, the correct answer is claimed that (k)=0 or 6≦d(ｋ)≦4\sqrt{3}.
So is it necessary to take in consideration the relation d(k)=0?

56 ：

Which direction, or how is the slope, etc.
A series of discussions lead to the proof that it can't go beyond the range.

57 ：

Do the words the largest and the smallest mean the maximum and minimum respectively in mathematical meaning?
Especially, in this case, the maximum means max{a, b}=a (a≧ｂ) or b\ (a≦b)

58 ：

□に入る物は何か答えなさい。
　　1／□ 、2／1 、3／2 、 4／3

59 ：

いやです

60 ：

んなもん、いくらでも解あるわ
一例として、分子＝((k+N-1) mod N)+1,分母＝((k+N-2) mod N)+1とする。
N=4なら□=4となるが、Nは4以上の任意の整数にできるから解は無数にある。

61 ：

>>58
That doesn't make sense at all.

62 ：

(√5x+2) +(√x+2)
全部根号が掛かってます
答えは2√2になるらしいのですが
途中式がわかりません
どなたか回答お願いします
意味が伝わりにくくてすみません

63 ：

>>62
√(5x+2) +√(x+2)
って意味？
x=0なら2√2だけど、そうじゃないならなんでx消えるの？

64 ：

＞＞63
すみません
4x/x{√(5x+2)+√(x+2)}=4/2√2
が問題の全部の式です
根号の処理の仕方がわからなくて(;_:)

65 ：

式だけじゃなくて、問題文も正確に写せ

66 ：

lim
x→0 √(5x+2)-√(x+2)
関数の極限値を求めよ
です(;_:)
すみませんお願いします

67 ：

>>66
4x/x{√(5x+2)+√(x+2)}=4/2√2
この式はどこにいったの？

68 ：

>>66 途中の式変わってるし・・・

69 ：

すいません、この極限計算してください。工作に必要なんです。
lim[δ→+0](1/δ) arccos(((2.859cos(t)-1655361/33500)(2.859cos(t+δ)-1655361/33500)+2.859sin(t)2.859sin(t+δ)+(-754776/8375)^2)/(√(10571.96002770261-282.5478865074627cos(t))√(10571.96002770261-282.5478865074627cos(t+δ))))

70 ：

>>69
どんな工作だよ
もっとすっきりした式にできんの？
この数値じゃ、δを0にしても分子が完全に0にならないので、無限大になってしまう

71 ：

>>69
もう整理するのも疲れるからプロットしてみた。
http://gazo.restspace.jp/img-box/img20111021232203.png
無限大になるようだね。

72 ：

斜円錐の展開図。δ=0.0000...1とドンドン小さくしていくと収束してるように見えるがなぜ0だと不定なのか不思議に思ってる。
本当は f(t)=>>69 として∫[0,a]f(t)dt を計算したい。無理そうなら数値積分する

73 ：

/1tanhxのマクローリン展開ってどうやるのが簡単ですか？

74 ：

1/tanhxのマクローリン展開ってどうやるのが簡単ですか？

75 ：

>>72
tとδって何？

76 ：

2次関数です　縦が５ｍ横が４ｍの長方形で
長方形のｘｍ短くし　横をｘ長くして　新たな長方形を作ったら
１６�uになりました
ｘの値を求めなさいです

77 ：

>>76
とりあえず問題を正確に書こうね＾＾

78 ：

f(x(u,v),u)ってなってるとき
∂f/∂uって何？

79 ：

>>76
縦:(5-x)、横:(4+x)
面積:(5-x)(4+x) = 16
なるので方程式を展開して、
20 +x -x^2 = 16
x^2 -x -4 = 0
２次方程式解の公式より
x = {-(-1) ± √((-1)^2 -4*(-4))}/2 = { 1 ± √(17) }/2
プラマイの2解は、どちらも長方形条件 (5-x)＞0, (4+x)＞0 を満たすけど。
「〜ｘｍ短くし〜ｘ長くして」の日本語的に x＞0 が期待されていると考えて、
x ={ 1 + √(17) }/2 [m]
の解を得る
でも数学的には、マイナス何メートル短くする・長くするって言い方は間違いってわけじゃない。
不自然かも知れないけど。 そこの判断が微妙になってしまう問題を作る方が悪い。
>>78
∂f/∂u = (∂x/u)(∂f/∂x) + ∂f/∂u

80 ：

>>79
てことは(∂x/u)(∂f/∂x)=0?

81 ：

>>80 ぇ？
∂f/∂x は f の第１変数で偏微分だよ
f=f(x,u) の中の x が、x=x(u,v) の関係式で (u,v) に依存しているわけだから
一般的には (∂x/u)(∂f/∂x) ≠ 0 です。

82 ：

∂f/∂u = (∂x/u)(∂f/∂x) + ∂f/∂u
両辺から∂f/∂uを引いて
(∂x/u)(∂f/∂x)=0

83 ：

>>80 ごめん間違ってた。
問題の最初に ∂f/∂u て書いてあるのは、df/du の間違いなんじゃないかな。
そのままだと、f(x,u) の第２変数で偏微分しましたって事になり、それ以上広げようがない。
df/du = (∂x/u)(∂f/∂x) + (∂u/∂u)(∂f/∂u) = (∂x/u)(∂f/∂x) + ∂f/∂u
というようなのが望まれているような気がします。

84 ：

>>78
g(u,v)=f(x(u,v),u)のときの∂g/∂uを求めるんじゃないのか

85 ：

あるいは独立変数(u,v)を強調するために
新たに F=F(u,v) = f(x(u,v),u) とでも置いて
∂F/∂u = (∂x/u)(∂f/∂x) + ∂f/∂u
∂F/∂v = (∂x/v)(∂f/∂x)
このほうがキッチリしてる感じ。

86 ：

uとvはfの独立変数じゃなくて合成関数の独立変数の名前でしょ
だからそもそも∂f/∂uが意味不明

87 ：

fの独立変数は、x と u だから意味はある。
ただ、∂f/∂uって何？ って聞かれても、ああ偏微分だねで終了するだけ。

88 ：

＞fの独立変数は、x と u だから意味はある。
何いってだこいつ

89 ：

ミレニアム問題の中には，嘘があります．
ミレニアム問題は，教師の命令を聞かない学生を黙らせます．
それは，いわば，学問の障壁と一緒です．
それと同時に，数学を好きになってもらうための魔法なのです．
In the issue of millennium, there is a lie.
The issue of millennium shuts up the student who does not hear the order of the teacher.
It is, so to speak, same as a wall of the learning.
At the same time, it is magic to have you come to like mathematics.

90 ：

写像f:X→Yが与えられたとき、Xの任意の部分集合A,Bについて
　f(A∩B)=f(A)∩f(B)
が成り立つならば、fは単射である。
この命題の逆は示せたのですが、上の命題が証明できません。
アドバイスをいただけますか。よろしくお願いします。

91 ：

>>90
条件が成り立つとして、単射でないとすると、
ある x,y∈X が存在して, x≠y, f(x)=f(y)=x' ∈Y となる。
{x}∩{y} =φ, φ＝f({x}∩{y}) ≠ f({x})∩f({y})＝{y}
矛盾する。よって単射である。

92 ：

>>91
ありがとうございます。すごい思いつきですね。
ただ、3行目の最後は{y}ではなく{x'}ですよね。
とても勉強になりました。

93 ：

∫(0→π)ｅ^(ａsinθ)ｄθ＝２∫(0→π/2)ｅ^(ａsinθ)ｄθ
はなりたちますか？

94 ：

>>93 はい。
だって、y=sin(θ) のグラフは θ=π/2 を中心に左右対称だから。
一般的にきちんと示すなら、
∫[0,π]f(sinθ)dθ ＝∫[0,π/2]f(sinθ)dθ + ∫[π/2,π]f(sinθ)dθ
右辺第二項
＝∫[θ=π/2,π]f(sin(π-θ))dθ
＝ -∫[τ=π/2,0]f(sinτ)dτ (τ=π-θと置いた)
＝ ∫[0,π/2]f(sinτ)dτ
以下略

95 ：

>>94
ありがとうございます
ａ＞０、ｂ＞０のとき
∫(-∞→∞){ｅ^(ｉａｘ)}/(ｘ-ｉｂ)
の値は
２πｉｅ^(-ａｂ)
になりますか…？
こういう積分の値を確認するソフトみたいなものはないですかね…？
自分で計算した値が合ってるか不安で…

96 ：

wolfram

97 ：

Wolfram に記号a,bは正だよって知らせるにはどうしたらいいか迷ったけど、絶対値で計算したらなんとかなるね。
integrate( e^(+I |a| x)/(x -I |b|),x,-inf,+inf )

98 ：

if a real or Arg[b^2] != Pi ならこたえがでるね、、　　

99 ：

その種の記号の条件式を wolfram で指定して計算するにはどうしたらいいの？

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