【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】

1 ：11/10/25 〜 最終レス ：11/11/11

2011年10月25日をもって、エヴァリスト・ガロア生誕200周年となりました
Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日

2 ：

おめでとう

3 ：

おめ

4 ：

おめめーーーーー

5 ：

がろあたん

6 ：

数セミ１０月号読んだか？

7 ：

>>6
読んだお

8 ：

ガロア様

9 ：

おめー

10 ：

もしあの時、ガロアが生き続けていたら、今頃・・・・・

11 ：

200年前の今日、ガロアが生まれたんだよな.....（胸熱

12 ：

ガロアみたいなアホ崇めてどうすんだ？
命はもっと大切にせんと数学できんだろ。

13 ：

おめでとー

14 ：

２００年祭のまえにガロアの理論を完全に理解したい。

15 ：

ガロア誕生日おめでとう
200年前の日本は幕末か

16 ：

うぉぉおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおお
おめでとうううううううううううううううううううううううううううううううううううううううう
ガロア！ガロア！ひゅぅぅぅうううぅううぅぅぅぅぅ

17 ：

僕は、ガロアみたいにかっこ良く二十歳で死にたいです。

18 ：

GrothendieckもGaloisの才能を称えていたな。

19 ：

Grothendieck曰く、もしGaloisが長生きしていたら私より遥かに先を行っていたに違いない。

20 ：

つまり、そのあとにはぺんぺん草（＝グロ）もはえなかったと。

21 ：

クソスレ立てるな！>>1
削除依頼だしておけよ

22 ：

>>18
Grothendieckが最も恐れていた数学者は恐らくはそのGaloisでしょうね。
猫

23 ：

Galoisってそんなにすごい人なの？

24 ：

とくにぶちぬけた天才だから、ガロアと他のぶちぬけた奴の共通点から
真の天才は云々カンヌンっていう風説まで生まれたことがある。
十代後半で数学に20になるまでに業績をあげ３０になるころには死期みたいなの
「天才数学者はこう解いた、こう生きた　方程式四千年の歴史」っていう本で見た。

25 ：

わしは40代で数学に出会った。何が出来る？

26 ：

まあグロタンの仕事にはかなり本質的だと思いますが。
猫

27 ：

ガロア賞創設のお知らせマダァー？（ﾁﾝﾁﾝ

28 ：

>>26
ひとつ言える事はグロタンがモジュラー形式に興味があって
それに関して何か書き残したか？と言うことらしい。
CartierがIHESの講演で言ったのだが、
もしGrothendieckとLanglandsが実際に
顔を合わせたことは無いのだが、もし実現すれば
二人はどういう会話を交わしたであろうか？

29 ：

Grothendieck「ハルヒってかわいいよね。」
Langlands「誰やねん、そいつ」

30 ：

Galoisはえらいねえ
それにくらべると

31 ：

>>28
ああ、そうですか。Cartierはそんな事を言いましたか。でもその二人が
実際に顔を合わせてないのはかなり勿体無い感じですね。いやGodement
のモジュラー形式の論文を読んでいて、ソコに「グロタンがどうの」とい
う話が出て来てたのは何となく覚えてますが。
いやでももしその二人の会話が実現してたら、そりゃ是非とも傍で聞い
ていたいですよね。
猫

32 ：

カルチエとピカソと坊主

33 ：

グロタンの構想したガロア群とラングランズのL群は同じなの？

34 ：

今年中は毎日通ってこのスレを支援します

35 ：

今日で支援終わると思います。

36 ：

再開

37 ：

素晴らしいと思いませんか？ガロアさん。
ところで、ガロアはエヴァリスト・ガロアでしたよね？
凄く魅力的な名前ですね〜

38 ：

エヴァリスト・ガロワ（ Évangelion Galois , 1811-10-25日 〜 1832-5-31 ）

39 ：

ガロアってあのグロタンにもその実力を認められていたのかー
スゲー

40 ：

ガロワとガロア、どっちで呼べばいいんですか？

41 ：

oiはフランス語では、ワと発音する。だから、ポアンカレは正しくは
ポワンカレ。同じように、トイレはトワレが正しい発音だ。従って、
オードトワレとはトイレの臭いを意味する。

42 ：

マンダム、男の世界。

43 ：

なるほど。
おっと、失礼、最近お腹の調子が悪くてね。
ちょっとトワレに行ってきますので、悪しからず。

44 ：

オサーンや爺の加齢臭は御免蒙り

45 ：

ガロワアゲ。
でも、みんなガロアって呼んでませんか？

46 ：

ギャロイスと呼んでもまったく問題なし

47 ：

ガロワがババロワたべたを１０回いいなさい

48 ：

ガロアに憧れる無能の禿ジジイ

49 ：

ポワンカレ
ポオワンカレ

50 ：

2012年10月までにガロア理論を理解すると決意した。

51 ：

ガロア理論の基本定理だけなら１５分で理解出来るだろ

52 ：

四次方程式の解の公式はないだっけ？

53 ：

Evalist Galoisでよい
カタカナ表記すんな

54 ：

Évangelion Galois

55 ：

>>51
ガロア理論を理解する＝＝ガロア理論を自由に使いこなせる。
15分云々ならいまでもできているよ

56 ：

15分で本格的体論はさすがに無理

57 ：

藤崎の「体とGalois理論」15分で読んでみろよw

58 ：

↑
仙石のにせものめ！　
ﾍﾞｰﾀ　市ね!

59 ：

ガロアの理論を理解するニートめ！

60 ：

支援アゲ

61 ：

猫VSガロア
これは激戦

62 ：

Drinfeld

63 ：

ガロア支援age
お前らそれでも数学住人か！！！！！！！！！

64 ：

現代においてガロアクラスの数学者ってたとえばどんな人？

65 ：

哲也

66 ：

二十歳前の数学者でガロアクラスはだれ？

67 ：

俺。

68 ：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,;r'"
　　　　　　　　_.r-―‐-,､_　　　　　　　　　 ,ノ
　　　　　 __,ノ　-─―‐-,､)　　　　　　　,ィ´
ー‐''"´￣　　　-─―‐-,､)　　　　　,;r'"
　　　　　　　　 -─―‐-,､)　　　 .,‐':､
　ガロア　　　ｒ-─―‐-､)__＿,ノ　　ﾞl、　　　群
　　　　　　　　|　　　　　（_　　　　　　｝
　__＿_　　　　"､_＿__,ノ⌒i￣｀`'‐、,i´
　　　　￣｀`'‐､＿__＿,_..-'"　　　　 ｀ヽ、　　　　　　　　　ﾉ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｀`'ー、　　　　 ,人

69 ：

ガロアクラスって言われてもなー
そりゃあの時と比べたら今の時代の数学は更に複雑になってるし、
知識量で言えばそりゃー現代の数学者達のほうが上。
才能で言えば、2年間の教材を2日で読み解いたり
刑務所で超複雑な式を頭の中で解いたり
あまりにも凄すぎてまわりには理解不能だったり
20までにとんでもない業績を上げ数学界に絶大な影響を与えたりしたり
そんな奴が現代にいればガロアクラスって事じゃないかな。

70 ：

>>69
＞知識量で言えばそりゃー現代の数学者達のほうが上。
今の数学者は受験勉強の影響で、勉強ばかり好み
新しいことをやりたがらないから、全然ダメ。
＞才能で言えば、2年間の教材を2日で読み解いたり
＞刑務所で超複雑な式を頭の中で解いたり
あんた、ガロアの何がどうスゴイか全然分かってないね。
ガロアはそんなことはやっちゃいないよ。

71 ：

ガロアに限ったことではないが、
天才というのは目の前の壁を
あたかもシャボン玉の膜のように
すり抜ける。
実際、彼等にはわかるのだ。
目の前の壁が実はシャボン玉の膜
にすぎないってことが。

72 ：

>>70ウィキにはそう書いてありましたよ。
よければガロアの何がスゴイのか詳しく御教授お願いします。

73 ：

>>72
＞ウィキにはそう書いてありましたよ。
どうせなら、こっちを引用すればいいのに
「彼（ガロア）は五次方程式の解法を発見したと錯覚し、
　凡庸な数学的才能しか持たないヴェルニエ
　（ルイ・ル・グランの数学教師）は対応に苦慮した」
教訓：天才とトンデモは紙一重。

74 ：

この文章も忘れてはならんな。
「（留年により）時間を持て余したガロアは、
　数学準備級の授業にも出席するようになった。
　当時のフランスでは数学教育は重視されておらず、
　数学は将来の進む方向によって補習科で教えられていた
　のみだった。」
今でいえば、学業不振の生徒が
音楽に目覚めちゃうみたいなもんだなｗ

75 ：

ガロワとゲーデルってどっちが天才なの？

76 ：

俺。

77 ：

俺

78 ：

ぼくちゃん

79 ：

儂じゃ

80 ：

>>74 明治大学理工学部生が漫才に目覚めちゃった
たけしみたい。

81 ：

猫撲滅記念

82 ：

まず次の性質 (*) を満たす可換体 Ω を考え、以後固定する。
(*) Ω係数の定数でない任意の１変数多項式は Ω において根を持つ。
Ω の例としては複素数体がある。
以下に考えるすべての体は Ω の部分体とする。
定義 1
K と L を体とし、K ⊂ L のとき K と L の対を L/K と書き(K の)拡大と呼ぶ。

83 ：

定義 2
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_m = L を体の有限列とする。
各 i、1 ≦ i ≦ m に対して K_i = K_(i-1)(α_i)、(α_i)^(n_i) ∈ K_(i-1) とする。
ここで n_i ≧ 1 は整数。
このとき L/K を根拡大と呼ぶ。

84 ：

定義 3
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) の Ω(>>82) における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
K(α_1、．．．、α_n) ⊂ L となる根拡大(>>83) L/K が存在するとき f(X) は根可解または可解であると言う。

85 ：

次の定理の証明を最終目標とする。
定理(Galois, 1832)
Ω(>>82)の標数を 0 とする。
K を体(>>82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) の Ω における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
f(X) が可解(>>84)であるためには K(α_1、．．．、α_n)/K の自己同型群が可解群であることが必要十分である。

86 ：

>>84
K はもちろん体(>>82)である。

87 ：

定義 4
L/K を体の拡大(>>82)とする。
L は K 上の線型空間と見なせる。
この線型空間の次元、即ちこの線型空間の基底の濃度を [L : K] と書く。
[L : K] が有限のとき L は K 上有限である、または L/K は有限であると言う。
[L : K] が無限のとき L は K 上無限または L/K は有限であると言う。

88 ：

命題 5
K ⊂ L ⊂ M を体(>>82)とする。
(e_i)、i ∈ I を L の K 上の(線型空間としての)基底、
(f_j)、j ∈ J を M の L 上の基底とする。
このとき、((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は M の K 上の基底である。
よって、[M : K] = [M : L][L : K]
証明
任意の z ∈ M に対して L の元の列 (α_j)、j ∈ J があり、
z = Σ(α_j)(f_j) と書ける。
ここで、有限個の j を除いて α_j = 0 である。
各 j ∈ J に対して K の元の列 (b_(j, i))、i ∈ I があり、
α_j = Σ[i] (b_(j, i))(e_i) と書ける。
ここで、有限個の (i, j) ∈ I×J を除いて b_(j, i) = 0 である。
よって、z = Σ[i, j] (b_(j, i))(e_i)(f_j) と書ける。
よって、M は K 上 ((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J で生成される。
K の元の列 (c_(j, i))、i ∈ I があり、Σ[i, j] (c_(j, i))(e_i)(f_j) = 0 とする。
ここで、有限個の (i, j) ∈ I×J を除いて c_(j, i) = 0 である。
各 j に対して Σ[i] (c_(j, i))(e_i) は L の元であるから Σ[i] (c_(j, i))(e_i) = 0 である。
よって、各 (i, j) に対して c_(j, i) = 0
よって、((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は K 上一次独立である。
以上から ((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は M の K 上の基底である。
証明終

89 ：

定義 6
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) とする。
K 係数の定数でない１変数多項式 f(X) があり f(α) = 0 となると α は K 上代数的であるという。
K 上代数的でない元を K 上超越的であるという。

90 ：

定義 7
L/K を体の拡大(>>82)とする。
L の各元が K 上代数的(>>89)のとき L は K 上代数的である、または L/K は代数的であるという。

91 ：

定義 8
K を体(>>82)とし S を Ω(>>82) の部分集合とする。
K と S を含む Ω の最小の部分環を K[S] と書く。
K と S を含む最小の体を K(S) と書く。
(α_i)、i ∈ I を Ω の元の族とする。
S = {α_i； i ∈ I} とおく。
K[S] と K(S) をそれぞれ K[α_i； i ∈ I]、K(α_i； i ∈ I) と書く。
I が有限集合 {1、．．．、n} のとき、K[S] と K(S) をそれぞれ
K[α_1、．．．、α_n]、K(α_1、．．．、α_n) と書く。

92 ：

突然クマさんが現れた
スレを間違えてるんじゃないの

93 ：

命題 9
K を体(>>82)とし α_1、．．．、α_n を Ω(>>82) の元の有限列とする。
K[X_1、．．．、X_n] を K 上の n 変数の多項式環とする。
このとき、
K[α_1、．．．、α_n] (>>91) = {f[α_1、．．．、α_n]； f ∈ K[X_1、．．．、X_n]}
K(α_1、．．．、α_n) (>>91) = {f[α_1、．．．、α_n]/g[α_1、．．．、α_n]/；
f, g ∈ K[X_1、．．．、X_n]、g[α_1、．．．、α_n] ≠ 0}
証明
自明である。

94 ：

あーあ、呆けちゃって。
ついに厠が何処かも分からなくなったかw

95 ：

>>93の修正
命題 9
K を体(>>82)とし α_1、．．．、α_n を Ω(>>82) の元の有限列とする。
K[X_1、．．．、X_n] を K 上の n 変数の多項式環とする。
このとき、
K[α_1、．．．、α_n](>>91) = {f(α_1、．．．、α_n)； f ∈ K[X_1、．．．、X_n]}
K(α_1、．．．、α_n)(>>91) = {f(α_1、．．．、α_n)/g(α_1、．．．、α_n)、
f, g ∈ K[X_1、．．．、X_n]、g(α_1、．．．、α_n) ≠ 0}
証明
自明である。

96 ：

命題 10
K を体(>>82)とし、f(X) を K 係数の次数 n ≧ 1 の１変数多項式とする。
(f(X)) を f(X) で生成される K[X] のイデアルとする。
剰余環 K[X]/(f(X)) は K 上の線型空間と見なされる。
このとき K[X]/(f(X)) の K 上の次元は n である。
証明
ρ：K[X] → K[X]/(f(X)) を標準的な準同型とする。
ρ(X) = x とおく。
任意の g(X) ∈ K[X] に対して g(X) = f(X)q(X) + r(X)、deg r(X) ＜ n となる q(X)、r(x) ∈ K[X] が
存在する。
このとき、g(x) = f(x)q(x) + r(x) = 0q(x) + r(x) = r(x) である。
よって、K[X]/(f(X)) の任意の元は 1、x、．．．、x^(n-1) の K 上の一次結合として表される。
K の元の列 a_0、．．．，a_(n-1) があり a_0 + (a_1)x_1 + ．．． + (a_(n-1))x^(n-1) = 0 とする。
このとき、多項式 a_0 + (a_1)X_1 + ．．． + (a_(n-1))X^(n-1) は f(X) で割り切れるから
a_0 = a_1 = ．．． = a_(n-1) = 0 でなければならない。
よって、1、x、．．．、x^(n-1) は K 上一次独立である。
即ち、1、x、．．．、x^(n-1) は K 上の線型空間としての K[X]/(f(X)) の基底である。
証明終

97 ：

定義 11
A を可換環とする。
B を A-加群とする。
ρ：B×B → B をA-多重線型写像とする。
即ち、x, y, z, w ∈ B、a ∈ A のとき、
1) ρ(x + y, z) = ρ(x, z) + ρ(y, z)
2) ρ(x, z + w) = ρ(x, z) + ρ(x, w)
3) ρ(ax, z) = ρ(x, az) = aρ(x, z)
このとき、三つ組み (A, ρ, B) または B を A 上の代数または A-代数と言う。
通常 x, y ∈ B のとき ρ(x, y) を xy と書く。
A-代数 (A, ρ, B) が算法 ρ に関して結合律を満たすとき B を結合的な A-代数と言う。
結合的な A-代数は A 上の線型環または A-線型環とも言う。
特に断らない限り A-線型環は単位元 1 を持つとする。
A 上の零加群 0 は自然に単位元 1 = 0 を持つ A-線型環と見なせる。

98 ：

定義 12
A を可換環とする。
E と F を A-線型環(>>97)とする。
A-線型写像 f：E → F は環準同型であるとき A 上の準同型または A-準同型と言う。
特に断らない限り A-準同型は単位元を単位元に写すものとする。

99 ：

命題 13
A を可換環とし、E を A-線型環(>>97)とする。
任意の α ∈ A に対して α1 ∈ E を対応させる写像を f：A → E とする。
f は環としての準同型であり、f(A) は E の中心に含まれる。
証明
自明である。

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