まず>>1-3をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。
前スレ
高校生のための数学の質問スレPART314
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319372731/
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
a+b → a 足す b （足し算)
a-b → a 引く b （引き算)
a*b → a 掛ける b （掛け算)
a/b → a 割る b （割り算)
■ 累乗 ^
a^b a の b乗
a^(b+1) a の b+1乗
a^b + 1 （a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
a/(b + c) と a/b + c
a/(b*c) と a/b*c
はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
a[n] or a_(n) → 数列aの第n項目
a[n+1] = a[n] + 3 → 等差数列の一例
Σ[k=1,n]a_(k) → 数列の和
■ 積分
∫[0,1] x^2 dx
∫[0,x] sin(t) dt
■ 三角関数
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
AB↑ a↑
ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（行（または列ごと）に表示する． 例）M=[[1,-1],[3,2]])
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b [a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a [２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R [正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A) [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微分]
Ax+By+C=0
A'x+B'y+C'=0
A''x+B''y+C''=0
が与えられたとき、これらの交点を通る円の方程式をスマートに求める方法
はありますか？束の考え方を使うみたいな方法があれば・・・
［f(x)］の右側にある、上端下端の数字をテキストで表現するにはどうすればいいですか？>>1に無かったもので。
正四角錐の定義を書いてみて。
積分区間が定まっているから定積分、っていう認識でいいのでは
>>1 のリンク先により詳細な書き方の例が出ている→ ∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1]
っていうか、このリンク先の例を拝借してテンプレにそのまま載せればいいんじゃないの？
テンプレに追加したほうがよさそうなものを幾つか挙げておくと
●共役複素数：z~
●絶対値：|x|
●ガウス記号：[x] （← 関数の変数表示などと混同しないように注意．）
●積分：∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy（ "∫"は「いんてぐらる」「せきぶん」「きごう」などで変換せよ（環境によって異なる）．）
●順列・組合せ：P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk （← "Π"は「ぱい」で変換可．）
円の方程式を一般形
x^2 + y^2 + ax + by + c =0
で表しておき，交点の座標を代入して a ，b ，c を求めるのが最善では？
もちろん問題によっては図形的にすぐに求まることもあるが
（2直線が直交しているときなど）
頂点から底面への垂線の足が底面の重心を通る四角錐
であってますか？
底面はどんな四角形でもいいの？
正三角形です
A={1,2,…10}とするとき、AからAへの写像fとはどのようなものですか。
どなたかよろしくお願いします。
ググれば出てくる
分かりました。
問題には、fの右上に30が付いているのですが、それの意味が分かりません。
>>14
の続きで、『任意のx∈Aに対して、f30(x)=x を満たすものはいくつあるか』という問題です。
どなたか…
数学オリンピック、
上のPDFの9ページめ、12.番の問題？？？
だから問題は端折らずに全部書けと
察するに操作fを30回施した上で自分自身に移るものを求める問題なのだろうが
やっと分かりました。ありがとうございます。
問題の一部分だけを見て「わかりません」という態度は感心しない．
見慣れない記法には普通説明がついているはず．
もっと言えば，経験が浅いうちは，今取り組んでいる問題だけを見ていても手掛かりが得られないこともある．
教科書，参考書を隅から隅まで見直して，「手掛かりを見つけるぞ」くらいの気迫で取り組んでほしい
A = f 1, 2,: : :, 10 g とする. A からA への写像f で, 次の条件を満たす
ものはいくつあるか.
1) 任意のx 2 A に対して, f30(x) = x.
2) 各整数k, 1 5 k 5 29 に対しては, fk(a) 6= a となるa 2 A が少な
くとも１つ存在する.
ただし, x 2 A に対して, f1(x) = f(x), f2(x) = f(f1(x)),: : :, fk+1(x) =
f(fk(x)),: : : とする.
上のPDF、日本数学オリンピック1992年第二回予選の問題12のコピペ
そもそも数オリの問題をいきなりやろうとするかね……？
3直線の方程式を
F(x,y)=0
G(x,y)=0
H(x,y)=0
とする。
F(x,y)G(x,y) + λG(x,y)H(x,y) + μH(x,y)F(x,y) = 0
という二次式を考える。これが表す曲線は、与えられた3直線のうちどの2本の交点も通る。
そこでλとμを
・x^2 と y^2 の係数が等しくなるように
・xyの項が死ぬように
決めれば、これがお望みの円の式になる。
となる正の値ωは√3になるらしいのですが求め方が分かりません
エスパー用の問題か？
ゼロベクトルの大きさはゼロ
大きさが0ということは
a↑の各成分の２乗の和が０ということでいいんでしょうか
それを整理すると
1+1/3×ω^2+2/3×ω^2cos(ω+1)t=0
という式が出来ましたがここまであってるのでしょうか
って問題って初項ってk=1から始まるものですか0ですか？
整理して
cos(t) + ((ω^2)/3)cos(ωt) = 0，
sin(t) + ((ω^2)/3)sin(ωt) = 0
でいいのか？
答えが無理数なのに t の係数になる問題はあまりないような気がするが…
>>29 がどういうふうに解決したのかちょっと気になる
高校数学なら、特に断りがない限り初項は第１項でいいんじゃないかな
もちろん問題に指示等があればそれに従う
ある自然数nと実数s,t,uにおいて
a[n+1]=s×a[n]
a[n+2]=t×a[n]
a[n+3]=u×a[n]
が成り立つとき、
u=12t-41s+42
が成り立つことを証明せよ。
n=1のときに成立することを証明して数学的帰納法で解けばいいのかと思いましたが、どう扱っていいかわかりません。
よろしくお願いします。
＞ある自然数nと実数s,t,uにおいて
問題文は本当にこの通りですか？
u=12t-41s+42の両辺にa[n]をかける。
u=12t-41s+42・・・①
a[n]≠0ゆえ
①の両辺にa[n]をかけた式と①は同値である。
a[n+1]=s×a[n]
a[n+2]=t×a[n]
a[n+3]=u×a[n]が成り立つならば①*a[n]は
a[n+3]=12a[n+2]-41a[n+1]+42a[n]・・・②
と変形できる。
またa[n]≠0ゆえ
a[n+1]=s×a[n]
a[n+2]=t×a[n]
a[n+3]=u×a[n]
これをみたす実数stuはどの自然数nについてそれぞれ存在する。
以上より②が
a[n]=2^n+3^n+7^n(n=1,2,3,…)
の下で成り立つことを証明すれば①が成り立つことが言える。
②が
a[n]=2^n+3^n+7^n(n=1,2,3,…)
の下で成り立つことの証明は代入すればすぐできるとおもいます。
問題集には∫1/sin^2ｄｘ=-1/tanx＋Cと書いてあったのですが、、-1/tanxの微分が1/sin^2xになるのは納得行ったものの、
どう計算しても∫1/sin^2ｄｘ=-1/tanx＋Cとなるような気がしません。
一応半角公式を使って上のように解いてみましたが合ってるようには思えないです
出来れば上の式が合ってるかどうかに加えて∫1/sin^2ｄｘ=-1/tanx＋Cの式の導き方も教えてほしいです
>上の式が合ってるかどうか
No
>∫1/sin^2ｄｘ=-1/tanx＋Cの式の導き方
覚える
あれ？こうじゃないの？
(-1/tanx)'=-1/(cosx)^2
アフォは来るな
お前は∫cosxdx=sinx+Cはどう導くというのだ？
∫1/sin^2ｄｘ=-tan(x+π/2)＋C
１行目から意味不明なんだけど
＞1/sin^x=2/1-cos2xの積分は－log│1-cos2x│/sin2x＋Cで合ってますか？
両辺を積分したってこと？意味不明
つうか記法からしてめちゃくちゃだな
xを置換すればすぐじゃねえのかよ
∫1/(sinx)^2 dx=tan(x+π/2)＋C
例えば2次式の恒等式で、放物線で考えるなら３つ共有点をもつ違う放物線はありえないんだから不要じゃないかというのは
この考え自体に穴があるんでしょうか？あるいは作法だから従わないとダメということなんでしょうか？
もしくは連立で解いても一般的に違わないことをキチンと示さないとダメだからですか？
採点に関しては、教師や塾講師に問い質すか、
受験板の数学スレとかで聞いた方がいいかもしれない。
この部分の説明が必要性だか十分性だかの部分でしょ。
筆記問題とかで何が定義・公理・定理として使ってよくて
何がいけない（使いたい場合は補題として証明をつけなければいけない）のか
悩むことがあったなあ
あの定理って教科書に載ってる証明抜きで使っていいやつだっけ、
それともどこかの参考書とかで知った証明の必要なやつだっけ…とか
ロピタルが補題として証明添付が必要な場面において
証明抜きに使うトラブルは、未だ多いんだろうか
例えば、二次方程式の解を求める時に、
発見的に解をふたつ求めて、
答案にはそのふたつの
解を天下りに与えて、解になっていることを
確認するだけで終わりとする、
ということ？
をx=1,2,3で連立を作って解いたら減点
という具合です
他にないことは当たり前という逃げはできないみたいですね
ありがとうございました
変な解き方だけど減点されるのか？
オカシイな。
x^2 + 2x + 3 = αx^2 + βx + γ（∀x∈R）だから
どんな実数ｘを代入しようが勝手だろ
それこそx=0を代入してγ=3求めるなんて普通と思うが
答案の最初か最後にに、明示的に、
異なる放物線の交点は
高々2個であり、三個あるなら、同じ放物線である
ということを書いておけば、
入試なら多分減点されずに満点になると思う。
しかし、高校の定期試験なら、教育的な意味も込めて
減点されても仕方が無い。
もっと簡単で良い(上の事実を使わない)解法を覚えさせるという意味で。
泥臭いから減点してるのだとしたら
その先生は全ての問題をエレガントに解く素晴らしい先生なのだろう
もし、その文言がはっきり書いていなかった場合、
入試で減点されるかされないかは、
その時の採点基準による
その考え方は答えのα、β、γが少なくともひとつ存在してると分かってるなら使っていいが
以下のようなケース、答えのα、β、γがそもそも存在しないケースだとまずい
x^3+x+1=αx^2+βx+γ
これにx=1,2,3を代入すると式が3つ出てきてα、β、γが求まるが当然ながら両辺は恒等式とはならない
ということを多分言いたいのじゃないかなと思う
http://beebee2see.appspot.com/i/azuY1vOFBQw.jpg
答えがなくて答え合わせができないので解いて下さい。
元々恒等式って与えられてるときの解き方じゃないかな？
恒等式かわからないときの話ではないでしょ？
http://beebee2see.appspot.com/i/azuY4POFBQw.jpg
グチャグチャだったので最うpしました。
解いて下さい宜しくお願いします。
小中学生スレに書け、と思ったら向こうにも書いてるじゃねえか。
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1310630172/706
マルチ氏ね
点P(1,k)がある。
点Pから曲線y=f(x)に3本の接線が引けるような実数kの値の範囲を求めよ。
と、いうベタな問題ですが
解法の途中に必ず
【省略】
k=(3t^2+6t+1)-2t^3-3t^2・・・①
【点Pから3本の接線が引けるのは、3次方程式①が異なる3つの実数解をもつとき】
という文があらわれます。
この文章について詳しくお願いします。
>【省略】
の部分に鍵があるはず。
のところですよね？
詳しくお願いします。
(t, f(t))で接する接線の方程式が
y = (3t^2+6t+1)x -2t^3-3t^2
これが点P(1,k)を通る
⇔k=(3t^2+6t+1)-2t^3-3t^2
3本の接線が引ける
⇒上の方程式が異なる3つの実数解をもつ）
3次関数のグラフの場合、逆に
異なる3つの実数解をもつ⇒3本の接線が引ける
も言えると思うけど、
一般には、1本の接線が2つ以上の接点を持つかもしれないから逆向きは言えない
⇒上の方程式が異なる3つの実数解をもつ）
この部分が分かりません。
接線はどの点で接するかで１通りに定まる
（点(t, f(t))で接する接線は
y = (3t^2+6t+1)x -2t^3-3t^2
しかない）
3本の接線が引けるので、接点は少なくとも3つ（t1, t2, t3 とおく）ある
（例えば、接点が2つであれば、接線は多くても2本
1本の接線が2つ以上の接点を持つ可能性もあるから、接線が2本とは限らないよ）
よって、相異なる3つのt = t1, t2, t3 に対して
「接線y = (3t^2+6t+1)x -2t^3-3t^2が点P(1,k)を通る」が成り立つ
ゆえに
k=(3t^2+6t+1)-2t^3-3t^2 が異なる3つの実数解をもつ
これで本当に3本の接線が引けることは、別途確かめること
＞（例えば、接点が2つであれば、接線は多くても2本
＞1本の接線が2つ以上の接点を持つ可能性もあるから、接線が2本とは限らないよ）
でも3次関数ならその可能性は
ないということですよね？
接点1つにつき接線1本ですよね？
＞「接線y = (3t^2+6t+1)x -2t^3-3t^2が点P(1,k)を通る」が成り立つ
分かりません...。
論理の飛躍が。
＞「接線y = (3t^2+6t+1)x -2t^3-3t^2が点P(1,k)を通る」が成り立つ
元々、点P(1,k)を通る接線を考えていた。
これを
接点(t, f(t))をもつ接線が点P(1,k)を通る
と言い換えた。
接点(t, f(t))をもつ接線とは
y = (3t^2+6t+1)x -2t^3-3t^2
のことであった。
3本の接線の方程式は
y = (3t_1^2+6t_1+1)x -2t_1^3-3t_1^2
y = (3t_2^2+6t_2+1)x -2t_2^3-3t_2^2
y = (3t_3^2+6t_3+1)x -2t_3^3-3t_3^2
この3本全てが点P(1,k)を通るので
k = (3t_1^2+6t_1+1) -2t_1^3-3t_1^2
k = (3t_2^2+6t_2+1) -2t_2^3-3t_2^2
k = (3t_3^2+6t_3+1) -2t_3^3-3t_3^2
が成り立つ。
つまり
k=(3t^2+6t+1)-2t^3-3t^2 が異なる3つの実数解をもつ。
なるほど！
わかりました！
ありがとうございます！！！
定義から明らかであるが，多分それでは伝わらないので
比喩的に説明してみる．
f(x)
という式を，
材料 x に操作 f を施してできた製品
とイメージしよう．
逆関数とは
製品の材料が何であるかを知るための操作
である．
今，製品 f(x) の材料を知るために操作 g を施したとすると，
f(x) の 材料は x だから，当然
g(f(x))=x
となる．
イメージとしてはこういう感じでいいのでは
１だけ進み、６の約数じゃない目が出た時は負の方向に１進む、サイコロを４回投げた時
原点から出発した点Pが原点にある確率は？
x=1*r+(-1)*(4-r)=2r-4どうやったらこれが導きだせるの？
3次関数 y = f(x) のグラフ C に相異なる2点で接する直線 y = l(x) があるとする．
接点の x 座標を α，β とすると，
f(x)-l(x) は (x-α)^2 (x-β)^2 を因数にもつ
ことになる．しかし，
f(x)-l(x) は 3次式
であるから，矛盾が生じる．
よって，C に異なる2点で接する直線は存在しない．
このことから，3次関数のグラフにおいては，接点が異なれば接線も異なることが言える．
gはfの逆関数
fもgの逆関数
gf＝I＝fg
x とか r は何を表しているの？
テンプレにも書いてあるように、解答も全部書いたほうが回答者も答えやすいんだけど…
ちなみに、俺ならこの問題は遷移図を描いて書き込み方式でやるかな
gがfの逆関数であるということの定義が「g(f(x))=f(g(x))=x」ということなので、
自明というか定義そのものですね。それでは納得できないということなら、>>73の説明が良いと思います。
サイコロを４回投げた時、６の約数の目がr回出る確率は
4Cr (2?3)^r(1?3)^4-r
また、この時のx座標は
x=1*r+(-1)*(4-r)=2r-4
正解は別に考えるから良いんだ
何でx座標が分かるのかが分からん
エスパーしてみると
x ： 試行を4回行ったあとの P の位置，
r ： 6の約数が出た回数．
x = 0 として >>74 に書いてある等式を解けば，6の約数が出た回数がわかる．
あとは，反復試行の確率の定石どおり考えればおｋ
P=(1+2+3+4+5+6)/6=(r+r+r+r^-1+r^-1+r)/6=(4r+2r^-1)/6
P^n=(4r+2r^-1)^n/6^n=nCp4^p2^(n-p)r^pr^-(n-p)/6^n=nCp2^(n+p)r^(2p-n)/6^n
2p-n=0->p=n/2=4/2=2
4C22^6/6^4=432^5/6^4=8/3^3
でもありがとうございました
正の方向にr回進むとすると負の方向に進む回数は4-r回と表せる
正の方向に進む時は1、負の方向に進む時は-1進むので、4回サイコロを振った後のx座標が
x=1*r+(-1)*(4-r)=2r-4
原点に戻ってくればいいのでx=0
後はrを出して反復試行の確率の考え方に当てはめる
箱の中に１から９までの番号を１つずつ書いた9枚のカードが
入っている。ただし、異なるカードには異なる番号が書かれている
ものとする。この箱から２枚のカードを同時に選び、小さいほうの
数をＸとする。これらのカードを箱に戻して、再び２枚のカードを
同時に選び、小さいほうの数をＹとする。
Ｘ＝Ｙである確率を求めよ。
ただし、全くその問題から離れてしまうわけではなくて
飯食ってるとき、帰宅途中、入浴中、トイレで糞をひりながら、etc．
問題を反芻することが大事
そういうふうに常に考えていれば、何かのきっかけでぱっとひらめくこともある
17/108かも
ちょっと変わったさいころの問題だと思えばよい．
例えば X = 3 となる確率は
カードの取り出し方が 9C2 = 36 通り
このうち，小さいほうが3となるのは 6通り ←大きいほうが4～9なので
であるから，確率は 6/36 となる．
他の「出目」についても同様にして求める．
で，本問で求めるものは
2回の「出目」が同じになる確率
である．
説明のために例を挙げたが，実際の計算はΣ公式で手抜きできる．
「自分はこういうふうに考えたが、うまくいかない」
と聞いたほうがよい
そのほうが、正解の方針以外にも
自分がどこでミスをしていたか
も指摘してもらえるので、お得である
普通は指針や考え方を聞きたいのが多いと思うんだが
このスレではこれは俺だけの認識であるようだ
そういうのに良い顔しない回答者はいるだろうね
f:X→Y
g:Y→X
f・g:Y→X→Y
g・f:X→Y→X
y=f(x)とする (x∈X,y∈Y)
逆関数定義
y=f(x) ⇔ x=g(y)
-------------------------
任意にx∈X をとるとy=f(x)∈Y
逆写像の定義よりg(y)=g(f(x))=x
任意にy∈Yをとるとx=g(y)∈X
逆写像の定義よりf(g(y))=y
定義域がX=Yならf(g(x))=g(f(x))=x
□
みたいなくだらない証明を大学入ってからやる
図書室いけば大学の微積の本くらいあるから見てみ
というか大学で微積をそこそこ習ったら
定義域書かれてないとムン？となる
そこの学校の教師は教えることもままならない無能だ、
と宣言してるのに等しい
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数Bの教科書に出ているが…
>>95 は教科書を持っていないのか？
それとも、俺が知らないだけで、導出法の載っていない教科書もあるのか？
いや、希望出せば本なんて入荷してくれるでしょ？
大学なんてどこもそうだよ
本がないならそこの生徒の好奇心がなさすぎるんじゃ？
どの分野に興味があってどの大学に進学しようかという点においても
大学の勉強にちょっと触れる程度の本は必要だし
俺の学校は数学に限らずちょっとあった
総合的学習みたいなので研究発表もしたしな（やや大学の範囲）
それに私学の入試なんて大学の微積がでるから
大学の微積の本くらいあったら便利
プリント配られるけど、やっぱ本があったら便利だろ
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