分からない問題はここに書いてね362

1 ：11/11/15 〜 最終レス ：11/11/18

さあ、今日も１日頑張ろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね361
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1318976057/

2 ：

>>1
乙

3 ：

無限小数αが循環小数ならαは有理数である
↑示してください＞＜

4 ：

等比級数

5 ：

>>3
　循環の周期が k桁のとき
　10^k - 1 を掛ければ有限小数（有理数）だから。

6 ：

R(4,5)=25 の証明はできますか？

7 ：

Rって何

8 ：

a,bを実数としたとき(a^4+b^4)/2≧{(a+b)/2}^4が成り立つことを示せ
お願いします

9 ：

>>7
ラムゼー数です

10 ：

>>8
(a^4 + b^4)/2 - ((a + b)/2)^4
= (8*a^4 + 8*b^4 - (a + b)^4)/16
= (24*b^2*(a - b)^2 + 7*(a - b)^4 + 24*b*(a - b)^3)/16
>= 0

11 ：

>>10 訂正
(24*b^2*(a - b)^2 + 7*(a - b)^4 + 24*b*(a - b)^3)/16
= (7*a^4 - 4*a^3*b - 6*a^2*b^2 - 4*a*b^3 + 7*b^4)/16
= ((a-b)^2*(7a^2 + 10ab + 7b^2))/16
= ((a-b)^2*(7*(a + (5*b/7))^2 + (24*b^2)/7))/16
>= 0

12 ：

x=(a+b)/2
y=a-x
とおくと
(a^4+b^4)/2-((a+b)/2)^4
=((x+y)^4+(x-y)^4)/2-x^4
=6x^2y^2+y^4

13 ：

確率測度の完全加法性は「A∩B=φ⇒P(A∪B)=P(A)+P(B)」よりも強い条件だと聞きました。
この2つの違いは、可算無限個の元に対して言えるか、有限個の元に対してしか言えないのか、ということでいいですか？
（というか、P(A∪B)=P(A)+P(B)みたいな書き方をしたとき、このような操作は暗に有限回しか行わないと仮定しているのですか？）
初学者なので的外れだったらすいません。

14 ：

>（というか、P(A∪B)=P(A)+P(B)みたいな書き方をしたとき、このような操作は暗に有限回しか行わないと仮定しているのですか？）
そんな仮定はしていない。
しているのはP(A∪B)=P(A)+P(B)が成り立つということだけ。

15 ：

物理のラザフォード散乱の解説途中で出てきた数式なのですが
∫ dx/sqrt(1-ax-x^2) = arctan( (x+a/2)/sqrt(1-ax-x^2) )
この不定積分について
私の解き方は以下のようになりました。
∫dx/sqrt(1-ax-x^2)
= ∫dx/sqrt( (1+(a/2)^2) - (x+a/2)^2 )
= arcsin( (x+a/2)/sqrt(1+(a/2)^2) )
= θ
(x+a/2)/sqrt(1+(a/2)^2) = y = sinθ= sqrt(1/(1+cotθ^2)
y^2 = 1/(1+cotθ^2)
1-y^2 = y^2*cotθ^2
tanθ^2 = y^2/(1-y^2)
θ = arctan( y/sqrt(1-y^2) ) = arctan( (x+a/2)/sqrt(1-ax-x^2) )
とまあ、かなりキツい方法です。
サクっと出てくる arcsin でのままでもいいだろうとも思うのですが・・・、
Wolfram先生も arctan で返してきます。 ( integrate 1/sqrt(1-ax-x^2) )
arctan だと根号の中に同じもの( 1-ax-x^2 )が出てくる事が何か鍵のような気もするのですがよく分かりません。
何かスマートな求め方があれば教えてください。

16 ：

>>15
式の感触が楕円積分と似てる、
それ以上に簡単には解かせてくれないような気がする。

17 ：

>>15
ゆとり乙

18 ：

>>15
arcsinをarctanで表す方法はほとんど公式だと思うが。

19 ：

>>15
直角三角形描けば arctan、arcsin、arccos の関係はほぼ自明。

20 ：

分かる方お願いします。
準同型群Hom(Q,Q/Z)と実数の加法群Rがアーベル群として同型であることを示せ。
という問題です。
濃度が等しいことは言えてるのですが、どうしても示せません。
どなたかお願いします。

21 ：

>>20
こちらこそヨロシクお願いします

22 ：

>>16, >>17, >>18, >>19
直角三角形で理解できました。arc〜 それ自体は簡単な関係だったんですね。

23 ：

>>8

　(a^4 + b^4)/2 - {(a^2 + b^2)/2}^2 = {(a^2 - b^2)/2}^2 ≧ 0,
　(a^2 + b^2)/2 - {(a+b)/2}^2 = {(a-b)/2}^2 ≧ 0,
より。

24 ：

>>20
なんとかできました。
もう大丈夫です。

25 ：

最先端の数学が知りたいんですが
ブルーバックス並みにわかりやすい本でいいのありませんか？

26 ：

円x^2+y^2=1をある直線に関して折り返すと点(2,0)でx軸に接する。
このとき直線の方程式を求めよ。

27 ：

y=-x+1

28 ：

えっ

29 ：

>>26
y = -2(x-1) +1/2
y = +2(x-1) -1/2
の二本、上から接するか下から接するかの違い
折り返し円と元の円の中心を結ぶ線を二分して直交する直線を考えればよい。

30 ：

位相空間Xが開でも閉でもない集合の直和で表されても、Xは連結と言えるのですか？

31 ：

そらそうよ

32 ：

>>30
例:
位相空間　X=(0,1)∪(2,3)　[分離した開区間の和集合: 位相は普通にRの部分空間としての位相]
A = (0, 0.5]∪(2.5, 3)
B = (0.5, 1)∪(2, 2.5]
X=A∪B
A,B両方とも開でも閉でもない集合。
そして Xは連結ではない。

33 ：

線形二階常微分方程式が自己随伴型微分方程式の形であらわされるとき
ロンスキアンが定数を初期係数pで割った形
W(x)＝C/p(x)で表される事を示せ
教えてください><

34 ：

C2-級調和関数，すなわち，Δf = 0 となるC2-級関数f (x; y) が，r =√(x^2 + y^2) のみの関数であるならば，
f (x; y) = C log{√(x^2 + y^2)}+ D (C; D は定数)
と書かれることを証明せよ．
分からんて

35 ：

定数a,b,h を = ab-h^2 > 0 を満たす実数とする．2 次曲線ax^2+2hxy+by^2 = 1 上
における2 次関数f (x,y) = px^2 + 2mxy + qy^2 （p; h; q は実数定数）の最大値および最小値をそ
れぞれα,βとするとき，これらは2 次方程式Δt2-(aq-2hm+bp)t+(pq-m^2) = 0
の解であることを示せ．ただし，比p : m : q はa : h : b とは異なるものとする．
お願いします

36 ：

nが自然数の時、極限
lim[n→∞] (2n)!!/(2n+1)!!　を求めよ
お願いします

37 ：

ｆ:Ｒ→[-∞.∞]をルベーグ可積分関数とする。Ｒのルベーグ可測集合列Ｅ_nが
μ(Ｅ_n)→０(n→∞)を満たせば
Ｅ_n上でのルベーグ積分
∫ｆｄμは０に収束することを示せ
これお願いします…

38 ：

>>36
(2n+1)!!=(2n+1)!/(2n)!!
(2n)!!=(2^n)n!
スターリングの公式
で如何

39 ：

うむ

40 ：

>>36
2n+1=√{(2n+1)^2}＞√{(2n+1)^2-1}=√(2n+2)*√(2n)

41 ：

>>30
連結な例も連結でない例も存在する
連結でない例は32が挙げた
連結な例はもっと簡単

42 ：

>>37
積分の強絶対連続性より明らか

43 ：

>>33
p(x)W(x)を微分してみろ

44 ：

>>25
それは無理な注文だ。
最先端を知るひとはわかりやすいものを書かない。 てか書いてる暇なし。
ある程度以上こなれて多くの人が知った頃にやっとわかりやすいものを書こうかという人が現れる。

45 ：11/11/18

最先端の数学ってのは例えばどういうのがあるんですか？