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2011年12月1期数学9: ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問 (927) TOP カテ一覧 スレ一覧 2ch元 削除依頼


★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問


1 :10/10/15 〜 最終レス :11/12/03
理系で数学が得意な高校生が25〜50分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
前々スレ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/

2 :
自然数の数列{a[n]}で全ての自然数nに対してa[n+1]はa[n]の倍数であり
0.20101022=Σ[n=1,∞] 1/a[n]
となるものが存在することを示せ

3 :
>>2
明らか

4 :
1 と 0 の数字が合計で n 個一列に並んでいる。
最低 1 個は 0 があるとする。
次の規則にしたがって 0 を取り除いていく。
1.0 が複数個ある場合は、残りが 1 だけにならない限り
どれを選んで取り除いてもよい。
2.取り除いた 0 が端にない場合は、その取り除いた 0 の両隣が
0 なら 1 に変え、1 なら 0 に変える。
3.取り除いた 0 が端ならば、その片隣が 0 なら 1 に変え、1 なら 0 に変える。
4.最後の 1 個になるまで続ける。
このとき、最初の並びが同じならば、最後はいつも同じ数字になる事を示せ。

5 :
つまらん

6 :
>>2
a[n+1] > a[n] でつね。
2進法で表わせば
 0.00110011011101010110011111100001000011111100111111

7 :
文句ぎりいってる奴は解いてからいえよ、クズ

8 :
このスレの住人で解けないやつはいない

9 :
君はどこでほえてるの?
頂上?
谷底?

10 :
もしかして>>4を出した人?
悔しかったの?

11 :
>>10
>>7

12 :
出す問題もカスだし性格もカス

13 :
今後の流れ
1.>>5=>>8 がもったいぶりながら自慢の回答を披露
2.回答に致命的な瑕疵が見つかる
3.訂正を試みるも撃沈
4.何事もなかったように退散
5.以後数日はROM専
6.ほとぼりが冷めた頃こっそり復帰
7.1.〜6.を繰り返す

14 :
>>13
土下座して解いてくださいとお願いしろ

15 :
>>4
1. が曖昧な件

16 :
数学的帰納法で示せる

17 :
a[n]=n!
a^-1=n!^-1

18 :
>>2
0.20101022 = 2/10 + 1/10^3 + 1/10^5 + 2/10^7 + 2/10^8
        =Σ[n=1〜5]1/a[n]
と置く。n=1,2,3,4,5 について
a[n]=10^{kn}/b[n] (b[n]=1,2 knは狭義単調増加の自然数列)
という形をしているので、a[n]は自然数であること、及び
a[n]|a[n+1] であることが簡単に言える。また、
1/a[5] = 1/a[5](1/2+1/4+1/8+1/16+・・・)
     = Σ[n=1〜∞]1/(a[5]*2^n)
なので、数列A[n] を
A[n] = a[n] (n=1,2,3,4)
A[n] = a[5]*2^n (n≧5)
と置くと、A[n]は自然数列であり、かつA[n]|A[n+1] となることが
簡単に分かる。そして 0.20101022 =Σ[n=1〜∞]1/A[n] である。

19 :
>>6見て気づいたけど、2進法で無限小数展開すれば自然に題意を満たす……
>>4
数字が1つの状態で、逆向きの手順によって数字の個数を増やすことを
考えると、この作業は98年の東大後期の数学3(2)と同じ作業であることが
分かる。しかも3(2)より かなり強いことを主張している。すなわち、
初期状態が○の状態でマルの個数をn個まで増やしたときと、
初期状態が●の状態でマルの個数をn個まで増やしたときでは、
同じマルの配列が得られることは無い
ということを主張している。わからん(^q^)

20 :
このスレもレベル落ちたな

21 :
>>4
0が1個のときは4が適用されてなにもせずに終り、でいいのか?

22 :
Σ1/n!=eを証明しなさい。世界で2番目に短いテスト問題

23 :
>>16=>>20
そういうの、もういいから

24 :
>>23
え?お前示せないの?

25 :
俺は示せるよ

26 :
俺も

27 :
m, nを自然数とする
|36^m−5^n|の最小値を求めよ

28 :
11
はい論破

29 :
じゃあ、俺も

30 :
>>29
どうぞ、どうぞ

31 :
>>19
を見た限りでは、入試数学最難問といわれた問題の一般化を
>>5があの短い時間で解けたとは到底思えない。

32 :
すでに知っていたし
>>4=>>31

33 :
そういうのいいから

34 :
後だしジャンケン必勝法ですか?

35 :
書きたくてうずうずしてしょうがないが、今更嬉しがって書けないか...
他行ってくれよw

36 :
数学的帰納法

37 :
言うほど難しくないからちゃんと考えなさい

38 :
『え、いつ解けたの?』
『きにょう』

39 :
出題者以外で煽っているやついるの?w

40 :
1.があるから問題が成り立っているけど1.があるから難しくない

41 :
朝まで講釈垂れてなさい

42 :
むしろ出題者がわかってないんじゃね?

43 :
∫[0, π]e^x |sin nx|dx

44 :
00000
0001
101
00000
0001
010
00

45 :
>>43
このスレの住人にはちょうどいいレベルだね

46 :
>>44
おいやめろ

47 :
1010001
101111
1010001
000001


48 :
>>47
だからやめろ

49 :
>>27>>43
解けました

50 :
>>4
文意がいい加減過ぎる。
出直しだよ。。

51 :
円周上にm個の赤い点とn個の青い点を任意の順序に並べる。
これらの点により、円周はm+n個の弧に分けられる。
このとき、これらの弧のうち両端の点の色が異なるものの数は
偶数であることを証明せよ。ただし、m≧1、n≧1であるとする。

52 :
5つの整数が小さい順にA.B.C.D.Eと並んでいます。
このうち2つずつの整数を取り出して加えると、その和は次の8種類の数となります。
17.22.25.28.31.33.36.39
このとき、B+Cはいくつですか。
また、5つの整数A.B.C.D.Eの平均はいくつですか。
制限時間3分 立教中入試問題

53 :
25
14.5

54 :
25
14.2

55 :
>>53>>54正解
で何分で解けた?

56 :
失礼>>54だけ正解
おい>>53

57 :
>>55
1分半くらい

58 :
平均×5=自然数だから14.5はない

59 :
私は-5秒だ

60 :
>>43
 ∫[0,π] e^x |sin(nx)| dx = Σ[k=0,n-1] (-1)^k ∫[kπ/n, (k+1)π/n] (e^x)sin(x)dx
    = Σ[k=0,n-1] (-1)^k a_k, とおく。

 ∫(e^x)sin(x)dx = (e^x){sin(x)-cos(x)}/2 = (e^x)sin(x-π/4)/√2,

a_k = ∫[kπ/n, (k+1)π/n] (e^x)sin(x)dx
  = [ (e^x){sin(x-π/4)}/√2 ](x=kπ/n, (k+1)π/n)
  = e^((k+1)π/n){sin((k+1)π/n - π/4)/√2 - e^(kπ/n)sin(kπ/n - π/4)/√2,
>>55
8.5時間ぐらいだが何か

61 :
>>4
>>19の要領で,
初期状態が○の状態でマルの個数をn個まで増やしたときの並び方を an 通り...@
初期状態が●の状態でマルの個数をn個まで増やしたときの並び方を bn 通り...A
とする(左右は区別する)と,
a(n+1)=an+2bn+1
b(n+1)=an
より,an+bn=2^n−1
よって@とAは重複しない

62 :
>>60
>>52の書き込みから8.5時間も経ってないが

63 :
>>61
>a(n+1)=an+2bn+1
>b(n+1)=an
なんでこうなるの?

64 :
出題者が馬鹿だから

65 :
一人必死で張り付いている奴がいて笑えるw

66 :
>>65
統合失調症か?

67 :
既知外が住み着いて誰も寄り付かなくなったw

68 :
7 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2010/10/23(土) 10:15:01
文句ぎりいってる奴は解いてからいえよ、クズ

69 :
文句ぎりって愛知の方言だっけ?

70 :
>>67
ちゃんとした問題だせ

71 :
単芝

72 :
f(x)が2n次の整式のとき、関数 y=f(x) のグラフは極値を奇数個持つ事を示せ。

73 :
>>2=>>4=>>72

74 :
>>72
いいかげんにしろ

75 :
荒れすぎ
>>72
死んだほうがいいよ

76 :
>>72
はいはいワロスワロス

77 :
2n+1以下の奇数の総積をTとし、T/(2k+1)=T[k](k=0,1,…n)とする。
このとき、納0〜n](-1)^k*T[k]*[n]C[k]=(2n)!!を示せ。

78 :
>>72
 f(x) が極値を持つ。 ⇔ f '(x) の符号が反転する。

f '(x)は2n-1次の整式で、
 x→-∞ で f '(x) < 0, x→∞ で f '(x) >0,
 この間で 奇数回 符号が反転する。

79 :
>>72
f(x)のx^(2n)の係数が正のとき
f(x)は連続でlim(x→-∞)f(x),lim(x→+∞)f(x)のいずれも+∞なので
f(x)の増減はxの値が小さい方から見ていくと
減少、増加、減少、・・・・、増加となる。
極値を取る点は増減の変わり目であるから y=f(x) のグラフは極値を奇数個持つ
f(x)のx^(2n)の係数が負のときも同様

80 :
なんか直感的過ぎかなぁ

81 :
お前らバカすぎ
反論
x^4-x^3

82 :
x→±∞ f(x)→±∞から明らか

83 :
>>82
正解

84 :
>>27
はやくしろ

85 :
関数f(x)は次のような性質を持つ
f(x)>0
単調増加
上に凸
このとき
f(x+1)/f(x)は単調減少関数であることを示せ

86 :
>>85
多分高校生スレでインスパイアされただろ

87 :
だろうな
log(x+1)/log(x)が単調減少ってすぐに分かるの?

88 :
>>85
{f(x+1)/f(x)}'={f'(x+1)f(x)-f(x+1)f'(x)}/{f(x)}^2 …(1)
ここで
f'(x)/f(x)について{f'(x)/f(x)}'={f''(x)f(x)-{f'(x)}^2}/{f(x)}^2≦0
(∵条件よりf(x)>0かつf''(x)≦0)
よってf'(x)/f(x)は単調減少なので
f'(x+1)/f(x+1)≦f'(x)/f(x)
任意のxに対しf(x)>0より
f'(x+1)f(x)≦f(x+1)f'(x) …(2)
(1)(2)より題意は示された

89 :
M(x):=f(x+1)/f(x)
Let h>0
M(x+h)-M(x)=f(x+1+h)/f(x+h)-f(x+1)/f(x)=(f(x+1+h)f(x)-f(x+h)^2)/(f(x)f(x+h))
分子=-(1/4)(f(x)-f(x+h+1))^2 <=0
(because 上に凸 ==>f(x+h)>=1/2 (f(x)+f(x+h+1)) )
so M(x+h)-M(x) <=0
M(x) is monotonously decreasing function.

90 :
>>85
f(x)≠0
上に凸
でいい

91 :
>>88
微分可能なんて…

92 :
log_{4}(5)とlog_{5}(6) 大小関係

93 :
(because 上に凸 ==>f(x+h)>=1/2 (f(x)+f(x+h+1)) )
-->
f(x+h)>=tf(x)+(1-t)f(x+h+1), here t=h/(1+h) and 0<t<1 for h>0
分子<= -(tf(x)-(1-t)f(x+h+1)^2<=0
so M(x+h)-M(x) <=0

94 :
O(0, 0), A(1, 0)
x^2+y^2=1上の動点P, Q

95 :
>>81
>>81
>>81

96 :
81にとっては4は奇数なんだろう

97 :
a[1],…,a[2010]が2010の約数であるときa[1],…,a[2010]からいくつか選びその和が2010であるようにできることを示せ

98 :
まず2010の約数が2010個もないのにどうa[k]を定義してんだよ

99 :
>>98
あほ
重複

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