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2011年12月1期数学9: ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問 (927)
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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問
1 :10/10/15 〜 最終レス :11/12/03 理系で数学が得意な高校生が25〜50分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 前々スレ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/
2 : 自然数の数列{a[n]}で全ての自然数nに対してa[n+1]はa[n]の倍数であり 0.20101022=Σ[n=1,∞] 1/a[n] となるものが存在することを示せ
3 : >>2 明らか
4 : 1 と 0 の数字が合計で n 個一列に並んでいる。 最低 1 個は 0 があるとする。 次の規則にしたがって 0 を取り除いていく。 1.0 が複数個ある場合は、残りが 1 だけにならない限り どれを選んで取り除いてもよい。 2.取り除いた 0 が端にない場合は、その取り除いた 0 の両隣が 0 なら 1 に変え、1 なら 0 に変える。 3.取り除いた 0 が端ならば、その片隣が 0 なら 1 に変え、1 なら 0 に変える。 4.最後の 1 個になるまで続ける。 このとき、最初の並びが同じならば、最後はいつも同じ数字になる事を示せ。
5 : つまらん
6 : >>2 a[n+1] > a[n] でつね。 2進法で表わせば 0.00110011011101010110011111100001000011111100111111
7 : 文句ぎりいってる奴は解いてからいえよ、クズ
8 : このスレの住人で解けないやつはいない
9 : 君はどこでほえてるの? 頂上? 谷底?
10 : もしかして>>4 を出した人? 悔しかったの?
11 : >>10 >>7
12 : 出す問題もカスだし性格もカス
13 : 今後の流れ 1.>>5 =>>8 がもったいぶりながら自慢の回答を披露 2.回答に致命的な瑕疵が見つかる 3.訂正を試みるも撃沈 4.何事もなかったように退散 5.以後数日はROM専 6.ほとぼりが冷めた頃こっそり復帰 7.1.〜6.を繰り返す
14 : >>13 土下座して解いてくださいとお願いしろ
15 : >>4 1. が曖昧な件
16 : 数学的帰納法で示せる
17 : a[n]=n! a^-1=n!^-1
18 : >>2 0.20101022 = 2/10 + 1/10^3 + 1/10^5 + 2/10^7 + 2/10^8 =Σ[n=1〜5]1/a[n] と置く。n=1,2,3,4,5 について a[n]=10^{kn}/b[n] (b[n]=1,2 knは狭義単調増加の自然数列) という形をしているので、a[n]は自然数であること、及び a[n]|a[n+1] であることが簡単に言える。また、 1/a[5] = 1/a[5](1/2+1/4+1/8+1/16+・・・) = Σ[n=1〜∞]1/(a[5]*2^n) なので、数列A[n] を A[n] = a[n] (n=1,2,3,4) A[n] = a[5]*2^n (n≧5) と置くと、A[n]は自然数列であり、かつA[n]|A[n+1] となることが 簡単に分かる。そして 0.20101022 =Σ[n=1〜∞]1/A[n] である。
19 : >>6 見て気づいたけど、2進法で無限小数展開すれば自然に題意を満たす…… >>4 数字が1つの状態で、逆向きの手順によって数字の個数を増やすことを 考えると、この作業は98年の東大後期の数学3(2)と同じ作業であることが 分かる。しかも3(2)より かなり強いことを主張している。すなわち、 初期状態が○の状態でマルの個数をn個まで増やしたときと、 初期状態が●の状態でマルの個数をn個まで増やしたときでは、 同じマルの配列が得られることは無い ということを主張している。わからん(^q^)
20 : このスレもレベル落ちたな
21 : >>4 0が1個のときは4が適用されてなにもせずに終り、でいいのか?
22 : Σ1/n!=eを証明しなさい。世界で2番目に短いテスト問題
23 : >>16 =>>20 そういうの、もういいから
24 : >>23 え?お前示せないの?
25 : 俺は示せるよ
26 : 俺も
27 : m, nを自然数とする |36^m−5^n|の最小値を求めよ
28 : 11 はい論破
29 : じゃあ、俺も
30 : >>29 どうぞ、どうぞ
31 : >>19 を見た限りでは、入試数学最難問といわれた問題の一般化を >>5 があの短い時間で解けたとは到底思えない。
32 : すでに知っていたし >>4 =>>31
33 : そういうのいいから
34 : 後だしジャンケン必勝法ですか?
35 : 書きたくてうずうずしてしょうがないが、今更嬉しがって書けないか... 他行ってくれよw
36 : 数学的帰納法
37 : 言うほど難しくないからちゃんと考えなさい
38 : 『え、いつ解けたの?』 『きにょう』
39 : 出題者以外で煽っているやついるの?w
40 : 1.があるから問題が成り立っているけど1.があるから難しくない
41 : 朝まで講釈垂れてなさい
42 : むしろ出題者がわかってないんじゃね?
43 : ∫[0, π]e^x |sin nx|dx
44 : 00000 0001 101 00000 0001 010 00
45 : >>43 このスレの住人にはちょうどいいレベルだね
46 : >>44 おいやめろ
47 : 1010001 101111 1010001 000001 …
48 : >>47 だからやめろ
49 : >>27 >>43 解けました
50 : >>4 文意がいい加減過ぎる。 出直しだよ。。
51 : 円周上にm個の赤い点とn個の青い点を任意の順序に並べる。 これらの点により、円周はm+n個の弧に分けられる。 このとき、これらの弧のうち両端の点の色が異なるものの数は 偶数であることを証明せよ。ただし、m≧1、n≧1であるとする。
52 : 5つの整数が小さい順にA.B.C.D.Eと並んでいます。 このうち2つずつの整数を取り出して加えると、その和は次の8種類の数となります。 17.22.25.28.31.33.36.39 このとき、B+Cはいくつですか。 また、5つの整数A.B.C.D.Eの平均はいくつですか。 制限時間3分 立教中入試問題
53 : 25 14.5
54 : 25 14.2
55 : >>53 >>54 正解 で何分で解けた?
56 : 失礼>>54 だけ正解 おい>>53 !
57 : >>55 1分半くらい
58 : 平均×5=自然数だから14.5はない
59 : 私は-5秒だ
60 : >>43 ∫[0,π] e^x |sin(nx)| dx = Σ[k=0,n-1] (-1)^k ∫[kπ/n, (k+1)π/n] (e^x)sin(x)dx = Σ[k=0,n-1] (-1)^k a_k, とおく。 ∫(e^x)sin(x)dx = (e^x){sin(x)-cos(x)}/2 = (e^x)sin(x-π/4)/√2, a_k = ∫[kπ/n, (k+1)π/n] (e^x)sin(x)dx = [ (e^x){sin(x-π/4)}/√2 ](x=kπ/n, (k+1)π/n) = e^((k+1)π/n){sin((k+1)π/n - π/4)/√2 - e^(kπ/n)sin(kπ/n - π/4)/√2, >>55 8.5時間ぐらいだが何か
61 : >>4 >>19 の要領で, 初期状態が○の状態でマルの個数をn個まで増やしたときの並び方を an 通り...@ 初期状態が●の状態でマルの個数をn個まで増やしたときの並び方を bn 通り...A とする(左右は区別する)と, a(n+1)=an+2bn+1 b(n+1)=an より,an+bn=2^n−1 よって@とAは重複しない
62 : >>60 >>52 の書き込みから8.5時間も経ってないが
63 : >>61 >a(n+1)=an+2bn+1 >b(n+1)=an なんでこうなるの?
64 : 出題者が馬鹿だから
65 : 一人必死で張り付いている奴がいて笑えるw
66 : >>65 統合失調症か?
67 : 既知外が住み着いて誰も寄り付かなくなったw
68 : 7 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2010/10/23(土) 10:15:01 文句ぎりいってる奴は解いてからいえよ、クズ
69 : 文句ぎりって愛知の方言だっけ?
70 : >>67 ちゃんとした問題だせ
71 : 単芝
72 : f(x)が2n次の整式のとき、関数 y=f(x) のグラフは極値を奇数個持つ事を示せ。
73 : >>2 =>>4 =>>72
74 : >>72 いいかげんにしろ
75 : 荒れすぎ >>72 死んだほうがいいよ
76 : >>72 はいはいワロスワロス
77 : 2n+1以下の奇数の総積をTとし、T/(2k+1)=T[k](k=0,1,…n)とする。 このとき、納0〜n](-1)^k*T[k]*[n]C[k]=(2n)!!を示せ。
78 : >>72 f(x) が極値を持つ。 ⇔ f '(x) の符号が反転する。 f '(x)は2n-1次の整式で、 x→-∞ で f '(x) < 0, x→∞ で f '(x) >0, この間で 奇数回 符号が反転する。
79 : >>72 f(x)のx^(2n)の係数が正のとき f(x)は連続でlim(x→-∞)f(x),lim(x→+∞)f(x)のいずれも+∞なので f(x)の増減はxの値が小さい方から見ていくと 減少、増加、減少、・・・・、増加となる。 極値を取る点は増減の変わり目であるから y=f(x) のグラフは極値を奇数個持つ f(x)のx^(2n)の係数が負のときも同様
80 : なんか直感的過ぎかなぁ
81 : お前らバカすぎ 反論 x^4-x^3
82 : x→±∞ f(x)→±∞から明らか
83 : >>82 正解
84 : >>27 はやくしろ
85 : 関数f(x)は次のような性質を持つ f(x)>0 単調増加 上に凸 このとき f(x+1)/f(x)は単調減少関数であることを示せ
86 : >>85 多分高校生スレでインスパイアされただろ
87 : だろうな log(x+1)/log(x)が単調減少ってすぐに分かるの?
88 : >>85 {f(x+1)/f(x)}'={f'(x+1)f(x)-f(x+1)f'(x)}/{f(x)}^2 …(1) ここで f'(x)/f(x)について{f'(x)/f(x)}'={f''(x)f(x)-{f'(x)}^2}/{f(x)}^2≦0 (∵条件よりf(x)>0かつf''(x)≦0) よってf'(x)/f(x)は単調減少なので f'(x+1)/f(x+1)≦f'(x)/f(x) 任意のxに対しf(x)>0より f'(x+1)f(x)≦f(x+1)f'(x) …(2) (1)(2)より題意は示された
89 : M(x):=f(x+1)/f(x) Let h>0 M(x+h)-M(x)=f(x+1+h)/f(x+h)-f(x+1)/f(x)=(f(x+1+h)f(x)-f(x+h)^2)/(f(x)f(x+h)) 分子=-(1/4)(f(x)-f(x+h+1))^2 <=0 (because 上に凸 ==>f(x+h)>=1/2 (f(x)+f(x+h+1)) ) so M(x+h)-M(x) <=0 M(x) is monotonously decreasing function.
90 : >>85 f(x)≠0 上に凸 でいい
91 : >>88 微分可能なんて…
92 : log_{4}(5)とlog_{5}(6) 大小関係
93 : (because 上に凸 ==>f(x+h)>=1/2 (f(x)+f(x+h+1)) ) --> f(x+h)>=tf(x)+(1-t)f(x+h+1), here t=h/(1+h) and 0<t<1 for h>0 分子<= -(tf(x)-(1-t)f(x+h+1)^2<=0 so M(x+h)-M(x) <=0
94 : O(0, 0), A(1, 0) x^2+y^2=1上の動点P, Q
95 : >>81 >>81 >>81
96 : 81にとっては4は奇数なんだろう
97 : a[1],…,a[2010]が2010の約数であるときa[1],…,a[2010]からいくつか選びその和が2010であるようにできることを示せ
98 : まず2010の約数が2010個もないのにどうa[k]を定義してんだよ
99 : >>98 あほ 重複
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