数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。 数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。 数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
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集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。 数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。 数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
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俺が押し付けたい時に、押し付けたい奴に、好きなだけ押し付ける。 誰にも邪魔させねえ！
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集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。 数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。 数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
M を位相空間とする。M の開集合 U に対して、 m 次元ユークリッド空間の開集合 U′ への 同相写像 を局所座標系 (local coordinate system) あるいは （局所）チャート (chart) という。 a ∈ U に対し、 φ(a) を局所座標 (local coordinates) という。 局所座標は、ユークリッド空間の点として見たときの特定の座標 すなわち m 個の数の組 (φ1(a), ..., φm(a)) であるのに対し、 局所座標系は、U 上で定義された m 個の関数 (φ1, ..., φm) の組である。 局所座標を用いることにより U 上の点を m 次元ユークリッド空間の点であるかのように扱うことが可能になる。 U 上に局所座標系 φ が定義されていることを (U, φ) という対で表し、 これを m 次元座標近傍 (coordinate neighborhood) という。 座標近傍としては、局所座標系の成分を明示的に (U;φ1, ..., φm) のように書いたものを用いることもある。 M を位相空間とする。M の開集合 U に対して、 m 次元ユークリッド空間の開集合 U′ への 同相写像 を局所座標系 (local coordinate system) あるいは （局所）チャート (chart) という。 a ∈ U に対し、 φ(a) を局所座標 (local coordinates) という。 局所座標は、ユークリッド空間の点として見たときの特定の座標 すなわち m 個の数の組 (φ1(a), ..., φm(a)) であるのに対し、 局所座標系は、U 上で定義された m 個の関数 (φ1, ..., φm) の組である。 局所座標を用いることにより U 上の点を m 次元ユークリッド空間の点であるかのように扱うことが可能になる。 U 上に局所座標系 φ が定義されていることを (U, φ) という対で表し、 これを m 次元座標近傍 (coordinate neighborhood) という。 座標近傍としては、局所座標系の成分を明示的に (U;φ1, ..., φm) のように書いたものを用いることもある。
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荒らすならもっと笑えるネタをコピペしろやｗ
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集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。 数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。 数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
ある力学系を表す関数 f(t, •) がある。位相空間の元 s がその系の状態を表すとすると、 f(0, s) = s と t>0 のときの f(t, s) により s を始点とした t 時間の状態を表す。 例えば、1次元の孤立した点質量の力学系を考えると、その位相空間での位置は (x,v) で表され、 x は質量の位置、v は速度である。この質量が自由落下状態の場合（重力下にない場合）、 その力学は f(t,(x,v)) = (x+t*v,v) で表される。 アトラクターは位相空間の部分集合 A であり、以下が成り立つ。 A は f に対して不動である。すなわち、A の元 s があるとき全ての t について f(t,s) である。 A の近傍が存在し、B(A) を A の basin of attraction と呼び、 B(A) = { s | A の全ての近傍 N について、全ての t について t > T, f(t,s) ∈ N となる T が存在する} である。言い換えれば、B(A) は極限で A になる点の集合である。 上記2点が成り立つ A の真部分集合は存在しない。 ある力学系を表す関数 f(t, •) がある。位相空間の元 s がその系の状態を表すとすると、 f(0, s) = s と t>0 のときの f(t, s) により s を始点とした t 時間の状態を表す。 例えば、1次元の孤立した点質量の力学系を考えると、その位相空間での位置は (x,v) で表され、 x は質量の位置、v は速度である。この質量が自由落下状態の場合（重力下にない場合）、 その力学は f(t,(x,v)) = (x+t*v,v) で表される。 アトラクターは位相空間の部分集合 A であり、以下が成り立つ。 A は f に対して不動である。すなわち、A の元 s があるとき全ての t について f(t,s) である。 A の近傍が存在し、B(A) を A の basin of attraction と呼び、 B(A) = { s | A の全ての近傍 N について、全ての t について t > T, f(t,s) ∈ N となる T が存在する} である。言い換えれば、B(A) は極限で A になる点の集合である。 上記2点が成り立つ A の真部分集合は存在しない。
ある力学系を表す関数 f(t, •) がある。位相空間の元 s がその系の状態を表すとすると、 f(0, s) = s と t>0 のときの f(t, s) により s を始点とした t 時間の状態を表す。 例えば、1次元の孤立した点質量の力学系を考えると、その位相空間での位置は (x,v) で表され、 x は質量の位置、v は速度である。この質量が自由落下状態の場合（重力下にない場合）、 その力学は f(t,(x,v)) = (x+t*v,v) で表される。 アトラクターは位相空間の部分集合 A であり、以下が成り立つ。 A は f に対して不動である。すなわち、A の元 s があるとき全ての t について f(t,s) である。 A の近傍が存在し、B(A) を A の basin of attraction と呼び、 B(A) = { s | A の全ての近傍 N について、全ての t について t > T, f(t,s) ∈ N となる T が存在する} である。言い換えれば、B(A) は極限で A になる点の集合である。 上記2点が成り立つ A の真部分集合は存在しない。 ある力学系を表す関数 f(t, •) がある。位相空間の元 s がその系の状態を表すとすると、 f(0, s) = s と t>0 のときの f(t, s) により s を始点とした t 時間の状態を表す。 例えば、1次元の孤立した点質量の力学系を考えると、その位相空間での位置は (x,v) で表され、 x は質量の位置、v は速度である。この質量が自由落下状態の場合（重力下にない場合）、 その力学は f(t,(x,v)) = (x+t*v,v) で表される。 アトラクターは位相空間の部分集合 A であり、以下が成り立つ。 A は f に対して不動である。すなわち、A の元 s があるとき全ての t について f(t,s) である。 A の近傍が存在し、B(A) を A の basin of attraction と呼び、 B(A) = { s | A の全ての近傍 N について、全ての t について t > T, f(t,s) ∈ N となる T が存在する} である。言い換えれば、B(A) は極限で A になる点の集合である。 上記2点が成り立つ A の真部分集合は存在しない。
ある力学系を表す関数 f(t, •) がある。位相空間の元 s がその系の状態を表すとすると、 f(0, s) = s と t>0 のときの f(t, s) により s を始点とした t 時間の状態を表す。 例えば、1次元の孤立した点質量の力学系を考えると、その位相空間での位置は (x,v) で表され、 x は質量の位置、v は速度である。この質量が自由落下状態の場合（重力下にない場合）、 その力学は f(t,(x,v)) = (x+t*v,v) で表される。 アトラクターは位相空間の部分集合 A であり、以下が成り立つ。 A は f に対して不動である。すなわち、A の元 s があるとき全ての t について f(t,s) である。 A の近傍が存在し、B(A) を A の basin of attraction と呼び、 B(A) = { s | A の全ての近傍 N について、全ての t について t > T, f(t,s) ∈ N となる T が存在する} である。言い換えれば、B(A) は極限で A になる点の集合である。 上記2点が成り立つ A の真部分集合は存在しない。 ある力学系を表す関数 f(t, •) がある。位相空間の元 s がその系の状態を表すとすると、 f(0, s) = s と t>0 のときの f(t, s) により s を始点とした t 時間の状態を表す。 例えば、1次元の孤立した点質量の力学系を考えると、その位相空間での位置は (x,v) で表され、 x は質量の位置、v は速度である。この質量が自由落下状態の場合（重力下にない場合）、 その力学は f(t,(x,v)) = (x+t*v,v) で表される。 アトラクターは位相空間の部分集合 A であり、以下が成り立つ。 A は f に対して不動である。すなわち、A の元 s があるとき全ての t について f(t,s) である。 A の近傍が存在し、B(A) を A の basin of attraction と呼び、 B(A) = { s | A の全ての近傍 N について、全ての t について t > T, f(t,s) ∈ N となる T が存在する} である。言い換えれば、B(A) は極限で A になる点の集合である。 上記2点が成り立つ A の真部分集合は存在しない。
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。 数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。 数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、 可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。 このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、 S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。 また、E の元としての S を全事象という。 事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の起きる確率という。 つまり、E は確率が定義できるものの集まりである。 必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。
M を位相空間とする。M の開集合 U に対して、 m 次元ユークリッド空間の開集合 U′ への 同相写像 を局所座標系 (local coordinate system) あるいは （局所）チャート (chart) という。 a ∈ U に対し、 φ(a) を局所座標 (local coordinates) という。 局所座標は、ユークリッド空間の点として見たときの特定の座標 すなわち m 個の数の組 (φ1(a), ..., φm(a)) であるのに対し、 局所座標系は、U 上で定義された m 個の関数 (φ1, ..., φm) の組である。 局所座標を用いることにより U 上の点を m 次元ユークリッド空間の点であるかのように扱うことが可能になる。 U 上に局所座標系 φ が定義されていることを (U, φ) という対で表し、 これを m 次元座標近傍 (coordinate neighborhood) という。 座標近傍としては、局所座標系の成分を明示的に (U;φ1, ..., φm) のように書いたものを用いることもある。 M を位相空間とする。M の開集合 U に対して、 m 次元ユークリッド空間の開集合 U′ への 同相写像 を局所座標系 (local coordinate system) あるいは （局所）チャート (chart) という。 a ∈ U に対し、 φ(a) を局所座標 (local coordinates) という。 局所座標は、ユークリッド空間の点として見たときの特定の座標 すなわち m 個の数の組 (φ1(a), ..., φm(a)) であるのに対し、 局所座標系は、U 上で定義された m 個の関数 (φ1, ..., φm) の組である。 局所座標を用いることにより U 上の点を m 次元ユークリッド空間の点であるかのように扱うことが可能になる。 U 上に局所座標系 φ が定義されていることを (U, φ) という対で表し、 これを m 次元座標近傍 (coordinate neighborhood) という。 座標近傍としては、局所座標系の成分を明示的に (U;φ1, ..., φm) のように書いたものを用いることもある。
90 ：
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
91 ：
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
92 ：
集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。 集合 In = {1, 2, ..., n} に対し、In から In への全単射全体の集合を Sn とおくと、写像の合成を積と定義することで、Sn は群になることがわかる。 これはn 次の対称群と呼ばれ、Sn の元は n 次の置換とよばれる。 X を有限集合 とするとき、In の場合と同様にして X から X への 全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。 このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して 対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。
