不等式への招待 第６章

1 ：12/03 〜 最終レス ：12/08

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ！
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ
まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
過去スレ
・不等式スレッド　（第１章）http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/l50
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
姉妹サイト（？）
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000

2 ：

不等式の本
[1]　不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
　 　http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
　　 http://direct.ips.co.jp/book/Template/Goods/go_Boo...
[4]　不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
　　 http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/978432001...
[5]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8]　数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
　 　http://amazon.jp/o/ASIN/4316801988
[9]　数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店，2001年
　 　http://amazon.jp/o/ASIN/4254110871
[10]　獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
　 　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1113...
[11]　三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
　 　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1180...
[12]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/052154677X
[13]　Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
　　 http://amazon.jp/dp/3034600496

3 ：

不等式の記事
[1]　特集 「現代の不等式」 （数理科学 No.386） ，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[2]　特集 「不等式の世界」 （数学セミナー No.2-569） ，日本評論社，2009年2月号
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8
[3]　連載 「不等式の骨組み」 （大学への数学 vol.53，全12回，各4ページ），栗田哲也，東京出版，2009年4月号-2010年3月号
　　 http://www.tokyo-s.jp/index.shtml
不等式の埋蔵地
[1]　RGMIA　http://rgmia.vu.edu.au/
[2]　Crux Mathematicorum Synopses　http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3]　Maths problems　http://www.kalva.demon.co.uk/
[4]　Mathematical Inequalities & Applications　http://www.ele-math.com/
[5]　American Mathematical Monthly　http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6]　Problems in the points contest of KoMaL　http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7]　IMO リンク集　http://imo.math.ca/
[9]　Mathematical Olympiads Correspondence Program　http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10]　Mathematical Excalibur　http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11]　MathLinks Contest　http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_s... (要自動登録)
[13]　Wolfram MathWorld　http://mathworld.wolfram.com/
[14]　GRA20 Problem Solving Group　http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.htm...
[15]　American Mathematical Monthly Problems　http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
[16]　Journal of Inequalities and Applications http://www.hindawi.com/journals/jia/

4 ：

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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5 ：

海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics　http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal　http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum　http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html
　　　　　�凵@　　　　○　　　∇　、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､　　';冫　☆
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　　　　　　　　　 　 ┗〆━┷　Ｚ,.'　/┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
　　　　　　 ヾ　　　�凵@　　　　　　　　　　　　　　'、´　　　　∇
我々は不等式ヲタだ！
お前達を同化する。抵抗は無意味だ！

6 ：

まとめwiki、もっと充実するといいね。
俺もだけれど、暇な時でも見つけてスレ内の面白かった不等式(とその証明)のっけていければいいのだけれど

7 ：

不等式は人気者だな

8 ：

>>2のurl何かおかしくね？

9 ：

>>8
具体的に、どの本？

10 ：

>>2 の修正
すまなんだ
まとめWikiからコピペしたら、長いURLは ...... と略されるのを忘れていました
不等式の本
[1]　不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
　 　http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
　　 http://direct.ips.co.jp/book/Template/Goods/go_BookstempKindai.cfm?GM_ID=KD1006&CM_ID=004300504&SPM_ID=1115&HN_NO=00430&PM_No=&PM_Class=
[4]　不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
　　 http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
[5]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8]　数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
　 　http://amazon.jp/o/ASIN/4316801988
[9]　数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店，2001年
　 　http://amazon.jp/o/ASIN/4254110871
[10]　獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
　 　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
[11]　三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
　 　http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11808-7/
[12]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/052154677X
[13]　Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
　　 http://amazon.jp/dp/3034600496

11 ：

　　　 　　　 人
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　　　　　 （＿＿）　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　 　(∩・∀・)＜　もしもし? このスレに不等式１人前お願いします
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￣￣￣￣￣￣￣￣|
( ﾟ∀ﾟ) ﾏｲﾄﾞｰ、税込1050円ﾃﾞｽ
x、y、z > 0、xyz=1 のとき、(x/(1+x))^2 + (y/(1+y))^2 + (z/(1+z))^2 ≧ 3/4

12 ：

不等式の本が出たってのに、なぜかスルーですな

13 ：

x、y、z > 0、xyz=1 のとき、(x^2/(1+x))^2 + (y^2/(1+y))^2 + (z^2/(1+z))^2 ≧ 3/4

14 ：

　　　 　　　 人
　　　　 　 （＿_）　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　 （＿＿）　　／　あ〜もしもし、追加注文お願いします
　　　　 　(∩・∀・)＜　 特盛り…じゃなくて、類題１人前
　□……(つ　　　)　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
￣￣￣￣￣￣￣￣|
　　　　 　( ﾟ∀ﾟ) ﾏｲﾄﾞｰ、税込850円ﾃﾞｽ
　　　　 　(　O┬O
　　≡ ◎-ヽJ┴◎ 　ｷｺｷｺ
x、y、z > 0、xyz=1 のとき、x/(1+y) + y/(1+z) + z/(1+x) ≧ 3/2

15 ：

>>11-14
不等式の左辺の分母の1を(abc)^(1/3)に置き換えたり、
あんなことやこんなことをするんだろうと思うけど、できぬ・・・

16 ：

三角形の辺の長さ a、b、c に対して、(a^2)/(b^2 +ac) のとりうる値の範囲を求めよ

17 ：

>>16
分母分子a^2で割って、b/a、c/aを置き換えて三角形の成立条件とか使うん蟹？

18 ：

これってエレガントというか、きれいな解法はないだろうか？
そんなに各種不等式に詳しくないので、ここで聞きます。
abc=1を満たす正の実数a,b,cにたいして、
a^3+b^3+c^3+6≧(a+b+c)^2

19 ：

>>18
コレクションにあるかな〜と思って探したけど持ってなかった
とりあえず ( ﾟ∀ﾟ)ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
考えてみ松

20 ：

589:１３２人目の素数さん[]
2012/04/13(金) 17:58:32.59
表の出る確率がp(1/2≦p≦1)のコインを奇数枚投げたとき
表の出たコインの枚数が,裏の出たコインの枚数より多い確率は
p以上であることを示せ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第二十問
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325575627/

21 ：

グラフを描いてみると成り立ってそうだけど証明法が解らずにいる不等式
x erfc(x) < 1/4.

22 ：

http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH90/Putnam99.pdf
Problem B4: Let ? be a real function with a continuous third derivative such that ?(x) ,
?'(x) , ?"(x) and ?'"(x) are positive for all x . Suppose that ?'"(x) £ ?(x) for all x . Show
that ?'(x) < 2?(x) for all x .
Solution B4: For any x and X , Taylor’s formula for ?(X) with an integral remainder is
?(X) = ?(x) + (X?x)?'(x) + (X?x)2?"(x)/2 + ox
X (X?t)2?'"(t)dt/2 ; and if X < x we find, since
?'"(t) > 0 , that ?(X) < ?(x) + (X?x)?'(x) + (X?x)2?"(x)/2 . Set X := x ? ?'(x)/?"(x) < x to
infer first 0 < ?(X) < ?(x) ? ?'(x)2/?"(x) + (?'(x)2/?"(x))/2 and then ?'(x)2 < 2?(x)?"(x) .
Similarly ?'(X) = ?'(x) + (X?x)?"(x) + ox
X (X?t)?'"(t)dt ; now, since ?'" £ ? and X?t has
the same sign as X?x and also dt , we infer ?'(X) £ ?'(x) + (X?x)?"(x) + ox
X (X?t)?(t)dt .
Integration by parts turns this last inequality into
?'(X) £ ?'(x) + (X?x)?"(x) + (X?x)2?(x)/2 + ox
X (X?t)2?'(t)dt/2 .
Again, if X < x we find, since ?'(t) > 0 , that ?'(X) £ ?'(x) + (X?x)?"(x) + (X?x)2?(x)/2 ;
this time set X := x ? ?"(x)/?(x) < x to infer from 0 < ?'(X) that ?"(x)2 < 2?'(x)?(x) . This
combines with the inequality ?'(x)2 < 2?(x)?"(x) inferred above to prove ?'(x) < 2?(x) , QED.
( An example of such a function ?(x) is s + exp(m・x) for any constants s 3 0 < m £ 1 . The
example s + (mx + O(m2x2+1))n for n 3 2 , s 3 0 and m £ 3O((5/2)5/2/(n(n+1)5/2(n+2))) is
less obvious.)

23 ：

>> 18
Cirtoajeのプレプリのアイデアを応用すれば, x,y,z が正のとき,
x^9+y^9+z^9 + 6x^3 y^3 z^3 ≧ xyz((x^6+y^6+z^6)+(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3))
が成り立つことは証明できますが, 泥臭くて長い計算(A4版TeX印刷で2ページくらい)になります。
p=x+y+z, q=xy+yz+zx, r=xyz とおいて, 不等式の (左辺)-(右辺) をp,q,rで書き直したとき, rの2次式になるのがポイントです。
鮮やかな簡明な証明は思いつきません。
ところで, 次の問題のほうがずっと難しいと思いますよ(私の証明でA4版10ページくらい)。
x, y, z が正のとき
x^5+y^5+z^5 + (5 \root{4}\of{5}/4 - 1)xyz(x^2+y^2+z^2)
≧ (5 \root{4}\of{5}/4)(x^4y+y^4z+z^4x)
斉次対称不等式はいろいろな一般論が利用できますが, 巡回不等式のほうは難しいのです。

24 ：

5/4^(4/5).

25 ：

>>23
不等式の本を早く出してください、ﾜｸﾜｸ…

26 ：

0≦x[i]≦1,x[1]+x[2]+…+x[n]=1のとき
x[1]+x[1]x[2]+x[1]x[2]x[3]+…+x[1]x[2]x[3]…x[n]
の最大値って出せます？

27 ：

>>26
ラグランジュの未定乗数法は試した？

28 ：

１。

29 ：

解決しました
最大値はx[1]=1のときですね

30 ：

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.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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34 ：

自演バレバレだぞ prime_132

35 ：

さいきん数学板のあちこちに糞AAを貼りまくっている奴の正体がprime_132なのか
検索すると、あちこちに出没しているようだな

36 ：

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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37 ：

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38 ：

調べてみたら自分より有能な人の存在を認めたくない有象無象の1人にしか見えんのだが。
こんなあわれな子供が荒らしに時間を費やしているとしたら世も末だなぁ。

39 ：

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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40 ：

ところで, 日本では, 不等式の研究集会とかシンポジウム, って聞きませんね。
誰か開く予定があったら教えて下さい。

41 ：

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42 ：

18 abc=1を満たす正の実数a,b,cにたいして、
a^3+b^3+c^3+6≧(a+b+c)^2>>
Schur's Inequality

43 ：

x, y, z>0⇒(x^3+3y^3)/(5x+y)+(y^3+3z^3)/(5y+z)+(z^3+3x^3)/(5z+x)≧(2/3)(x^2+y^2+z^2)

44 ：

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45 ：

876　　　ななし　[2012/04/26(木) 01:52:05] sage
>>872
コーシーで
　{x(5x+y)+3y(5x+y)+y(5y+z)+3z(5y+z)+z(5z+x)+3x(5z+x)}{左辺}
　　≧ (x^2 +3y^2 +y^2 +3z^2 +z^2 +3x^2)^2
　　=　16(x^2 +y^2 +z^2)^2,
ここで
　x(5x+y) +3y(5x+y) +y(5y+z) +3z(5y+z) +z(5z+x) +3x(5z+x)
　　= 8(x+y+z)^2
　　= 24(x^2 +y^2 +z^2) -8(x-y)^2 -8(y-z)^2 -8(z-x)^2
　　≦ 24(x^2 +y^2 +z^2),
より、
　{左辺} ≧ (2/3)(x^2 +y^2 +z^2),
877　　　prime_132　[2012/04/26(木) 01:57:59] sage
>>873-876
　正解です！
いろんな方法があるんですね。

46 ：

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47 ：

実数 a、b、c が a^2 + b^2 + c^2 = 1 をみたすとき、ab+bc+ca のとりうる値の範囲を求めよ

48 ：

>>2
[4]を買ったので、GWに読んでみます。
[2][3]を図書館で借りておいた方がいいですかね？

49 ：

>>48ですが、[2][3]を確保しました

50 ：

こんな不等式あった
http://s3.gazo.cc/up/s3_7474.png

51 ：

　 ┏┓　 　　　┏┓　　　　　　　　　　　┏━┓　┏━┓
┏┛┗┓ ∧∧　┗━┓　　　　　　　　┃　 ┃　┃　 ┃
┗┓┏(　つ ﾟДﾟ).┏┓┃┏━━━┓ ┃　 ┃　┃　 ┃
┏┛┗ ＼　ｙ⊂ ）　┛┃┗━━━┛ ┗━┛　┗━┛
┗┓┏ ／　　　　＼┓┃　　　　　　　 ┏━┓　┏━┓
　 ┗┛∪￣￣￣＼)　┛　　　　　　　 ┗━┛　┗━┛

52 ：

>>50
どうやって証明するのでしょう？

53 ：

>>50,52
証明してみた。
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%B8%C4%CA%CC%A4%CE%CC%E4%C2%EA%B2%F2%C5%FA?wiki_id=54872#content_7

54 ：

綺麗すぎワロタ
右辺がすっきりしてるのにも理由があるのか

55 ：

>>53
ふつくしい…

56 ：

>>53
あなたが神か…

57 ：

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58 ：

専ブラで糞AAをあぼーんしている俺に死角はない

59 ：

>>53
きたか…!!
　　( ﾟдﾟ )　ｶﾞﾀｯ
　　.r　　 ヾ
＿_|_|　/￣￣￣/＿
　　＼/　　　　/

60 ：

>>47
-1/2 ≦ ab+bc+ca ≦ 1

61 ：

こんなのあった
正数x,y,zがx+y+z=1　をみたすとき、x^3+y^3+z^3+3xyz≧2/9

62 ：

あ…ありのまま 今　起こった事を話すぜ！
ＧＷが始まって不等式にﾊｧﾊｧしていたはずが気がついたらＧＷが終わっていた…
何を言ってるのか分からねーと思うが、俺も何をされたのか分からなかった…
頭がどうにかなりそうだった…
催眠術だとか超スピードだとか、そんなチャチなもんじゃあ　断じてねえ
もっと恐ろしいものの片鱗を味わったぜ…

63 ：

非負実数 a、b、c が a+b+c=5 をみたすとき、(a^4)b + (b^4)c + (c^4)a ≦ 256

64 ：

>>47
(a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab+bc+ca) = (a+b+c)^2 ≧0
(a^2 + b^2 + c^2) - (ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧0
>>61
わかりませんぬ

65 ：

>>53
え、どっかのサイト？

66 ：

>>65
聞く前に自分で確認しろや糞蟲

67 ：

実数 a、b、c が a+b+c=0、a≧1 をみたすとき、a^4 + b^4 + c^4 -3abc ≧3/8
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

68 ：

>>67
なんか見たことあるなあ

69 ：

>>66
糞蟲野郎

70 ：

>>63
問題間違ってないか？

71 ：

>>70
間違ってないはずだけど、反例がありましたか？

72 ：

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73 ：

>>71
ごめん。いいかも。

74 ：

>>61どうやるの？おしえて不等式の神様

75 ：

俺洩れも知りたい

76 ：

次数が3ってことはあれだな

77 ：

> 61 は 9(x^3+y^3+z^3 + 3xyz) - 2(x+y+3)^3 ≧ 0 をSchurの不等式で証明するだけ.
非負実数に関する3変数3次斉次対称不等式はSchurの不等式とMuirheadの不等式だけから証明できる、という定理があります．
> 63も5次斉次式にしてみれば，全部に項が正なので自明.
ところで，次は本当に2日前に(非初等的に)証明できた超難問です．
p = 1.48941118... は次の5次方程式解とする．
7 p^5 + 17 p^4 + 16 p^3 + 16 p^2 - 64 p - 128 = 0
このとき，任意の実数(負数も含む) x, y, z, に対して
x^4+y^4+z^4 + p(x^3y+y^3z+z^3x) ≧ 0
非自明な等号成立条件もあります．

78 ：

ワクワクしますね

79 ：

77さんがここのno1なの？

80 ：

それはどうか知らんが、ここ一、二ヵ月ほどは、
どんな不等式でもたちどころに証明してしまう不等式神を見かけないので寂しい

81 ：

どなたか　>>21　お願いします　(._.)

82 ：

>>79
どうやら、不等式ヲタに同化されたのは最近のようだな
不等式ヲタとは何たるかを過去ログの書込で説明しよう！
学問・理系 [数学]　“不等式への招待 第２章”
217 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/03/24(木) 22:03:28
>>216
不等式ヲタは群生体だから、無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは１人２人じゃなく、１ヲタ２ヲタと数えるんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは三角関数や nCr でも ﾊｧﾊｧ しちゃうんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタはデルタ宇宙域からやってきたよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは世界中のあらゆるところから不等式を鬼集してるよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは集めた不等式を同化し改良するから、抵抗は無意味だよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタはちょっとキチガイ入っているよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは他スレを荒らさないから安心してね ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタのレスの半分は自作自演、残りはなりすましでできてるよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式を見て興奮した君は、すでに不等式ヲタに同化されているよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
今日から君も不等式ヲタだ ( ﾟ∀ﾟ)９ ﾃﾍｯ

83 ：

$a>0,\ b>0,\ a^2+b^2<1$ のとき，$\frac{ab(1-a^2-b^2)^{1/2}}{a(1-a^2)^{1/2}+b(1-b^2)^{1/2}}$の最大値を求めよ。

84 ：

>>83
ヒントくれ！

85 ：

甘えるな！

86 ：

なんだとー

87 ：

これむずいな

88 ：

彡　　　　　　　　ミ{､{v､⌒ヽ､　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 xイ　　　　　　　　　　　　�_ｲヽ、　ヽ.　　　　　|
　〃　　　　　　　　　　　　　川　　ヽ.ヾヾ.　　　　.|
　　　　　　　　　　　　　　　リ　　　　ヽ.v|｝　　 　.|
　　　　　　　　　　　　　彡ｲ＿＿ 　 rｪ'v'　 　 　 |　↑　おねえちゃん　いいからだしとるやんけ
　　　　　　　　　　　彡彡〃二二､＿＞'卞》,　　 |
　　　　　　　 　 ,xイ　,.ｘ≦《ｔッ=　〕f‐〔テ.}　》　　|　おれのもちものはでっかいぜ
　　　　　　　　_,,ｘ≦三ﾆ≡《＿＿》"　　ヽrく　 　 ＼
　　　　＿_ｘﾁ'＜, 　　　　　 ￣￣ f⌒ ,,..　}:.　,　　　/／￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　ｌ´⌒>’`ゝ:;;ゝ　 　 　 　　　 f ゝ-'´`く:.:. i　　 /'
　　　{　　仆i 　 　　　　　　　　　 ,　:.　,xｪｭ,:　|
　.　 ∧　 ゝﾑ 　 　 　 　 　　　 　',:. r''ﾆ二え |
　∨ 　ゝ、＿ >,　　　　　　　　　　`　 :::　　 ､.|
　　＼ 　{　　　　: 　 　 　 　 　 　　　　 ､.::.:.:.:.|
　　　 }川　　　　　:　　　　　　　　:.:.　.　 ー'',r'
　　　　　l｢￣￣≧ｘ､,_　　　　　　　 :::::::::::／

89 ：

考えるな 感じるんだ

90 ：

　　　　　　　　 ＼　　　　　不等式と言えば？　　　　　　　　 / Schurﾑｽﾞ…　Jensen最強　　Lehmusって
　　　　　　　　　　＼　　　　　　　　∧＿∧ ∩AM-GMだろ /　∧＿∧　　　　 ∧＿∧　　　 　 ∧＿∧
Ｍａｒｋｏｖの不等式 ＼　　　　　　（　・∀・）ノ＿＿＿___　 /　 （ ；・∀・）　　　 （； ´Д｀） 　　　（´Д｀； ）
の証明おしえて ∧ ∧＼　　　　（入　　　⌒＼つ 　／|. /　 ⊂　　 ⊂ ）　　　 ( つ ⊂ ）　　　 （ ⊃ 　　⊃
　　　　　　　　　（ﾟДﾟ ）＿＼　　　 ヾヽ 　／＼⌒)／ 　|/　　 　 〉　〉＼＼　　　〉　〉 く く　　　／／（　（
　　　　 ／￣￣∪　∪ ／|　＼　　|| ⌒|￣￣￣|　 　 /　　 　 （＿_）　（＿）　 （＿.）（＿）　 （＿） （＿_）
　　　／∧＿∧Polyaを読め　＼　　　　∧∧∧∧ /　　　　　　　　　　　
　 ／　（；´∀｀ ）＿／　　　　　　　＼ 　＜ 不　 　 ＞ レスの半分は自作自演、残りはなりすましでできてるよ
　||￣（ 　　　 つ　||／　　　　　　　　 ＼＜ 等　ま ＞ 　集めた不等式を同化し改良するから、抵抗は無意味だよ
　||　（_○_＿_)　　||　　　　　　　　　　　 ＜ 式　 　 ＞　群生体だから無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるよ
――――――――――――――― .＜ ヲ　た ＞―――――――――――――――――――――
　　　　　 　　　∧＿∧　いつもながら　＜ タ　　　＞　　　 ∧＿∧ﾃﾍｯ∧＿∧ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣
　　　　 　　　 （ ；´∀｀）　見事じゃのぉ ＜か　　＞ ＼　　 （　´∀｀）　　（´∀｀　）＜不等式への招待
　　　 _＿＿__（つ＿ と)_＿＿　　　　　　 ./∨∨∨ 不＼　（　　　　）＿_（　　　　）　 ＼＿＿復刊ﾏﾀﾞｧ？
　. ／ ＼　　　　 　 　＿＿＿ ＼ｷﾀｧ　　/　　∧＿∧等 ＼∧　∧ 　 ∧　∧ ￣￣￣／.／／|￣￣￣
　.<＼※ ＼＿＿__.|i＼＿＿＿ヽ.ｳﾋｮ ./γ(⌒)・∀・ ） 式　＼ 　 ；)　（ 　 　 ；）　 　／ ┃| ｜
　 ヽ＼ ※　※　※|i　i|.====B|i.ヽ　　/（YYて)ﾉ 　　ﾉ　　ヲ　　＼↑￣￣↑＼)＿／ 　 　 |__|／
　　　 ＼`ー──-.|＼.|___|__◎_|_.i‐>/ ＼ ￣￣￣￣＼　 タ　　　＼数ヲタ　 | |　┃
　　　　　￣￣￣￣|.　|￣￣￣￣|　/　||ヽ||￣￣￣￣||　　め　　　　＼　　　.|_）

91 ：

>>83
$\frac{ab(1-a^2-b^2)^{1/2}}{a(1-a^2)^{1/2}+b(1-b^2)^{1/2}}=\frac{(1-a^2-b^2)^{1/2}}{\frac{(1-a^2)^{1/2}}{b}+\frac{(1-b^2)^{1/2}}{a}}$
$a^2+b^2=k^2$と固定し，分母$\frac{(1-a^2)^{1/2}}{b}+\frac{(1-b^2)^{1/2}}{a}$が最小になるときを求める。
$a^2+b^2=k^2$から$\frac{(b^2+1-k^2)^{1/2}}{b}+\frac{(a^2+1-k^2)^{1/2}}{a}=\sqrt{1+\frac{1}{\frac{b^2}{1-k^2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{\frac{a^2}{1-k^2}}}$…★となる。
$f(x)=\sqrt{1+\frac{1}{x}}$は，$f''(x)>0$より下に凸なので，$\frac{f(s)+f(t)}{2}\geq f\left(\frac{s+t}{2}\right)$
$s,\,t$にそれぞれ$\frac{a^2}{1-k^2},\,\frac{b^2}{1-k^2}$を代入することにより，★は$a=b$のとき最小とわかる。
すると1変数になるので，あとはどうとでもやれ。$a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のときに最大値$\frac12\left(\sqrt2-1\right)$をとる。

92 ：

最後の行まちがった。
$a=b=\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}$のときだ。

93 ：

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
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　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
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94 ：

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　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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95 ：

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96 ：

>>67

|a| ≧ 1 より
(左辺) - (右辺)
　　≧ (3/8)a^4 + b^4 + c^4 - 3aabc
　　≧ (5/8)a^4 + (1/2)(bb+cc)^2 -3aabc
　　≧ (5/8)a^4 + (1/8)(b+c)^4 -3aabc
　　=　(3/8){a^4 + (b+c)^4} - 3aabc　(← |a|≧|b+c|)
　　=　(3/4){a(b+c)}^2 - 3aabc
　　=　(3/4){a(b-c)}^2
　　≧ 0,

97 ：

>>21　>>81
・x>1 のとき、
　-t^2 ≦ -x^2 -2x(t-x),　　(t=x での接線)
　erfc(x) < (2/√π)exp(-x^2)∫[x,∞) exp(-2x(t-x)) dt
　　= (2/√π)exp(-x^2)∫[0,∞) exp(-2x･t') dt'
　　= (2/√π)exp(-x^2) [ -(1/2x)exp(-2x･t') ]_0,^∞
　　= 1/(x√π)exp(-x^2)
　　< 1/(e(√π)x)　　　　　　　(← x>1)
　　= 1/(4.8180x),
・x<1 のとき
　exp(-t^2) ≧ 1 - t^2,　　(マクローリン)
　erfc(x) = 1 - (2/√π)∫[0,x] exp(-t^2) dt
　　< 1 - (2/√π)∫[0,x] (1-t^2)dt
　　= 1 - (2/√π)[t -(1/3)t^3 ]_0,^x
　　= 1 - (2/√π){x -(1/3)x^3}
　　< 1 -(9/8){x -(1/3)x^3}　（← π<(4/3)^4）
　　= 1/(4x) - {2 -8x +9x^2 -3x^4}/(8x)
　　= 1/(4x) - {(1-x^2)(1-2x)^2 + (1-x)^4}/(8x)
　　< 1/(4x),

98 ：

>>21 >>81

　x･erfc(x) ≦ 0.240375586831011
　等号は x = 0.531596885149393

99 ：

pを正の定数とする。
周の長さがpである三角形ABCの三辺の長さをa,b,cとする。
このとき、L=1/(a+b-c)+1/(b+c-a)+1/(c+a-b)のとり得る値の最小値をpを用いて表せ。

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