【月刊大学への数学】学力コンテスト･宿題14

1 ：2012/08/21 〜 最終レス ：2012/12/01

学コンや宿題のネタバレ・問題分析等は大数本誌のスレなどではやらず、こちらでお願いします。
演習書等は関連スレを参考にしてください。
関連スレ
【月刊】大学への数学【東京出版】
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1309011572/
大数ゼミ 4
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■■■ 新数学スタンダード演習＆新数学演習 ■■■
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1対1対応の演習 part28【大学への数学】
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2 ：

前スレ
【月刊大学への数学】学力コンテスト･宿題13
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1338268861/

3 ：

P(1,0,1),Q(1,1,0),R(0,1,1)とおく
(a+b,b+c,c+a)は、a↑OP+b↑OQ+c↑ORと表せる
四面体OPQRは1辺が√2の正四面体である
a↑OP+b↑OQが0≦a≦1,0≦b≦1で動くとき
1辺が√2で1つの角が60ﾟのひし形になる
このひし形をORに沿って平行移動させたのが(a+b,b+c,c+a)の通過領域

4 ：

なんでドヤ顔なの

5 ：

(1/x)+(1/y)+(2/z)=1
明らかにx≧2,y≧2,z≧3
x≦yのとき
1=(1/x)+(1/y)+(2/z)≦(1/x)+(1/x)+(2/3)
∴x≦6
後はx=2,3,4,5,6を代入して調べて

6 ：

どうせなら宿題書いてよ

7 ：

背理法で証明。
I(n)を部分積分により評価すると、整数である。
ところが、I(n)→0なので十分に大きなnをとると、0<I(n)<1となり、
I(n)は整数でない。
よって矛盾。

8 ：

いつも思うんだけどがっこんって６番以外解いても意味ないよな。
１〜５は大体典型問題じゃん。６番だけ解ければ目的達成って感じだわ。

9 ：

5,6だけ解けばいいコースが欲しい

10 ：

物足りないなら大学の数学でもやればいい

11 ：

これで名前のるのってすごいことなの？

12 ：

一般人からすればすごい
ある程度まともに数学出来る人からしたら別にって感じ

13 ：

>>12
なるほどね
大学の知り合いがのってたんですごいのかなーっと思ってね
大学への数学は新数学演習とかいうのでお世話になったおぼえがある

14 ：

宿題は難しい気が

15 ：

宿題って答えの当たりをつけてからそれ以外は答にならないことを証明するタイプが多いよね。

16 ：

4番面積が無限大になったｗ
どこを間違えたんだ…

17 ：

不等号の向きを間違えてると思われ

18 ：

6の（2）の方針のヒント欲しいです

19 ：

いったん展開してから何回か微分してみろ

20 ：

2のヒントください…

21 ：

2000年東大6

22 ：

宿題できたトコまで書いてみる。何かの足しにしてくれ。
a1=n・・�@
a(i+1)=n^(ai)・・�A
a1+a2＋・・+ak＝h^2(hは整数）・・�B
a1>0と�Aより帰納的にan>0
よって両辺正より対数を取って
log(a(i+1))=ailogn

23 ：

Rーを人に見せるな

24 ：

対数とっただけなのにドヤ顔で書いててフイタｗ

25 ：

やめたげてよぉ

26 ：

宿題解けた人いますか？
それから学コン6番って手順どおりやらないと駄目？

27 ：

宿題解けたよ
解けない奴は知的障害ないか病院で診てもらったほうがいいよ

28 ：

宿題は大雑把な流れでいうと
n≧2，k≧2として
まずnが平方数であることが必要なのを示して
n=m^2，a[1]+…+a[k]=N^2とおいて
m^a[k]<N<m^a[k]+1を示す感じでいけないか

29 ：

5番の題意は、
　・CとDの交点が2個だけで、その双方で直交する
　・CとDの交点が2個以上あり、かつ直交する交点が2個ある
のどちらに採るべき？後者があり得るかどうかは別にして、問題文からは直交しない交点があることを排除していないように読めるが。

30 ：

なぜnが平方数であることが必要なのかが分からん

31 ：

m^a[k-1]<N<m^a[k-1]+1だった

32 ：

mod n

33 ：

だからなんでｎが平方数なんだよ・・

34 ：

ｎでくくれ

35 ：

どや顔で言われましても

36 ：

>>34
なに適当な事言ってんだｗワロタｗｗ

37 ：

誰か6の問題貼ってくれないか

38 ：

前のスレで4番を44と答えていたけど、おかしくない？

39 ：

範囲が2πだと、44だよね

40 ：

>>36
お前アホだな。

41 ：

>>38
aの範囲考えてみ
6番a^2nじゃなくてa^nでいい気が

42 ：

>>40
いいよなぁ、そうやって解けてもいないのにどやがお
できるなんてｗじゃあ俺からも宿題のヒント出すわｗｗ
　　　　　
ｎを代入しろ

43 ：

大問2って平行六面体になるみたいだけどどうやって論証するの？

44 ：

>>43
>>3

45 ：

今月は
１Ｂ＊＊＊
２Ｂ＊＊＊
３Ｂ＊＊＊
４Ｂ＊＊＊
５Ｂ＊＊
６Ｃ＊＊＊＊

46 ：

先月1番の解説の補足：　コネ　⇒　ロリ　置き換え　ﾜﾛﾀ。
実はあたしも　コネ　⇒　ホゲ　に置き換えて書こうと思ってたんだけど、やめてﾖｶﾀよ。

47 ：

１番　１５個
３番 (1) c[n](1/6)^n
(2) a[n+1]=1/2*a[n]+1/2*b[n]+1/3*(1/6)^n
(3) a[n]=(1/3)^n
であってる？

48 ：

過去ログぐらい見ろ

49 ：

炉理じゃないけどちんにしようとは一回思った

50 ：

猫好きなもんで「ネコ」にしようとは思ったけど

51 ：

うちのダンナもネコ語使うよ。
「さみしいにゃん」とか「○○(私の名)がいないとさみしいにゃん」とか。人前ではもちろん言わないけど。

52 ：

(　д)　ﾟ　ﾟ
・・・うううごめんなさい誤爆しました

53 ：

大問3でbnの一般項ってどうやって出しました？

54 ：

宿題が解けた人に質問なのですが、
ｎ≧２かつｋ≧２
を満たす答えって存在するのですか？
あるのであれば１つ教えていただきたいです。

55 ：

>>54
6の問題貼ってくれたら

56 ：

存在しないことを証明するのでは？

57 ：

>>55
買え，乞食

58 ：

かなり大ざっぱな不等式3個ぐらいでn>=2（nは平方数だからn>=4）かつk>=2を満たすものが存在しないことがいえる（…と思う）

59 ：

ああ、存在しなかったんだ。
あったとしたら計算面倒すぎだろとは思った

60 ：

n≧2,k≧2とする
(命題)
nが平方数であることが必要である
(証明)
a[1]+a[2]+…+a[k]=N^2とおく
【n{1+n^(a[1]-1)+n^(a[2]-1)+…+n^(a[k-1]-1)}=N^2】
ここで明らかにa[i]>1であるから
n^(a[1]-1)+n^(a[2]-1)+…+n^(a[k-1]-1)はnの倍数で
1+n^(a[1]-1)+n^(a[2]-1)+…+n^(a[k-1]-1)はnと互いに素
よって【…】よりnが平方数であることが必要
(補題1)
a[i]は単調増加な数列である
(証明)
a[i+1]＝n^a[i]≧(1+1)^a[i]＝C[a[i],0]+C[a[i],1]+…+C[a[i],a[i]]＞C[a[i],1]＝a[i]
(補題2)
a[i]＞i
(証明)
a[1],a[2],…,a[i]は整数で(補題1)よりa[i]＞a[i-1]＞…＞a[1]≧2　∴a[i]＞i

61 ：

おいおいまじか・・・只者じゃねえ・・

62 ：

証明した不等式群はどうやら同じっぽい
証明方法（いくつかありそう）が違うだけ
難易度は4,5月ごろに戻った感じ

63 ：

(補題3)
2･2^a[i]＞(a[i])^2
(証明)
2･2^a[i]=2･(1+1)^a[i]≧2(C[a[i],0]+C[a[i],1]+C[a[i],2])＞(a[i])^2
(命題)
n=m^2 (m≧2)とおく
(m^a[k-1])^2＜a[1]+a[2]+…+a[k]＜(m^a[k-1]+1)^2
(証明)
(m^a[k-1])^2=a[k]<a[1]+a[2]+…+a[k]
(m^a[k-1]+1)^2＝a[k]+2･m^a[k-1]+1＞a[k]+2･2^a[k-1]＞a[k]+(a[k-1])^2＞a[k]+(k-1)a[k-1]＞a[k]+a[k-1]+…+a[1]
>>62はどんな感じ？

64 ：

ほぼ同じ
continuousな方法を少しばかり使ったが、discreteなままやったほうがオサレっぽいな

65 ：

本屋で問題見てきて1から5は解いたんだけど６は問題文綺麗に忘れた
外出たくないから教えて
微分してたのは覚えてる

66 ：

>>65
買えよ情報窃盗犯

67 ：

>>65
つamazon

68 ：

>>64
関数で調べた系か

69 ：

>>60の補題２っておかしくない？

70 ：

まあいいじゃないか

71 ：

>>69
えっ？
a[i+1]-a[i]≧1,a[1]≧2で言えると思うけど
６の問題まだ〜？

72 ：

>>71
買って来い

73 ：

>>71
あっ確かに。サンクス。お礼に一肌脱ぐよ。
６．ｎを自然数としｆ（ｘ）＝〜とおく
（１）aを正の実数とし、I(n)=〜と定める。〜を求めよ。
ただし、正の実数ｃについて〜は〜よい。
（２）（i)〜のとき、〜を求めよ。
(ii)〜とするとき、〜が整数〜。(3)aが自然数の時〜せ。

74 ：

6(2)iiがわからない
(3)はこれつかえばとけるってのはわかんだけど

75 ：

問題書けよ

76 ：

書いてください、お願いします・・・と懇願するなら、問題書いてあげることを検討してもいいよ

77 ：

宿題解けたら問題６載せるよ。
正直上のレスみてもまだ解けないけどｗｗ

78 ：

2は、積分使ってやったひと多いのかな?それとも平行6面体？

79 ：

積分とかアホやろｗ

80 ：

>>79
ヤコビアン使ったら頭使わず3分で瞬殺

81 ：

ﾄﾞﾔｧ

82 ：

ヤコビアン使うことに何の意味があるのか。

83 ：

一夜に燃え落ちて 甘い夢見て

84 ：

宿題
(n,k)=(1,1),
(1,4),(1,9),(1,16)....
(4,1),(9,1),(16,1)...

85 ：

m^a[k-1]<N<m^a[k-1]+1
これを一体どう使うのか教えてくれ

86 ：

m^a[k-1]<N^2<(m^a[k-1]+1)^2

87 ：

>>85
それを満たす "自然数" Ｎは存在しないだろ？

88 ：

1^2と2^2のあいだに平方数があるのなら教えてくれｗ

89 ：

(m^a[k-1])^2＜a[1]+a[2]+…+a[k]＜(m^a[k-1]+1)^2
をどう使うのか教えてください

90 ：

算数からやりなおそうか

91 ：

>>85
それを満たす "自然数" Ｎは存在しないだろ？

92 ：

3^n−1/3^n と 3^(n+1)−1/3^(n+1) (n：自然数) の間にある整数の個数をanとする。
Sn＝1/a1＋1/a2＋1/a3＋･･･＋n/an＝？

93 ：

そこわかんないの1対1とかそういうレベルだろ

94 ：

いつまで揚げ足とってんだよ・・
(m^a[k-1])^2＜a[1]+a[2]+…+a[k]＜(m^a[k-1]+1)^2
これだよ。分からんならいい。それが普通だから何も恥じる事はない

95 ：

なにが分からないんだかハッキリしろ
その式の導出なら出来ないのが普通なんだろうけど、式の意味を理解できないのなら青茶やら1対1やらやれっつてんだろ

96 ：

宿題を解析的に解いた人っている？

97 ：

{a_i}を連続変数と考えて証明できる不等式があるものの
コンビネーション部分和として離散的に扱うほうがエレガントだと思う

98 ：

先月や先々月の3割ほどの記述量で片付いたのはありがたい

99 ：

4番のヒントくれーー

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