東大の東方ヲタが考えた問題のようです。

1 ：08/03/30 〜 最終レス ：11/10/08

【問題】
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兎が十羽いるの
でもね、その中の二羽は月の兎なの、月から逃れてきた。
どちらが重たいか分かる天秤を使って月の兎をあぶり出そう。
�@月の兎の片方は地球の兎よりも重く、もう片方は地球の兎より軽い。
�A両方の月の兎の重さの和は地球の兎二羽と同じ。
�B天秤は5回だけ使える。
うまい方法を使えば、月の兎二羽を必ず見つけ出せるぜ！
この方法が分るか？（ボムは使えませんｗ）
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東方とか関係なく、純粋なパズルね、東大のオタクどもが出題してたよ。
www.komaba.utmc.or.jp/
07駒場祭号
3日もかかった俺は�Hですかい？
とりあえず
10分→IQ130
1時間→IQ120
1日→IQ110
3日→IQ100
とでもしておこうか。
さぁ、かかれ！！！！！！！！！！

2 ：

やなこったｗ

3 ：

多分解けた。はじめに５羽５羽で比べて、次にそれぞれのグループの２羽２羽で比べるやり方でOK？

4 ：

ごめん違った

5 ：

やっぱ>>3あってるよね。１つのパターンだけどうしてもダメかとおもったけど出来た

6 ：

東方オタってなに？

7 ：

重い方がうどんげで軽い方がてゐでおk?

8 ：

一応できたっぽい。2時間かかった。
場合分けしまくった。
偽物が1個のときみたいに平衡3進数とかでスパーク☆と解けないのかな。

9 ：

あ、方針としては最初の2回は機械的に3-3で乗せて、
その結果から兎に番号つけて3回目も3-3で乗せる。
4回目5回目は場合分けを細かく。
1回目が5-5でも行けるのか。
4回目までで81通りの結果が得られて、解の取り得る状態は90通りだから、
まあ余裕はたくさんあるんだろうね。

10 ：

>>3でできた。こっちでやった方がわかりやすかった。
こっちの方針だとずっとつり合うときが一番難しいね。
地球産確定した兎を一羽借りてくればOK。

11 ：

軽い月兎、重い月兎まで見分けなくてもいいのか。
ならできてるようだ。

12 ：

5回使えるからどれが軽いかどれが重いかまでわかるよ

13 ：

四匹、四匹、二匹に分け便宜上a1234 b1234 c12 とラベリング
a1234＞b1234の場合
　a123とa4c12で比較
　　a123＞a4c12 → a123重b12b34c12軽であと三回の比較で判別可能
　　a123＝a4c12 → a4重c12軽であと一回の比較で判別可能
a1234＝b1234の場合
　a123とb123で比較
　　a123＞b123 → a4b4＞c12ならb4重b123軽で、a4b4＜c12ならa4軽a123重でそれぞれあと一回の比較で判別可能
　　a123＝b123 → a12＞b12ならa3b3とc12の比較から↑と同様にあと一回の比較で判別可能 a12＝b12なら、a1b1c1とa2b2c2の比較から二回で判別可能。
これで解けるはず。
別解は知らん。つか5匹5匹とかで出来るのか？

14 ：

>>13
正解を確認した。
5-5, 3-3の解もいっしょにうpしてみた
ttp://www7.axfc.net/uploader/93/so/File_5278.txt.html
読み方は説明不要だよね。

15 ：

ごめんプログラムをうpした方がよかったね。
ttp://www7.axfc.net/uploader/93/so/File_5279.ttf.html
Perlで実行してくれ。

16 ：

げげ、今ごろ気づいたけどUTMC出題なのかww

17 ：

おお、すげー
しかし3-3は複雑だな
こんなんどうやって思いつくんだ？
これ全パターンを空でやれたら凄すぎる

18 ：

そうそう、>>13には
a1234＞b1234の後
a123＜a4c12 → a4c12重b1234軽であと三回の比較で判別可能
というのが入ってなかったので補完してあります。

19 ：

1)3-3
i.釣り合う
ii.釣り合わない
2)2-2（1で使わなかった4匹）
iii.釣り合う
iv.釣り合わない
i-iiiのとき
3、4)1のときの片方の皿から二匹を選んで比べる
�@釣り合ったら5)2でどちらかの皿から二匹を比べる
�A釣り合わなかったら5)使わなかった一匹を別の皿の一匹と量る
i-ivのとき
3)2の皿の両方の皿一匹ずつとって比べる
釣り合わなかったら4)重いほうを別のと比べる
ii-iiiのとき
3)ﾏﾝﾄﾞｸｾ('A`)

20 ：

>>19
4回ともつり合ったとき、2)の左の皿に重軽が両方いる、または右の皿に両方いるの4通りの可能性がある。
5回目で得られる結果は3通りしかないので、
「この2匹が月兎。でもどっちが重いかわかんない」って結果になるね。

21 ：

東大入試は丸暗記型のテストだからね。私大の問題しか見た事がない人は合格点だけ聞いて東大が難しいと思ってるみたいだけど。
もちろん国立にも一橋・横国みたいな所はあるよ。でも東大は暗記型なんだ。教科書片手に解けば誰でも満点が取れるタイプの試験。
分析・創造・判断とかはまるで駄目だけど、覚えて当てはめるだけの仕事では優秀なのは間違いない。
早慶は別格としてもいわゆるＭＡＲＣＨクラスと較べて一般的な民間での成功者が極端に少ないのもそのせい。
だから馬鹿こそ東大へ行けというのは人生の的確な指針だと思う。

22 ：

東大は入るところは単なる資格試験
頭のいい奴なら普通に勉強してれば受かる
そのあとの進振りが本当の一次試験だと思った方がいい

23 ：

重い兎が地球兎に比べてどれだけ重く軽い兎が地球兎に対しどれだけ軽いか判らないが地球兎を1としたとき月の兎は1.5と0.5だと仮定してみる
条件:重い兎＋軽い兎=地球兎一羽である
1：まず三羽三羽乗せる
2：釣り合えばその中には居ない 3:残り四羽を二羽ずつ乗せる
4：軽い方が月の兎
2より釣り合わなかったなら両方の天秤に月の兎がいるまたは軽い方に二羽共に存在する重い兎もしくは軽い兎どちらかが天秤に存在し残りの四羽の中に月の兎の内一羽が存在する
焼いて食う

24 ：

どーでもいいことですが
どっかにてゐが月の兎って言ったやからが見えた気がしましたが
てゐは地球の兎ですのでご了承くださいね

25 ：

パ板にも東方ｦﾀが居るのか

26 ：

この問題って地球のウサギ8羽の重さが全部同じって前提でいいのかな？
もしそうなら、
2羽比べる。→別の2羽比べる。→また別の2羽比べる。→以下略
でジャスト5回で軽重付きでわかるよね。

27 ：

>>26
結果が
地・地×4　軽・重×1だったらその通りだけど
地・地×3　地・重×1　地・軽×1　だと
後者側の2例からではどちらが月かは判別できない

28 ：

単純に２羽づつはかればちょうど５回でわかるやん

29 ：

>>28
3回計ったら3回とも釣り合った
4回目は釣り合わなかったという状況で
5回目にどう計測したら月兎が突き止められるんだ？

30 ：

バケラッタ

31 ：

無酸素状態で生き残ったのが月の兎！

32 ：

重いのをA、軽いのをBとする
�@５−５
├釣り合わない（重い方の５個の中にA、軽い方の５個の中にB）
｜�A重い方を２−２
｜　├釣り合わない（重い方の２個にA）
｜　｜�B重い方を１−１、重い方がA
｜　└釣り合う（残り１個がA）…�Bをしなくてすむ幸運
｜�C軽い方を２−２
｜　├釣り合わない（軽い方の２個にB）
｜　｜�D軽いい方を１−１、軽い方がB
｜　└釣り合う（残り１個がB）…�Dをしなくてすむ幸運
└釣り合う（一方の5個の中にAB）
　�A一方を２−２
　　　├釣り合わない（こちらの５個にAB）…他方の５個を調べなくて済む幸運
　　　｜�B重い方を１−１
　　　｜├釣り合わない…重い方がA
　　　｜└釣り合う…５個のうち２−２にしなかった残りがA
　　　｜�C軽い方を１−１
　　　｜├釣り合わない…軽い方がB
　　　｜└釣り合う…５個のうち２−２にしなかった残りがB
　　　└釣り合う（こちらの５個にABなしか、または２−２の一方にAB）
　　　　　�Bさっきの２−２を組み替えて２−２
　　　　　├釣り合わない…２−２の双方にAとB１つずつ
　　　　　｜�C重い方で１−１、釣り合わないので重い方がA。�AでAとペアにしてた方がB
　　　　　└釣り合う…最初の５−５のうち�Aをしなかった方にAB
　　　　　　　�C
深く考えず最初の思いつきでやったがこのへんで行き詰った。

33 ：

>>21
逆じゃね？文系は知らんけど理系は。

34 ：

>>32　�@で釣り合わなかったときの続き
└釣り合う（一方の5個の中にAB）
　�A双方の５から２ずつとってきて２−２
　　├釣り合わない
　　｜�B重い方の２個を１−１
　　｜├釣り合わない…重い方がA
　　｜｜�Cこの２個とセットだった３個の中から１-１
　　｜｜├釣り合う…３個のうち残りがB【終了】
　　｜｜└釣り合わない…軽い方がB【終了】
　　｜└釣り合う
　　｜　�C軽い方の２個を１−１。必ず釣り合わない。軽い方がB
　　｜　�Dこっちの２個とセットだった３個から１−１
　　｜　├釣り合う…３個のうち残りがA【終了】
　　｜　└釣り合わない…重い方がB【終了】
　　└釣り合う
　　　　�B双方の５のうち、残り３ずつの中から２ずつとってきて２−２
　　　　├釣り合わない
　　　　｜�C重い方の２個を１−１
　　　　｜├釣り合わない…重い方がA、その２個とセットだった残り１個がB【終了】
　　　　｜└釣り合う
　　　　｜　�D軽い方の２個を１−１。軽い方がB、その２個とセットだった残り１個がA【終了】
　　　　└釣り合う…今のところ、５と５に分けたのが、それぞれ２−２−１、２−２−１に分かれている。
　　　　　この中の１には入っていない。２個セットが４組ある状態。
　　　　　�C４組のうち３組を、それぞれ天秤の左右にふりわけ３−３にする。
　　　　　　├釣り合う…今回バラさなかった残り１組がAB
　　　　　　｜�D残り１組を１−１。重い方がA、軽い方がB【終了】
　　　　　　└釣り合わない
　　　　　　　�D重い方の３個の中から１−１
　　　　　　　├釣り合わない…重い方がA。２個ずつの組だったときにAとペアだったやつがB【終了】
　　　　　　　└釣り合う…３個のうち残りがA。２個ずつの組だったときにAとペアだったやつがB【終了】
>>1　１日ってことで110っすか。

35 ：

３−３というやり方もあるらしいので考えてみよう
全体を３−３−３−１の組に分ける。３の組をABCとする
１手目　A―B
２手目　A―C
ここまでで、
├釣り合わないのが１回でもあれば
｜３手目　B-C
｜これでABCの相互関係が確定する。
｜├　３＜３＜３のとき
｜｜一番軽い３の中に軽兎、一番重い３の中に重兎
｜｜４手目　軽い３を１−１。釣り合えば残りが軽兎、釣り合わなければ軽い方が軽兎
｜｜５手目　重い３を１−１。同上で重兎確定【終了】
｜├　３＜３＝３のとき
｜｜一番軽い３の中に軽兎、３−３−３にしなかった残り１が重兎
｜｜４手目　軽い３を１−１。釣り合えば残りが軽兎、釣り合わなければ軽い方が軽兎【終了】
｜└　３＝３＜３のとき
｜　一番重い３の中に重兎、３−３−３にしなかった残り１が軽兎
｜　４手目　重い３を１−１。釣り合えば残りが重兎、釣り合わなければ重い方が重兎【終了】
└２回とも釣り合う　３＝３＝３の場合
　　３手目　AからもBからも左右の皿に１つずつのせ２−２
　　├釣り合う　Cに重兎軽兎がある
　　｜４手目・５手目　C以外の兎（普通兎）とCの兎で１−１。
　　｜Cの重・軽・普通のうち２つが分かるので残り一つも分かる【終了】
　　└釣り合わない
　　　４手目　３手目の軽い方の２で１−１
　　　５手目　３手目の重い方の２で１−１
　　　├２回とも釣り合わなかったとき
　　　｜４手目の軽い方が軽兎、５手目の重い方が重兎【終了】
　　　├４手目だけ釣り合わなかったとき
　　　｜４手目の軽い方が軽兎、ABのうち軽兎が入ってた方で、３手目に使わなかった残りが重兎【終了】
　　　└５手目だけ釣り合わなかったとき
　　　　　５手目の重い方が重兎、ABのうち重兎が入ってた方で、３手目に使わなかった残りが軽兎【終了】
５−５より楽かも

36 ：

>>21
何言ってんだおまえ。
比べるにことかいてマーチかよ。
あほ。

37 ：

６回つかえるとしたら
重い兎１、軽い兎１、残りは普通兎で
合計何匹までなら月兎を見つけることができるでしょう

38 ：

キムヨナ抹
キムヨナ許すまじ。

39 ：

携帯からだけど、これじゃだめか？頑張って打ったから見てくれ
Ａ、Ｂを月 Ｃを地球としてそれぞれ１、３、２キロとすると条件よりＡ＋Ｂ＝２Ｃ
まず二羽ずつはかる
�@つりあったとき
a.ＣＣ―ＣＣ かb.ＡＢ―ＣＣ。
残りを三羽にわけてはかる。
つりあったら、aのときＡＢＣ―ＣＣＣか、bのときＣＣＣ―ＣＣＣ。
両方の天秤から二羽ずつ、四羽をとるとき、いずれも傾かなければb確定。そうでないならa確定。
つりあわないなら、aのときでＡＣＣ―ＢＣＣのみ。続きは略
�A傾いたとき
ＡＣ―ＢＣ、ＡＣ―ＣＣ、ＢＣ―ＣＣのいずれか。
重い方をとって(このとき重いのはＢＣかＣＣのみ)Ｂ、Ｃを確定。確定できなければ軽い方。
わかりにくかったらすまんな。まあこんなめんどくさいことしなくても他に良いのがありそう

40 ：

＞両方の天秤から二羽ずつ、四羽をとるとき、いずれも傾かなければb確定。
反例AB−CC。残念。
＞続きは略
＞確定できなければ軽い方。
未確定の穴だらけ。続きをがんばろう。

41 ：

>>40
過疎ってるのにレスありがとう
俺がいいたいのは、三羽ずつ計六羽のった天秤から二羽をセットにして２セットとりたいのね。１セットとってつりあうと、ＡＢ―ＣＣかＣＣ―ＣＣになるけど、もう１セットとると分かるのではと。
後半はもうちょっと考えてきます ﾉｼ

42 ：

>>41
何を言ってるのかわからん
３羽ずつの状態を
アイウーエオカとすると
＞二羽をセットにして２セットとりたいのね。
＞１セットとってつりあうと、ＡＢ―ＣＣかＣＣ―ＣＣになるけど、
＞もう１セットとると分かるのではと。
これはどういう操作をしている？
アイウエオカを使ってたのむ

43 ：

>>42
すまんな。文才に恵まれなかった…
両天秤からランダムに一羽ずつとる
アとエがとりだされたとする
残りはイウ―オカ
そこからランダムに一羽ずつとる
数が３―３→２―２→１―１と減っていくという感じ。２―２の時点ではつりあいの状況が２通りあるでしょ？だからもう二羽のぞくことで残りの関係がわかるという。
うまく伝わったかな…

44 ：

納得
つまり
（１）２−２ではかる
（２）釣り合ったら残りを３−３ではかる　アイウーエオカ
（３）釣り合ったら１つずつへらす　イウーオカ
（４）まだ釣り合ったらさらに１つずつへらす　ウーカ
ここで最後まで釣り合った場合、（１）がAB−CCだったと分かるわけだけど、
あと１回でABを２つとも見抜くのはどうする？

45 ：

>>44
あー!!
そうだ、無理だね。自分まだまだだな。出直してくる。
ありがとうでした!

46 ：

5回天秤を使うことで、最大何羽の兎の中から月の兎を見分けられるかを考える。
重い兎と軽い兎も見分けなければならないとすると、
n羽の兎のうちどの兎が重く、どの兎が軽いかの場合の数はn(n-1)通り。
天秤での測定は1回ごとに3通りの結果があるので、測定結果は3^5=243通り。
よって、n(n-1)≦243でければ見分けることができず、17羽以上の中から見分けることはできない。
ところで、16羽の兎の中から天秤5回で重い兎と軽い兎を見分ける方法があるかというと、実際にある。
余裕があるならば、考えてみるといい。
(ヒント：天秤の残りの回数で見分けられるかどうか常に意識しないと、無駄足を踏む。
1回なら3通り、2回なら9通り、3回なら27通り、4回なら81通りまでの場合を見分けることしかできない。)
月の兎のどちらが重いか見分ける必要がなければ17羽以上も5回で見分けることができるかというと、これは不可能。
証明は以下の通り。
17羽の場合で考えると、重い兎と軽い兎を区別すれば17*16=272通りの場合があるので、
場合の数を243通り以下に減らさなければ5回で見分けられない。
例えば、兎A、Bが共に月の兎である場合を考えるとき、AとBを入れ換えても同じ結果になるのならば、
その二つを区別する必要が無いのでその分場合の数を減らせる。
ただ、そのためにはAとBが常に天秤の同じ側に乗らなければいけない。
月の兎が{A,B}、{A,C}の組の場合にどちらが重くとも同じ結果になるようにすると、
A、B、Cが常に同じ側に乗ることになるので、月の兎が{A,B}の場合と{A,C}の場合が区別できないことになる。
また、月の兎が{A,B}、{C,D}の組の場合にどちらが重くとも同じ結果になるようにすると、
{A,B}と{C,D}を入れ替えても同じ結果になるので、月の兎が{A,B}の場合と{C,D}の場合が区別できないことになる。
なので、{A,B}の組の場合にどちらが重くとも同じ結果になるようにすると、
それ以外の組の場合にどちらが重くとも同じ結果になるようにすることはできない。
よって場合の数は最大で1しか減らすことができず、17羽でも243通り以下にはならないので、
重い兎と軽い兎を区別しようがしまいが最大16羽までしか見分けることはできない。

47 ：

読む気はしないけどすげーな。
さすが東大の名を冠してるスレだｗ
気が向いたらちゃんと読もう

48 ：

>>46
複数の兎を載せることもあり
出た結果によって２手目以降の乗せ方も変わるのが普通なのに
単純に3^5として扱っていいものか。
あと、16羽（軽１重１普通14）のときに５回で重兎軽兎を見抜く方法を
具体的に頼む。机上の空論に見えるんだ。

49 ：

ｎ　ｎ（n-1）
2　　　2　　　＜３（１回）
3　　　6　　　＜９（２回）
4　　　12　　＜27（３回）
5　　　20　　＜27（３回）
6　　　30　　＜81（４回）
>>46の説ではこうなる
３個…２回で十分
６個…３回では不足
これらは明らかに間違いじゃない？

50 ：

>>48
乗せ方は出た結果によって決まるのだから、逆に3^5通りの結果からどのように乗せたかもわかる。
なので、結果は最大で3^5通りしかない。
>>49
3回で6羽の中から重い兎と軽い兎を区別して見分ける方法はないはずだが、あるなら書いてほしい。
あと、>>46のやり方だけでは、2回で4羽以上から見分けることができないことは分かるが、
2回で3羽以下から見分ける方法があるかは分からない。実際、2回で3羽から見分けることはできない。
16羽の中から5回で見分ける方法を書いておく。省略しないと読みづらいし長いので、一部省略してある。
・16羽の兎を123456789abcdefgとする。
・1234vs5678は左に1234、右に5678を乗せるという意味。
・=は釣り合う、>は左が重い、<は右が重いという結果を表す。
・12-34は12のどれかが重く34のどれかが軽いという意味。
・12と書いたら、1が重く2が軽いという意味。
一回目：1234vs5678
　一回目が=ならば、二回目：19abvs5cde
　　二回目が=ならば、可能性は2-34,3-24,4-23,6-78,7-68,8-67,9-ab,a-9b,b-9a,c-de,d-ce,e-cd,fg,gf
　　三回目：239afvs67cdg
　　　三回目が=ならば、可能性は23,32,67,76,9a,a9,cd,dc、四回目：269vs37a
　　　　四回目が=ならば、可能性はcd,dc、五回目：cvsd
四回目が>ならば、可能性は23,67,9a、五回目：2vs6
四回目が<ならば、可能性は32,76,a9、五回目：3vs7
　　　三回目が>ならば、可能性は24,34,86,87,9b,ab,ec,ed,fg、四回目：269vs37a
　　　　四回目が=ならば、可能性はec,ed,fg、五回目：cvsd
　　　　四回目が>ならば、可能性は24,87,9b、五回目：2vs8
　　　　四回目が<ならば、可能性は34,86,ab、五回目：3vs8
　　　三回目が<ならば、可能性は42,43,68,78,b9,ba,ce,de,gf
　　　軽重を入れ換えて考えれば上と同様に見分けられる
　　二回目が>ならば、可能性は1-234,678-5,9ab-cdefg,fg-cde、三回目：15vsfg
　　　三回目が=ならば、可能性は9ab-cde、四回目：9vsa、五回目：cvsd
　　　三回目が>ならば、可能性は1-234,9ab-fg、四回目：fvsg
　　　　四回目が=ならば、五回目：2vs3
四回目が><ならば、五回目：9vsa
　　　三回目が<ならば、可能性は678-5,fg-cde
　　　軽重を入れ換え、12349abと5678cdeを入れ換えて考えれば上と同様に見分けられる
　　二回目が<ならば、可能性は5-678,234-1,cde-9abfg,fg-9ab
　　軽重を入れ換えて考えれば上と同様に見分けられる

51 ：

　一回目が>ならば、二回目：159abvs26cde
　　二回目が=ならば、可能性は1-59ab,2-6cde,34-78fg,9ab-5,cde-6,fg-78、三回目：137vs248
　　　三回目が=ならば、可能性は37,48,9ab-5,cde-6、四回目：5vs6
　　　　四回目が=ならば、五回目：3vs4
　　　　四回目が>ならば、五回目：cvsd
　　　　四回目が<ならば、五回目：9vsa
　　　三回目が>ならば、可能性は1-59ab,3-8fg,fg-8、四回目：5fvs9g
　　　　四回目が=ならば、可能性は1a,1b,38、五回目：avsb
　　　　四回目が>ならば、可能性は19,3g,f8、五回目：1vs3
　　　　四回目が<ならば、可能性は15,3f,g8、五回目：1vs3
　　　三回目が<ならば、可能性は2-6cde,4-7fg,fg-7
　　　13579abと2468cdeを入れ換えて考えれば上と同様に見分けられる
　　二回目が>ならば、可能性は1-678cdefg,34-6cde,9ab-678,fg-6、三回目：16vs9c
　　　三回目が=ならば、可能性は16,3d,3e,4d,4e,a7,a8,b7,b8、四回目：3bdvs47a
　　　　四回目が=ならば、可能性は16,3d,a7、五回目：1vs3
　　　　四回目が>ならば、可能性は3e,b7,b8、五回目：7vs8
　　　　四回目が<ならば、可能性はa8,4d,4e、五回目：dvse
　　　三回目が>ならば、可能性は17,18,1c,1d,1e,1f,1g,3c,4c、四回目：78dvsefg
　　　　四回目が=ならば、可能性は1c,3c,4c、五回目：1vs3
　　　　四回目が>ならば、可能性は1e,1f,1g、五回目：evsf
　　　　四回目が<ならば、可能性は17,18,1d、五回目：7vs8
　　　三回目が<ならば、可能性は36,46,96,a6,b6,f6,g6,97,98
　　　軽重を入れ換え、1349abと678cdeを入れ換えて考えれば上と同様に見分けられる
　　二回目が<ならば、可能性は2-5789abfg,34-59ab,cde-578,fg-5
　　159abと26cdeを入れ換えて考えれば上と同様に見分けられる
　一回目が<ならば、軽重を入れ換えて考えれば上と同様に見分けられる

52 ：

>>50
まだちゃんと目を通してないが、とりあえず感謝。すごい！
２手目の発想が上手いと思った

53 ：11/10/08

a