★★★必ず最後まで読んでください★★★
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように( )を使って書く。
(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
http://mathmathmath.dotera.net/
２ちゃんが落ちた時や、規制されてる人はこちらで
http://jbbs.livedoor.jp/school/21000/（避難板）
前スレ
数学の質問スレ【大学受験板】part101
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1318573136/
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
a+b → a 足す b （足し算) a-b → a 引く b （引き算)
a*b → a 掛ける b （掛け算) a/b → a 割る b （割り算)
■ 累乗 ^
a^b a の b乗
a^(b+1) a の b+1乗
a^b + 1 （a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
a/(b + c) と a/b + c
a/(b*c) と a/b*c
はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
a[n] or a_(n) → 数列aの第n項目
a[n+1] = a[n] + 3 → 等差数列の一例
Σ[k=1,n]a_(k) → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」などで変換せよ（環境によって異なる）．）
∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
∫[0,x] sin(t) dt
■ 三角関数
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
AB↑ a↑
ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（行（または列ごと）に表示する． 例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b [a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a [２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R [正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A) [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微分]
これはそうではなく
L1L2+L3L4≧2√(L1L2L3L4)
とします。同じものがあと2個できます。
あ！ホントですね！ありがとうございます！
発想力もっと鍛えます。
項が6個なので，6文字の相加・相乗平均でもできますね。
(証明なしで使っていいかわかりませんが)
相加・相乗を使っているのでLi>0を断らないといけなかったですね。
2つ以上が同時に0になることはないので，例えばL1=0のときを考え和が2(√2)+2より
これが最小値ではないと示してください。
線分ABの中点Mを曲線y=x^2のx<0の部分にとることができるとき、
点Aの存在範囲を図示せよ
A（x,y）、B（b,b^2）（b>0）とおくとM（（x+b）/2,（y+b^2）/2）だから
（x+b）/2<0、（y+b^2）/2=｛（x+b）/2｝^2 という関係式ができました
ここからどうすればいいですか？
xの二次式の判別式≧0とかでやったりしてみましたがわかんないです・・・
お願いします
得られた2つの関係式をbについて整理する。
b<-x…(i)、b^2-2xb+(2y-x^2)=0…(ii)
この(i)、(ii)をともにみたすb>0が存在するためのx、yがみたすべき関係が求めるもの。
(i)をみたすb>0が存在するために、0<-xゆえにx<0…(*)
f(b)=b^2-2xb+(2y-x^2)とおくと、軸がb=xなので(*)より軸b=x<0
従って(ii)すなわちf(b)=0がb>0なる解を少なくともひとつ持つための条件はf(0)<0
f(0)=2y-x^2<0よりy<(x^2)/2…(**)
(*)かつ(**)をみたす点(x,y)の存在領域を図示して終了。
ひとまず b を固定すれば，>>8 で得られた放物線（これを C[b] としよう）が
A の軌跡になる
次に，その頂点の軌跡を考えて，そこから C[b] たちを図示してやれば，
>>9 さんと同じ領域を得る
f(-x)>0はいりませんか？
>>10 の最後の行は無視してください
>>9 さんには悪いが，多分条件が足りない
実際，点（ -1 ， -2 ） に対しては条件をみたす組 a ， b が存在しない
（この x ， y のとき，(ii)は正の解をもつが， a が負にならない）
おっと、落ちてるね。サンクス。
f(b)=0が『0<b<-x』に少なくともひとつ…にならなきゃいかんから、軸b=x<0の下で
(**)はf(0)<0かつf(-x)>0、すなわち-(x^2)/2<y<(x^2)/2
だね。
単に計算ミスなのか、それともそうではないミスなのか知りたいです
O(0,0) P (a,2a-a^2) Q(2a,4a-4a^2)R (2-a,2a-a^2)
正しい面積は 4(a^3-2a^2+a) でした
aの範囲を記載しわすれていました
0<a<2/3です
＞1/2*|ad-bc|の方法
ってなに？
a=1/2って入れて図を書いてみたら？
単なる計算ミスかもね
俺の解答は正解と同じになったよ
二つのベクトルの張る三角形の面積の公式使って
絵を書くと、
((2-a)-a)×(4a-4a^2)÷2
って簡単に出る
こんなに詳しく書いてくださるとは…。
感謝です。ありがとうございます。
bについて整理するのは盲点でした。
少なくとも１つ、とのことですが、
f（b）=0の解は0<b<-xでは1つのみですよね？
>>10
やはりbを固定のようですね。
軌跡でAの存在範囲が得られるんですね、感激です。
ありがとうございます。
大学合格後、特にカルト教団（浄土真宗親鸞会）に気をつけて！
「生きる意味」「絶対の幸福」「人生の目的」が勧誘キーワード。
マインドコントロール後、激しい活動・献金で中退・留年、死者も・・
親鸞会とは
↓
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1466068914
（２ｃｈ「カルト親鸞会」で検索）
OPQR=△OPQ+△OQRなどと分割して、それぞれに公式を使って計算したってことでいいのかな？
とすると、aの範囲を意識せずに勝手に絶対値を外したためにミスが生じたのでは？
△OPQ=(1/2) | 2a(2a-a^2)-(4a-4a^2)a |=|a^3|
△OQR=(1/2) | (2-a)(4a-4a^2)-(2a-a^2)2a |=|3a^3-8a^2+4a|
上はほぼ自明だが下は0<a<2/3で絶対値の中が正であることを意識して確かめないといきなりは外せないよね。
実は上の立式では、ベクトルの外積を念頭においてそのまま絶対値が外せるように
(ad-bcが必ず正になるように)意図的にベクトルの成分(a,b)、(c,d)の組をとって立式した。
△OPQでは(a,b)がベクトルOQ、(c,d)がベクトルOP、△OQRでは(a,b)がベクトルOR、(c,d)がベクトルOQ、というように。
確かに今回は軸の位置と解が存在すべき範囲の位置関係から、現実には解が1つの場合しかありえない。
が、条件吟味としては「少なくともひとつ」という立場で考えるのが望ましいと思う。
それより、「bについて整理することが盲点だった」という一言はかなり気になるね。
これは解答の根幹に関わることで、厳しい言い方だが「何も分かっていない」と言ってるに等しいことなんだが…
aが偶数でありbが奇数であることが示せたらそれで証明できた気がするのですが
どうしても共通の素因数pがあると仮定して矛盾を導かないといけないのですか？
A（ X ， Y ）が題意の領域に含まれる
⇔ b ， x ， y の関係式の x ， y に X ， Y を代入したときに，関係式を成り立たせる b が存在する
と読み換えて処理するので（いわゆる逆手流）， b について整理するのがよい
6と3は互いに素なのか？
a ＝ 1 ，b ＝ 3 のときも a と b は互いに素だが…
偶奇を決めてかかることはまずい
もちろん，他に何らかの根拠があってそう言えるなら話は別だが
そうですねごめんなさい間違ってました＾＾；
こんなしょうもないケアレスミスで何十分も悩んでしまいました
「 n と n+1 は互いに素である」は整数問題でたまに使う
それと混同していたのかも
ありがとうございます。
問題は意味を理解して初めて解けるものですよね。
実際、始め解くときはｂについて整理してもみましたが
問題の意図がわからなかったのでなんとなくやっただけです。
これからは問題の意味をも思考するようにします。
>>25
なるほど。
それだったらbについて整理する理由が明確ですね。
ありがとうございます！
やはり具体的な数値を入れて計算することが大事ですね
代入してみて検算する必要がありました
ありがとうございます
>>19
試してくださってありがとうございます
ただ単に絶対値の正負への意識が少し欠けていたようです
>>22
おそらくなんらかのミスでa^3を引いてしまっていたのだと思います
ベクトルの外積まで念頭に置いて、この公式を運用するのは初めて知りました
調べてみようと思います
ありがとうございました
（1）p＝|ベクトルOP|^2、q＝|ベクトルOQ|^2、r＝ベクトルOP×ベクトルOQとするとき、三角形OPQが鋭角三角形となるようなp,q,rの条件を求めよ
（2）三角形OPQが鋭角三角形であるようにP,Qが格子点を動くとき、Sの最小値を求めよ
（1）で三つの角からそれぞれ余弦定理を使ってcosを出し、0と1で挟んだところで詰みました
解説お願いします
(1) 0<r^2<pq，p>r，q>r
(2) 3/2 (P，Qが(1，2)，(2，1)のとき)
かな？
> (2) 3/2 (P，Qが(1，2)，(2，1)のとき)
(2) 3/2 (P，Qが(1，2)，(2，1)…のとき)
に訂正。
x＾2-2ax-4a+3=0の１つの実数解が-1<x<0にあり、他の実数解が1<x<2にあるような定数aの値の範囲は？
解説お願いします
＞＞ ベクトルOP×ベクトルOQ
おそらく内積を表しているのだろう
そのつもりで説明する
（ × は外積に使う記号なので， ・ を使ってほしい）
（1）
△ABC において，
∠A が鋭角 ⇔ a^2 ＜ b^2 ＋ c^2 …（あ）
であることに注意（余弦定理から言えるので理解しておくように）
本問では，余弦定理から PQ^2 が p ， q ， r を用いて表せる
△OPQ の3つの角について，（あ）を立式，連立すればおｋ
（2）
俺は次のように考えた
△OPQ の面積を S とする
・ S は 1/2 の整数倍になる
・ S ＝ 1/2 となる鋭角三角形は存在しない
・ S ＝ 3/2 となる鋭角三角形は存在する
ことを示せばよい
2つ目を示すのがやや面倒
もっとうまい手はないか
「解の配置」などと呼ばれる典型的な問題である
与方程式の左辺を f（ x ） とおく
そして，条件をみたすような y ＝ f（ x ） のグラフを描く
そこから引き出せる情報を数式化していけばよい
f（ -1 ） などの符号に着目せよ
(2)は難しいです。最初に書いたときは3/2が最小だと示せてませんでした。
P，Qが格子点なのでp，q，rは整数。
P(a，b)，Q(c，d)とおくと
S=(1/2)|ad-bc|=(1/2)√(pq-r^2)
よって√(pq-r^2)は整数。ここで
pq-r^2=k^2 (k=1，2，…)
とおくと
pq=r^2+k^2
ここで(1)より得られたp>r，q>rを使うことを考える。
p，qは整数なので(積pqの約数を考え)
min{p，q}≦√(r^2+k^2)
これ(左辺)がrより大きい整数になればいい。
r+1≦√(r^2+k^2)
より
r≦(k^2-1)/2
以下，調べていく。
■k=1のとき
r≦0より不適((1)のr>0より)
■k=2のとき
r≦3/2よりr=1。pq=r^2+k^2=5。
(p，q)=(5，1)，(1，5)よりmin{p，q}=rなので不適。
■k=3のとき
r≦4よりまずr=4。√(r^2+k^2)=5。これはr+1なので1≦r≦3は不適。
ルートが外れればOKだが，pq=r^2+k^2=25より(p，q)=(5，5)
よって例えばP(1，2)，Q(2，1)。
S=(1/2)√(pq-r^2)=k/2=3/2でこれが最小値
> ルートが外れればOKだが，pq=r^2+k^2=25より(p，q)=(5，5)
例えばp=6の場合P(a，b)より
a^2+b^2=6
の整数解はないので，ちゃんと格子点になることまで示さないとダメそう。
OP を底辺と見ることにする
回転，裏返しで
・ P（ a ， b ） は領域 x ＞ 0 ， 0 ≦ y ≦ x 内に存在
・ O ， P ， Q はこの順で反時計回りに並ぶ
・ a ， b は互いに素（最小値を考えるので， OP を無駄に長くしなくてもよい）
と設定して構わない
Q は OP と平行な直線 l 上にある
面積 S を最小にしたいので， l は OP となるべく近くなる必要があるので，
l は P のすぐ隣（距離が1だけ離れている）の格子点（ a-1 ， b ）を通るとしてよい
（図も描いて参照せよ）
実際， （ b/a ）x ＜ y ＜ （ b/a ）（ x ＋ 1 ） をみたす格子点は存在しない
（繰り返し同じ構図が現れるので， x ＝ 0 ， 1 ， 2 ， … ，a-1 で示せばよい
このとき， 0 ≦ （ b/a ）x ＜ y ＜ （ b/a ）（ x ＋ 1 ） ≦ 1 ）
で， l 上の格子点 Q については，△OPQ が鋭角三角形とならないことが
O ， P ， Q を通り x 軸，OP と平行，垂直な直線を引くことで確認できる
・ S ＝ 1 となる鋭角三角形は存在しない
を忘れていた
最小値を考えたいので， P ， Q の成分の少なくとも一方は奇数としてよい
このとき，場合分けして確認すれば， S ＝ 1 とはならないことがわかる
現在修正中
ア=5^(100-k)というのはわかったけれども、そこからどうすればよいのやら
k回でる確率をP[k]として、P[k+1]/P[k]の計算してしてみ
P[k+1]/P[k]≧1⇔P[k+1]≧P[k]
P[k+1]/P[k]≦1⇔P[k+1]≦P[k]
って感じで、P[k]の増加、減少が見えてくると思う
（２）（１）を用いて円周率が3,16より小さいことを示せ
（１）からわかんないです
定積分計算方法を教えて下さい！
0<t<1 で f(t)は単調増加でグラフは下に凸。よってy=f(t)のグラフは
0<t<x で2点(0，2)と(x，f(x))を結ぶ線分の下にある…のでその定積分は
4点(0，0)，(0，2)，(x，f(x))，(x，0)の作る台形より小さくなります。
不等式の右辺はこの台形の面積です。
(2)はその不等式のxに適した値を代入すると示せます。
>>47 で(1)は示せるが、(2)で定積分計算は必要。x=sinθで置換積分。
結果は(3/2)θ+(1/4)sin2θ。ただしx=sinθを忘れずに。
これを用いて与不等式の両辺にx=1/2(θ=π/6)を代入して整理すると、π<2+{(2√3)/3)}が示せる。
ここで√3<1.733として評価すると、2+{(2√3)/3}<3.155<3.16となり示せる。
P（ a ， b ） ， Q（ c ， d ） とし，OP を底辺と見ることにする
回転，裏返しで
・ P（ a ， b ） は領域 x ＞ 0 ， 0 ≦ y ≦ x 内に存在
・ O ， P ， Q はこの順で反時計回りに並ぶ
・ a ， b は互いに素（最小値を考えるので， OP を無駄に長くしなくてもよい）
と設定して構わない
Q と直線 OP との距離は
｜ ad － bc ｜ / √（ a^2 ＋ b^2 ）
である
a ， b は互いに素に素であるから，ユークリッドの互除法を応用することにより
ad － bc ＝ 1
となる（ c ， d ）を見つけることができることが知られている
OP ＝ √（ a^2 ＋ b^2 ） であるから，この（ c ， d ）に対して
S ＝ 1/2 となる
このときの △OPQ が鋭角三角形にならないことも一応言える
が， a ， b が具体的な数値でないので実際に c ， d を構成してみせるのは困難だ
設問（1）も活かせておらず，あまりうまい解法とは言えないので，ここで打ち切る
（１）はできました！ありがとうございます
>>48
定積分∫[0-sinθ]（2-t^2）dt/√（1-t^2）を計算するってことですよね？
置換積分ってことはわかるのですが、t=cosθと置換積分したらとんでもないことになってしまいました
定積分がちがいますか？
t=cosθで置換すると、定積分は(3/2){(π/2)-θ}+(1/4)sin(2θ)になる。
cosθ=sin{(π/2)-θ}だから、(π/2)-θ=φとおくとθ=(π/2)-φ
これを代入すると、定積分の結果は(3/2)φ+(1/4)sin[2{(π/2)-φ}]=(3/2)φ+(1/4)sin(2φ)となるので、
当然ながらどっちで置換しても結果は同じ。
認識が違う気がするので確認します。
x=sinθとおいて積分、またはt=cosθとおいて積分ではなく、
x,tどちらもそれぞれx=sinθ、t=cosθとおいて積分ですよね？
ごめん。混乱させてしまったね。
定積分はtについてだから、>>48も>>51もそれぞれt=sinθ、t=cosθと置換積分する。
変数の対応で、t=xのときの偏角θをそれぞれα、β(x=sinα、x=cosβ)として積分すると、計算結果はそれぞれ
>>48では(3/2)α+(1/4)sin(2α) (ただしx=sinα)…(1)
>>51では(3/2){(π/2)-β}+(1/4)sin(2β) (ただしx=cosβ)…(2)
となる。
書きこみ制限につき、次に続く。
xの値を0<x<1でひとつ決めるとα、βがそれぞれ定まる。
例えばx=1/2とするとα=π/6、β=π/3のように。
そして図を書いてみればわかるが、xの決め方によらず、αとβの間にはα+β=π/2の関係が成立する。
これをαについて解いて(1)に代入・整理すると(2)が、βについて解いて(2)に代入・整理すると(1)が導ける。
つまり(1)も(2)も言ってることは同じだということ。
置換の仕方が違うからといって定積分の結果が変わることはありえない。
ありがとうございます！感動しました。
（1）（2）は同じ事を言っているのですね、びっくりです。
しかしどうしてもπ<2+{(2√3)/3)}とならないのですが・・・
単なる計算ミスなんでしょうか
ありがとうございます！
1回の試行で箱の中からカードを1枚取り出し、取り出したカードと同じ色のカードを加えて
再び箱の中に戻す、したがってｎ回の試行を完了したときに（ｎ＋5）枚のカードが箱の中にある
ｎ回目の試行が完了したときに箱の中にある青いのカード枚数の期待値Enを求めよ
問題は↑なんですが、式自体作れないほど詰んでます
5枚からどうやって場合分けをするのか分かりません
どなたかお願いします
n回試行後の青いカードの枚数がk枚になる確率
または
n回試行後に青いカードがk枚増える確率
をp[k]などとして式を立ててください。
後者の場合は後で期待値に3を加えます。
一対一に載ってたけど、nに具体的な値を代入していくつか実験することを薦める
0≦a[n]≦1、sin（πa[n+1]/2）=sin（πa[n]）（n=1,2,3,4）
を満たすとき
（1）x=a[1]、y=a[3]とするとき点（x,y）の集合をxy平面上に図示せよ
（2）a[1]=a[5]を満たす｛a[n]｝は何種類か
πa[n+1]/2=πa[n]+2πk=-πa[n]+（2k-1）π（k=1,2,3...） これを出して
πa[n+1]/2、πa[n]の範囲を求めるんだろうなぁとは想像できるのですが
範囲を求めようとしたらごちゃごちゃになってわからなくなってしまいました
また、範囲を求めてそこからどうすればいいのやら
お願いします
自信はありませんが…
0≦a[n]≦1 より
0≦πa[n]≦π，0≦πa[n+1]/2≦π/2
よって
πa[n+1]/2 = πa[n] または πa[n+1]/2 = π-πa[n]
a[n+1] = 2a[n] または a[n+1] = 2-2a[n]
かな？
a[1]=aとして樹形図を描くと4つの場合があり，グラフを描くと
0≦x≦1，0≦y≦1の範囲でＷが逆さまになったような形になりました。
折り返すってことですよね？
・Wが逆さになったもの
・Wが横を向いてる形、∑を左右反転させたようなもの
上２つのグラフなったのですが…
後者は不要でしょうか？
a[2]は 2a または 2-2a
a[3]は 4a または 2-4a または 4-4a または 4a-2
よって
y=4x，y=2-4x，y=4-4x，y=4x-2
になりました。
過去に同じ問題を質問している人がいました。
2007年にもいましたがどちらも解決してなかったです。
http://mimizun.com/log/2ch/math/1161957766/563-593
僕も質問者が593で書いている通りになりました。
僕は(2)も樹形図で解きました。2^4=16通りありますが，全て異なり，
方程式a[1]=a[5]の解が 0≦a≦1 を満たすことで示しました。
しかし(1)をヒントと考えるとx=a[1]，y=a[5]のグラフは
(1)のグラフを圧縮したものを4つ並べたものになります。
a[3]からa[5]を求めるときは次のように考えます。
a[3]=4aのとき0≦a≦1/4。この範囲においてa[1]からa[3]を求めるのと
同じことを行うので，この範囲に(1)のグラフに相当するものが描かれます。
a[3]=2-4a，4-4a，4a-2についても同様です。
y=xのグラフはx=a[1]，y=a[1]を表すのでグラフの交点の数だけ｛a[n]｝の
種類があることになります。
なるほど。複雑に考えすぎていました。
ありがとうございます。
>>66
おおっと、失礼致しました。気をつけます。
僕も樹形図でやったら16という数字を得ました。
ありがとうございます。
いや，注意したわけではないです。
どこかの入試問題なのでしょうが，手持ちの問題集などには出ていませんでした。
数列｛a[n]｝と書いてあるからには、a[n]は一意に決まってるはず。
＞（1）x=a[1]、y=a[3]とするとき点（x,y）の集合をxy平面上に図示せよ
という文が不明瞭すぎる。
えっ？
パイこね変換などと呼ばれる有名な題材っぽい
f（ x ） ＝ 2x （ 0 ≦ x ≦ 1/2 ）， 2（ 1 － x ） （ 1/2 ≦ x ≦ 1 ）
と定めると，数列｛ a[n] ｝は漸化式
a[n+1] ＝ f（ a[n] ）
をみたす
よって，変換 f を繰り返したときの様子に着目すると見通しがよい
たとえば
y ＝ f（ f（ x ） ）
のグラフは
y ＝ f（ x ）のグラフの y ≧ 1/2 を満たす部分を
直線 y ＝ 1/2 に関して折り返し，
得られたグラフを y 軸方向に2倍に引き伸ばす
と簡単に描ける
パイ生地を折りたたんで麺棒で伸ばすようなイメージだから
パイこね変換と言われるようだ
学校で使っている教科書傍用問題集があるなら，どっちもあえて使う意味はない
参考書を辞書代わりに参照しながら傍用問題集を解けば十分
数学の勉強の仕方 Part157
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1322398848/
スレチでしたか。誘導ありがとうございます。
また、sinやcosに置換以外でこのタイプををとくことはできますか？
与えられた式は原点中心半径1の円の第一象限部分だよね。
すると、積分の問題を単なる幾何的な面積の問題として解くことが出来る。
∫｛ √（ 1 － x^2 ） ｝ ＝ （ 1/2 ）｛ x√（ 1 － x^2 ） ＋ Arcsin（ x ） ｝ ＋ C
Arcsin（ x ） は sin（ x ） の逆関数
逆三角関数は高校数学の範囲外なので，大学入試では
積分区間を制限して逆三角関数が出てこないように配慮した問題がほとんど
で，高校の範囲で計算できるものは， >>78さんが言われたように面積で解釈して容易に求まる
tが[-1,1]にあるのなら、逆三角関数を使ってtで表せます。
∫[0, t] √(1-x^2)dx
= ∫[0, α] √(1-sin^2 θ)cosθdθ (x = cosθ, t = sinα)
= ∫[0, α] cos^2θdθ
= (1/2)∫[0, α] (1 + cos2θ)dθ
= (1/2)[θ + (1/2)sin2θ)][0, α]
= (1/2)(α + (1/2)sin2α)
= (1/2)(α + sinαcosα)
= (1/2)(Arcsint + t√(1-t^2))
もちろん、逆三角関数は高校数学の範囲外なので、
t = sinαと明記しておけばそれで何の問題もありません。
以下、Eは2次の単位行列、nは自然数
（1）A^2をaを用いて表わせ
（2）A^2n、A^（2n-1）をa,nを用いて表わせ
（3）行列B＝E+A+A^2+…+A^（2n-1）のとき、行列Bで表される
1次変換により点（1,1）が移される点のx座標をa,nを用いて表わせ
（1）、（2）はケーリーでいいでしょうか？
ありがとうございます。
やはりαとしてしかだせませんよね。
このαをtで0～1の範囲で積分は高校段階でできますか？∮α[0,1]dt ということです。
その積分区間なら，グラフを見る方向を変えればよい
（長方形から計算できる面積を引く）
(a^2x)-(a^2y)-(a^2x+y)+(a^x+2y)-(a^x)+(a^y)<0
範囲がどうなるのかちょっとわからないです…
（1）は，C-H の公式でもいいし，2乗だから成分計算でも大した手間ではない
（2）（3）は，前の設問が誘導になっているので，その活用を考えるとよい
>>84
>>1-3 を見て，式の意味がはっきりするように括弧をつけてほしい
X ＝ a^x ，Y ＝ a^y とおき，与式を整理して
まずは X ，Y がみたすべき条件を考えよう（ XY 平面で図示するとよい）
で，置き換えた式を元に戻して， x ， y の条件を求めればよい
a と 1 との大小関係で場合分けが必要になりそう
（2）をケーリーで解くのはまずいですか？
2nのときは＋で2n-1のときは-ですよね？
別にまずくはないが， A^2 がシンプルになったから C-H を使うまでもないだろう
＞＞ 2nのときは＋で2n-1のときは-ですよね？
というのがどういうことなのかよくわからないが…
A^2 はどうなった？
三角関数で
sin(θ-90°)=－cos(θ)
というのがあるけれど、今まで自分は単位円を頭の中に描いて
それで指定された角度まで時計の針を進めたり戻したりするようなやり方でやってきたんだけれども
これの場合、θ進めて、90°戻す。というやり方だとどうしてもcosがマイナスにならない様子。
どのように考えればいいのでしょうか。
sinが負だと理解した方がよい
とりあえずθは第1象限の角としておく
θ，90°－θ の針を図に描く
sin は，針の先の点の y 座標を読む
>>88 の公式では，
・ y 座標の絶対値は cos(θ) に等しい
・ y 座標の符号は負
なので，確かに sin（ θ-90°） ＝ －cos（θ） となる
＞＞ θ，90°－θ の針を図に描く
90°－θ は θ－90°に訂正
針が動いた結果の角度をすべてcosに置き換えるのではなく
値の大きさはcosで考えて、正負はもともとのsinで考えるということでいいですか？
>>90 は文章で説明するために読み取りを2段階にしただけである
θ－90°の針が図示できたら，その針が指している点の y 座標を読み取るだけでよい
θに幾つか具体的な角を（第1象限に限定せずに）代入し，その図を描いて確認せよ
ありがとうございました。
解説http://imepic.jp/20111220/030590でなぜ波線部になるのか分かりません
（１）の答と（２）の答を掛け合わして①②が同時に成り立つように見えるんですが
(1)はa=2またはb=2
(2)はa=-1またはb=3
ですが，これらが同時に成り立つには
(1)でa=2だったら(2)はb=3となるときです。
((2)でa=-1はダメですよね？)
もう一方も同じように考えます。
ここはわかってそうですが…同時に成り立つのは
P(x)=(x^2-4)Q(x)
となればいいので
P(x)=(x+2)(x-2)Q(x)
からわかります。
理解できました
ありがとうございます。
（[-2a、0]、[0、-2a]）になりました！
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