面白い問題おしえて〜な 十九問目

1 ：11/11/03 〜 最終レス ：12/01/18

過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/

2 ：

2get

3 ：

おついち

4 ：

どんとこい

5 ：

将棋盤の上にワンセットすべての駒をとることができないように置くことは可能か？
全て同じ向き、成る前
□歩□歩←これはいい
歩□□飛←これはダメ

6 ：

>>5
味方の駒は取れない

7 ：

>>5
１一香とか二歩とか、通常の将棋で禁じ手となるような置き方も駄目なの？

8 ：

>>7

この問題においては、二歩や行き所のない駒の配置は認められている。

http://ja.wikipedia.org/wiki/将棋パズル

9 ：

>>8
あれ？40枚全部置けたはず何だが
とりあえず改題
全ての駒を成った状態なら何枚置けるか？

10 ：

ここら辺で休憩...

反則例（2005、2006）
　http://www.youtube.com/watch?v=qSTSCIi0C1Q
　http://www.youtube.com/watch?v=aRZZ8m2umpE

11 ：

連続する3つの整数の二乗の和で表現できる整数の数列の一般式を見つけなさい。

12 ：

n^2+(n+1)^2+(n+2)^3

13 ：

ミスった

14 ：

1+1を計算しなさい。
ただし、どのような条件の計算であるかも
あわせて説明しなさい。
(多分全部で7個くらいかな？)

15 ：

記号"1"、"+"、それから"計算"の定義をどうぞ。

16 ：

1+1=0（2を法とする剰余体）
1+1=1（ブーリアン）
1+1=2（実数）
1+1=10（2進法）
1+1=11（文字列結合）
5個しかみつかんねえ

17 ：

1+1=0(2を法とする剰余体・合同式)
1+1=1(ブーリアン・論理演算)
1+1=2(実数)
1+1=10(二進法)
1+1=11(文字列結合)
1+1=101(単位の相違。答えはいくらでもある)
↑流石にこれはなぞなぞみてーだな

18 ：

適当な２変数関数 f(x,y) を x+y と書くことにする
変数の適当な値 a を 1 と書くことにする
と記号を再定義すれば、好みの f と a について f(a,a) を 1+1 と表せる。
>>15が言ってるのはそういうことではないか？

19 ：

田んぼの田はダメなの？

20 ：

それが数学だと自信を持って言えるならＯＫ

21 ：

>>18を踏まえれば>>14はパズルだな。

22 ：

最初に、1番からn番までの箱にそれぞれa(n)個の石が入っている。
k番目の箱からk-1番目の箱に1個以上の石を移す
または、1番目の箱から1個以上の石を出す
この操作を先手後手交互に繰り返し、手が無くなったほうが負けとする。
後手必勝となる条件を求めよ。

23 ：

Σ[k=1,n]ka(k)=2N？

24 ：

あ、1個ずつだと思いましたすいません

25 ：

まず「奇数箱に石がない」状態を考える。
先手は偶数箱から奇数箱に動かす動作しかできない。
もちろん勝つ瞬間には a(1) に石がないといけないから即座に勝つこともできない。
後手は先手が何をしたとしても
先手が動かした石を自分も動かすだけで
さっきと同じ状態にもって行くことができる。
よってこの状態が後手必勝の特殊解。
あとは、奇数箱に石があるときを含めた一般解だが、
これは普通に奇数箱だけで nim をやっていると考えればよい

26 ：

>>9

四通八達図式（目黒哲 作）
http://www2.ginzado.ne.jp/jyun/713sug/4tu-8.htm


「駒の利きがぶつからない配置」
http://d.hatena.ne.jp/mozuyama/20050710/P20050710KIKI
http://d.hatena.ne.jp/mozuyama/20050704/P20050704KIKI

将棋パズル(1)利かずの駒並べ：詰め将棋メモ
http://toybox.tea-nifty.com/memo/2005/07/post_1a14.html

27 ：

一辺の長さ2の立方体の表面に二点PQがあり、PQ=1を保ちながら動いている。このとき線分PQの通過しうる領域を求積せよ。

28 ：

面白いの？

29 ：

２＾ｎ以下の正の整数でトーナメントをする。
対戦は小さい数が必ず勝つとする。
１の対戦相手が昇順である確率を求めよ。

30 ：

求まらない

31 ：

C(m,n)=m!/{n!(m-n)!
Σ[k=0,a]C(a,k)C(b+k,c-k)=Σ[k=0,a]C(a,k)C(b+k,2a+b-c-k)

32 ：

ミスったorz
C(m,n)=m!/{n!(m-n)!}, ただしn<0またはm<nならばC(m,n)=0
として、
Σ[k=0,a]C(a,k)C(b+k,c-k)=Σ[k=0,a]C(a,k)C(b+k,2a+b-c-k) (a,b≧0, cは整数)
を証明せよ。

33 ：

つまらない

34 ：

10をいくつかの正の実数の和に分割したとき、それらの積の最大値を求めよ。

35 ：

625/16

36 ：

(10/e)^e

37 ：

>>36
?
e^(10/e)?

38 ：

>>37
あれっミスってた？
自分で言うのもなんだけどe等分って微妙だなと思った

39 ：

nが自然数、xが正の実数
n→+∞のときに(x/n)^n={x/(n+1)}^(n+1)なるx/nがどうなるか、か
…まあ簡単か

40 ：

>>27
48 ：名無しなのに合格：2011/11/07(月) 22:41:28.52 ID:kyrtGgTq0
一辺の長さ2の立方体の表面に二点PQがあり、PQ=1を保ちながら動いている。このとき線分PQの通過しうる領域を求積せよ。
52 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/17(木) 22:30:22.93 ID:gMSxECja0
一辺の長さ2の立方体の表面に二点PQがあり、PQ=1を保ちながら動いている。このとき線分PQの通過しうる領域を求積せよ。

41 ：

>>27
878 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/11/16(水) 01:31:01.78
一辺の長さ2の立方体の表面に二点PQがあり、PQ=1を保ちながら動いている。このとき線分PQの通過しうる領域を求積せよ。

42 ：

>>34
43 ：名無しなのに合格：2011/10/26(水) 00:07:30.48 ID:7ak22CNp0
10をいくつかの正の実数の和に分割したとき、それらの積の最大値を求めよ。

43 ：

>>35--38
非均等分割の総積より均等分割の総積が大きくなることの証明は？

44 ：

>>43
中学生ですか？
成長期のうちは夜はしっかり寝ましょう

45 ：

10の10/e等分の図形的意味を教えて！

46 ：

10を1:1:1:10/e-3の比率で分割

47 ：

電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性を害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>><宗教<<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

48 ：

魂は幾何学
誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険
知ったかブッタの日本人
失敗作

49 ：

x²

50 ：

あんま面白くないしちょっと考えればすぐわかるけど
1×11×111×1111×…の無限積は全ての素数を因数に持つ
（……という表現で合ってますように）

51 ：

2は？

52 ：

5は？

53 ：

すまん、2と5だけは例外だった

54 ：

>>50
フェルマの小定理

55 ：

>>50

　p=3 のとき　111 = 3*37

　p:素数、p>5 とすると　gcd(p,10) = 1,
>>54 から
　10^(p-1) -1 ≡ 0　(mod p)
　{10^(p-1) -1}/9 ≡ 0　(mod p)

56 ：

>>43
　n個の正数に分割するとき
　相加平均 = 10/n,
　相乗平均 ≦ 10/n,　等号成立は均等分割のとき。
　積 ≦ (10/n)^n,　　〃

　次に (10/x)^x の増減を考える。自然対数をとって微分すると
　(d/dx){x･log(10/x)} = log(10/x) - 1
∴　x < 10/e = 3.6788 で増加し、 x > 10/e = 3.6788 で減少する。
∴　n=3 と n=4 の大きい方が最大値。

57 ：

>>50

　自然数nが2,5以外の素因数を含むなら、1/n は循環する無限小数になる。
　循環の周期がa桁ならば、これに m = (10^a - 1)*(2^b)(5^c) を掛ければ整数になる。
　つまり m = (11…1)(2^b)(3^2)(5^c) は nで割り切れる。

58 ：

今週のいぬまるだしっよりｗ
http://nagamochi.info/src/up94474.jpg
放物線y=x^2上の点P(t,t^2)から直線y=xへ垂線を引き、交点をHとする。
このときPを通りy軸に平行な直線と、直線y=xの交点をRとするとき、
三角形PRHの面積をtを使って表せ。
かな？ｗ

59 ：

>>58

　P(x0,y0)　H((x0+y0)/2,(x0+y0)/2)　R(x0,x0)
は直角二等辺三角形。
　PR = |x0-y0|

　△PRH = (1/4)PR^2 = (1/4)(x0-y0)^2,

60 ：

高校(数学オリンピック)レベルならいくらでもある。
例えば S^1 = { (x, y) ∈ R^2 ： 平面 | x^2 + y^2 = 1 }
の (S^1 における) 稠密な部分集合 X で、　X のどの二点の距離も有理数なる物が存在する。
S^2 = { (x, y, z) ∈ R^3 ： 平面 | x^2 + y^2 + z^2 = 1 }
の場合は大学レベルとなるが。

61 ：

半径rを有理数にとってスキャンすれば有理数の稠密性から何次元でもおk

62 ：

スキャンした一つの中からペアを取ればそうだろうけど、別々のスキャンから取った点で
ペアを取るとそんなに明らかでもないような

63 ：

>>61
誤答
距離が有理数である事が示されていない。
それに dense である事も。

64 ：

ある競技の競技会があります　参加者は毎年同人数で、彼らの競技レベルは不変です（上手にも下手にもならない）
この競技会を1年ごとに限りなく何度も行うことができる場合、大会新記録が出る回数も限りなく大きくなるといえるでしょうか
ただし全ての記録同士には優劣がつき、同着はないものとします　数式も併せてどうぞ

65 ：

条件不足すぎ

66 ：

有理数の距離でペアから３点目をとれば垂直に稠密な有理直線がとれるから
デスクを稠密にカバーできる。同じ操作を何次元でもできるからQEDね。

67 ：

>>66
意味不明

68 ：

これは一見難しいようだが、気がつけば簡単な問題。
解法は複数有り、どれも行数は少ない。
面白いと思うかどうか?

69 ：

>>11
> 連続する3つの整数の二乗の和で表現できる整数の数列の一般式を見つけなさい。
>
>>12
> n^2+(n+1)^2+(n+2)^3
バロス…
中学生の宿題だったのか？
晒し上げておこう

70 ：

a_(n+1)={1/a_nの小数部分}, 0<a_1<1とする。
a_nの極限を求めよ

71 ：

>>70
右辺は 1/(a_nの小数部分) か (1/a_n)の小数部分 か

72 ：

>>70
有理数だと必ず0になるが、その先はどうするんだ？

73 ：

>>70
x＝1/x−n , n＝[1/x] とすると、x＝(−n＋√(n^2＋4))/2
0 < n：整数であれば、この x が全部不動点になるから一意の極限などない。

74 ：

f()=f(f())が収束するって|a-ff|<r|a-f|,r<1

75 ：

問題を誤解した奴が居るかも知れないのでもう一度書こう。
S^1 = { (x, y) ∈ R^2 ： 平面 | x^2 + y^2 = 1 }
の (S^1 における) 稠密な部分集合 X で、　
X のどの二点の距離も有理数なる物が存在する。
この距離はあくまで R^2 における距離なので誤解無きよう。
一週間以上正解者が出なかったら解答を書く

76 ：

>>75
たとえば、sinθ=1/3となるような角θをとると、
整数nに対してsin(nθ)は有理数。
2π/θは無理数であることから、
集合X={(cos(2nθ),sin(2nθ)) | nは整数}は、S^1の稠密な部分集合で、
Xの任意の２点P(cos(2nθ),sin(2nθ)), Q(cos(2mθ),sin(2mθ))をとると、
|↑PQ|^2=|↑OQ-↑OP|^2=2-2cos(2(m-n)θ)=4sin^2((m-n)θ)となり
PQ=|2sin((m-n)θ)|となる。
これは明らかに有理数。

77 ：

>>76
訂正
誤：たとえば、sinθ=1/3となるような角θをとると、
正：たとえば、sinθ=3/5となるような角θをとると、

78 ：

補足：
sinα，cosα，sinβ，cosβがいずれも有理数なら
sin(α+β)，cos(α+β)も有理数となることから，
sinθ=3/5，cosθ=4/5なら
帰納法によりsin(nθ)，cos(nθ)も有理数。

79 ：

>>76-78
ご名答

80 ：

>>76-78
＞2π/θは無理数であることから
ここは一寸不明確
(これは ±(4/5) + (3/5)*i が 1 の冪根で無い事と同値になるが。)

81 ：

>>80
たしかにそれは証明が必要な内容ですね
例えばこんなの
sinθ，cosθが共に有理数であり，それらを分母が正の既約分数で表すと
sinθ=b/a，cosθ=c/aとなって，なおかつaが奇数であると仮定する。
そのとき，
sin(2θ)=2bc/(a^2)，cos(2θ)=(2c^2-a^2)/(a^2)　…(*)
であり，aとb，aとcが互いに素であることから
2bcとa^2，2c^2-a^2とa^2も互いに素。
よって，(*)はsin(2θ)，cos(2θ)を分母が正の既約分数で表したものとなる。
これを利用すると，sinθ=3/5のとき，
sin((2^k)θ)（k=0,1,2,…）を分母が正の既約分数で表した時の分母は
5^(2^k)となるため，数列{sin(nθ)}（n=1,2,…）の中には，
可算無限個の異なる数が出現することになる。
もし，2π/θが有理数なら，上記と矛盾するので，2π/θは無理数。

82 ：

自己レス。細かいことだけど2π/θではなく「θ/(2π)は無理数」と書いた方が素直でした。
あと、「sinθ=3/5となるような角θ」よりも、「sinθ=3/5，cosθ=4/5となるような角θ」と
最初で言ってしまった方がすっきり。

83 ：

ふりだしとあがりの間に１０のマス目（ふりだしとあがりを含めると１２のマス目）が並んでいるすごろくがある。
ただし、どのマス目にも何のイベント（何マス進むとか一回休みとか）も書かれていない。
そこで１マスだけ選んでそこに「ふりだしにもどる」というイベントを書き加えたいのだが、
できるだけ”あがりにくく”するためにはどのマス目に書き加えたらいいだろうか。
当然、ふりだしやあがりにイベントを書き加えることはできない。

84 ：

あがりの1マス前で2が出たらどうなるの

85 ：

>>83
ピッタリじゃないと上がりにならないルール？

86 ：

いや、ピッタリじゃなくてもよい。
あと、１０マスじゃなくて９マスの間違いだった、訂正。

87 ：

>>83
＞できるだけ”あがりにくく”
の定義が書いてない。定義も込めて解答せよというのか？
これは出題と云うより質問だな。

88 ：

仲々伸びないな。
http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/MathNori.com/pdf/
に有る問題をかったっぱしから解いて行くと云うのはどうだ?
既に何度も２ちゃんで採り上げられた有名問題も沢山あるが。

89 ：

Bipper

90 ：

ohkawaは鬱になった

91 ：

>>83
ゴールのひとます前だろ。
一番損失が大きい

92 ：

10マスだとゴール直前がサイを振る平均回数が最大になるけど、
9マスとかだとゴール直前が最大ではない

93 ：

>>92
それは六面体サイコロ使う前提の話？

94 ：

6面体のを１個振るときの話

95 ：

2つの立方体から1つの立方体を作ったよ
http://www.nicovideo.jp/watch/sm16680839

96 ：

>>95
体積の同じ平行６面体同士は必ず有限個への分割と並べ替えで等積変換できる
って話だけど、実際に積み木パズルにするというのはよいね。

97 ：

>>96
高次元の平行六面体に相当する物についても、
有限個の多面体によって分解合同になる事が知られている。
逆に四面体や高次元単体についてはそうでは無い事が知られている。

98 ：

>>97
前半はそりゃそうだろうなという感じだけど、
後半の証明は難しそう

99 ：

>>98
＞後半の証明は難しそう
そりゃそうだろうな。 Hilbert の問題だから。

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