Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日
Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を
語るスレです。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
part 1
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/
part 2
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/
part 3
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/
C、D、E、F を圏とする。
T：C×D×E → F、S：C×D×E → F を関手とする。
任意の (X、M、A) ∈ C×D×E に対して
射 τ(X、M、A)：T(X、M、A) → S(X、M、A) が存在するとする。
C の任意の射 X → Y と任意の (M、A) ∈ D×E に対して次の図式が可換であるとする。
T(X、M、A) → S(X、M、A)
↓ ↓
T(Y、M、A) → S(Y、M、A)
このとき τ は第１変数に関して自然であるという。
τ(X、M、A)：T(X、M、A) → S(X、M、A) は X に関して自然であるとも言う。
同様に第２変数、第３変数に関して自然であることが定義される。
過去スレpart2の707より τ が各変数に関して自然なとき
τ は自然変換（代数的整数論017の370）である。
C、D、E をそれぞれ圏とする。
このとき、Func(C×D, E) (過去スレpart2の597) と Func(C, Func(D, E)) は圏として同型である。
証明
F：C×D → E と G：C×D → E を関手とする。
各 X ∈ C に対して関手 F(X, −)：D → E （過去スレpart2の686）が得られる。
対応 X → F(X, −) は関手 F’：C → Func(D, E) を定める。
τ：F → G を自然変換（代数的整数論017の370）とする。
各 X ∈ C に対して τ は自然変換 τ(X, −)：F(X, −) → G(X, −) を定める。
対応 X → τ(X, −) は自然変換 τ’：F’→ G’を定める。
F ∈ Func(C×D, E) に F’∈ Func(C, Func(D, E)) を対応させ
自然変換 τ：F → G に自然変換 τ’：F’→ G’を対応させることにより
関手 ψ：Func(C×D, E) → Func(C, Func(D, E)) が得られる。
この関手は明らかに逆関手を持つ。
証明終
C と D と E を圏とする。
F：C → D、G：C → D、H：D → E を関手とする。
H は充満忠実（代数的整数論017の403）であるとする。
τ：HF → HG を自然変換とする。
このとき自然変換 σ：F → G あり τ = Hσ（代数的整数論018の119）となる。
証明
各 X ∈ C に対して射 τ_X：HF(X) → HG(X) がある。
H は充満忠実だから τ_X = H(σ_X) となる射 σ_X：F(X) → G(X) が一意に存在する。
X → Y を C の射とする。
τ：HF → HG は自然変換だから次の図式は可換である。
HF(X) → HG(X)
↓ ↓
HF(Y) → HG(Y)
H は充満忠実だから次の図式は可換である。
F(X) → G(X)
↓ ↓
F(Y) → G(Y)
よって、σ：F → G は自然変換である。
各 X ∈ C に対して τ_X = H(σ_X) であるから τ = Hσ である。
証明終
Set を小さい集合（代数的整数論017の321）全体の圏とする。
C を圏とする。
D を局所的に小さい圏（代数的整数論017の343）とする。
F：C → D、G：C → D を関手とする。
次の２変数の関手がある。
Hom(F(−), −)：C^o×D → Set
Hom(G(−), −)：C^o×D → Set
τ：Hom(F(−), −) → Hom(G(−), −) を自然同型とする。
このとき自然同型 σ：G → F あり
各 (X, T) ∈ C×D に対して τ(X, T) = Hom(σ_X, 1_T) となる。
証明
h’: D^o → Func(D, Set) を米田関手（代数的整数論017の722）とする。
米田の埋め込み定理（代数的整数論017の725）より h’は充満忠実（代数的整数論017の403）である。
F^o：C^o → D^o と G^o：C^o → D^o をそれぞれ F と G の双対関手(>>603)とする。
>>3より Hom(F(−), −) と Hom(G(−), −) は Func(C^o, Func(D, Set)) の対象と同一視される。
このとき、合成関手 h’F^o：C^o → Func(D, Set) は Hom(F(−), −) と同一視される。
同様に 合成関手 h’G^o：C^o → Func(D, Set) は Hom(G(−), −) と同一視される。
よって、τ は自然同型 τ：h’F^o → h’G^o と見なされる。
よって、本命題の主張は>>4から直ちに得られる。
証明終
C、D、E をそれぞれ前加法圏（過去スレpart2の589）とする。
C×D から E への関手で各変数について加法的な関手（過去スレpart2の687）全体を
Add’(C×D, E) と書く。
Add’(C×D, E) は自然変換（代数的整数論017の370）を射とすることにより
広義の圏 (過去スレpart3の749) となる。
C、D、E をそれぞれ前加法圏（過去スレpart2の589）とする。
C×D は前加法圏である。
よって、Add(C×D, E)（過去スレpart2の605）が定義される。
一般に Add(C×D, E) と Add’(C×D, E)（>>6）は異なる（過去スレpart2の688）。
F、G ∈ Add’(C×D, E) とする。
τ、σ ∈ Hom(F, G) とする。
各 (X, Y) ∈ C×D に対して (τ + σ)(X, Y) = τ(X, Y) + σ(X, Y) と定義することにより
Hom(F, G) はアーベル群になる。
よって、Add’(C×D, E) は広義の前加法圏（過去スレpart3の751）となる。
C、D、E をそれぞれ前加法圏（過去スレpart2の589）とする。
Add(D, E)（過去スレpart2の605）は広義の前加法圏（過去スレpart3の751）である。
よって、Add(C, Add(D, E)) が意味を持つ。
このとき、Add’(C×D, E)（>>6）から Add(C, Add(D, E))（過去スレpart2の605）への
加法的な関手で同型であるものが存在する。
証明
F、G ∈ Add’(C×D, E) とする。
各 X ∈ C に対して加法的関手 F(X, −)：D → E （過去スレpart2の686）が得られる。
対応 X → F(X, −) は加法的関手 F’：C → Add(D, E) を定める。
τ：F → G を自然変換（代数的整数論017の370）とする。
各 X ∈ C に対して τ は自然変換 τ(X, −)：F(X, −) → G(X, −) を定める。
対応 X → τ(X, −) は自然変換 τ’：F’→ G’を定める。
F ∈ Add(C×D, E) に F’∈ Add(C, Add(D, E)) を対応させ
自然変換 τ：F → G に自然変換 τ’：F’→ G’を対応させることにより
関手 ψ：Add’(C×D, E) → Add(C, Add(D, E)) が得られる。
この関手は加法的であり明らかに逆関手を持つ。
証明終
>同型 Hom(ρ^(E※F), T) ≡ Hom(ρ^(E)※ρ^(F), T) は３変数の関手としての自然同型だから
>上記の同型は２変数（E, F）の関手としての自然同型である。
これは>>5から得られる。
次も同様である。
過去スレpart3の912
>同型 Hom_Z(F※ρ^(E), T) ≡ Hom_Z(ρ_*(F)※E, T) は３変数 (E, F, T) の関手としての
>自然同型だから φ_(F, E) は２変数（E, F）の関手としての自然同型である。
A と B を可換環とする。
ρ：A → B を準同型とする。
>>878より随伴状況 (ρ^, ρ_*, ψ)（代数的整数論019の362）が存在する。
A と B は可換環であるから E ∈ Mod(A)、F ∈ Mod(B)（過去スレpart2の685）に対して
ρ_*(F)※E ∈ Mod(A)、F※ρ^(E) ∈ Mod(B) である。
このとき、A-同型 φ_(F, E)：ρ_*(F)※E → ρ_*(F※ρ^(E)) で
F と E に関してそれぞれ自然（>>11）なものが存在する。
証明
過去スレpart3の912より
Z-同型 φ_(F, E)：ρ_*(F)※E → F※ρ^(E) で
F と E に関してそれぞれ自然なものが存在する。
φ_(F, E) を略して φ と書くことにする。
過去スレpart3の914より x ∈ F、y ∈ E のとき
φ(x※y) = x※(1※y) である。
a ∈ A のとき
φ(a(x※y)) = φ((ρ(a)x)※y) = (ρ(a)x)※(1※y) = ρ(a)(x※(1※y)) = ρ(a)φ(x※y)
よって、φ_(F, E)：ρ_*(F)※E → ρ_*(F※ρ^(E)) は A-同型である。
証明終
A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：A → B を準同型とする。
E ∈ Mod(A)（過去スレpart2の685）とする。
a ∈ A、x ∈ B のとき ax = ρ(a)x と定義することにより B ∈ Mod(A, B^o) と見なせる。
Hom(−, E)：Mod(A) → Mod(Z) を過去スレpart2の730で定義した関手とする。
Hom(−, E) は加法的関手（過去スレpart2の589）であるから
過去スレpart2の638より Hom(B, E) ∈ Mod(B) と見なせる。
このとき Hom(B, E) を ρ~(E) とも書く。
対応 E → ρ~(E) により加法的関手 ρ~：Mod(A) → Mod(B) が得られる。
A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：A → B を準同型とする。
ρ~：Mod(A) → Mod(B)（>>877）は ρ_*：Mod(B) → Mod(A)（過去スレpart3の871）の
右随伴関手（代数的整数論019の362）である。
証明
E ∈ Mod(A)、F ∈ Mod(B) とする。
a ∈ A、x ∈ B のとき ax = ρ(a)x と定義することにより B ∈ Mod(A, B^o) と見なせる。
B※F を B 上のテンソル積（過去スレpart2の651）とする。
B※F ∈ Mod(A) と見なせる。
一方、過去スレpart2の801より B※F は F と B-加群として自然（>>11）に同型である。
よって、B※F ∈ Mod(A) と見なした場合 B※F は ρ_*(F) と自然（>>11）に同型である。
一方、過去スレpart2の748より
アーベル群の同型 φ(F, E)：Hom_A(B※F, E) → Hom_B(F, Hom_A(B, E)) が存在する。
上記より B※F を ρ_*(F) と同一視すれば
アーベル群の同型 φ(F, E)：Hom(ρ_*(F), E) → Hom(F, ρ~(E)) が存在する。
過去スレpart2の748より、この同型は F と E に関してそれぞれ自然である。
よって、（ρ_*、ρ~、φ) は随伴状況である。
証明終
ρ：A → B を準同型とする。
E ∈ Mod(A)（過去スレpart2の685）とする。
ρ~(E) = Hom(B, E) の各元 u に u(1) を対応させる写像 τ：ρ~(E) → E を考える。
a ∈ A、u ∈ ρ~(E) のとき (ρ(a)u)(1) = u(ρ(a)) = au(1)
よって、τ(ρ(a)u) = aτ(u)
よって τ：ρ_*(ρ~(E)) → E は A-準同型である。
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/716
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クマの犯罪告白レスです 警察さんよろしく
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追加
間違いみつけたけど指摘してほしい？
ちょい誤植上等！なのは前からだよ
絶望的なギャップは見つけたことないけど
お前、Kummerだな
許さん
違うよ、クマーのエロリグロ雑文のファンｗ
単なるコピペ
あれをフィクション化して支持するのはkummerだけ
お前はKummerだ
ばればれなんだよ
雑文なだけで、別にフィクション扱い前提でもないよｗ
http://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/324
それを言うならほとんどの教科書は全部とは言わないがほとんど単なるコピぺ
例えば松村の可換環論だって永田の可換体論だって全部とは言わないがほとんど単なるコピぺ
ほとんどの内容がオリジナルな教科書というのは例外的
thanks
特に最後ｗ
このすれハ、ナンノこぴぺナノカ
（このすれガ教科書ト、ドウレベルデアレバ）
関手 ρ_*、ρ^、ρ~ に関するものは Cartan-Eilenberg, Bourbaki を
圏論的に再構成したもの
のエレマンのどれなのでしょうか
フォスター梶原君のためにフェルマーを証明してやる
つもりなの？
これが
Galois理論の革新につながる処とは何でしょうか
塵も積もれば山となる
Algebre, Chapitre II
→ Ｇａｌｏｉｓ ？
awateruna
hito-yasumi hito-yasumi
Algebre, Chapitre III も登場する
従って数学的にトリビアルなことを馬鹿にすることは数学の命題の証明を馬鹿にすることに他ならない
等式
０＝０
を馬鹿にすることは数学の命題の証明を馬鹿にする
ことに他ならない
おまえさあ、読解力無いねw
書いてあることを、ここに転載せんでええっていう話だよw
たとえば arXiv にこんなもんを載せたら、ID含めて削除だよw
不安であった
許さん。監視中だ。
今から見ると圏論的に不十分な扱いをしている。
例えばBourbakiは過去スレpart2の748の同型が自然同型であることを述べていない。
テンソル積が右完全なのはそれが Hom の左随伴関手であるからであるが
彼等はそれについて述べていない。
当時は随伴関手という概念がまだ普及していない頃だから無理もないが。
lim と colim は圏論的に扱って始めてその本質が理解出来るが彼らは当然ながら不十分な扱いをしている。
etc.
教科書を書いて出版したら良い
低脳クマはただの１本も数学の論文をパブリッシュしてないし、
学位もないからw まったくの妄想ですw
って大声で話している３０歳ぐらいのおっさんがいた
学生風だが年齢はおっさん、しかし無職
どうやらどこかの大学を出た人で、数学コンプで
数学本を買い込んでいると聞いた
彼の連れが後に数理研の研究生かなんかになって
生涯に論文１本で、どこだかの非常勤講師までなったが
クビになったそうだ
どちらも「言葉だけ」だった
やたらコホモロジーとか言っておったw
こういった数学者憧れ組は数学者にはなれないw
まあ、クマのようにネットでナルスレを書き続けるくらいかw
ブログだとカウンターが本人のアクセス１のみでめげたのだろうw
２ちゃんにクマは生き甲斐を見出したw
しかし逮捕が近いw
>それを言うならほとんどの教科書は全部とは言わないがほとんど単なるコピぺ
お前の落書きの目的は、教科書書くことなのか？
真実は一つだけ
怒りは自然な感情
戦争・テロは無くならない
死刑には人の抑止力がある
虐められる側にも虐めの原因がある
自己チューな人間ほど自己愛が強い
などの命題の間違いを解説しています
感情自己責任論
>lim と colim は圏論的に扱って始めてその本質が理解出来るが彼らは当然ながら不十分な扱いをしている。
lim と colim の概念が、「Galois理論とそれに関連する話題」と
ドウ関連するのでしょうか
f ∈ Hom(ρ_*(F), E)、b ∈ B、x ∈ F のとき φ(f)(x)(b) = f(b※x) = f(bx) である。
特に φ(f)(x)(1) = f(x) である。
τ：ρ~(E) → E を>>15で定義した写像とする。
τ・φ(f)(x) = f(x)
よって、τ・φ(f) = f
u = φ(f) とおけば τu = φ^(-)(u)
Cartan-Eilenberg, は､homological algebra の著者、
Bourbaki Algebre, Chapitre II は、線形代数の章
Bourbaki Algebre, Chapitre III とは、テンソル代数の章
これらと、ガロア理論がどのように、つながって行くのか？
>>命題
>>A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
ガロア理論は､拡大体の理論ですが､｢可換とは限らない環｣の命題が
どう関連するのですか?
本題に入ってから必要になった時点で参照すれば十分です。
同型 φ：Hom(ρ_*(ρ~(E)), E) → Hom(ρ~(E), ρ~(E)) が得られる。
u ∈ Hom(ρ~(E), ρ~(E)) を恒等射とする。
>>65より τ = τu = φ^(-)(u)
よって、τ：ρ_*(ρ~(E)) → E は随伴状況 (ρ_*, ρ~, φ) の余単位（代数的整数論019の425）である。
よって、代数的整数論019の424より τ は自然（>>11）である。
同型 φ：Hom(ρ_*(F), ρ_*(F)) → Hom(F, ρ~(ρ_*(F))) が得られる。
f ∈ Hom(ρ_*(F), ρ_*(F)) を恒等射とする。
σ = φ(f) とおく。
>>65より b ∈ B、x ∈ F のとき σ(x)(b) = bx である。
σ：F → ρ~(ρ_*(F)) は随伴状況 (ρ_*, ρ~, φ) の単位（代数的整数論019の413）である。
代数的整数論019の411より σ は自然（>>11）である。
（homological algebra）と
ガロア理論がどのように、つながって行くのか？
>>数学の命題の証明とはその命題がトリビアルな事実の積み重ねであることを示すことに他ならない
＞トリビアルな事実
?
ガロア理論でもなんでもよいけど
数学の本をみると、どれもトリビアルな事実の積み重ね、ではない
のが分かると思う。どの命題が欠けただけでも、以後の理論の叙述は
不可能になる。
>>今は準備だから無理して読む必要はないです。
「準備」なら、タイトルと書き込む内容が異なるので、
タイトルを代えたほうが良いと思います
そのうち分かります。
>>68
必ずしも可換とは限らないということは可換でもいいということです。
それはそれとして G をGalois群として群環 Z[G] を考える場合がある。
H を G の部分群とすると Z[H] は Z[G] の部分環となる。
よって、単射準同型 Z[H] → Z[G] が得られる。
これに例えば>>14が適用出来る。
例えば整数論の教科書の一部で準備としてホモロジー代数をやろうとしたら
教科書のタイトルを整数論以外に変えたほうが良いのか？
教科書レベルのこのスレですが、
ガロア理論の本で、「G をGalois群として群環 Z[G] を考える」箇所を教えてください
>数学の本をみると、どれもトリビアルな事実の積み重ね、ではない
>のが分かると思う。
例をあげてもらえます？
Galois cohomologyの本に普通に書いてあるでしょ
Galois cohomologyの本に普通に書いてある
Galois cohomologyは、「ガロア理論の本」ですか
見てればそのうちわかりますよ
因みにGalois理論だけやるわけじゃないのでよろしく
>Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を
>語るスレです。
前スレにも書いたけど予定は
無限次Galois理論 → Neukirchの抽象類体論 → 局所類体論 → 大域類体論
>Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を
>語るスレです。
円分多項式の既約性
それはトリビアルな事実の積み重ねで得られますよ
>>86
それもトリビアルな事実の積み重ねで得られけど
やる予定はないです
>トリビアルな事実
例をあげてもらえます？
>それもトリビアルな事実の積み重ねで得られけど
証明がトリビアルな事実の積み重ねで成り立っているという意味
証明の方法の発見とか定理の発見がトリビアルな事実の積み重ねで得られるという意味ではない
>>無限次Galois理論 →
次の方が実際に近い?
圏論→線形代数→ホモロジー代数→無限次Galois理論 ･･･
円分多項式の既約性は代数的整数論003の162で証明されている。
その証明は勿論トリビアルな事実の積み重ねから成っている。
その他何でもいいけど例えばこのスレのpart1の451のGalois理論の基本定理の証明も同様。
全部細かいとこまで計画してるわけじゃないんで
準備といいつつ後で使わない命題もあるかもしれないｗ
だから今は適当に読み流して必要になった時点で参照したほうがいい
？
クマーじゃなくKummerな
勿論そう
数学本体と区別するため名無しにしてる
くまー
なのか
クンメル
なのか〜
クマーとはオレじゃないとKummer言い
どうも、おあとが宜しい様で
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