不等式への招待 第５章

1 ：10/10/24 〜 最終レス ：12/02/04

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1）　 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章　http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
過去スレのミラー置き場：http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000

2 ：

[1]　不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
　 　http://amazon.co.jp/o/ASIN/4431710566
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
[4]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/4627010494
[5]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/4627075812
[6]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/4894281740
[7]　数理科学 No.386 特集「現代の不等式」，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[8]　数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
　 　http://amazon.co.jp/o/ASIN/4316801988
[9]　数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店、2001年
　 　http://amazon.co.jp/o/ASIN/4254110871
[10]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/052154677X
[11]　数学セミナー 2009年 02月号，日本評論社，2009年
　 　http://www.amazon.co.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8
[12]　大学への数学 2009年4月号-2010年3月号，東京出版
　　　　連載 「不等式の骨組み」 、栗田哲也、全12回、各4ページ
[13]　Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
　　 http://amazon.jp/dp/3034600496

3 ：

不等式の埋蔵地
[1]　RGMIA　http://rgmia.vu.edu.au/
[2]　Crux Mathematicorum Synopses　http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3]　Maths problems　http://www.kalva.demon.co.uk/
[4]　Mathematical Inequalities & Applications　http://www.ele-math.com/
[5]　American Mathematical Monthly　http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6]　Problems in the points contest of KoMaL　http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7]　IMO リンク集　http://imo.math.ca/
[9]　Mathematical Olympiads Correspondence Program　http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10]　Mathematical Excalibur　http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11]　MathLinks Contest　http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_s... (要自動登録)
[13]　Wolfram MathWorld　http://mathworld.wolfram.com/
[14]　GRA20 Problem Solving Group　http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.htm...
[15]　American Mathematical Monthly Problems　http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
[16]　Journal of Inequalities and Applications http://www.hindawi.com/journals/jia/
海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics　http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal　http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum　http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html

4 ：

>>2
姉妹サイト（？）に付け忘れました
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
　　　　　　 　　∧＿∧
　　　　　　 　 （´Д｀　）　　　死んでお詫びを…
　　　　　 　　 / 　y/　 ヽ　　　　　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　 　 （ノノノ | | | l ）
　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

5 ：

http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
M1854、M1852、C934、C932 に(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

6 ：

>>5　読めぬぅ…

〔M1852.〕
f∈C^1([0,1]) で f(0) = f(1) = -1/6 とする。次を示せ。
　∫[0,1] {f '(x)}^2 dx ≧ 2∫[0,1] f(x)dx + (1/4),
等号は f(x) = (1/2)x(1-x) - 1/6. (Cezar Lupu e Tudorel Lupu (Romania))


〔C934.〕
n個の辺からなる多角形を考え、その半周をsとおく。次を示せ。
　�農[1≦i<j≦n] (a_i)^2･(a_j)^2／{(a_i)^2 + (a_j)^2} ≦ {(n-1)/(n-2)^2}�納k=1,n] (s-a_k)^2,
ここに、a_1, a_2, ……, a_n はn個の辺の長さ。(Jose Luis Diaz-Barrero (Spagna))


〔C932.〕
f:[0,1]→R は連続函数で ∫[0,1] {f(x)}^3 dx =0 とする。次を示せ。
　∫[0,1] {f(x)}^4 dx ≧ (27/4){∫[0,1] f(x)dx}^4,
　　　　　　　　　　　　(Cezar Lupu e Tudorel Lupu (Romania))

http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html

7 ：

>>6
文献[3]　不等式への招待 のP.145 あたりを参考に考えたが…

8 ：

猫に小判、まで読んだ。

9 ：

猫

10 ：

等差数列a[i],等比数列b[i]を考える
0<a[1]<a[2]<…<a[n]
0<b[1]<b[2]<…<b[n]
a[1]=b[1],a[n]=b[n]
を満たすとき
Σ[i=1~n]a[i]≧Σ[i=1~n]b[i]

11 ：

bk=(bn)^(k-1)/nb1
ak=(bn-b1)(k-1)/n+b1

12 ：

>>10

.　　　　　(n-k)個、　　　(k-1)個
a[k] =（a[1],…,a[1], a[n],…,a[n] の相加平均）
b[k] =（b[1],…,b[1], b[n],…,b[n] の相乗平均）

∴　a[k] ≧ b[k],

ぬるぽ

13 ：

>>6の積分の不等式を見ると
それを証明できそうになくても
フリーザやセルにボコられる前の
悟空のようにワクテカしてしまいます

14 ：

今年の東工大AO
a,b,cを三角形の三辺の長さとするとき
(a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca)
のとりうる値の範囲を求めよ

15 ：

大数の宿題
Aはxy平面上のx^2+y^2=1を動き
Bはyz平面上のy^2+z^2=1を動き
Cはzx平面上のz^2+x^2=1を動くとき
AB^2+BC^2+CA^2のとりうる値の範囲を求めよ

16 ：

三角関数を知っていれば
どちらも解けそうですな。

17 ：

A=(x,(1-x^2)^.5,0)
B=(0,y,(1-y^2)^.5)
C=((1-z^2)^.5,0,z)
f=AB^2+BC^2+CA^2
fx=fy=fz=0

18 ：

fx=Ax=(1,-2x(1-x^2)^-.5,0)=0,x=0,+/-1
(x,y,z)=(0+/-1,0+/-1,0+/-1)

19 ：

0,3

20 ：

A、Bの焦点の楕円からCにMAXをとる。以下同文

21 ：

>>14
　1 ≦ (与式) < 2,

　(a^2 +b^2 +c^2) - (ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,
　等号成立は a=b=c (正三角形)。

　2(ab+bc+ca) - (a^2 +b^2 +c^2) = (2ab -a^2 -b^2 +c^2) + (2bc -b^2 -c^2 +a^2) + (2ca - a^2 -c^2 +b^2)
　　　= { -(a-b)^2 + c^2} + { -(b-c)^2 + a^2) + { -(c-a)^2 + b^2}
　　　= (-a+b+c)(a-b+c) + (-b+c+a)(b-c+a) + (-c+a+b)(c-a+b)
　　　> 0,

あるいは >>16 にしたがって
　2(ab+bc+ca) - (a^2 +b^2 +c^2) = (2ab -a^2 -b^2 +c^2) + (2bc -b^2 -c^2 +a^2) + (2ca - a^2 -c^2 +b^2)
　　　> {2ab･cos(C) -a^2 -b^2 +c^2} + {2bc･cos(A) -b^2 -c^2 +a^2} + {2ca･cos(B) -a^2 -c^2 +b^2}
　　　= 0,
　　　等号成立は一辺が → 0 のとき。

22 ：

>>6

〔C934.〕
　(a_i)^2 + (a_j)^2 - 2a_i･a_j = (a_i-a_j)^2 ≧ 0,
より
(左辺) ≦ (1/2)�納1≦i<j≦n] a_i･a_j ≦ {(n-1)/n}s^2,　　(*)

　�納k=1,n] (s-a_k)^2 = �納k=1,n] {s^2 -2s･a_k + (a_k)^2}
　　　= (n-4)s^2 + �納k=1,n] (a_k)^2
　　　≧ (n-4)s^2 + (4/n)s^2　　　　　　　　　　　(**)
　　　= (1/n)(n-2)^2･s^2,

∴　(右辺) ≦ {(n-1)/n}s^2,

n辺多角形でなくても成立つ希ガス。
---------------------------------------------------
〔補題〕　�� = �納1≦i,j≦n] (a_i-a_j)^2 ≧ 0,　より

(*)　�納1≦i<j≦n] a_i･a_j = {2(n-1)/n}s^2 - (1/2n)�� ≦ {2(n-1)/n}s^2,

(**)　�納k=1,n] (a_k)^2 = (4/n)s^2 + (1/n)�� ≧ (4/n)s^2,

23 ：

f (0) = f(1)= 0 のとき
∫[0,1] {f'(x)}^2･dx ≧∫[0,1] {f(x)}^2 を示せ
〔M1852.〕と似てる

24 ：

>>23

〔Wirtingerの不等式〕
　f(x), f '(x) が [0,1] で連続のとき
　∫[0,1] {f'(x)}^2･dx ≧ (π^2)∫[0,1] {f(x)}^2 dx,
　等号成立は f(x) = c･sin(πx) のとき。


f(x) を sine級数でフーリエ展開して
　f(x) = �納k=1,∞) b_k sin(kπx),
とおく。
　(右辺) = (π^2)�納k=1,∞) (1/2)(b_k)^2,

　f '(x) = π�納k=1,∞) k･b_k cos(kπx),
　(左辺) = (π^2) �納k=1,∞) (1/2)(k･b_k)^2,

25 ：

>>23
初等的証明
f(0)=0 より f(x)=∫_[0,x] f'(t) dt と書ける．
Schwarzの不等式とHo"lderの不等式より，
|f(x)|≦ ∫_[0,x] |f'(t) | dt
　　　≦ { ∫_[0,x] 1^2 dt }^{1/2}・{∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt}^{1/2}.
両辺自乗すれば，
|f(x)|^2 ≦ x ∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt．
よって，x について 0 →1まで積分すれば，
∫_[0,1] |f(x)|^2 dx ≦ ∫_[0,1] x { ∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt } dx.
ここで、右辺を部分積分すれば，
右辺 = [ x^2/2・∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt ]_[x=0]^1 - ∫_[0,1] x^2/2・|f' (x)|^2 dx
　　　= 1/2 ・∫_[0,1] |f' (t)|^2 dt - - ∫_[0,1] x^2/2・|f' (x)|^2 dx
　　　= 1/2 ・∫_[0,1] (1-x^2) |f' (x)|^2 dx
　　　≦1/2 ・∫_[0,1] |f' (x)|^2 dx
　　　≦∫_[0,1] |f' (x)|^2 dx
よって、　　
　∫_[0,1] |f(x)|^2 dx ≦　∫_[0,1] |f' (x)|^2 dx
が証明できた。

26 ：

>>25
すっげー、ネ申！

27 ：

ｷｬｽﾌｨ―修羅の刻―より。
正の実数a,b,cに対し次を満たす最大の実数kを求めよ。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2
≧k(ab+bc+ca)^3
できれば解き方も書いてほしいです。
非対称な部分の処理の仕方がわからないので教えて下さいって意味も込めて。

28 ：

シュワルツの不等式ｻｲｺｳ

29 ：

>>27

基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, とおくと、
　(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ��,
非対称な部分 (a-b)(b-c)(c-a) = �� は正にも負にもなり得るので、
絶対値を押さえます。

〔補題〕　|�處 ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),

詳細は [第３章.727, 737-739] へ。ミーラ置き場にあります...

30 ：

>>27

序でに解き方も書いておこう。
　(a+2b)(b+2c)(c+2a) - (3t)^(3/2)
　= 3st + �� - 3t√(3t)
　= 3t{s-√(3t)} + ��
　≧ (3t/2s)(s^2 -3t) - |�處　　　(← *)
　≧ (3/2 - 2/√3)(s^2 -3t)　　　(←補題)
　≧ 0,　　　　　　　　　　　　　(← **)

*)　s-√(3t) = (s^2 -3t)/{s+√(3t)} ≧ (s^2 -3t)/2s,

〔補題〕　|�處 ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、　|�處 = xy(x+y),　s = 3m+2x+y,　t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y),　s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
∴　t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|�處 = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0,
等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。

**)　s^2 -3t = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,

31 ：

巧妙ですね。
まず(a-b)(b-c)(c-a)を作るんですか??
あとは最小値とかを与えて計算??
|�處=xy(x+y)となるのは面白いですね。

32 ：

[問題]
f は区間 (a,b) (a<b) で C^2 級関数であるとき、
　∫_[a,b] |f′(x) |dx ≦ 54{ 1/(b-a)^2 ∫_[a,b] |f(x)|^2 dx
　　　　　　　　　　　　　　　 + (b-a)^2∫_[a,b] |f" (x)|^2 dx }
が成立することを示せ。

33 ：

ｷｬｽﾌｨｰ からもう一題。（Σ計算-180)

〔問題〕
　a[1],a[2],･･･,a[n]≧0
　�納k=1,n] a[k] = S のとき 次を示せ。
(1)　�納k=1,n] a[k]^2 ≧ (1/n)S^2,
(2)　�納k=1,n-1] a[k]a[k+1] ≦ (1/4)S^2,

34 ：

>>33　しょうがねぇなぁ…

(3)　�納k=1,n-2] a[k]a[k+1]a[k+2] ≦ (S/3)^3,
(4)　�納k=1,n-3] a[k]a[k+1]a[k+2]a[k+3] ≦ (S/4)^4,
　…　…

35 ：

>>33
（１）シュワルツの不等式より、
Ｓ＝�納k=1,n] 1・a[k]　≦ { �納k=1,n] 1^2 }^{1/2}・{ �納k=1,n] a[k]^2 }^{1/2} ＝ {ｎ}^{1/2}・{ �納k=1,n] a[k]^2 }^{1/2}．
よって，
　　 Ｓ^2 ≦ n �納k=1,n] a[k]^2
が証明された。

36 ：

不等式の『未解決』問題集ってどこかに無いかな？
フェルマー予想やポアカレ予想のような、不等式界における大予想、大問題
というのを知りたいね。
ついでに、このスレでチャレンジしてみるのも面白そう。
不等式の大予想、２ちゃんねるスレで解ける！
みたいに…
どこかの本や問題集からの問題はやる気が失せる。

37 ：

例えば、ラマヌジャン系の不思議な不等式に証明を与える（ないし、反例を与える）作業とか
なんか良い文献ないかなあ

38 ：

Bateman
[Ramanujan Book]
ha dou??

39 ：

nesbitの不等式って未解決の部分があるんじゃなかったっけ

40 ：

>>36
巡回和関係の不等式は見かけは簡単でも、未解決なのが結構あるそうだ。
Shapiroの巡回不等式もこの10年数年に解けたそうな。
（大関本ではまだ未解決になっている）

41 ：

>>39
Nsbittの不等式の一般化が Shapiroの巡回不等式。
だから現在では解決済み。

42 ：

Nesbittの不等式
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/nesbitt.htm
http://olympiads.mccme.ru/lktg/2010/5/5-1en.pdf

43 ：

>>42
思わずフルしてしまった！

44 ：

>>29-31

〔補題’〕a,b,c≧0 のとき　|�處 ≦ 2{s-√(3t)}t,
　等号成立は m=0 かつ x/y = 1/2 のとき。

45 ：

Shapiro's cyclic sum

http://mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html

なお、λ = 1/3 としたものが [初代スレ.501] にある。

46 ：

　

47 ：

[問題]
A=(a_[ij]) を複素n次正方行列とし α_1,,, α_n を A の固有値（重複度込み）とする。
このとき、次の不等式を示せ。
　　�農[k=1,,n] |α_k|^2 ≦ �農[i,j=1,,,n] |a_[ij]|^2
また等号が成立するための必要十分条件は A が正規行列（A^* A = A A^*）である。

48 ：

>>47
この不等式は「Shurの不等式」と呼ばれ線型代数の本などに載っていますが、
不等式の部分だけでも線型代数を使わない証明をして欲しいです。

49 ：

〔問題961〕
自然数nに対して、
　Ｉ_n = ∫[0,(2n+1)π] {x･sin(x)/[n + sin(x)^2]} dx　とおく。
　(2n+1)π/(n+1) < I_n < (2n+1)π/n　を示せ。
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089455158/961-965
　casphy - 高校数学 −修羅の刻−【難問】

50 ：

a、b、c、dを正の定数とする。
不等式 s(1-a)-tb>0
-sc＋t(1-d)>0
を同時に満たす正の数s、tがあるとき、
2次方程式x^2-(a＋d)x＋(ad-bc)=0は-1<x<1の範囲に異なる2つの実数解をもつことを示せ。

51 ：

>>50
　f(x) = x^2 -(a+d)x +(ad-bc),　とおく。

　判別式 D = (a+d)^2 -4(ad-bc) = (a-d)^2 +4bc > 0,
より、異なる2つの実数解をもつ。

　f((a+d)/2) = −(1/4)(a-d)^2 -bc < 0,
また、題意より
　0 < a,d < 1,
　1-a > (t/s)b > 0,
　1-d > (s/t)c > 0,
∴　f(1) = (1-a)(1-d) -bc > 0,
　　f(a+d-1) = f(1) > 0,

∴　２実数解は a+d-1<x<(a+d)/2, および (a+d)/2<x<1 の範囲にある。

52 ：

http://www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf
P352など
　二 ｀丶、｀丶、_＼__＼〉ﾉﾉへ!
`‐-、 二. ｀ヽ、 ミ￣　／⌒ｼ′）
二‐/,ｨ┐|=ミ=┘　,r‐'_二ﾆ....イ
‐ニ| i＜　 ｉ　,..-=ﾆ‐''＼　 /彡}　 　 http://www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf
二‐ヽ ┘ ｜ 　 　 lヾ. } } / /リ
ﾆ ‐'"/ 　 /　　　　|_{;)} ﾚ' /(（　　　Problem352などを見ると・・・・・
'　　/ 　 /　　 　 '"　` `ﾞ /　ｿ
　 /　　　　,　　　　　　Ｆ'′/　　 　なんていうか･･････その･･･
　 ヽ.　　　　＼、 L`___l　　　　　 　
　＿＼ 　 　ヽ._>┘　　　　　　　　 下品なんですが･･････フフ･････
　／了＼＿ノ
　◆（　　　　　　　　　　　　　　　　 ･･････しちゃいましてね･････････
　門｜

53 ：

>>52

〔Problem 352.〕
a,b,c>0, abc≧1　のとき　
　a/{√(bc)+1} + b/{√(ca)+1} + c/{√(ab)+1} ≧ 3/2,
　　　　　　　　　　　　　　　(P.H.O.Pantoja による)
　
Math. Excalibur, Vol.15, No.3, 2010/Oct.-Dec.

54 ：

>>53

　abc =k とおく。
　(左辺) = a^(3/2)/(√k + √a) + b^(3/2)/(√k + √b) + c^(3/2)/(√k + √c)
　　　　= F(a) + F(b) + F(c),
ここに
　F(x) = x^(3/2)／(√k + √x) = x - √(kx) +k -(k√k)/(√k + √x),
　F '(x) = {3√(kx) + 2x}／{2(√k +√x)^2} > 0,　 (単調増加)
　F "(x) = {√k + (3/√x)}／{4(√k + √x)]^3} > 0,　(下に凸)
よって
　(左辺) > 3F((a+b+c)/3)　　　(← Fは下に凸)
　　　　> 3F(k^(1/3)) 　　　　(← 相加･相乗平均)
　　　　= 3(√k)／{√k + k^(1/6)}
　　　　> 3/2,　　　　　　　　　　　　(← k≧1)

55 ：

〔Problem 357.〕
正の整数nに対し、次を満たす4整数 a,b,c,d が存在しないことを示せ。
　ad = bc,
　n^2 < a < b < c < d < (n+1)^2,


〔Problem 359.〕
次を満たすすべての実数(x,y,z)を求む。
　x+y+z ≧ 3,
　x^3+y^3+z^3 + x^4+y^4+z^4 ≦ 2(x^2+y^2+z^2),
　　　　　　　　　　　　　(M.Bataille による)
http://www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf
　Excalibur, Vol.15, No.3, 2010/Oct-Dec

56 ：

>>55

P.359.
　x^4 + x^3 - 2x^2 = (x^2 +3x +3)(x-1)^2 + 3(x-1) ≧ 3(x-1),
等号成立は x=1 のとき。
∴　(左辺) - (右辺) ≧ 3(x+y+z-3) ≧ 0,
∴　題意の不等式が成立するのは (x,y,z)=(1,1,1) のみ。

57 ：

１＜ｍ＜ｎ。
０≦ａ。
ｂ＝（ｎ−ｍ）ａ／（ｎ−１）。
ｃ＝（ｍ−１）ａ／（ｎ−１）。
ａ＝ｂ＋ｃ。
ｍａ＝ｂ＋ｎｃ。
ａ／ｍ≦ｂ＋ｃ／ｎ。
　（ｘ＋ｎ（１−ｘ））（ｘ＋（１−ｘ）／ｎ）＾２
＝（２ｎ−２（ｎ−１）ｘ）（１＋（ｎ−１）ｘ）＾２／２ｎ＾２
≦（（２ｎ＋２）／３）＾３／２ｎ＾２
＝４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２。

58 ：

>>57

〔問題〕
nを自然数、 0≦x≦1 を実数とするとき、
　{x + n(1-x)}{x + (1-x)/n}^2 の最大値を求めよ。


hint:
　{x+n(1-x), [nx+(1-x)]/2, [nx+(1-x)]/2} の相加平均は (n+1)/3,

59 ：

１≦ｉ≦ｎ。
（ｉ−１）（ｉ−ｎ）≦０。
ｎ≦ｉ（ｎ＋１−ｉ）。
１／ｉ≦（ｎ＋１−ｉ）／ｎ。
　Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
≦Σ（ｉａ（ｉ））Σ（（（ｎ＋１−ｉ）／ｎ）ａ（ｉ））＾２
＝Σ（ｉａ（ｉ））（（（ｎ＋１）／ｎ）Σ（ａ（ｉ））−（１／ｎ）Σ（ｉａ（ｉ）））＾２
≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。

60 ：

　Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
≦Σ（（ｎ＋１−ｎ／ｉ）ａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
＝（（ｎ＋１）Σ（ａ（ｉ））−ｎΣ（ａ（ｉ）／ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。

61 ：

>>57-58　出題元：

http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287678220/238 ,368
数オリスレ２０

http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1289917753/285-311
初等整数論の問題２

62 ：

x > 0 、 y > 0 、 0 < p < 1 のとき、 (x+y)^p < x^p + y^p を示せ

63 ：

>>62
成り立たねーぞボケ

64 ：

>>63
ﾆﾔﾆﾔ…

65 ：

x^p+y^p-(x+y)^p
x^p+t^p*x^p-(1+t)^p*x^p
=x^p*(1+t^p-(1+t)^p)
>0

66 ：

もっとエレガントに解かんかい

67 ：

>>62
私の粗末なコレクションを検索したところ、似たようなものがあった。
[1997早稲田大]-----------------------------------------------------------
x、yを任意の正の数とし、p、qを 1/p + 1/q = 1 かつ p>1、q>1 をみたす有理数とする。
(1) (x+y)^2 ≦ px^2 + qy^2 を示せ
(2) (x+y)^(1/p) < x^(1/p) + y^(1/p) を示せ
-------------------------------------------------------------------------
これって、有理数という縛りは必要なのかな？ 不等式( ﾟ∀ﾟ)ﾊｧﾊｧ…

68 ：

>>65がわからん

69 ：

俺も>>63と>>65がわからん

70 ：

>>63
>>66
口が悪いな、直したほうがいい

71 ：

y=txとおいてるのかな
1+t^p-(1+t)^p>0の証明は
f(t)とおいてp<1なのでf'(t)<0だから
lim_{t→∞}f(t)>0
ということかな?
(x^p+y^p)^(1/p)>x+y
を示す
x≧yとする
(x^p+y^p)^(1/p)≧(x^p+x^p)^(1/p)=2^(1/p)*x>2x=x+x≧x+y

72 ：

コーシーか相加相乗しか認めんぞ

73 ：

普通に間違ってた

74 ：

>>71
x^p+y^p≦2*((x+y)/2)^p
(x^p+y^p)^(1/p)≦2^(p-1)*(x+y)
(x^p+y^p)^(1/p)<x+y

75 ：

不等式に魅せられた高校生なんですけど[13]の書籍は体系だって不等式を学ぶのに有効ですか？

76 ：

>>62, >>66, >>68-69,
　1-p > 0,
　x^p = x/{x^(1-p)} > x/(x+y)^(1-p),
　y^p = y/{y^(1-p)} > y/(x+y)^(1-p),
辺々たす。 (終)

>>67
(1) 題意より (p-1)(q-1) = 1,
　　px^2 + qy^2 - (x+y)^2 = {x√(p-1) - y√(q-1)}^2 ≧ 0,

(2) 上と同様。ただし p ⇔ 1/p

77 ：

>>67
(x+y)^(1/p)*(x+y)^(1/q)
= (x+y)^(1/p + 1/q)
= x+y
= x^(1/p + 1/q) + y^(1/p + 1/q)
= x^(1/p)*x^(1/q) + y^(1/p)*y^(1/q)
< x^(1/p)*(x+y)^(1/q) + y^(1/p)*(x+y)^(1/q)
= {x^(1/p) + y^(1/p)}*(x+y)^(1/q)
両辺を (x+y)^(1/q) で割って (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…

78 ：

a、b、c が三角形の３辺の長さをなしながら変化するとき、
(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) のとりうる値の範囲を求めよ

79 ：

>>78

　1 ≦ (a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) < 2,

(右側)
　(a^2 + b^2 + c^2) - (ab+bc+ca) = (1/2)(a-b)^2 + (1/2)(b-c)^2 + (1/2)(c-a)^2 ≧ 0,
　等号成立は a=b=c (正三角形)

(左側)
　2(ab+bc+ca) - (a^2 + b^2 + c^2) = a(b+c-a) + b(c+a-b) + c(a+b-c) > 0,

80 ：

>>79
すっきりした証明ですね、(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

81 ：

>>78
2011年度 東工大特別入試 第2問 [大学への数学2011年1月号P.P.56-57]
雑誌の模範解答は、３通り
（解１）
a+b+c = 2k を固定し、ab+bc+ca = t とおくと、
　(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) = 4k^2/t - 2
だから、tのとりうる値を考える
三角形の成立条件から、a<k、b<k、a+b<k なので、
aを 0<a<s の範囲で固定して、k-a < b < s の範囲で、
　t = - { b - (2k-a)/2 }^2 -3a^2/4 + ka + k^2
のとりうる値の範囲を求める
（解２）
x=b+c-a、y=c+a-b、z=a+b-c とおくと、x、y、z>0で
　(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) = (2/3){1 + 2/(1+3u)}
ただし、u = (xy+yz+zx)/(x^2 + y^2 + z^2)
uのとりうる値の範囲を考える
（解３）
a≦b≦cと設定して、cの関数とみて微分
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…

82 ：

本番でa=1固定で
b+c=k固定で動かした記憶

83 ：

数学板で一番の良スレ
久しぶりに（気のせいか）上に上がってきたな
sageなかったのか？

84 ：

>>83
お前と、82が上げたんだろうが！

85 ：

age、sage言ってる時点でじじいだから、頭がボケていても仕方ない。

86 ：

>>79
きれいなやりかたですね。
すこしきになるのは(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca)のとりうる範囲が[1,2]
の中間の値を全部とるというのはどこで証明しているのでしょうか？

87 ：

投稿確認
・投稿者は、投稿に関して発生する責任が全て投稿者に帰すことを承諾します。
・投稿者は、話題と無関係な広告の投稿に関して、
相応の費用を支払うことを承諾します
・投稿者は、投稿された内容及びこれに含まれる知的財産権、
（著作権法第21条ないし第28条に規定される権利も含む）その他の権利につき
（第三者に対して再許諾する権利を含みます。）、掲示板運営者に対し、
無償で譲渡することを承諾します。ただし、投稿が別に定める削除ガイドラインに該当する場合、
投稿に関する知的財産権その他の権利、義務は一定期間投稿者に留保されます。
・掲示板運営者は、投稿者に対して日本国内外において無償で非独占的に複製、
公衆送信、頒布及び翻訳する権利を投稿者に許諾します。
また、投稿者は掲示板運営者が指定する第三者に対して、
一切の権利（第三者に対して再許諾する権利を含みます）を許諾しないことを承諾します。
・投稿者は、掲示板運営者あるいはその指定する者に対して、
著作者人格権を一切行使しないことを承諾します。

88 ：

>>86
　(a,b,c) = (1,1,c) とし、cを (0,1] で連続的に変化させてみる。

比の値がr (1≦r<2) となるのは c=r-√{(r-1)(r+2)} のとき。

89 ：

f(a,b,c)＝(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca)は領域a>0,b>0,c>0 において連続である。
を証明すればいいんだけど、。。。
とちゅうでギャップが無いという保証がいる。
あたりまえであるようであまり意識しないもんだね。　一応多変数だからね

90 ：

>>88
わかりました。　ありがとうございます。

91 ：

>>87
何が言いたい？

92 ：

変なのがいろいろ湧きだしたな
無能は黙ってＲＯＭってろ！

93 ：

>>88-89
　r = (1+1+c^2)/(1+c+c) = 1 + (3/4){(1+2c)/3 + 3/(1+2c) - 2}
どう見ても連続････

94 ：

79+88　で満点というわけか？
平均点はいくらぐらいなの？

95 ：

79+88のように優雅ではないが、力ごなしにやると
Let define f(a,b,c)＝(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca)
let define ff(a,b,t)=f(a,b,(a^2+b^2-2 ab cos(t))^(1/2))
let define fff(s,t)=ff(1,s,t) for 0<t<Pi, 1>= s >=0:from symmetry
and d(fff(s,t)z)/ds=(s-1){ ..positive...}==>monotone decreasing for s in [0,1] (for every t)
so
fff[1,t]={2+2-2cos(t)}/{1+2(2-2cos(t))^(1/2)}=(2+u^2)/(1+2u) here u=(2-2cos(t))^(1/2)
g[u]=(2+u^2)/(1+2u) for 0<u<4
Easily we get 2=g[4]=g[0]>g[u]>=g[1]=1
And fff[0,t]=2
The answer is [1,2]

96 ：

[1, 2)

97 ：

>>88-89
　r = (1+1+c^2)/(1+c+c) = 1 + (1-c)^2 /(1+2c),
でも同じだが･････

98 ：

>>81　2011年度 東工大特別入試
って普通の入試と違うの？

99 ：

>>98
よう知らんが、センター試験より前に試験があったようだ

100read 1read

1read 100read

TOP カテ一覧 スレ一覧 2ch元 削除依頼 ▲

複素幾何学★２ (211)
６＋２はなに？ (251)
【肉棒】を積分して求積しようぜ？！【】 (284)
代数学・幾何学・解析学スレッド (626)
アジアはなぜ四則演算さえなかったのか？・・２ (789)
【グラフ理論】離散数学／情報数学 2【組合せ論】 (582)
--log9.info------------------
□□□　小沢健二　88　□□□ (963)
ものまね歌手青木隆治を語ろう　part3 (216)
【12.23】河村隆一vol.39【無料ライブ再び】 (849)
【GARNET CROW】岡本仁志 part.6【SUPER LIGHT】 (336)
【DETROX】今村栄喜16【ｶﾚﾝﾀﾞｰは12枚】 (252)
【極東の】佐野元春 #56【島国】 (596)
★★　吉田拓郎〜よしだたくろう　vol24 ★★ (660)
【Rock'n'Roll Pianoman】伊東ミキオ part1 (354)
森山直太朗 Part65 (453)
★☆★HARRY part10★☆★ (902)
宇都宮隆　15 (860)
ユニコーンの手島いさむを語れ!! part3 (661)
角松 敏生 パート2 (772)
井上陽水 Part31 (783)
●●●INORANその51●●● (622)
SION 6匹目 (625)
--log55.com------------------
【GC】炎の十番勝負　参加者スレ★２【春秋統一】
ウイニング競馬
【コリフ】悪徳ブログメルマガ２【キムラ】
【子孫】エアグルーヴの子孫たち12【曾孫玄孫】
『ガラ釈迦☆酒・馬・豚カツ』
【キショイ初老】半笑い129【ほんとそれだな】
伝説の馬券&ガラケー
【森伊蔵】菅野一郎94【こんな酒飲ませて貰ってる】