数学の質問スレ【大学受験板】part103

1 ：

質問をする際の注意
★★★必ず最後まで読んでください★★★
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
　マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
　マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
　履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
　(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように(　)を使って書く。
　(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
　慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
　解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
　質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
http://mathmathmath.dotera.net/
２ちゃんが落ちた時や、規制されてる人はこちらで
http://jbbs.livedoor.jp/school/21000/（避難板）
前スレ
数学の質問スレ【大学受験板】part102
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1323878100/

2 ：

基本的な記号の使い方は以下を参照してください。その他については>>1のサイトで｡
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
　a+b　→　a 足す b　　　（足し算)　　　　　a-b　→　a 引く b 　　　（引き算)
　a*b　→　a 掛ける b　　（掛け算) 　　　　a/b　→　a 割る b　　 　（割り算)
■ 累乗　^
　a^b 　　　　a の b乗
　a^(b+1)　　a の b+1乗
　a^b + 1　　（a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
　a/(b + c)　と a/b + c
　a/(b*c)　　と a/b*c
　はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
　a[n] or a_(n) 　　　　→ 数列aの第n項目
　a[n+1] = a[n] + 3 　→ 等差数列の一例
　Σ[k=1,n]a_(k)　　 　 → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」などで変換せよ（環境によって異なる）．）
　∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
　∫[0,x] sin(t) dt
■ 三角関数
　(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
　cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
　AB↑　a↑
　ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
　（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
　（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
　（行（または列ごと）に表示する．　例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
　P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk

3 ：

主な公式と記載例
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b　[a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a　　[２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R　[正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A)　　　　　 [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b)　　[加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a))　　[底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h　　[微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2)　[和差積商の微分]

4 ：

>>1 乙です
予備校等のサイトで大学入試問題が公開されていることも多いです
質問する前によく調べてみましょう
関数表示ソフト　こういうものも活用してみるのも面白いでしょう
GRAPES
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/
FunctionView
http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/

5 ：

お願いします。
次の方程式の解を求めよ
4x^2-12x-7=0
回答を見たところ、
(2x-7)(2x+1)=0
よってx=-1/2,7/2
としか載っていませんでした
これはどのような公式、解法を当てはめると(2x-7)(2x+1)=0
という式が出てくるのでしょうか。
教えてください。

6 ：

たすきがけ　の因数分解
高校生ならできなきゃ困る
できなければ解の公式使えばよい

7 ：

>>5
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328190813/451
にたすきがけによらない因数分解の方法が紹介されている
たすきがけが苦手なら参考にするとよいだろう

8 ：

一応答えは出たのですが、自信がないのでお願いします。
次の設問に答えよ。
f(x)=(25^x-1)/(5^(x+1))-x-L (ただし、Lは定数)とする。f(2010)=22のとき、f(-2010)を求めよ。
f(-x)=(25^(-x)-1)/(5^(1-x))+x-L
これを式変形すると
f(-x)=-f(x)-2L
よって、-22-2L
としたんですが、Lを残していいのでしょうか？
教えてください。

9 ：

f(2010)=22の条件からLは定まるから残しちゃダメでしょ

10 ：

>>9
やはりそうですか・・・
では、どのように解けばいいのですか？

11 ：

>>8
f(x)=5^(x-1)-5^(-x-1)-x-L
f(2010)=5^2009-5^-2011-2010-L=22
L=5^2009-5^-2011-2010-22
f(-2010)=5^-2011-5^2009+2010-5^2009+5^-2011+2010+22=2(5^-2011-5^2009+2021)

12 ：

円に内接する十二角形の対角線を全て引いたところ、どの3本も1点で交わらなかった。このとき対角線の交点は{ a }個ある
という問題なのですが、この問題にちゃんとした公式などはあるのでしょうか？
よろしくお願いします。

13 ：

>>12
頂点4つと交わる対角線1組が1対1に対応するので12C4=495点

14 ：

>>13
なるほど。どの3本も1点で交わらなかったのが鍵でCを使うのですね。
ありがとうございます

15 ：

指針だけ教えてください
数列[an]（≧1）は1以上のすべての整数m,nに対して次の関係式を満たすとする
(n＋2ｍ)a[n]−(m＋2n)a[m]＋（m−n）a[n+m]
(1)a1=0 a2=6　このときの一般項an
(2)a1=1 a2=2　同上
nの値をを代入して2本の式から計算ですかね

16 ：

>>15
>(n＋2ｍ)a[n]−(m＋2n)a[m]＋（m−n）a[n+m]

17 ：

>>15
m=1
(n+2)a[n]-(2n+1)a[1]+(1-n)a[n+1]=0
a[1]=0
a[n+1]=(n+2)/(n-1)a[n]
a[n]=(n+1)/(n-2)a[n-1]=(n+1)n(n-1)/(3・2・1)a[2]=(n+1)n(n-1)
(n+2m)(n+1)n(n-1)-(m+2n)(m+1)m(m-1)+(m-n)(n+m+1)(n+m)(n+m-1)=0
a[1]=1
(n-1)a[n+1]=(n+2)a[n]-(2n+1)
(n-1)(a[n+1]-(n+1))=(n+2)(a[n]-n)
a[n]-n=(n+1)n(n-1)/(3・2・1)(a[2]-2)=0
a[n]=n
(n+2m)n-(m+2n)m+(m-n)(m+n)=0
(a[1],a[2])=(a[2]/6-a[1]/3)(0,6)+a[1](1,2)
a[n]=(a[2]/6-a[1]/3)(n+1)n(n-1)+a[1]n=((n+1)n(n-1)/6)a[2]-((n+2)n(n-2)/3)a[1]

18 ：

>>17
m=1
(n+2)a[n]-(2n+1)a[1]+(1-n)a[n+1]=0
(n+2)(a[n]-na[1])=(n-1)(a[n+1]-(n+1)a[1])
a[n]-na[1]=(n+1)/(n-2)(a[n-1]-(n-1)a[1])=(n+1)n(n-1)/(3・2・1)(a[2]-2a[1])
a[n]=na[1]+(n+1)n(n-1)/(3・2・1)(a[2]-2a[1])=((n+1)n(n-1)/6)a[2]-((n+2)n(n-2)/3)a[1]
(n+2m)(((n+1)n(n-1)/6)a[2]-((n+2)n(n-2)/3)a[1])-(m+2n)(((m+1)m(m-1)/6)a[2]-((m+2)m(m-2)/3)a[1])+(m-n)(((n+m+1)(n+m)(n+m-1)/6)a[2]-((n+m+2)(n+m)(n+m-2)/3)a[1])=0

19 ：

mとnがゲシュタルト崩壊起こしたｗ

20 ：

>>17
ありがとうございます
やってみます

21 ：

新数学スタンダード演習が4月に改訂するみたいだけど、待つべきか今買うべきかどうおもいますか？

22 ：

問い　p[n]を求めよ
p[n+1]=(1/2)p[n]+(1/2)r[n]　�@
q[n+1]=(1/2)q[n]+(1/2)p[n]　�A
r[n+1]=(1/2)r[n]+(1/2)q[n]　�B
p[1]=1,q[1]=0,r[1]=0
p[n]+q[n]+r[n]=1
変形がうまくいきません

23 ：

>>22
{1/2,0,1/2}
{1/2,1/2,0}
{0,1/2,1/2}を対角化して求めます
p[n+1]+q[n+1]+r[n+1]=p[n]+q[n]+r[n]ですので最後の条件は自明です
固有値は1,λ=(1+ω)/2,~λ=(1+ω^2)/2
固有ベクトルは(1,1,1),(1,ω,ω^2),(1,ω^2,ω) (ω=(-1+i√3)/2, ω^3=1)
よって
s[n+1]=p[n+1]+q[n+1]+r[n+1]=p[n]+q[n]+r[n]=s[n]=s[1]=1
t[n+1]=p[n+1]+ωq[n+1]+ω^2r[n+1]=λ(p[n]+ωq[n]+ω^2r[n])=((1+ω)/2)t[n]=λ^nt[1]=λ^n
u[n+1]=p[n+1]+ω^2q[n+1]+ωr[n+1]=~λ(p[n]+ω^2q[n]+ωr[n])=~λu[n]=~λ^nu[1]=~λ^n
p[n+1]=(1+λ^n+~λ^n)/3
q[n+1]=(1+ω^2λ^n+ω~λ^n)/3
r[n+1]=(1+ωλ^n+ω^2~λ^n)/3

24 ：

>>23
やっぱそんなんなるのかあ。
4項間漸化式から3項間にするところまでは出来たけど、
そのあとは虚数が出てきちゃってわけがわからんかった。

25 ：

>>24
(1,0,0)
(1/2,1/2,0)
(1/4,2/4,1/4)
(2/8,3/8,3/8)
(5/16,5/16,6/16)
(11/32,10/32,11/32)
(22/64,21/64,21/64)=(1,0,0)/64+(1,1,1)(21/64)
(p[6m+k],q[6m+k],r[6m+k])=(p[k],q[k],r[k])/64^m+(1,1,1)(21/63)(1-(1/64)^m)

26 ：

>>25
(P[n],Q[n],R[n])=2^n(p[n],q[n],r[n])
(2,0,0)
(2,2,0)
(2,4,2)
(4,6,6)
(10,10,12)
(22,20,22)
n=6m+k (k=1,2,3,4,5,6)
(p[n],q[n],r[n])=(P[k],Q[k],R[k])/2^n+(1,1,1)(21/63)(1-2^k/2^n)

27 ：

>>23
(2λ)^2=ω,(2λ)^3=-1,(2λ)^4=ω^2,(2λ)^5=2(~λ),(2λ)^6=1

28 ：

AとBの逆行列が存在したら、
(A^n×B)の逆行列も必ず存在するんでしょうか？
簡単な証明方法はありますか？

29 ：

>>28
左からB^(-1){A^(-1)}^n かける

30 ：

(1)駿台の3C基礎問題演習
駿台3C実践演習
(2)標問
ハイ選
ハイ理につなげるにはどっちがいいですか？
ちなみに新高2です

31 ：

前スレ>979,>1000お願いします。

32 ：

日本語を殆ど書かず連投。
しかも範囲外の解法あり。
ーは他所でどうぞ。

33 ：

簡単な問題かもしれませんがなっとくいかず
親A　＝| ブラック | ＝　子A
親B　＝| ボックス | ＝　子B
※＝は紐
4本の紐がブラックボックスを通じて繋がっている
親A　子A　親B 子Bの順で紐を選び
同一の家族が少なくとも1本は同じ紐を握る確率を求めよ
自分は
親A・子Aが紐を選ぶ確立　　1/4 (親は4通り　子はその中で1通りのみ）
親B・子Bが紐を選ぶ確立　　1/3（親は3通り　子はその中で1通りのみ）
家族A　○　×　○
家族B　×　○　○
というバリエーションを考えて
1/4+1/3+1/4*1/3 = 6/12 = 1/2　としたら間違っていた
解法をおしえてくだしあ

34 ：

答えは5/6？

35 ：

いえ、違います

36 ：

>>33
ひもは２本でそれぞれの両端がブラックボックスから出ているという設定？
同一の家族が少なくとも１本は同じひもを握るとはAもしくはBの家族が同じひもを握るという意味ですね？この場合AもしくはBの一方が同じひもを握ればもう一方も同じひもを握ることになりますね？
親Aがどの３人とつながるかは同様に確からしいので確率は1/3です

37 ：

>>36
途中がよくわからなかったのですが
答えは間違っています。
親A（もしくは親B）の一方が紐を選んで、　子A(もしくは子B）が　親A（もしくは親B）の
紐を選ぶという問題です。

38 ：

>>33
親子Aが紐を結ぶ確率をP(A)=1/4
親子Bが紐を結ぶ確率をP(B)=1/4
両方とも紐を結ぶ確率をP(A∩B)=1/12
とすると求める確率は
　P(A)+P(B)-P(A∩B)=(3+3-1)/12=5/12
でしょうか？

39 ：

問題設定がよくわからんが俺も背理法で>>38と一緒の答えになった

40 ：

>>38
正解です。
親子Aが紐を選ぶのに、親子Bの確率が1/4　になるのはなぜでしょうか？
先に選ぶと、親Bは3通りからしか紐は選べないはず

41 ：

P(B)=5/9
Aが結んでるときは1/3
Aが結んでない時は 2/3 * 1/3
この和がP(B)
でだれか計算して

42 ：

>>40
いえ，Bのことは考えません。
ですから後で引いています(ベン図を考えてください)。
>>33 の○×の図はいいのですが，1/4+1/3と確率が違うということは
親子Bの方が引きが強い(運がいい)ことになって変だと気付いてください。

43 ：

>>40
ごめんみす
P(B)=1/4
Aが結んでるときは 1/4 * 1/3
Aが結んでない時は 3/4 * 2/3 * 1/3
この和がP(B)

44 ：

>>37
ブラックボックスの中はどうなっているのでしょうか？
例えば親A子Aが同じひもを選んでいるが親B子Bは同じひもを選ばないということがあり得るのですか？

45 ：

>>42
なるほど、たしかにベンズで引くことになりますね
だから1/4で良いのですか。
ただ、
> 1/4+1/3と確率が違うということは
> 親子Bの方が引きが強い(運がいい)ことになって変だと気付いてください。
ここがイメージできず。互いに独立（無縁）な確率なので足せると判断したのですが違うのでしょうか
>>44
ブラックボックスはまさしくブラックボックスで中身が入り組んで、子の側に出ていると考えてください。
親子Aが同じ紐を選んでいるが、親Bと子Bは同じ上から二本目のものを選んでも、別の紐の場合もあります

46 ：

>>45
そこは僕の書き方が悪かったです。
　(親子A，親子B)が(○，×)の確率が1/4
　(親子A，親子B)が(×，○)の確率が1/3
なので異なるのはおかしいということです。
(足すこと自体は問題ないです)

47 ：

>>33
＝とはひも２本ということですかそもそもそれを誤解していました
親側の４本のひもの反対側が子側の４本のひもとして出ている訳ですね
そして親も子も２本のひものどちらかを選択するということですね
ひもの配置パターンは4!=24
そのうちA親子がつながるのが3!=6
B親子がつながるのが3!=6
両親子がつながるのが2!=2
(6+6-2)/24=5/12

48 ：

>>45
>ブラックボックスはまさしくブラックボックスで中身が入り組んで、子の側に出ていると考えてください。
最初＝をひも１本と解釈しさらに親同士がつながることがあるのかと誤解しました

49 ：

>>46-48
なるほど、よくわかりました
考え方自体には間違いはなくて、過程で間違ってしまったわけですね。

50 ：

>>30
用途が違う問題集だからなんとも言えない
ただ、1A2Bは基礎をしっかり掴んでおけば、後は組み合わせ方の問題でなんとかなるタイプが多いけど
3Cは知ってないと辛いけど、知ってさえいれば楽勝だが、処理速度が問われるって問題は多い。
どちらが苦手かは人によると思います。ちなみに勉強してないけど数学はまぁまぁ得意って奴は3Cは弱い傾向にあります。

51 ：

放物線y=x^2上の動点Pは点A(1,1)と点B(-1/2,1/4)との間を動く。という問題の角APBの大きさが
最小になる時のPの座標を求める問題で質問します。
解答で、AP、BPがｘ軸の正の向きとのなす角をそれぞれθ1、θ2とする。
tanθ1＝１＋ｔ
tanθ2＝t-1/2
角APB＝π-(θ1-θ2）なのでθ1-θ２が最大になる時角APBが最小になる。

とあり言っていることは分かるのですが、
tan(θ2-θ1）としてこれの最小を求めるでは何がいけないのでしょうか？
なぜ上のようにやらなければいけないのかわかりません。

52 ：

>>51
t>1/2のときθ_2は鋭角になるから、この範囲では
単純にθ_2-θ_1が∠APBになる、とは言えない。
もっとも、汎用的だけどひねくり回してわかりにくくなるより、-1/2<t<1/2と
1/2≦ｔ<1に分けて構図を考え、立式したほうが、手間はかかっても
見通しはずっといいんで、提示された解答に手放しで賛成はしないけど。

53 ：

群数列は数学的な用語じゃないから群数列とは書かずに〜
的なことを予備校でさらっと言われたんですけど、群数列を定義しないで勝手に使ったら減点ですか？

54 ：

>>51
ABの垂直二等分線はy=-2x+9/8
APの垂直二等分線はy=(2/(1-2t))x+(4t^2+5)/8
APBを通る円の中心Oのx座標(1+t)(1-2t)/8の最大はt=-1/4において取るので
求めるP(-1/4,1/16)

55 ：

>>53
採点基準決める時に面倒だから、さすがに減点はされる事はないと思うけど、解答読んでる奴はイラってくる可能性はあるだろうな。
いちいち群数列って言葉を定義するより、◯◯を群と呼ぶって程度に群の説明を書いておけば無難だけと思う。
漸化式の特性方程式だって、何も言わずにxに置き換えた方程式書いてあると、こいつ特性方程式の出自を知らずに、暗記数学で解いてるな。馬鹿発見と思われるだろう。
名前がついている定理とか定義とかは書いた方がいいけど、計算結果まとめただけの公式を、ドヤ顔で何とかの公式って書かれると見てるとイラつかせるのは事実だ。
数列だと特にこの手のイラつかせるポイントが多くて、この等比数列の和は◯◯でって書けばいい所を
この等比数列の和は和の公式より、とか書くと同じ事してるのにムカつくのは事実ある。
ax+by+c=0であらわせる直線の法線ベクトルは(a,b)で、は何か許せないが。
(a.b)はax+by+c=0であらわせる直線の法線ベクトルである。なら許せるとか減点にはならないだろうけど、採点者をいらつかせる事って沢山あるぞ。

56 ：

似たようなので
　漸化式 a[n+1]=3*a[n] -4 を満たす{a[n]}を求めよ。
なんて問題で
「α=3α-4 より α=2。よって a[n+1] - 2 = 3*( a[n]-2 ) 。」 と書くやつもいらっとする。
なんだよ突然αってのは。
「与えられた漸化式は a[n+1] - 2 = 3*( a[n]-2 ) と変形できる。」といきなり書けばいいものを。

57 ：

>>55
> ax+by+c=0であらわせる直線の法線ベクトルは(a,b)で、は何か許せないが。
これは法線ベクトルは1つだけでないからだと思うのですが，
> (a.b)はax+by+c=0であらわせる直線の法線ベクトルである。なら許せるとか減点にはならないだろうけど、採点者をいらつかせる事って沢山あるぞ。
こちらはなぜですか？
座標でなくベクトルだと書けということでしょうか？
それともよく見ると(a.b)はカンマを使ってないからですか？

58 ：

高校２年生です。
１月２月に、一回ずつマーク模試を学校で受けました。
数学１・A　　７０点台　数学２・B　７０点台
数学１・Aは、確立を全く解いてない、いやあること自体忘れていて、１５点ぐらい失っています
数学２・Bは、数列が急に複雑のが出てきたので、ほかのに費やしました。
それぞれの勉強しなくては部分は把握できてます。
がしかし、８０点台に達しないのはもう一つあります。
それぞれの題の一番最後が解けないということです。
ここを解けるようになったら、自分はもっと飛躍できると思います。
アバウトすぎると思いますが、どのような対策をとっていけばいいでしょうか？

59 ：

>>58
1対1とか標問とか標準入試レベルの問題やってたらマークの最後も解けるようになる

60 ：

>>55
イラつき過ぎだろ。
採点者はおまいみたいな奴だけではない。

61 ：

ハイ理につなげたいんですがハイ選3Cとプラチカ3Cではどっちがスムーズに移行できますか？

62 ：

>>59
返事ありがとうございます。
正直、１対１は必要ですね、全力尽くして解いていきます！！
明日、保健のテストだけど、まいっかｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

63 ：

全然おもろないよ

64 ：

−２＜√（１−３a)＜４
が解けません。

65 ：

>>64
0≦1-3a<16
-5<a≦1/3

66 ：

>>65　ありがとう

67 ：

すみません。わからない問題があったので解説をお願いします。共有点があったらわかるのですが…
直線L : y=ax (a>0)と曲線C: y=e^xが共有点を持たないとする。曲線C上の点P(p,e^p)を通りx軸と平行な直線が、直線Lと交わる点をQとする。eは自然対数の底とする。
(i) 定数aのとり得る値の範囲を求めよ
(ii)点Pが曲線C上を動くとき、線分PQの長さを最小値aで表せ。

68 ：

>>67
(i)原点を通る直線がy=e^xに接するための条件をまず考える。あとはグラフから図形的に考える。
　論証上、y=e^xが下に凸であることを言っといたほうがいいかも。
(ii)は文意がちょっとわからない。aは設定をみたす範囲で、与えられた定数とすれば
「最小値a」ってどういうことだろう。「線分PQの長さの最小値をaで表せ」ではないのかなぁ。

69 ：

>>68
(ii)はおっしゃる通り「線分PQの長さの最小値をaで表せ」です。
こちらの書き込みミスでした。
よろしくお願いします。

70 ：

>>69
Qのx座標はe^p=axからe^p/aで、PQ=|e^p/a-p|
あとはf(p)=e^p/a-pの増減表考えるかな

71 ：

>>67
ax=e^x
a=(e^x)/x
a'=(e^x)/x-(e^x)/x^2=0
x=1
x<0 a'<0 lim[x→-∞]a=0 lim[x→-0]a=-∞
0<x<1 a'<0 lim[x→0]a=+∞
x=1 a=e
1<x a'>0
a<0 e≦a
0≦a<e
PQ=e^p/a-p
PQ'=e^p/a-1=0
p=loga
PQ''=e^p/a=1>0
PQ=1-loga

72 ：

a[n]を、nを素因数分解したときに現れる2の個数だとする。
a[(2n)!]-a[n!]=nらしいのですが証明方法がわかりません。
p,qを互いに素な自然数として、p^n×n!=q^nであり、
Nをある自然数として、
n!=Nq^nと書けるのはなぜでしょう？
これらからp^n×Nq^n=q^nが分かるみたいですが。

73 ：

>>68 >>70 >>71様
夜遅くにご教授ありがとうございました。
導き方がわかり大変参考になりました！

74 ：

>>68
(e^p)'=e^p=a
p=loga
(e^p)''=e^p>0
PQ=1-loga

75 ：

>>72
(2n)!=n!・(2n)!/n!
a[(2n)!]=a[n!]+a[(2n)!/n!]
n=1
2!/1!=2=2^1 a[2!/1!]=1
a[(2n)!/n!]=n
(2n)!/n!=(2^n)(2k+1)
(2n+2)!/(n+1)!=2(2n+1)((2^n)/n!)=2^(n+1)(2n+1)(2k+1)=2^(n+1)(2(2nk+n+k)+1)
a[(2n+2)!/(n+1)!]=n+1

76 ：

>>72
(2n)!/n!=((2n)(2n-2)…2)((2n-1)(2n-3)…1)/n!=2^n(2n-1)(2n-3)…1
a[(2n)!/n!]=n

77 ：

一辺の長さａの立方体ABCDーEFGHがある。AF、BG、CH、DE上をABCDからそれぞれ同じ速さで動く点PQRSがある四角形PQRSが通過する体積を求めよ。
2010年の学芸大学の第三問です。
ＡＰ＝Ｘとおく
ＰからＡＢに下ろした垂線とＡＢの交点をＰ´とする
ＱＲＳも同様
ＡＰ＝Ｘより
ＡＰ´＝Ｘ／√２
よって三平方の定理より
(Ｐ´Ｂ)^2＋(ＢＱ´)^2＝
(Ｐ´Ｑ´)^2である
よって
(Ｐ´Ｑ´)^2＝
ａ^2−（√２）ａＸ＋Ｘ^2
よって求める体積は
∫0→√２（Ｐ´Ｑ´)^2dx


ってやりましたが違いました。どこが間違ってるか教えて下さい。
何度やっても(２√２)ａ^3/３になります。
答えは２ａ^3/３です。

78 ：

>>77
断面積の四角形はAEに垂直な面で考えてるけど、
断面積に対して45°傾いたAFを軸に積分しているから合わないんじゃないかな

79 ：

不等式　２ｘ＋１≦３
　　a≦ｘ≦１
このaの求め方ってどうやるの？

80 ：

>>79
>>1
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
　解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
　質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。

81 ：

−∞

82 ：

>>78
でもＸの動く範囲はどこをＸとおくかでイロイロだと思うしＰＱはしっかりＸで表せてるからいいのでは？と思ってます。

83 ：

>>77
PQRSの存在する平面とAとの距離をtとすると
PQRS=t^2+(a-t)^2
V=∫[0,a]PQRSdt=(2/3)a^3

84 ：

>>82
良くない
体積におけるdxは微少な厚みであって、
厚みが断面積に対して垂直じゃないまま増していっても、
元の立体の体積を正確には出せないだろ

85 ：

>>82
＞ＰＱはしっかりＸで表せてるからいい
って何が？？？
ABCDに平行な平面で切られた薄い板の体積を足し集めることを考えたとき、
板の厚みは�凅/√2なのに�凅としてるから合わない。
つうかxなど持ち出さずに時間か高さで積分すりゃ間違いようがない。

86 ：

>>85
>時間で積分
何じゃそりゃ

87 ：

>>86
体積を時間の関数で表せたらあとは時間で積分したら良い

88 ：

x〜wは自然数
x^5+y^5=z^5+w^5　を満たす自然数の組(x,y,z,w)は存在しない事を示せ。
お願いします

89 ：

>>86
時点ｔにおけるPQRSの面積をｔで積分
>>88
x=y=z=w

90 ：

あ、申し訳ない。異なる自然数です。

91 ：

O-ABCDの四角錐において
OA=OB=OC=OD=AB=7,
BC=2, DA=CD=5の時
(1)四角形ABCDが円に内接することを証明せよ
(2)体積を求めよ

92 ：

>>91
(1)明らか。
(2)V＝3

93 ：

e^logχ＝χ
となるのはなぜですか？

94 ：

>>93
そういう定義。

95 ：

>>93 底や真数はそれぞれの条件を満たすとして、
a^ｙ=xとなるyをlog[a](x)と書く、というのが対数の定義なのだから、
a^(log[a]x)=a^y=xはこの定義より明らか。底aは対数の底をみたす
任意の実数でこの関係は成立するんだから、当然eでもおけ。

96 ：

↑日本語がちょっと変だった。「底aは…」を
「aが対数の底としての条件を満たすなら、どんな実数でも、この関係は…」に修正。

97 ：

ありがとうございます！

98 ：

>>92
違います

99 ：

>>91
題意の四角錐が存在するのであれば
OA=OB=OC=ODよりABCDの４点はOを中心とする球面上の点
また四角錐の底面の頂点であるから同一平面上の点でもある
よって球面と平面の交線である円に内接する
半径Rの円に内接するAB=7, BC=2, DA=CD=5の四角形を描くと
∠ABC(=θ)+∠ADC=πおよび余弦定理より
AC^2=53-28cosθ=50-50cos(π-θ)=50+50cosθ
cosθ=3/78
AC=45/√39
sinθ=(15/26)√3
正弦定理よりR=√13<7であるので題意の四角錐は存在し
その高さh=√(7^2-R^2)=6
底面積S=△ABC+△ADC=(1/2)AB・BCsinθ+(1/2)AD・CDsin(π-θ)=(1/2)(14+25)(15/26)√3=(45/4)√3より
体積V=(1/3)Sh=(45/2)√3

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