Disquisitiones Arithmeticaeを読むスレ

1 ：

やっちまった・・・orz

2 ：

１．
整数ａが整数ｂとｃの差を割り切るとき、ｂとｃはａに関して合同であるといい、
そうでないとき、ｂとｃは非合同であるという。ａをｍｏｄｕｌｕｓという。
前者の場合、整数ｂ、ｃの一方は他方の剰余であるといい、
後者の場合、非剰余であるという。
誰が何で、modulusに「法」なんて訳語を当てたんだろ？

3 ：

２．
ａの、モジュラスｍに関する全ての剰余は式ａ＋ｋｍに含まれる。
ｋは不定な整数を表す。
ｂとｃがモジュラスａに従って合同であることを、記号≡を用いて、
ｂ≡ｃ　（ｍｏｄ．ａ）で表す。
そういやガウスの時代にはまだ集合概念がなかったんですねー

4 ：

この時代は内包を表す述語の概念しか無い。

5 ：

1,2,3はあっても、{1,2,3}はなかったんだよな。

6 ：

３．
定理．ｍ個の連続する整数ａ、ａ＋１・・・ａ＋ｍ−１と別の整数Ａをとると、
それらのどれかはモジュラスｍについてこれに合同であり、それはただ一つである。

7 ：

集合概念をもたなくても、ａ＋ｋｍみたいな書き方をするあたり、
剰余類の概念は感覚的に掴んでいたんですかねー

8 ：

さすがに何言ってるのかわかりづらいｗ
言い直し。
３．
定理．ｍ個の連続する整数ａ、ａ＋１・・・ａ＋ｍ−１と別の整数Ａをとると、
ｍ個の整数のいずれかはモジュラスｍに関してAと合同であり、それはただ一つである。

9 ：

ＤＡの３．の証明の書き方は
　　自然数の空でない部分集合は最小限をもつ　　・・・（☆）
ってことを意識してるっぽいよね。違う書き様もあるのに。俺たちにできないことを（ｒｙ
（☆）は数学的帰納法の原理と同等。（杉浦の解析入門I）

10 ：

整数に関する定理の証明でいきなり分数を使うのもなんだし、書き方もちょっと
今風にして３．の証明のスケッチ
ａ−Aがｍで割り切れず、かつa−A＞０のとき
集合｛ｍｋ｜ｋは自然数、ｍｋ＞ａ−Ａ｝は自然数の空でない部分集合だから
最小元ｋ０をもつ。このことから定理は従う。

11 ：

>>9
誤字
最小限−＞最小元

12 ：

４．
任意の整数は数列０、１、・・・、ｍ−１あるいは０、−１、・・・、−（ｍ−１）の中に
剰余をもつ。それを最小剰余とよぶ。
０が剰余になるのでなければ、つねに２つの最小剰余が与えられる。それらのうち
一方は正で、他方は負である。
任意の整数は、絶対値がモジュラスの半分を超えない最小剰余をもつ。すなわち、
任意の整数ａに対して整数ｂが存在して、ａ≡ｂ　（ｍｏｄ．ｍ）かつ｜ｂ｜≦ｍ／２。
これを絶対最小剰余とよぶ。

13 ：

５．
ａ≡ｂ　（ｍｏｄ．ｍｎ）ならばａ≡ｂ　（ｍｏｄ．ｍ）
ａ≡ｂ　（ｍｏｄ．ｍ）　かつ　ｂ≡ｃ　（ｍｏｄ．ｍ）　ならば　ａ≡ｃ　（ｍｏｄ．ｍ）

14 ：

６．
A≡a　（ｍｏｄ．ｍ）　かつ　B≡ｂ　（ｍｏｄ．ｍ）　ならば　A＋B≡a＋ｂ　（ｍｏｄ．ｍ）
A≡a　（ｍｏｄ．ｍ）　かつ　B≡ｂ　（ｍｏｄ．ｍ）　ならば　A−B≡a−ｂ　（ｍｏｄ．ｍ）

15 ：

７．
A≡a　（ｍｏｄ．ｍ）　ならば　ｋA≡ｋa　（ｍｏｄ．ｍ）
A≡a　（ｍｏｄ．ｍ）　かつ　B≡ｂ　（ｍｏｄ．ｍ）　ならば　AB≡aｂ　（ｍｏｄ．ｍ）

16 ：

８．
ｋを正の整数とする。
A≡a　（ｍｏｄ．ｍ）　ならば　A＾ｋ≡a＾ｋ　（ｍｏｄ．ｍ）　

17 ：

ｆ（ｘ）を整係数多項式とする。
A≡a　（ｍｏｄ．ｍ）　ならば　ｆ（A）≡ｆ（a）　（ｍｏｄ．ｍ））

18 ：

>>17は９．
１０．
整係数多項式ｆ（ｘ）に整数を代入していくと、ｍ項からなる数列が
反復して繰り返される。これをｍ項周期という。

19 ：

１０．
整係数多項式ｆ（ｘ）に整数を代入して最小剰余に還元していくと、
ｍ項からなる数列が反復して繰り返される。これをｍ項周期という。
ｆ（ｘ）＝ｘ＾３−８ｘ＋６、ｍ＝５とすると、正の最小剰余は
１，４，３，４，３が無限に繰り返される。
１１．
ｆ（ｘ）≡０　（ｍｏｄ．５）、ｆ（ｘ）≡２　（ｍｏｄ．５）にはなり得ないので
ｆ（ｘ）＝０、ｆ（ｘ）＝２は整数解をもたない。従って有理数解ももたない。

20 ：

このあたりは初頭整数論でよく知られている。
どうせ途中でやめるなら２次形式のとこからやれ

21 ：

初頭整数論　→　初等整数論

22 ：

>>20
やだ

23 ：

頭の体操なら数オリ問題の方が上

24 ：

>>20
言うことはわかるけどね。記号とか多少違うし最初からやろうや。
次に素因数分解の一意性の証明が出てくるけど、ユークリッドの
互除法を使うやり方とはちょっと趣が違ってまあ結構面白いぜｗ
誰がどのようにやっても構わんが、とりあえず順番にやっていくという
ルールでやらんか？

25 ：

>>23
なるほど、二流だ。的が外れてやがる。

26 ：

一流はこんな掃き溜めに読者を求めないw

27 ：

25はアカギ

28 ：

俺は数学科の学生ではないので、クマーほどの見識もないし、
間違いは多々あるとおもうｗ

29 ：

>>24
ほんとに言ってること分かってるのか？
４章までの内容はそこらに腐るほどある初等整数論の本に大体書かれてる。
この本の肝は２次形式論なんだよ
しかもその内容は現代でも扱ってる本は非常に少ない。
これをやらないとこの本を読む意味はほとんどない
初めからやるとそこまでいかないで挫折するだろ

30 ：

やれやれｗまあせっかくプロい人も来られているようなので５章から始めますか。
正直、種の理論は自分の手には余るかもしれませんがｗ
ところで、>>22は俺ではない。だから最初からやる方がいいって人もいるんでしょう。
折に触れて１０．の続きも入れていきます。てか、別の方がやってくれもいいですよｗ

31 ：

>>2
訳語でなく和算あたりの用語なのでは？
小さい頃そろばん習ってたときに実とか法とか商とか言ってた気がする。

32 ：

なるほど、和算ですか。
モジュラスは別のとこでも使われるから、その方がかぶらなくてよいのかも。

33 ：

１５３．
二次形式ａｘ＾２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ＾２を（ａ，ｂ，ｃ）で表す。
（ａ，ｂ，ｃ）と（ｃ，ｂ，ａ）は相異なるものとして区別する。

34 ：

１５４．
定理
二次形式（ａ，ｂ，ｃ）と整数Ｍに対して、互いに素な整数ｍ、ｎが存在して、
Ｍ＝ａｍ＾２＋２ｂｍｎ＋ｃｎ＾２となるとき、ｂ＾２−ａｃはＭの平方剰余である。
※ａがｍの平方剰余であるとは、ｘ＾２≡ａ　（ｍｏｄ．ｍ）が解を持つことをいう。

35 ：

１５４．の証明
ｍ、ｎは互いに素なのでμｍ−νｎ＝１となる整数μ、νがとれる。
行列Ｘ＝［ｍ，ｎ；ν，μ］とA＝［a，ｂ：ｃ，ｄ］について
ＸA（ｔＸ）の成分を計算して両辺の行列式をとる。ここでｔＸはＸの
転倒行列を表す。これをｍｏｄ．Mに還元して
ｂ＾２−ａｃ≡（μ（ｂｍ＋ｃｎ）＋ν（ａｍ＋ｂｎ））＾２　（ｍｏｄ．Ｍ）
を得る。

36 ：

二次形式（ａ，ｂ，ｃ）と整数Ｍに対して、整数ｍ、ｎが存在して、
Ｍ＝ａｍ＾２＋２ｂｍｎ＋ｃｎ＾２となるとき、
Ｍは二次形式（ａ，ｂ，ｃ）によって表現されるという。

37 ：

１５５．
１５４．の定理よりｖ＝μ（ｂｍ＋ｃｎ）＋ν（ａｍ＋ｂｎ）は
ｘ＾２≡ｂ＾２−ａｃ　（ｍｏｄ．Ｍ）の解のである。
vの値は、ｍｏｄ．Ｍに関して（μ，ν）の取り方に依らず
一意に定まることを示そう。

38 ：

ｍｘ−ｎｙ＝１の解を（μ，ν）、（μ’，ν’）とすると、
（μ’，ν’）＝（μ，ν）＋ｋ（ｎ，ｍ）　（ｋは整数）
また、ｖ’＝μ’（ｂｍ＋ｃｎ）＋ν’（ａｍ＋ｂｎ）とおく。
μ（ｂｍ＋ｃｎ）＋ν（ａｍ＋ｂｎ）＝（ｍ，ｎ）（ａ，ｂ；ｃ，ｄ）（ｔ（ν，μ））
に注意して、ｖ’＝ｖ＋ｋＭ≡ｖ　（ｍｏｄ．Ｍ）を得る。

39 ：

逆に、ｖ’≡ｖ　（ｍｏｄ．Ｍ）となるｖ’が与えられれば、
ｋ＝（ｖ’−ｖ）／Ｍとしてμ’，ν’が定まる。

40 ：

以下、二次形式の判別式は≠０とする。
１５７．
二次形式Ｆの表現行列を（ａ，ｂ；ｃ，ｄ）、
二次形式Ｆ’の表現行列を（ａ’，ｂ’；ｃ’，ｄ’）とする。
整数α、β、γ、δが存在して、
（ａ’，ｂ’；ｃ’，ｄ’）＝ｔ（α，β，γ，δ）（ａ，ｂ；ｃ，ｄ）（α，β，γ，δ）
となるとき、ＦはＦ’を含むという。Ｆ≧Ｆ’と書くことにする。
Ｆ≧Ｆ’かつＦ’≧Ｆのとき、ＦとＦ’は同等であるという。Ｆ〜Ｆ’と書くことにする。

41 ：

Ｆ≧Ｆ’のときｂ’＾２−a’ｃ’＝（αδ−βγ）＾２（ｂ＾２−aｃ）
よって、Ｆ〜Ｆ’⇒ｂ’＾２−a’ｃ’＝ｂ＾２−aｃ⇔（αδ−βγ）＾２＝１
同等であるために判別式が等しいことは必要であるが、
十分であるとは限らない。

42 ：

αδ−βγ＞０のとき、（α，β；γ，δ）を固有変換と呼び、
またＦ’はＦに固有に含まれるということにする。
αδ−βγ＜０のとき、（α，β；γ，δ）を非固有変換と呼び、
またＦ’はＦに非固有に含まれるということにする。

43 ：

（α，β；γ，δ）と（α’，β’；γ’，δ’）が同種であるとは
（αδ−βγ）（α’δ’−β’γ’）＞０であるときをいう。
（α，β；γ，δ）と（α’，β’；γ’，δ’）が異種であるとは
（αδ−βγ）（α’δ’−β’γ’）＜０であるときをいう。

44 ：

１５８．
二次形式ＦとＦ’が同等であるとする。
Ｆ’がＦに固有（非固有）に含まれるならば、ＦもＦ’に固有（非固有）に含まれる。
このとき、ＦとＦ’は固有（非固有）に同等であるということにする。

45 ：

ＦとＦ’が固有に同等であるとき、Ｆ〜Ｆ’（固）と書くことにする。
ＦとＦ’が非固有に同等であるとき、Ｆ〜Ｆ’（非）と書くことにする。

46 ：

１５９．
Ｆ≧Ｆ’かつＦ’≧Ｆ’’ならばＦ≧Ｆ’’
Ｆ〜Ｆ’かつＦ’〜Ｆ’’ならばＦ〜Ｆ’’
特に、
Ｆ〜Ｆ’（固）かつＦ’〜Ｆ’’（固）ならばＦ〜Ｆ’’（固）
Ｆ〜Ｆ’（非）かつＦ’〜Ｆ’’（非）ならばＦ〜Ｆ’’（固）
Ｆ〜Ｆ’（固）かつＦ’〜Ｆ’’（非）ならばＦ〜Ｆ’’（非）
Ｆ〜Ｆ’（非）かつＦ’〜Ｆ’’（固）ならばＦ〜Ｆ’’（非）

47 ：

（ａ，−ｂ，ｃ）〜（ａ，ｂ，ｃ）　（非）
　∵（１，０；０，−１）（ａ，−ｂ；−ｂ，ｃ）（１，０；０，−１）＝（ａ，ｂ；ｂ，ｃ）
（ｃ，ｂ，ａ）〜（ａ，ｂ，ｃ）　（非）
　∵（０，１；１，０）（ｃ，ｂ；ｂ，ａ）（０，１；１，０）＝（ａ，ｂ；ｂ，ｃ）
（ｃ，−ｂ，ａ）〜（ａ，ｂ，ｃ）　（固）
　∵（０，−１；１，０）（ｃ，−ｂ；−ｂ，ａ）（０，１；−１，０）＝（ａ，ｂ；ｂ，ｃ）

48 ：

１６２．
二次形式aｘ＾２＋２ｂｘｙ＋ｃｚ＾２は二次形式a’ｘ＾２＋２ｂ’ｘｙ＋ｃ’ｚ＾２を含むとし、
（ａ’，ｂ’；ｃ’，ｄ’）＝ｔ（α，β；γ，δ）（a，ｂ；ｃ，ｄ）（α，β；γ，δ）
α，β；γ，δは整数
とする。
（α，β；γ，δ）と同種な任意の変換を構成する。

49 ：

（ａ’，ｂ’；ｃ’，ｄ’）＝ｔ（α’，β’；γ’，δ’）（a，ｂ；ｃ，ｄ）（α’，β’；γ’，δ’）
α’，β’，γ’，δ’は整数
とすると、（αδ−βγ）＾２＝（α’δ’−β’γ’）＾２
同種なので、αδ−βγ＝α’δ’−β’γ’
（α’’，β’’；γ’’，δ’’）＝（α’，β’；γ’，δ’）（α，β；γ，δ）＾（−１）
とすると、α’’δ’’−β’’γ’’＝１
また、
（ａ，ｂ；ｃ，ｄ）＝ｔ（α’’，β’’；γ’’，δ’’）（a，ｂ；ｃ，ｄ）（α’’，β’’；γ’’，δ’’）
となるので、
（ａ，ｂ；ｃ，ｄ）（δ’’，−β’’；−γ’’，α’’）＝（α’’，γ’’；β’’，δ’’）（a，ｂ；ｃ，ｄ）
（１，１）成分を比較して、
a（α’’−δ’’）＋２ｂγ’’＝０
（１，２）成分を比較して、
aβ’’＋ｃγ’’＝０
よって、ａ、２ｂ、ｃの最大公約数をｍとすると、整数ｕが存在して、
α’’−δ’’＝２ｂｕ／ｍ、γ’’＝−ａｕ／ｍ、β’’＝ｃｕ／ｍ
こうして、ｔ＝（ｍ／２）（α’’＋δ’’）、Ｄ＝ｂ＾２−ａｃとおいて、
ｔ＾２−Ｄｕ＾２＝ｍ＾２を得る。ここで、ｔ、ｕは整数である。

50 ：

つまり、二次形式aｘ＾２＋２ｂｘｙ＋ｃｚ＾２から
二次形式a’ｘ＾２＋２ｂ’ｘｙ＋ｃ’ｚ＾２への２つの同種な変換より
不定方程式ｘ＾２−Ｄｙ＾２＝ｍ＾２の整数解を構成することができる。

51 ：

α’’＋δ’’＝２ｔ／ｍ、α’’−δ’’＝２ｂｕ／ｍより
α’’＝（ｔ＋ｂｕ）／ｍ、δ’’＝（ｔ−ｂｕ）／ｍとなるので、
α’＝（１／ｍ）｛αｔ＋（αｂ＋γｃ）ｕ｝
β’＝（１／ｍ）｛βｔ＋（βｂ＋δｃ）ｕ｝
γ’＝（１／ｍ）｛γｔ−（αａ＋γｂ）ｕ｝
δ’＝（１／ｍ）｛δｔ−（βａ＋δｂ）ｕ｝

52 ：

α’’，β’’，γ’’，δ’’は整数とは限らないのでこれではダメですねorz
後ほどやり直します＞＜

53 ：

>>48-51の訂正
１６２．
二次形式aｘ＾２＋２ｂｘｙ＋ｃｚ＾２は二次形式a’ｘ＾２＋２ｂ’ｘｙ＋ｃ’ｚ＾２を含むとし、
（ａ’，ｂ’；ｂ’，ｃ’）＝ｔ（α，β；γ，δ）（a，ｂ；ｂ，ｃ）（α，β；γ，δ）
α，β，γ，δは整数
とする。
（α，β；γ，δ）と同種な任意の変換を構成する。

54 ：

（ａ’，ｂ’；ｂ’，ｃ’）＝ｔ（α’，β’；γ’，δ’）（a，ｂ；ｂ，ｃ）（α’，β’；γ’，δ’）
α’，β’，γ’，δ’は整数
とすると、（αδ−βγ）＾２＝（α’δ’−β’γ’）＾２
同種なので、αδ−βγ＝α’δ’−β’γ’
（α’’，β’’；γ’’，δ’’）＝（α’，β’；γ’，δ’）（δ，−β；−γ，α）とすると、
α’’δ’’−β’’γ’’＝（αδ−βγ）＾２
また、（αδ−βγ）＾２（ａ，ｂ；ｃ，ｄ）
＝ｔ（α’’，β’’；γ’’，δ’’）（a，ｂ；ｃ，ｄ）（α’’，β’’；γ’’，δ’’）
となるので、
（ａ，ｂ；ｃ，ｄ）（δ’’，−β’’；−γ’’，α’’）＝（α’’，γ’’；β’’，δ’’）（a，ｂ；ｃ，ｄ）
（１，１）成分を比較して、
a（α’’−δ’’）＋２ｂγ’’＝０
（１，２）成分を比較して、
aβ’’＋ｃγ’’＝０
よって、ａ、２ｂ、ｃの最大公約数をｍとすると、整数ｕが存在して、
α’’−δ’’＝２ｂｕ／ｍ、γ’’＝−ａｕ／ｍ、β’’＝ｃｕ／ｍ
こうして、ｔ＝（ｍ／２）（α’’＋δ’’）、Ｄ＝ｂ＾２−ａｃとおいて、
ｔ＾２−Ｄｕ＾２＝ｍ＾２を得る。ここで、ｔ、ｕは整数である。

55 ：

つまり、二次形式aｘ＾２＋２ｂｘｙ＋ｃｚ＾２から
二次形式a’ｘ＾２＋２ｂ’ｘｙ＋ｃ’ｚ＾２への２つの同種な変換より
不定方程式ｘ＾２−Ｄｙ＾２＝ｍ＾２の整数解を構成することができる。

56 ：

α’’＋δ’’＝２ｔ／ｍ、α’’−δ’’＝２ｂｕ／ｍより
α’’＝（ｔ＋ｂｕ）／ｍ、δ’’＝（ｔ−ｂｕ）／ｍとなるので、
α’＝｛１／ｍ（αδ−βγ）｝｛αｔ＋（αｂ＋γｃ）ｕ｝
β’＝｛１／ｍ（αδ−βγ）｝｛βｔ＋（βｂ＋δｃ）ｕ｝
γ’＝｛１／ｍ（αδ−βγ）｝｛γｔ−（αａ＋γｂ）ｕ｝
δ’＝｛１／ｍ（αδ−βγ）｝｛δｔ−（βａ＋δｂ）ｕ｝

57 ：

訂正抜けてた。
>>54
ｔ＾２−Ｄｕ＾２＝ｍ＾２　−＞　ｔ＾２−Ｄｕ＾２＝（ｍ（αδ−βγ））＾２
>>55
ｘ＾２−Ｄｙ＾２＝ｍ＾２　−＞　ｘ＾２−Ｄｙ＾２＝（ｍ（αδ−βγ））＾２

58 ：

コテつけ無いと落書きされるで

59 ：

検索には便利そうですねー。仰せのとおりに。

60 ：

逆に、ｔ、ｕがｔ＾２−Ｄｕ＾２＝（ｍ（αδ−βγ））＾２を満たす整数であるとき、
（ｔ＋ｂｕ）／ｍと（ｔ−ｂｕ）／ｍはそれぞれ整数であることを示そう。

61 ：

Ｄ＝ｂ＾２−ａｃであったので、
ｔ＾２−ｂ＾２ｕ＾２＝（ｍ（αδ−βγ））＾２−ａｃｕ＾２
ｍはａ、２ｂ、ｃの最大公約数であったので、
４ｔ＾２はｍ＾２の倍数であり、２ｔはｍの倍数。
従って、２（ｔ＋ｂｕ）／ｍと２（ｔ−ｂｕ）／ｍは整数となり、
２数の差は偶数になることがわかる。
また２数の積は４の倍数になることがわかるので、
２（ｔ＋ｂｕ）／ｍと２（ｔ−ｂｕ）／ｍは偶数である。
以上により、主張が示された。

62 ：

二次形式a’ｘ＾２＋２ｂ’ｘｙ＋ｃ’ｚ＾２が二次形式aｘ＾２＋２ｂｘｙ＋ｃｚ＾２が
同等であるときには、αδ−βγ＝±１であるので、同種な変換を
ｘ＾２−Ｄｙ＾２＝ｍ＾２の整数解から構成することができる。
同等でない場合は、変換行列の成分に分数を含む場合が生じる。

63 ：

１６３．
１５９．（>>46）より、（ａ，−ｂ，ｃ）〜（ａ，ｂ，ｃ）　（非）であったので、
（ａ，０，ｃ）は自分自身と固有的かつ非固有的に同等であることがわかる。
より一般的に、
２ｂがａで割り切れるとき、（ａ，ｂ，ｃ）と（ｃ，ｂ，ａ）は固有的かつ非固有的に
同等である。
∵（−１，０；−２ｂ／ａ，１）（ａ，ｂ；ｂ，ｄ）（−１，−２ｂ／ａ；０，１）＝（ａ，ｂ；ｂ，ｄ）

64 ：

２ｂがａで割り切れるときの二次形式（ａ，ｂ，ｃ）を双性形式と呼ぶことにする。

65 ：

二次形式Ｆ’は二次形式Ｆに従属するとする。
Ｆ≧Ｇ≧Ｆ’で、自分自身と固有的かつ非固有的に同等であるような
二次形式Ｇが存在したとする。
このとき、Ｆ’はＦに固有的かつ非固有的に従属する。
これは明らかなことであるが、これの逆が成りたつ。

66 ：

二次形式Ｆ’は二次形式Ｆに固有的かつ非固有的に従属するとする。
このとき、双性形式Ｇが存在して、Ｆ≧Ｇ≧Ｆ’となる。

67 ：

>>66は１６４．

68 ：

ここからしばらく１６４．の証明
ガウスの式変形が神すぎて、全く訳がわからない。
兎に角やるです。

69 ：

簡便のため、ＦおよびＦ’の表現行列をそれぞれＦ、Ｆ’で表すことにする。
また、行列Ａの余因子行列をｃＡで表すことにする。
整数行列Ｔ、Ｔ’が
Ｆ’＝ｔＴＦＴ＝ｔＴ’ＦＴ’、ｄｅｔ（Ｔ）ｄｅｔ（Ｔ’）＜０
を満たすとする。
ｄｅｔ（Ｔ）＾２＝ｄｅｔ（Ｔ’）＾２かつｄｅｔ（Ｔ）ｄｅｔ（Ｔ’）＜０よりｄｅｔ（Ｔ）＋ｄｅｔ（Ｔ’）＝０・・・�@
Ｔ’’＝Ｔ’ｃＴとすると、ｔＴ’’Ｆ＝−ＦｃＴ’’・・・�A

70 ：

�Aより
ｔ（Ｔ’’＋ｃＴ’’）Ｆ＋Ｆ（Ｔ’’＋ｃＴ’’）
＝ｔＴ’’Ｆ＋ＦｃＴ’’＋ｔ（ｔＴ’’Ｆ＋ＦｃＴ’’）＝０
Ｔ’’＋ｃＴ’’＝ｔｒ（Ｔ’’）Ｉ　（Ｉ　は単位行列）
なので、ｔｒ（Ｔ’’）＝ｔｒ（Ｔ’ｃＴ）＝０・・・�B
また、ｄｅｔ（Ｔ＋Ｔ’）＝ｄｅｔ（Ｔ）＋ｄｅｔ（Ｔ’）＋ｔｒ（Ｔ’ｃＴ）＝０・・・�C

71 ：

複雑な式を打ってると自分自身間違えてしまうので、texでうｐることにしました。
とりあえず、153-162まで。
ttp://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf529
DLkey gauss

72 ：

pdfわかりやすいよ。

73 ：

ちょっと表記の仕方を前回と変えました。
やっぱ列ベクトルの方が慣れてて扱い易ので。
ttp://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf545
DLkey gauss

74 ：

163, 164 death

75 ：

がうすの二元二次形式の理論、三元二次形式の理論、特に後者は難解だ。
もっと現代的に整理しなおした良い教科書みたいなものは無いのだろうか？

76 ：

>>75
あるよ。
ｐ＝ｘ＾２＋ｎ　ｙ＾２
という本。著者はど忘れ。

77 ：

David A. Coxか？

78 ：

大学入ったころ最初の100pほど邦訳のを読んだなぁ。
今でも普通に数学の本として面白いんだからすごいよねぇ。

79 ：

test

80 ：

ガンバレ！

81 ：

153から170まで範囲で、手を加えたり配列を変えたりしてるので
時間がかかってます(´・ω・`)いましばらくお待ち下さい

82 ：

とりあえず今日はもう寝る
　 ＜⌒／ヽ-、_＿_
／＜_/＿＿＿＿／

83 ：

ちょっと中途半端ですが、保守的な意味も込めて
ttp://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf573
DLkey gauss

84 ：

内容的に新しいところは５、８、９、１０です。

85 ：

DA171，172
ttp://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf591
DLkey gauss

86 ：

DA153-178
http://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf678
DLkey gauss

87 ：

お疲れ

88 ：

DA171-183
http://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf700
DLkey gauss
しばらく手書きです。時間のあるときに整理するかもです。

89 ：

今までのところのまとめ。
Ｍ＝ａｘ＾２＋ｂｘｙ＋ｃｙ＾２の整数解を求める統一的な方法を考える。
この不定方程式が解を持つとき、ｘ＾２≡Ｄ　（ｍｏｄ．４Ｍ）は解を持ち、
それをＮ　（ｍｏｄ．２Ｍ）とすると、Ｔ∈ＳＬ＿２（Z）が存在して、
ｔＴ（ａ，ｂ／２；ｂ／２，ｃ）T＝（Ｍ，Ｎ／２；Ｎ／２，Ｐ）とできる。
Ｔ＝（α，β；γ，δ）とすると、Ｍ＝ａα＾２＋ｂαγ＋ｃγ＾２なので、
整数解を求める問題はTを求める問題に帰着される。

90 ：

すべての変換行列Tを求める問題は、変換行列が一つ与えられていれば、
不定方程式ｘ＾２−Dｙ＾２＝４ｒ＾２の整数解を求める問題に帰着される。
ただし、ｒは2次形式の係数の最大公約数である。

91 ：

2次形式Ｆ＿１とＦ_２が同値であることを、
Ｔ∈ＳＬ＿２（Z）が存在して、ｔＴＦ＿１T＝Ｆ＿２である定義する。
変換行列を一つ求める問題は、上の同値関係による代表系を求めることによって
なされる。この代表系は簡約形式と呼ばれる。
Ｆ＿１とＦ＿２に同値な簡約形式ｆが与えられると、Ｆ＿１とｆ、Ｆ＿２とｆの変換行列を
それぞれ求めることができるので、それによりＦ＿１とＦ＿２の変換行列を求めることが
できる。

92 ：

判別式が負の場合、同値な簡約形式は高々２個であるので、話は比較的簡単になる。
判別式が正の場合、同値な簡約形式の個数はもっと大きくなり、複雑になる。
とりあえず以上です。
このあたりはガウスのオリジナルではなく、ラグランジュなどがすでに見つけていて、
ガウスはそれを整理した、というのをどこかで読みました。たぶんブルバキ数学史。

93 ：

ガウスの二次形式論以降、
二次形式論→二次体論（円分体論）→代数的整数論
という流れがありますが、これに比べると高次形式論はあまり進展がないようです。
上の方でも少し話題がありましたが。
比較的最近Bhargavaという数学者が高次形式の合成を見つけたそうです。

94 ：

落ちたらチラシの裏にでもあげるです(´・ω・`)

95 ：

>>88
エラーになりますが

96 ：

流れたみたいですね。少々お待ちください。

97 ：

153-177
http://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=file849
178-181
http://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=file850
DLkey gauss

98 ：

続きを再開できるのは夏休みまでムリかなぁ(´・ω・`)

99 ：

あんでぃ

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蛯名が最強だろ！？そうだろ！とは何だったのか･･･蛯オタ号泣！！