(再録) >>1 そろそろ主題に戻ろう >ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？ ガロアの原論文（「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」）を読むための３つのポイントは １．ガロア分解式（リゾルベント） V=Aa+Bb+Cc+・・・ a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、係数A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとるように定める ２．置換群のガロア記法 a b c d・・・・k b c d・・・・k a c d・・・・k a b ・・・・・・・・・・・ k a b・・・・・i 注）今日、置換は普通はコーシーの記法 （a b c d・・・・k） （a b c d・・・・k） （直上の２行は大きな括弧で括られていると思ってください） （コーシーの記法は説明不要と思うが、下記などが参考になろう） http://homepage3.nifty.com/asagaya_avenue/apl/association/2011/Nishikawa_nov2011.pdf
（再録） >>21 つづき ”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36でガロアは ４次方程式の解法について １．まず、（判別式の）平方根を添加することで、全体で24個の置換を含む（ガロア）方程式の群（＝４次対称群）は２つに分解するという これは、>>20に書いた通り ２．そこで、12個の置換群（これが偶置換のみで構成される交代群であることは現代数学の常識ではあるが） ３．４次方程式の根をa,b,c,dとして、この群をガロアは下記のように置換群のガロア記法で書き下す a b c d, a c d b, a d b c b a d c, c a b d, d a c b c d a b, d b a c, b c a d d c b a, b d c a, c b d a これで、24次のガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）が 12次のF'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：偶置換に属するものだけを取り出し次数が下がった a b c d, a c d b, a d b c b a d c, c a b d, d a c b c d a b, d b a c, b c a d d c b a, b d c a, c b d a この１２個の置換を含む群（＝４次の交代群）を立て４行の群（＝位数４の群）に対し、巡回置換（b,c,d）との積と見ることができる そこで、３次の累乗根を添加することで、>>45-46のようにさらにガロア方程式の次数が下がる
24 ：
>>23 つづき 群は a b c d b a d c c d a b d c b a に縮小し、ガロア方程式も４次式になる これは、 a b c d, c d a b b a d c, d c b a と見ることができる あとは、ガロアが書いている通り 平方根を添加することでガロア方程式も２次式になり、４次方程式が解けることになる ここに示したように、置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすくし、群の分解にガロア方程式の次数低下が対応していると見ることができる これが、ガロアが頭の中に描いていたガロア理論の原型ではなかったか
25 ：
（再録） >>24 補足 ”群 a b c d b a d c c d a b d c b a は、 a b c d, c d a b b a d c, d c b a と見ることができる” これは、クライン群などと呼ばれる http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4 クラインの四元群とは、巡回群でない位数が最小の群である。また、位数2の巡回群の直積と同型である。 クラインの四群元の単位元以外の元の位数は、2である。 また、交代群 A4 の正規部分群 V = < identity, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) > と同型。 まとめよう １．ガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応の３点セットが、ガロア理論の原型 ２．そして、ガロア分解式からガロア方程式を作る ３．平方根を添加すると、ガロア群は二つに分解し、その群の分解に対応してガロア方程式を二つに分解することができる ４．同様にして、これを素数Pのべき根に一般化すれば、ガロア群はP個に分解し、その群の分解に対応してガロア方程式をP個に分解することができる ５．このようにして、ガロア群の縮小に伴ってガロア方程式の次数を下げることができる この様子を、ガロアは４次方程式について、解説しているのだ（ ”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36
26 ：
（再録） 「置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすく」を補足 群 a b c d b a d c c d a b d c b a はコーシー流（現代の群論の教科書はこれ）では、次の４つの置換で書く （a b c d） （a b c d） （a b c d） （b a d c） （a b c d） （c d a b） （a b c d） （d c b a） ここで、一番上の置換は恒等置換でｅと書かれたりする （つづく）
27 ：
（つづき） で、これだけだと、メリットが少ないと見えるかも だが、群の分解を考えると a b c d, c d a b b a d c, d c b a と見ることができる”ってところでメリットがでる １．つまり現代のコーシー記法だと下記 （a b c d）, （a b c d） （a b c d）, （c d a b） （a b c d）, （a b c d） （b a d c）, （d c b a） ２．しかし、こうも見ることができる （a b c d）, （c d a b） （a b c d）, （c d a b） （a b c d）, （c d a b） （b a d c）, （d c b a） つまり、ガロアの記法は「１行目の順列の並びが省略されたコーシー記法」だと そして、上記２．の見方は、ガロアの記法の真骨頂 ２．左の列の２番目は、（ab）と（cd）が入れ替わっている。これを番号に書き直すと（12）と（34）が入れ替わっている。右の列も同じく（12）と（34）が入れ替わっている。 そういう目で、もう一度>>15のガロア記法を眺めて欲しい。ガロアが見ていたものが見えるだろう
28 ：
（再録）置換群のガロア記法>>24について、もう一つ見ておこう ”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”の最後P41で 定理VII n=5とせよ；群は次のようなものであろう： a b c d e, a c e b d, a e d c b, a d b e c b c d e a, c e b d a, e d c b a, d b e c a c d e a b, e b d a c, d c b a e, b e c a d d e a b c, b d a c e, c b a e d, e c a d b b c d e a, d a c e b, b a e d c, c a d b e ここで、a→0, b→1, c→2, d→3, e→4と置き換えると 0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2 1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0 2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3 3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1 4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4 そしてガロアが見ていたものは １．最初の列を縦に、順列0 1 2 3 4に対し、＋１mod 5(5を法として計算)で一番左の列の群（部分軍＝長さ５の巡回群）が得られ ２．横に、第一番目の列の群 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3 を、２倍 mod 5(5を法として計算)すれば、２列目、２列目を２倍して３列目・・と ３．それを、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群（G）前後の記述で言えば ガロアが見ていたものは Xk, Xak+b、あるいはf(k+c)=f(k)+Cだと (ここは、上記”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”と合わせて読んでください)
>>34 >ガロア分解式なんて言葉は現代のガロア理論では使わない。 >だから倉田がガロアの論文を解釈するにあたって >ガロア分解式をどう定義しようとその本の中で >整合性を持ってればいい。 ああ、そうだね。だが、前スレ379でのコンヌの文を論じるときは、欧米流のGalois Resolvent （＝V>>15）の呼称に従うべき （原文 http://www.alainconnes.org/docs/galoistext.pdf ） それに、倉田>>4は P107で「今日ガロア分解式と呼ばれる式」と記している ならば、倉田はガロア分解式を定義しているのではなく、世間一般の呼称を紹介しているわけだ そして、前スレ508と517でも紹介したが、下記 http://fermatslasttheorem.blogspot.jp/2009/09/galois-memoir-lemma-2-galois-resolvent.html Fermat's Last Theorem: Galois' Memoir: Lemma 2 (Galois Resolvent) The following is taken from the translation of Galois' Memoir by Harold M. Edwards found in his book Galois Theory. The proof itself is taken from Jean-Pierre Tignol's Galois' Theory of Algebraic Equations. Definition 1: Galois Resolvent Function For any equation f(x) with distinct roots, the Galois Resolvent Function is a function g(x1, ..., xn) of the roots that no matter how the roots are permuted on the function, no two of the values are equal. Definition 2: Galois Resolvent The Galois Resolvent is a value of the Galois Resolvent Function where the roots of the equation f(x) are passed in as parameters. Lemma 2: Galois Resolvent Function Exists Given any equation f(x) with distinct roots a,b,c,... one can always form a function V of the roots such that no two of the values one obtains by permuting the roots in this function are equal. For example, one can take: V = Aa + Bb + Cc + ... A, B, C, ... being suitably chosen whole numbers. Tignol（下記）を見ると、14.2 方程式のガロア群 P243でVをガロア分解式（ Galois resolvent ）としている http://www.kyoritsu-pub.co.jp/shinkan/shin0503_03.html 代数方程式のガロアの理論Jean-Pierre Tignol著
>>45 >コンヌがガロア分解式という言葉を使ってないのに >なんでガロア分解式の定義の話をしてるときに >コンヌを持ち出す？ コンヌの文の題 仏 La Pensee d'Evariste Galois et le Formalisme moderne 英 The Thought of Evariste Galois and the modern formalism 日 エヴァリスト・ガロアの思想と現代的な定式化 （訳はgoogle翻訳サイト http://translate.google.co.jp/#fr|en| による） これは、ガチガチの数学論文ではなく、ガロアの紹介の文 2. Brisure de symetrie と非数学的表現を使っている それをどう感じるかは受け手次第 で、ここはガロア原論文スレで、ガロア分解式はこのスレの主テーマであるのだよ（ガロア分解式を読み解くことがガロアの独創を知る道） スレ主としては、当然ガロア分解式に言及するよ いやならよそでやってくれ
>>60 補足 >問題ないではなく、一次式をガロアレゾルベントと呼ぶのは世界の常識だろ>>42 正確には、一次式でなくとも良いので、Vそのものではなく広く>>42のように書く場合が多い えーと、コンヌのBrisure de symetrieの最初のLemmeがそれで、V = Aa + B b + C c + ・・・は証明の中で出てくるだけ。>>42と同じだよ だが、一次式が一番簡単でそれで足りるので、このスレでは単純化してVをガロアレゾルベントとしているのだ
>>79 >ガロア拡大の自己同型群の部分群のなす圏と >その部分体のなす圏の双対圏が圏同値というのが >ガロア理論の胆。対称性なんてピントはずれ。 ところがどっこい、コンヌさま てめえが引用した、下記前スレ231のコンヌさまの文は（原文 http://www.alainconnes.org/docs/galoistext.pdf>>42)、対称性なんてピントはずれどころか、文全体を貫く重要キーワードとしていたのだった 231 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2012/04/21(土) 15:15:43.09 アランコンヌはガロアの業績の紹介の中で ガロアを対称性の破壊者と呼んでいる。 Brisure de symetrie Le premier pas de la demarche de Galois consiste a briser de maniere maximale la symetrie entre les racines d'une equation en choisissant une fonction auxiliaire largement arbitraire de n variables.
81 ：
>>80 つづき ”群論＝対称性を扱う理論”（従ってガロア理論も同様）、”（１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。”という常識が、理解できず （また、”une fonction auxiliaire largement arbitraire de n variables.”が、海外では Galois Resolvent と呼ばれているということも知らなかった>>42） ”・・圏同値というのがガロア理論の胆。対称性なんてピントはずれ。”>>79と思い込んでいる人にとっては Brisure de symetrieが、「一流の数学者コンヌが対称性を否定している！」と目に映ったんだろうな だが、原文をしっかり読むと、コンヌは対称性を否定しているどころか、文全体を貫く重要キーワードとしていたのだった それは猫さんも、前スレ433下記で「まあ対称性を重要視するのは数学では根幹（のひとつ）ですから」のように書いている通り 433 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY [age] 投稿日：2012/04/26(木) 10:08:27.31 >>432 ソコまでスレを遡って全部読むのは大変なので今は何とも言えませんが、 私見を述べればまあ： ★★★『何故対称性が大事なのかというと、ソレは対称性が無い場合があるから』★★★ であって、そういう考え方をする（こういう考え方自体がガロアを起源 とするとすれば、ガロアの考え方は余りにも偉大過ぎる！）のであれば、 今となっては物理学でも化学でも、或いは生物学でもそういう見方が出 来るという指摘にも読めますけどね。 まあ対称性を重要視するのは数学では根幹（のひとつ）ですから。 猫
>>85 抽象的な話では面白くないので、具体的な文を検討しよう コンヌの原文 http://www.alainconnes.org/docs/galoistext.pdf>>80の最後の部分に下記がある 仏 Nous developpons de plus l'ogie entre la categorie des bires plats equisinguliers et celle des motifs de Tate mixtes. (Voir [1] pour la nuance importante entre les motifs purs decrits pus haut et les motifs mixtes). On sait, en particulier, que le groupe de Galois motivique GMT (O) ([13]) du schema S4 = Spec(O) associe aux racines quatriemes de l'unite (de sorte que O est 'anneau Z[i][ 1/2 ]) est (noncanoniquement) isomorphe au groupe U. L'ensemble de ces resultats montre que les divergences de la theorie des champs indiquent, en fait, la presence de symetries de nature galoisienne et, bien loin d'etre des imperfections de la physique revelenta n'en pas douter la subtilite de la geometrie qui gouverne l'espace-temps, une fois prise en compte la regularisation dimensionnelle. 英（by google） We develop further the ogy between the category of beers and dishes equisinguliers that of mixed Tate motives. (See [1] for the important distinction between the writings of pure motives and high pus mixed motives). We know, in particular, the motivic Galois group GMT (O) ([13]) of sch ema S4 = Spec (O) associated to the roots of the fourth emes th unit (so that O is the ring Z [i] [1/2]) is (noncanoniquement) U isomorphic to the group. All of these results shows that differences in field theory indicate, in fact, the presence of symmetries in nature and Galois, though far from the imperfections of physics reveal has no doubt the subtlety of geometry that governs the space-time, after taking into account the dimensional regularization. （引用おわり） 仏”la presence de symetries de nature galoisienne et” 英”the presence of symmetries in nature and Galois” がある （続く）
90 ：
>>89 つづく Exite翻訳で、後半の文を訳すと 仏 L'ensemble de ces resultats montre que les divergences de la theorie des champs indiquent, en fait, la presence de symetries de nature galoisienne et, bien loin d'etre des imperfections de la physique revelenta n'en pas douter la subtilite de la geometrie qui gouverne l'espace-temps, une fois prise en compte la regularisation dimensionnelle. 英（by google） All of these results shows that differences in field theory indicate, in fact, the presence of symmetries in nature and Galois, though far from the imperfections of physics reveal has no doubt the subtlety of geometry that governs the space-time, after taking into account the dimensional regularization. 英（by Exite） The set of these results watch that the divergences of the theory of the fields indicate, in fact, the presence of nature symetries galoisienne and, well far from being imperfections of the physics reveal doesn't have in not to question the subtlety of geometry that governs space-time, once taken in account the dimensional regularization. （引用おわり） 仏”la presence de symetries de nature galoisienne et” 英”the presence of symmetries in nature and Galois”（by google） 英”the presence of nature symetries galoisienne and”（by Exite） で、galoisienneってのがよくわからないが、symetriesを否定している、コンヌは？ Yes ｏｒ No で良いよ
91 ：
>>90 つづき 他の部分もやっておこう 5. Division des fonctions elliptiques のP9 図のあとの文 仏 La loi d'addition dans le groupe forme des points complexes de la courbe est la suivante : etant donnes A et B la somme A + B = C' est obtenue en prenant le symetrique par rapport a l'axe des x, axe de symetrie de la courbe, du point d'intersection C de la droite AB avec la courbe. Comme la courbe est de degre 3 le point C est bien defini. Quand A = B on remplace la droite AB par la tangente en A. Les coordonnees de C' dependent rationnellement de celles de A et de B. 英 The law of addition in the group form complex points of the curve is: Given A and B the sum A + B = C 'is obtained by taking the symmetric relative to the x axis, axis of symmetry of the curve, the intersection point C of the line AB with the curve. As the curve is of degree 3 point C is well defined. When A = B is replaced by the line AB the tangent at A. The coordinates of C 'depend rationally from those of A and B. （引用おわり） ここは簡単だ。楕円曲線の分割だから 仏：etant donnes A et B la somme A + B = C' est obtenue en prenant le symetrique par rapport a l'axe des x, axe de symetrie de la courbe, du point d'intersection C de la droite AB avec la courbe. 英：Given A and B the sum A + B = C 'is obtained by taking the symmetric relative to the x axis, axis of symmetry of the curve, the intersection point C of the line AB with the curve. で、symetriqueとsymmetryとを否定している、コンヌは？ Yes ｏｒ No で良いよ
92 ：
>>91 つづき で、コンヌの文で、symetrieに関連する箇所が下記４箇所 １．”1. Introduction”：L'un des aspects des idees de Galois qui est passe le plus facilement dans les outils conceptuels des scientiques de notre epoque est celui relie a la notion de symetrie. ２．”2. Brisure de symetrie：Le premier pas de la demarche de Galois consiste a briser de maniere maximale la symetrie entre les racines d'une equation en choisissant une fonction auxiliaire largement arbitraire de n variables. ” ３．”5. Division des fonctions elliptiques”：etant donnes A et B la somme A + B = C' est obtenue en prenant le symetrique par rapport a l'axe des x, axe de symetrie de la courbe, du point d'intersection C de la droite AB avec la courbe. ４．”7.4. Groupe de Galois Cosmique.”：L'ensemble de ces resultats montre que les divergences de la theorie des champs indiquent, en fait, la presence de symetries de nature galoisienne et, bien loin d'etre des imperfections de la physique revelenta n'en pas douter la subtilite de la geometrie qui gouverne l'espace-temps, une fois prise en compte la regularisation dimensionnelle. 1. Introduction から 7.4. Groupe de Galois Cosmique まで（7.4が最後） 最初から最後まで、symetrie （3. Groupe de Galois、4. Reduction du groupe de Galois、6. La lettre testament、7. Developpements Actuels、7.1. Motifs.、7.2. Correspondance de Riemann-Hilbert.、7.3. Dessins d'enfants (Gal(Q/Q))） symetrieを否定でも破るでも破壊でもなんでも良いが、symetrieというキーワードがコンヌによるガロアの数学の紹介文の基調だと思うけどね symetrieがあって、それをガロアが数学的に（破壊でもなんでも良いが）処理できるようにした。それがガロア理論であり、現代代数学の出発点になったんだと
>>92 つづき 1. Introductionのところを、つっこんでおこう （前スレ450より、仏英対訳） >>433 >今となっては物理学でも化学でも、或いは生物学でもそういう見方が出 >来るという指摘にも読めますけどね。 これ、コンヌの文Introductionの最後のところですな 仏 L'un des aspects des idees de Galois qui est passe le plus facilement dans les outils conceptuels des scientiques de notre epoque est celui relie a la notion de symetrie. Gr^ace a cet acquis il n'est pas irrealiste d'esperer que les textes de Galois soient devenus accessibles au scientique non-mathematicien (physicien chimiste et peut- ^etre biologiste). Raison de plus pour en commencer la lecture ! Je remercie J-P. Serre pour ses critiques et corrections, Andre Dalmas qui m'a fait parvenir la derniere edition de son livre sur Galois [9], J-P. Bourguignon qui m'a signale le texte de Sophus Lie [19] et Martin Andler qui en me donnant carte blanche pour une lecture d'un texte original me permet de lire avec vous les textes fondateurs de Galois. 英 One aspect of the SEA Galois id is pass more easily through the e tools Concepts scienti of our times is that the notion of religious Others symmetry. Gr ^ ace has this achievement is not ealiste irr esp Erer that texts are Galois become accessible to the scientific and non-math ematicien (physicist and chemist may ^ be a biologist). More reason to start playing! I thank J-P. Serre for his criticisms and corrections, Andr e Dalmas to me ere sent the last edition of his book on Galois [9], JP. Burgundian signal e me the text of Sophus Lie [19] and Martin Andler giving me that card white for reading an original text allows me to read the texts with you Galois founders.
