解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
前スレ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第二十問
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325575627/
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を存続させる事が出来るのや。真面目に考えたら判るやろ。馬鹿に何が
出来るのや。オマエ等は国を潰す積もりかァ！
そもそも『優秀な人間に対して消えろ』とは何事や。徹底して叩くゾ。
描
>これからの日本は低脳が支える。
>そうすれば僻みも出ないし楽チン。
>優秀な人間は消えろ！！！！！！！！！
>
>うるせえ！！！！
>こちとら人間が嫌いなんだよ！！！
>優秀な奴ほど日本の足を引っ張るんじゃ！！
>たわけが！！！
>
lim(n→∞){Σ(k=1,n)1/(n_C_k)}^n
を求めよ
0≦x≦nかつ0≦y≦n(ただしnは1以上の自然数)を満たす範囲を範囲Aとおき、
範囲Aに含まれるx座標もy座標も自然数であるような点を範囲Aの格子点と呼ぶことにする。
ここで以下のようなルールに従ってゲームを行う。
(操作1)全ての格子点の中からただ一点だけを選択する。この時、全て格子点から任意の点を選ぶような確率は全て同等である。
このように、選択した点は"マークされた点"と呼ぶことにする。
(操作2)マークされた点以外の格子点からただ一点だけを選択する。
この時、マークされた点以外の格子点から任意に点を選ぶような確率は全て同等である。
(操作3)(操作2)を選ぶ点がなくなるまで続け、選ぶ点がなくなった場合は終了する。
このゲームにおいて、範囲Aの中でx=kまたはx=yまたはx=-yまたはy=k(kは0以上の任意の整数)上の
全ての格子点がマークされた点であるとき、その状態をある直線における「ビンゴ」、範囲Aにおけるビンゴの個数を「ビンゴ数」とする。
また、あと一点だけマークされれば「ビンゴ」になる状態を「リーチ」、範囲Aにおけるリーチの個数を「リーチ数」とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)n=3かつ(操作2)を行う回数が2回のとき、ビンゴができる確率を求めよ。
(2)n=5かつビンゴ数が0のとき、(操作2)の回数の最大値を求めよ。
(3)n=5かつ(2)のような回数を取ったときの範囲Aにおけるマークの付け方の場合の数を求めよ。
(4)n=a(aは定数)かつビンゴ数が0かつ(操作2)の回数が最大値を取るときの範囲Aにおけるマークの付け方の場合の数を求めよ。
(5)n=b(bは定数,b≧3)かつ(操作2)の回数が2bのとき、リーチ数の期待値を求めよ。
・東大の昔の後期試験っぽく。
1≦x≦nかつ1≦y≦n(ただしnは2以上の自然数)を満たす範囲を範囲Aとおき、
範囲Aに含まれるx座標もy座標も自然数であるような点を範囲Aの格子点と呼ぶことにする。
ここで以下のようなルールに従ってゲームを行う。
(操作1)全ての格子点の中からただ一点だけを選択する。この時、全て格子点から任意の点を選ぶような確率は全て同等である。
このように、選択した点は"マークされた点"と呼ぶことにする。
(操作2)マークされた点以外の格子点からただ一点だけを選択する。
この時、マークされた点以外の格子点から任意に点を選ぶような確率は全て同等である。
(操作3)(操作2)を選ぶ点がなくなるまで続け、選ぶ点がなくなった場合は終了する。
このゲームにおいて、範囲Aの中でx=kまたはx=yまたはx=-yまたはy=k(kは0以上の任意の整数)上の
全ての格子点がマークされた点であるとき、その状態をある直線における「ビンゴ」、範囲Aにおけるビンゴの個数を「ビンゴ数」とする。
また、あと一点だけマークされれば「ビンゴ」になる状態を「リーチ」、範囲Aにおけるリーチの個数を「リーチ数」とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)n=3かつ(操作2)を行う回数が2回のとき、ビンゴができる確率を求めよ。
(2)n=5かつビンゴ数が0のとき、(操作2)の回数の最大値を求めよ。
(3)n=5かつ(2)のような回数を取ったときの範囲Aにおけるマークの付け方の場合の数を求めよ。
(4)n=a(aは定数)かつビンゴ数が0かつ(操作2)の回数が最大値を取るときの範囲Aにおけるマークの付け方の場合の数を求めよ。
(5)n=b(bは定数,b≧3)かつ(操作2)の回数が2bのとき、リーチ数の期待値を求めよ。
を存続させる事が出来るのや。真面目に考えたら判るやろ。馬鹿に何が
出来るのや。オマエ等は国を潰す積もりかァ！
そもそも『優秀な人間に対して消えろ』とは何事や。徹底して叩くゾ。
描
>これからの日本は低脳が支える。
>そうすれば僻みも出ないし楽チン。
>優秀な人間は消えろ！！！！！！！！！
>
>うるせえ！！！！
>こちとら人間が嫌いなんだよ！！！
>優秀な奴ほど日本の足を引っ張るんじゃ！！
>たわけが！！！
>
たぶんx=-yじゃなくて、x+y=n+1だねこれ
★★★学力格差：尊重しろ
★★★能力格差：最大限利用せよ。
東大や京大にだって馬鹿は沢山居てるんだヨ。
学力格差と能力格差を認める理想社会を実現しろや。要するに：
★★★『馬鹿は無意味なので不必要だから、従って無能は静かにせよ。』★★★
っちゅうこっちゃ。低脳が騒ぐのはワシが許さんのや。
ちゃんと読め。
描
Ｃ[n,n] = 1,
Ｃ[n,1] = Ｃ[n,n-1] = n,
Ｃ[n,2] = Ｃ[n,n-2] = n(n-1)/2,
Ｃ[n,k] ≧ Ｃ[n,3] = n(n-1)(n-2)/3! (3≦k≦n-3)
よって
1 + 2/n ≦ Σ(k=1,n) 1/Ｃ[n,k] ≦ 1 + 2/n + 10/{n(n-1)},
よって
lim(n→∞) (1 + 2/n)^n = e^2,
3e^x＞log(3x+6)を証明せよ
(2)a＞0,b＞-2において
ae^b＞log(ab+2a)を証明せよ
(1) 3e^x = e^{ln(3) + x} ≧ {1+ln(3)} + x,
ln(3x+6) = ln(3) + ln(x+2) ≦ {1+ln(3)} + x,
(2) a･e^b = e^{ln(a) + b} ≧ {1+ln(a)} + b,
ln{a(b+2)} = ln(a) + ln(b+2) ≦ {1+ln(a)} + b,
e^y ≧ 1 + y,
ln(1+y) ≦ y,
y = a･e^x
は映進(*)
x ' = y - 2,
y ' = x + 2ln(a),
により
y = ln{a(x+2)}
に移り、これは映進(*)
x ' = y - 2ln(a),
y ' = x + 2,
により
y = a･e^x
に戻る。
*) 映進は、直線 y = x + {1+ln(a)} に関する鏡映と、平行移動（d,d）を続けたもの。
x ' = y - {1+ln(a)} + d,
y ' = x + {1+ln(a)} + d,
120/45<e<120/44を示しなさい
マクローリンで････
e^(-1) = Σ[k=0,∞) (-1)^k / k!
= 1 -1 +(1/2! -1/3!) +(1/4! -1/5!) + (1/6! -1/7!) + ････
= 44/120 + (1/6! - 1/7!) + (1/8! - 1/9!) + ････
> 44/120,
e^(-1) = 44/120 + 1/6! -(1/7! - 1/8!) - ････
< 44/120 + 1/720
= (44 + 1/6)/120
マクローリンで････
e = Σ[k=0,∞) 1/k!
> Σ[k=0,3] 1/k!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/6
= 8/3,
e = 1 + 1 + 1/2 + Σ[k=3,∞) 1/k!
< 1 + 1 + 1/2 + Σ[k=3,∞) (1/6)(1/4)^(k-3)
= 5/2 + (1/6)(4/3)
= 5/2 + 2/9
= 2 + 13/18
< 2 + 8/11
= 30/11,
∵ 18*8 - 11*13 = 1 > 0,
nを正の整数とする。
xy座標平面上にて、0≦x≦n かつ 0≦y≦nを満たす領域を、領域Ｄとする。
１辺の長さが正の整数であり、
全頂点が領域に属する格子点であるような正方形の集合をＳと呼ぶ。
集合Ｓに属する正方形の中から、当確率で２つの正方形を選び、
その２つの正方形が重なる領域の面積の期待値を、f(n)とする。
問１：f(5)を求めよ。
問２：f(7)を求めよ。
全頂点が領域に属する格子点で・・・・
ではなくて、
全頂点が領域Ｄに属する格子点で・・・・
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
すみません、はるか昔、東大生と学コンマンやってたものですが、
今日、Google Docs(Google Drive)でスプレッドシートで遊んでたら、いつのまにか
数学の問題を作ってました。
↓これ
https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AqIQfyJXnDwXdF9uRzRjVXZ1TTJwRGcxdUdfUExIWWc
（だれでも閲覧＆編集できます。
参考になるかならないのかわかんないマス目が、あります。
１０人分くらい、マス目つきシートをコピーしてますので、暇だったら適当にいじってもいいです。
問題つくってからマス目つくったのではなくてその逆でして、
きっと問題解いてて気づくと思いますが、
Google Docs のスプレッドシート、まじ役にたたないです。。。むかつくかもしれませんＷ
やっぱりエクセルのほうがずっと便利だわ。。。
https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AqIQfyJXnDwXdFpoUzZleXVWRGRoYmozSExFLUg1YXc
こっちでした。。。すまそ。。。
のアンカーみちゃったひとはヒントみちゃったかも。。。
もうアクセスできないようにしたけど。。。
試しに f(2) を計算したら同じものを許容するかどうかで答えが違ったが
a_1, a_2, a_3, ....... , a_2010, a_2011, a_2012 なる、２０１２個の項により成り立っている。
そして、これら２０１２個の項の値は、いずれも p または q と一致する。
（ただし p, q は p≦q なる変数）
a_(n+1) = (a_n)^3 -3×a_n (n = 1, 2, 3, ..... , 2010, 2011 )が成立するとき、
変数 p, q, 数列 {a_n} について、全種類求めよ
・p=q のとき
p = p^3 - 3p,
p = -2, 0, 2
a_n = p,
・p<q のとき
(p,q) = (-1,2)
a_1 = p,
a_n = q, (n>1)
(p,q) = (-2,1)
a_1 = q,
a_n = p, (n>1)
y ＝ x^3 - 3x と y ＝ ±x との交点などに着目
・ 0，0，0，…，0 （ p ＝ q ＝ 0 ）
・ 2，2，2，…，2 （ p ＝ q ＝ 2 ）
・ -2，-2，-2，…，-2 （ p ＝ q ＝ -2 ）
・ -1，2，2，…，2 （ p ＝ -1，q ＝ 2 ）
・ -√3，0，0，…，0 （ p ＝ -√3，q ＝ 0 ）
・ ±√2，干√2，±√2，干√2，…，干√2 （複号同順，p ＝ -√2，q ＝ √2 ）
ついでに･････
・ 1，-2，-2，…，-2 （ p = -2，q = 1 ）
・ √3，0，0，…，0 （ p = 0, q = √3 ）
まだ、他にもあるよ。途中のやりかたを全部見てないけど、
きっと解いてるとき、論理的ではないかしょがあるんだと思う。
あと、もし最終的な答えがあってたとしても、論理的欠陥で減点される人が多そう。
だれかが、正しい最終的な答えを得たら、途中の論理も含めた回答をアップします。
（ここだとおさまりきれないし、a_(n+1) とか見づらいから、手書きのをスキャンしてうｐな予定）
f(x) = x^3 -3x とおくと、f の不動点は -2, 0, 2 の3個
・p<q のとき
p,q,q,･･･,q,
f(p)=f(q)=q より、qは不動点
(p, q) = (-1, 2) (-√3, 0)
q,p,p,･･･,p,
f(p)=f(q)=p より、pは不動点
(p, q) = (-2, 1) (0, √3)
p,q,p,q,･･･
q,p,q,p,･･･
f(p)=q, f(q)=p,
[1] 0 = f(p)-f(q) +p-q = (p-q)(pp+pq+qq-2),
仮定により p-q <0 だから, pp+pq+qq-2 = 0, ･･･(1)
[2] 0 = f(p)+f(q) -p-q = (p+q)(pp-pq+qq-2),
p+q=0 または pp-pq+qq-2 = 0, ･･･(2)
p+q=0 の場合は (p,q)=(-√2,√2)
pp-pq+qq-2=0 の場合は pq=0, だが不適解。
ttp://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org3300915.jpg
完全な答案は今作っている
需要があるならそのうちうｐする
あー、一瞬正解かと思った。１３種類ってのはあってる。
是非うｐ希望。
というのも、その間違えかたからして、
自分と違う解き方をしてるような気がするので。
自分の解き方だと、その計算ミス（？）にはすぐ気づくはず。
（っていうか、ただの書き間違い？）
いま気づいた。
間違ってる数列は、そもそも、
２０１２個の項の中に、３種類の相異なる値が存在しちゃってる。
>>34 を書き込んだのは、問題だした自分です。
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/369634.pdf&key=math
cos36°などの求め方の解説を付け足す予定だが
とりあえずうｐして出題者様の意見を聞いてみたい
いつもは GeoGebra や wolframalpha で検算するがそれもまだしていない
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/369636.pdf&key=math
えと、正解だと思います。
けど、すみません、
そもそも、Cosやグラフを使う解き方を想定してなかったので、
あーそういう考え方もあるのかと思いました。
ですが、やはり、Cosが出てくると、Cos36°みたいなものが出てきますよね・・・。
自分の想定した解き方では、途中で道をはずれると、
９次の方程式に出くわすことになるのと近いのかな？
===
あと、(ii)では、a_1≠a_2＝a_3 を考えてますが、
(i)では、なぜか「ある番号k」で、a_(k+1) = a_k としてますよね。
これ、「a_2 = a_1」を考えれば、いいんではないでしょうか？
グラフの呪縛？
というか、言ってしまうと、この問題、を言い換えてしまうと、
「２０１２個の項に出現する値は、１種類または２種類である」です。
(i) であのような論証をしたのは 「 p ， q が不規則に現れたりしたら…」 という不安を払拭するためでもあります
まぁ今回は思いついた解法をそのまんまタイプしたのでよりよい解法の吟味は不十分ですが…
>>25 を見てすぐに浮かんだのは多くの問題集で取り上げられている早大の97年の問題です
その早大の問題はグラフ，三角関数の活用する解法がよく知られています
そういうなじみのある解法で解いてみた，ということです
mathematicaみたいなの持ってない・・・。
でも、当初の解き方を、もうちょっと縮めた解き方を思いついた・・・かも。
しばしお待ちを。
これを連立すれば9次方程式になりますね
>>25 に書いた質問では、念の為に、
「数列のすべての項が実数である」ということを書いたのですが、
>>37 さんがうｐしてた問題文には、
そのこと書いてなかったですよね。
そんとき、虚数の可能性について触れなくても、大学入試的には構わないもんなんでしょうか？
まあ、ま、p<q のときは虚数なわけないですが。
そんな私は、高校数学に「複素平面」が含まれた時代のおっさんですが。
あと、p,qは変数ではなくて定数ですよね・・・失礼。
＝＝＝
って、実は文学部出身なので、的外れなこといってたらご指摘ください。
[2] 0 = f(p)+f(q) -p-q = (p+q)(pp-pq+qq-４),
p+q=0 または pp-pq+qq-４ = 0, ･･･(2)
p+q=0 の場合は (p,q)=(-√2,√2) → ２種類。
pp-pq+qq-4=0 の場合は (1)と連立して pq=-1,
(p+q)^2 = 1, p+q = ±1,
(p-q)^2 = 5, q-p = √5,
(p,q) = ((1-√5)/2, (1+√5)/2) または ((-1-√5)/2, (-1+√5)/2)
これは [1] [2] だけでなく元の f(p)=q, f(q)=p も満たしている。
→ 各２種類、計４種類。
９次多項式を分解するのは御勘弁。。。
必然的に実数となるので >>37 ではその説明は省きました
俺の作る解答例だとスペース的に余裕がないことが多いので
なるべく表現が短くなるように問題文に手を入れることがあります
「実数の」と書いてあったほうが丁寧ですし
あと3文字入れるくらいのスペースはありましたが…
9次多項式を分解すれば、
f(f(x)) - x = f(f(x))-f(x) + f(x)-x = g(f(x)) - g(x) = {f(x)-x)}h(x,f(x)) = g(x)h(x,f(x))
ここに
g(x) = f(x) - x = x(x+2)(x-2),
{g(y)-g(x)}/(y-x) = h(x,y) = xx + xy + yy -4,
h(x､f(x)) = (xx-2)(xx-x-1)(xx+x-1),
cos(sin(cos(π)))=cos(sin(-1))=cos(-sin(1))=cos(sin(1))
sin(π/4)<sin(1)<sin(π/2)であり、
sin(π/4)<x<sin(π/2)の範囲で、cos(x)-x>0だから
cos(sin(cos(π)))>sin(cos(sin(π)))
sin(π/4)<x<sin(π/2)の範囲で、cos(x)-x<0だから
cos(sin(cos(π)))<sin(cos(sin(π)))
a,bを実数とし、
点P(a,b)、点Q(a+b,ab)として定める。
座標平面上の楕円:ｘ^2/４+ｙ^2/３=１の内部及び周上を点Pが、点Qも内部及び周上を動くように動く。
このとき、線分PQの最大値を求めよ。
関数ｆ(x)=ｘ^π-π^ｘ(0＜ｘ＜π)とし、ｆ(x)の最大値をＭと定める。
ただし、πは円周率3.1415...とする。
(1).方程式ｆ(x)=０はただ一つの解を持つことを示せ。
(2).(1)の解をｘ=αとする。α＜ｘ＜πの範囲でＭの値をとるｘが存在することを示せ。
(3).Ｍ＞1/2を示せ。
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
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ａ+ｂ+ｃ≦10を満たす自然数(ａ,ｂ,ｃ)のうちに、ａが偶数のものがｍ通り、ａが奇数のものがｎ通りあるとすると、ｍ≦ｎであることを示せ。
平面による切り口がすべて円であるような有限な立体は球であることを証明せよ。
g(x) = (1/x)log(x) - (1/π)logπ とおくと f(x)=0 ⇔ g(x)=0,
∴ g(x) について調べる。
g '(x) = {1-log(x)}/x^2,
g '(x) < 0 (x>e) と g(π) = 0 から、g(e) > 0,
g '(x) > 0 (0<x<e) と g(1)<0<g(e) から、中間値の定理より
g(α) = 0 (1<α<e)
を満たすαがただ１つ存在、 α = 2.38217908799302
LambertのＷ函数を使えば
α = -(π/logπ) Ｗ(-(logπ)/π),
とも表せる。
母函数は G(x) = x + x^2 + x^3 + ･････ = x/(1-x),
G(x)^3 の x^s の係数が a+b+c=s の場合の数に対応する。
m-n は G(-x)G(x)^2 の x^s の係数の和（3≦s≦10）
G(-x)G(x)^2 = -x^3 (1+x)/(1-x^2)^2
= -x^3 (1+x)(1+2x^2 +3x^4 +4x^6 +････)
なので、係数の和は負。
∴ m-n < 0.
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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直径5の円の周上および内部からなる領域をDとする.
D内にどの2点の距離も2以上になるような9点を配置することは不可能であることを示せ.
引き出し論法で終了
どうやって？
失せろカス！
p=qのとき
a_1 = a_2 が必要。逆にこのとき漸化式により、p=qが成立
a_1 = a_2 と漸化式をといて、答えが出る。
p≠qのとき、
a_1=a_2と仮定すると前述の議論を考慮すると、p=qとなってしまい矛盾。
よってa_1≠a_2が必要。
すると、a_3=a_2またはa_3 = a_1
(i)a_3 = a_1 のとき、(i)と同じように、(a_1≠)a_2 = a_3 = ,...., a_2012 = 0,2,-2
よって漸化式ゆえ、 0（と２と－２）=a_1^3 -3a_1 これを解けばいいが、
そのなかに、a_1 = a_2 となり矛盾して不適となるものがあるので注意。
※ (a_2 = ) 2 = (a_1)^3 -3(a_1) でa_1を求めたら、
-2 = (a_1)^3 -3(a_1) を計算する必要はない。
-2 = (a_1)^3 -3(a_1) ⇔ 2 = (-(a_1) )^3 = -3((-a_1)) なので、(-a_1)の値が自動的にでる。
(ii)a_3 = a_1 のとき
α=a_1, β=a_2 とおくと、a_3=a_1 = β。
a_1が決まるとa_2も一意に決まる。
a_2が決まるとa_3も一意に決まる。(つづく）
でもa_3 = a_1 なので、
結局、a_1 = a_3 = ..... =a_2011 = α
a_2 = a_4 = ....a_2012 = β（α≠β）
なので、a_1 = a_3 かつ 漸化式を満たすα、β（α≠β）を求めれば数列が求まる。
漸化式でn=1のときを考えて、β=α^3 -3α････････････①
n=2のときを考えて、α＝β^3 -3α・・・・・・・・・・・・・・・・・②
①ー②より、(α-β)（α^2+αβ+β^2-2)=0 だがα≠βゆえα^2+αβ+β^2-2＝０
①＋②より、(α＋β)（α^2-αβ+β^2-4)=0
つまりα＋β＝０・・・③ または α^2-αβ+β^2-4＝④
結局「②かつ③」または「②かつ④」（α≠β）をとけばOK。
あとは
●対称性を利用する
●「③を②に代入したり、②-④を計算したり」 が無難？
===============================================================
答えは、（簡単にかいちゃいますが）
＜全部同じパターン＞
0,0,0,......................................,0
±2, ±2, ±2, ............................, ±2,（複合同順）
＜a_1≠a_2 = .... =a_2012のパターン＞
±√3,0,0,0,............................, 0
±1,干2,干2,干2,....,干2（複合同順）
＜交互なパターン＞
±√2, 干√2, ±√2, 干√2,...... ±√2, 干√2 （複合同順）
干√2, ±√2, 干√2,...... ±√2, 干√2,±√2 （複合同順）
(√5±1)/2, (-√5±1)/2, ..............以下、交代に出てくる
(-√5干1)/2, (√5干1)/2, ..............以下、交代に出てくる
・・・・書き方はしょってすみません。
線分ACの長さをmとするとき、ｍの取りうる値を、p,q,によって表せ
３点A、B、C
ではなくて、
「相異なる３点A、B、C」
以下の条件をみたすようなNをp, kを用いて求めよ。
条件：「(p^k) ! は p^Nで割り切れるが、p^(N+1)では割り切れない」
---
大学の数学やってれば簡単？
これ、高校数学の範囲でとけますか？
とけるのであれば、解き方教えてください。
{1,2,3,･･･,n} のうち、p^m で割り切れるものは [n/(p^m)] 個。
N = Σ(m=1,n) [n/(p^m)],
ここで n=p^k
おれがといたら[ ]の中身は分数じゃないんだけどなあ・・・
組み合わせは31通りしかないから
時間掛けてゴリゴリ数えれば一応解ける
とりあえず31通り書き出して、それぞれ↓のどのパターンに当てはまるか見て、偶数･奇数の個数を加算していく
1)三つの数字が異なるパターン
a)偶数×3 ａが偶数→6通り、ａが奇数→0通り(これは存在しないけど一応)
b)偶数×2、奇数×1 ａが偶数→4通り、ａが奇数→2通り
c)偶数×1、奇数×2 ａが偶数→2通り、ａが奇数→4通り
d)奇数×3 ａが偶数→0通り、ａが奇数→6通り
2)同じ数字が二つあるパターン
a)偶数×3 ａが偶数→3通り、ａが奇数→0通り
b)偶数×2、奇数×1 ａが偶数→2通り、ａが奇数→1通り
c)偶数×1、奇数×2 ａが偶数→1通り、ａが奇数→2通り
d)奇数×3 ａが偶数→0通り、ａが奇数→3通り
3)三つ同じ数字のパターン
a)偶数×3 ａが偶数→1通り、ａが奇数→0通り
b)奇数×3 ａが偶数→0通り、ａが奇数→1通り
直径5の円と中心を共有する、直径 0.99 の円を曳く。
内側には1個しかない。
外側では中心から見た角度差が45ﾟより大きいことを示す。
あれ、文字が多くてこんがらがってるけど、表現が違うだけであってる？
答えはN = p~(k-1) + p^(k-2) + p^(k-3) + .... + p~1 + p~0 = (p^k -1)/(p-1)なんだけど・・・。
↓こういうこと？
同一平面上に、直径５の円Aと直径0.99の円Bが存在し、
この２つの円は中心が一致する。この中心を点Ｏとする。ｌ
点M、Nが、円Aの周上の任意の点を動くとき、∠MON ＞ 45ﾟを示せ。
おんなじことだね、で、示せない。
ありがとうございます。
ただしくは、
「連続する素数の和は素数の２倍にならないことを示せ。」です
ってこの問題みたことあるきがする。
AC=1、０＜∠ACB = ∠ACD ＜Π/2、∠BAD=Π/2 である。
三角形BCDの面積Sの最大値を求めよ。
点M,Nは円Aと円Bの中間にある点とする。
OM=m, ON=n, ∠MON = θ とおく。
0.99 ≦ m,n ≦ 2.5
第二余弦定理から
4 ≦ MN^2 = m^2 + n^2 -2mn･cosθ
cosθ ≦ (m^2 + n^2 -4)/(2mn) ≦ 17/25 = 0.68
θ ≧ arccos(17/25) = 47.156357ﾟ
半径 0.99の円を曳く。（直径 1.98）
(k+1)^2 = k(k+2) + 1 > k(k+2),
これをk乗して k=1～n で掛ける。
(n+1)^(n+1) > (n+2)^n,
本問では n=2011
x,yについての方程式
sinπxsinπy=1/2
の有理数解を全て求めよ。
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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〔補題〕
0.9 ≦ m, n ≦ 2.5 のとき
(m^2 +n^2 -4)/(2mn) ≦ 0.68
(略証)
2mn*{0.68 - (左辺)} = 0.68*(2mn) - (m^2 +n^2 -4)
= 0.68*2*(2.5-m)(2.5-n) + (2.5-m)(0.9-m) + (2.5-n)(n-0.9)
≧ 0
= 0.68*2*(2.5-m)(2.5-n) + (2.5-m)(m-0.9) + (2.5-n)(n-0.9)
x,yは周期2をもつので、[0,2] で考えれば十分。
sin(πx)= sin(πy) = 1/√2,
(x,y) = (1/4, 1/4) (1/4, 3/4) (3/4, 1/4) (3/4, 3/4)
sin(πx)= sin(πy) = -1/√2,
(x,y) = (5/4, 5/4) (5/4, 7/4) (7/4, 5/4) (7/4, 7/4)
sin(πx) = 1, sin(πy) = 1/2
(x,y) = (1/2, 1/6) (1/2, 5/6)
sin(πx) = 1/2, sin(πy) = 1
(x,y) = (1/6, 1/2) (5/6, 1/2)
sin(πx) = -1, sin(πy) = -1/2
(x,y) = (3/2, 7/6) (3/2, 11/6)
sin(πx) = -1/2, sin(πy) = -1
(x,y) = (7/6, 3/2) (11/6, 3/2)
他にあるかも。。。
背理法で。素数の2倍になったと仮定すると最初の素数の間に別の素数があるので「連続する素数」であることに反する。
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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sin(πx)sin(πy) = (1/2){cos(π(x-y)) - cos(π(x+y))},
cos(π(x-y)) = 1, cos(π(x+y)) = 0,
(x,y) = (1/4, 1/4) (3/4, 3/4) (5/4, 5/4) (7/4, 7/4)
cos(π(x-y)) = 0, cos(π(x+y)) = -1,
(x,y) = (3/4, 1/4) (1/4, 3/4) (7/4, 5/4) (5/4, 7/4)
cos(π(x-y)) = 1/2, cos(π(x+y)) = -1/2,
(x,y) = (1/2, 1/6) (1/2, 5/6) (1/6, 1/2) (5/6, 1/2)
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x＾3＋y＾3+z＾3＝k x y z を満たす正の解 x、y、z が存在する為の実数 k の必要十分条件を求めよ。
上級問題
x＾3＋y＾3+z＾3＝k x y z を満たす相異なる正の解 x、y、z が存在する為の実数 k の必要十分条件を求めよ。
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