高校生のための数学の質問スレPART318

1 ：11/11/30 〜 最終レス ：11/12/03

【質問者必読！】
まず>>1-3をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
　　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
　　（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。

2 ：

基本的な記号の使い方は以下を参照してください。その他については>>1のサイトで｡
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
　a+b　→　a 足す b　　　（足し算)　　　　　a-b　→　a 引く b 　　　（引き算)
　a*b　→　a 掛ける b　　（掛け算) 　　　　a/b　→　a 割る b　　 　（割り算)
■ 累乗　^
　a^b 　　　　a の b乗
　a^(b+1)　　a の b+1乗
　a^b + 1　　（a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
　a/(b + c)　と a/b + c
　a/(b*c)　　と a/b*c
　はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
　a[n] or a_(n) 　　　　→ 数列aの第n項目
　a[n+1] = a[n] + 3 　→ 等差数列の一例
　Σ[k=1,n]a_(k)　　 　 → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」などで変換せよ（環境によって異なる）．）
　∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
　∫[0,x] sin(t) dt
■ 三角関数
　(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
　cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
　AB↑　a↑
　ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
　（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
　（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
　（行（または列ごと）に表示する．　例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
　P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk

3 ：

主な公式と記載例
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b　[a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a　　[２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R　[正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A)　　　　　 [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b)　　[加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a))　　[底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h　　[微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2)　[和差積商の微分]

4 ：

前スレでは馬鹿は養い難しというのをまざまざ見せつけられたな

5 ：

2x^2＋3y^2＝1を満たすx,yについて
x^2＋xy−y^2の最大値を求めよ
これを媒介変数を使わずに解く方法はありませんか？
媒介変数に気付かず解くことをシミュレーションしようとしたのですが
なかなかうまくいきません

6 ：

x^2+y^2=1のときの〜xとyの一次式の最大値みたいに
ってときにベクトルの内積の関係を使って解く方法を意識して
3次元ベクトルを考えてみたけど無理っぽい
下を予選決勝法ぽくyの二次関数とみて平方完成してから
y=x/2のときの値をどっちも代入したら最大値でるんじゃない？

7 ：

媒介変数調べてきた。
6x^2+6xy-6y^2
(3sin^2+√6sincos-2cos^2)/6
{-(2cos-√6sin/2)^2+6sin^2/4+3sin^2}/6
2cos=√6sin/2
4cos/√6=sin
cos^2+(16/6)cos^2=1
cos^2=22/6
cos=±√(11/3)
って訳だな？

8 ：

媒介変数ってようはあれだろ。代数と変わんないジャン。
sinをt,cosをkなんて適当な文字に入れ替えたらただの代数の応用って事になるんじゃないの？

9 ：

媒介変数ってようは極方程式的に考えてるだけじゃないの？
あと三角関数の性質を使いたいためだからk,lっておいたのとはちょっと違うと思う

10 ：

何が言いたいのかイマイチわからないけど、
kの動く範囲を知るには、元々の超越的な関数（sin とか cos とか）の値域を知らなきゃいかんよ

11 ：

>>8
＞sinをt,cosをkなんて適当な文字に入れ替えたら
その場合、kとlは独立にならないから、kとlの多項式と考えてはいけない
しかも、>>10にある通り、kとlの動く範囲だって無制限ではない

12 ：

極限を考える時に
例えば連続な実数値関数f(x)でx→∞を考えるときに
整数列で考えるのと実数値列？で考えて極限を取るのは同値ですか？
eの定義の時に整数列で考えて極限をとったんですが

13 ：

間違えた
kとl　じゃなくて　tとk　だった

14 ：

>>12
単調関数なら同じこと（連続である必要はないと思うけど）

15 ：

sinθ,cosθなんてただの単位円のx,yだろ。
sin,cosの三角関数の性質なんて所詮代数で表せるしろもんだ。
そりゃーsinx,とかならf(x)=sinxなんていう四速演算の関数で表せる事は無理だろうけど、
媒介変数なんてsinxじゃなくて(asinθ)=xじゃねーか。

16 ：

たしかにそういわれればそうだけど
二倍角とかsincosをひとつにまとめる時だと意味不明なるからθのほうがみやすいでしょ？

17 ：

＞sin,cosの三角関数の性質なんて所詮代数で表せるしろもんだ
今の場合、既に三角関数の値域がわかっているから簡単に思えるだけ
そもそもの値域を知るための議論は、高校数学ではごまかしてある

18 ：

>>17
誤魔化してるてどういうことですか？

19 ：

>>18
高校では実数の根本的な性質はうやむやにしてるので
絵を描いて「これが動く範囲ですよ」とか「ここで交わってそうですね」で済ませてるだけ

20 ：

>>19
緻密性？とかいうやつですか？
ここ動いたら範囲〜ではいけないことあるんですか？

21 ：

>>5の問題の質問主です
参考までに媒介変数の場合
x＝cosθ/√2
y＝sinθ/√3
とおくと
(√31＋1)/12 となります

22 ：

>>21
だからそれ極方程式意識して媒介変数作ってる

23 ：

>>5
普通は、f=x^2+xy-y^2-k(2x^2+3y^2-1)と於いて、
fx=2x+y-k(4x)=0 　 　 (←fx=∂f/∂x)
fy=x-2y-k(6y)=0
fk=2x^2+3y^2-1=0
の連立方程式を解く

24 ：

>>23
それってどういう考えから微分を行おうと考えたんですか？

25 ：

x=±√((1-3y^2)/2)をプラマイ場合分けしつつ突っ込んでxで微分じゃダメなの？

26 ：

>>25
それかなりだるそうだよ計算

27 ：

「定積分が収束」
「定積分が存在」
「定積分が有限確定」
これらはみんな同値な記述なんですか？

28 ：

>>23
この考え方知りたいです

29 ：

質問主です
>>23は正しいみたいですね
しばらく考えてみます

30 ：

　このスレのスピードは川澄奈穂美スレには及ばないが宮間あやスレよりは少し早い。
　考えてみればすごいことだ。
　高校物理スレは足下にも及ばない。ま、ただ早ければいいものではないけど。

31 ：

1/z=y+1がz=1/y+1になるまでの過程を教えてください

32 ：

逆数をとった
y≠-1に注意した

33 ：

cos=√(3/11)
sin=√(8/11)
=(24/11+12/11-6/11)/6
=30/66
=15/33
計算間違えてた・・・まあええわ

34 ：

>>29
目的関数が拘束条件の下、極地を持つ時には、目的関数と拘束条件は共に同じ接線や接平面等を
持つはずだ、といった考えなどが背景にある。
ラグランジュの未定乗数法でググれば、詳しい説明が得られるだろう。

35 ：

>>28
>>23さんの解法はLagrangeの未定乗数法という名前がついている方法で、
制約条件付きの最大・最小問題を解くためによく用いられるものです。
この問題の場合、2x^2+3y^2=1というのが制約条件です。
ただ、>>23を見ても分かる通り偏微分を用いるので、
高校生が普通に解くのであれば媒介変数を経由させる方法が手っ取り早くて簡単だと思います。
もしLagrangeの未定乗数法に興味があるのでしたら、詳細はネットで調べるか、
大学レベルの微分積分や数理計画の参考書を読まれるとよいでしょう。

36 ：

>>34
ありがとうございました
とても助かります

37 ：

>>35
おお 細かい説明ありがとうございます
やはり筆記なら媒介変数で書くべきなんですかね…
媒介は苦手なので、どうにかならないかと考えてました
ありがとうございました

38 ：

>>7 >>33 7=33か？なんか、とんでもなく勘違いをしているみたいなので、補足しておいてあげる
x^2+xy-y^2=cos^2(x)/2+cos(x)sin(x)/√6-sin^2(x)/3=(1+cos(2x))/4+sin(2x)/(2√6)-(1-cos(x))/6
=1/12+(5/12)cos(2x)+(1/2√6)sin(2x)=1/12+√(25/144+1/24)cos(2x+e)=1/12+√31/12cos(2x+e)

39 ：

英語の質問です。
発音問題を答えるコツを教えてください

40 ：

>>38ごめん、補足されてもわかんないけどさ。
俺は
√2x=sinθ
√3y=cosθ
って置いたんだよね
x^2＋xy−y^2=(1/6){3・2x^2+√6・√3・√2xy-2・3y^2}
=(1/6)(3sin^2+√6sincos-2cos^2)

41 ：

これがy軸から時計回りに回るθによる極形式である

42 ：

縦軸がｘ横線をyにすれば問題ないな

43 ：

解答には
※注:首を傾けて図を見よ
って書かないとな

44 ：

√3 + √5 は有理数か？

45 ：

>>40
38でのcos(x)をsin に、sin(x)をcos にかえると、40と同じになることは理解している？
7や33の後、1/12+√31/12にたどり着く様子が見られないから補足したんだけど、
きちんと、たどり着いていた？

46 ：

>>44
先生に聞いたら？

47 ：

>>45
なるほど、ふむふむ。素晴らしい補足ですな。

48 ：

>>44
基本問題なので、教科書か問題集の数学Aの背理法のあたりを読めば必ず類題があると思います。
解答としては、例えば、
[1] nを整数とするとき、「n^2: 3の倍数 ⇒ n: 3の倍数」を対偶を用いて示す。
[2] √3が無理数であることを背理法により示す。
[3] √3 + √5が有理数rであると仮定し、√5 = r - √3の両辺を二乗する。...
というような手順で行います。
[3]を背理法で示そうとすると必然的に[1],[2]も示す必要があるので、
解答としてはこのような順序になっていますが、実際に問題を解く場合は[3]->[2]->[1]の順に示すことが多いと思います。

49 ：

A(0,1) OA↑=a↑ OP↑=p↑でPの描く図形を求める問題で
√2 a↑・b↑＝�hp↑�h
これの答えはy=±x(y≧0)
なのですが、a↑=(0,1)、p↑=(x,y)とおいて計算を進めると、
(0,1/√2)を中心とした半径1/√2の円となってしまいます。
何処がおかしいのでしょうか？

50 ：

>>49
ベクトルbはどのように定義されていますか。
それから、√2 a↑・b↑=�hp↑�hは点Pが満たすべき条件式でしょうか。
問題文は省略せずに全文書いていただけた方が答え易いです。

51 ：

>>48
[3] は (√5+√3)(√5-√3)=2 を使う手も

52 ：

>>5
x^2＋xy−y^2=kとおいて、
2x^2＋3y^2＝1　・・・[1]
x^2＋xy−y^2=k　・・・[2]
[1]×k-[2]から
(2k-1)x^2-xy+(3k+1)y^2=0
x,yが実数になるための条件からkの範囲が出る。

53 ：

35aの(2)の問題の答えを教えていただきたいです。
また35aの(1)もあっているかどうか教えていただきたいです
やり方も教えていただければ幸いです。http://beebee2see.appspot.com/i/azuY3O6gBQw.jpg

54 ：

>>53
二項定理
教科書読め。
教科書ないならぐぐれ。
マルチするな。

55 ：

きょうかしょれべる

56 ：

ピタゴラスピラミッドだった？
（１）あってる。
(2)
(x-y)^5
=x^5-5(x^4)y+10(x^3)(y^2)-10(x^2)(y^3)+5x(y^4)-y^5

57 ：

シェルピンスキーブラケット

58 ：

　私が使っている参考書には行列の冪の定義は
AA = A^2
AAA = A^3
AAAA = A^4
…………
としか書いてないのですが、これは当然Aは右側の方にかけていくんですよね。
A^2 = AA
A^3 = A^2A
A^4 = A^3A
…………
　以下のようにAは左側の方にかけていくと値が違うわけですが、こういう冪乗は意味がないのでしょうか？
A^2 = AA
A^3 = AA^2
A^4 = AA^3

59 ：

>>58
どちらで定義しても同じであることは、乗法の結合法則からわかる

60 ：

ああ！そうですね。
ありがとうございます！

61 ：

同んなじ行列とEとは結合交換法則成り立つし

62 ：

(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
これが正しかったら矛盾しませんか？

63 ：

どうして？

64 ：

>>62
何が何と矛盾するの？

65 ：

だって1より大きくなりませんか

66 ：

例えばxがどんな値のときに1より大きくなると思うの？

67 ：

それはわからないですけど

68 ：

この話はこれで終了

69 ：

だから
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
だったら1より大きくなりませんか？
二乗ですし

70 ：

sin^2(x)≦1
cos^2(x)≦1
∴sin^2(x)+cos^2(x)≦2
だから　sin^2(x)+cos^2(x)＞1　となる場合がある、って言いたいんだろ？

71 ：

その考え方もありますね

72 ：

2乗って大きくね？っていう勘違い

73 ：

２乗するとなんだか大きくなっちゃうような気がする！！

74 ：

もう一度かんがえなおしてみます。

75 ：

>>71
なんだ、知らなかったのか？

76 ：

夜中に暇つぶしのネタ提供してくれてんでしょ。
暇なら乗ってあげなよ

77 ：

族って集合なんですか？
それともある集合(系)からある集合(系)への関係を特定するルールみたいなものなんですか？

78 ：

f(θ)=2cosθ+cos2θ
g(θ)=2sinθ-sin2θ
C:x=f(θ),y=g(θ)(0≦θ≦π/3
と定義する
直線l:y=√3xとＣとx軸で囲まれた面積を求めよ。
という問題なんですが
グラフの概形は書くことができたのですが，Cとｌの共有点も
わからず、どのように面積を求めればいいのか教えてください

79 ：

四角形ABCDが半径65/8の円に内接している。この四角形の周の長さが44で、BCとCDがいずれも13であるとき、ABとDAの長さを求めよ。
正弦定理でBDを求め、BDのsinからcosを出し、BDについての余弦定理を立てたんですが、答えが違っていました。
答えは14と4です。

80 ：

>>69
すると斜辺が1の直角三角形は存在することが出来ないと？

81 ：

>>79
自分でやった計算を具体的に書いて。

82 ：

1辺の長さがaの正四面体ABCDで、頂点Aから底面の△BCDに推薦Hを下ろすと、BH=CH=DHとなるのがよくわかりません。二等辺三角形と同じ理屈ですか？

83 ：

>>82
直角三角形の号同条件

84 ：

>>83
なるほど。ありがとうございます。

85 ：

二等辺三角形と同じ理屈だわなあ。
>>83でわかるってのは、二等辺三角形の理屈をいったいどういうものだと思っていたんだろう？

86 ：

わかってなかったってことだな

87 ：

>>85
垂直二等分線

88 ：

>>87
ああ、やっぱり、二等辺三角形の理屈ってのをわかってなかったんだな。
二等辺三角形だとなぜ底辺の垂直二等分線が頂点を通るの？
二等辺三角形の頂点から底辺に垂線を降ろすと交点は底辺を二等分する（直角三角形の合同条件）。
これをきちんとわかってないからそういうことになるんだよ。

89 ：

(A∪B)∩(A∪C)が難しいです。
AまたはBかつ、AまたはCからA,B,C全てが含まれる気がしてしまうのですが、どういうことですかね(_ _)

90 ：

>>88
この解説をみて二等辺三角形の理屈と言ってました。http://beebee2see.appspot.com/i/azuY76mgBQw.jpg
PA=PBということは△PABは二等辺三角形なので、Pから線分ABに下ろした垂線は垂直二等分線になるということです。

91 ：

>>90
なぜそうなるのかをわかってなかったってことだろ？
わかってたら、>>83を聞かずとも>>82がわかるはずだ。

92 ：

>>78
本問の場合，グラフの概形が把握できていれば交点はすぐ求まるはず（1個しかない）
面積計算は　S ＝ ∫_[ 左→右 ] y dx　が基本
パラメータ表示された曲線の場合は，実際に計算する際は置換を行う
具体的には
　　　S ＝ ∫_[ 左端でのθ → 右端でのθ ] y （ dx/dθ ） dθ
となる
変数の対応はグラフが描けていればすぐわかるはず

93 ：

>>89
.A.|.B.| C┃A∪B│A∪C┃(A∪B)∩(A∪C)
○|○|○┃  ○  │  ○　┃ 　　 　○
○|○|×┃  ○  │  ○　┃ 　　 　○
○|×|○┃  ○  │  ○　┃ 　　 　○
○|×|×┃  ○  │  ○　┃ 　　 　○
.A.|.B.| C┃A∪B│A∪C┃(A∪B)∩(A∪C)
×|○|○┃  ○  │  ○　┃ 　　 　○
×|○|×┃  ○  │  ×　┃ 　　 　×
×|×|○┃  ×  │  ○　┃ 　　 　×
×|×|×┃  ×  │  ×　┃ 　　 　×
(A∪B)

94 ：

>>89
ベン図を書け。
例えば「BかつAでない」はBに含まれるし、(A∪B)にも含まれるが、(A∪C)には含まれない。
「BかつAでない」は(A∪C)には含まれないのだから、(A∪B)∩(A∪C)にも含まれない。
つまり、B全てが(A∪B)∩(A∪C)に含まれるとは限らない。
同様にC全てが(A∪B)∩(A∪C)に含まれるとは限らない。

95 ：

>>79
基本方針はそれでよいはず
未知の2辺を x ， y とする
和は問題文からすぐにわかる
また，余弦定理からこれらの積がわかる
よって，解と係数の関係を2次方程式を作る方向に用いれば解決する
ただ，途中の式の係数はやや複雑だから，どこかで計算ミスをしているのだろう
隣接2辺が等辺の内接四角形だから，次のような技も使える
　　　対角線 AC でちょん切って， BC と DC を重ねると，二等辺三角形ができる
∠BAC の三角比はすぐわかるから， AC の長さもわかる
あとは △ABC に余弦定理でおｋ

96 ：

マンズソーズベンズ

97 ：

ベソジョソソソソ

98 ：

>>90
君はまず「理屈」を辞書で引いてみた方がいいと思うぞ。

99 ：

>>92
ありがとうございます

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