【東大受験生】今日の一問【御用達】

1 ：2012/04/15 〜 最終レス ：2012/08/12

主に東大受験生に向けて日々一題数学の問題が出題されます。
東大受験生や数学が得意の受験生は挑戦してみましょう。

2 ：

期待

3 ：

誰が投下するんだよ

4 ：

問題もなしにスレ立てとな

5 ：

詳しくは東大理系スレの流れを確認してくれ。
かなり荒れてるんだ。
君たちが興味持つならうざい奴もこっちに移ってくれるでしょう。
盛り上げてやってください。

6 ：

文系用もｷﾎﾞﾝﾇ

7 ：

誘導
【東大】今日の一問【理系】
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1334452461/

8 ：

整数a,b,x,yが
a^3+6ab^2=x^3+6xy^2
3a^2b+2b^3=3x^2y+2y^3
を満たしている。
(a,b)=(x,y)を示せ。

9 ：

このスレは>>7よりも難度が高めということで
差別化を図ろうと思うんだが、需要はあるのだろうか

10 ：

無いみたいだな

11 ：

くこか〜＾＾

12 ：

円Cの周上に,等間隔に(2n-1)個の点をとる.ただし,nは3以上の自然数.
この中から相異なる5点P_1,P_2,P_3,P_4,P_5を無作為に選び,
P_1→P_2→P_3→P_4→P_5→P_1と線分を結んで得られる図形をLとする.
(1)Lが星型になる確率を求めよ.
(2)Lが星型になり,かつその中央にできた五角形に円Cの中心が含まれる確率P(n)を求め,lim[n→∞]P(n)を求めよ.

13 ：

あれ？トリップ違う気がするな.
まあ,いいか.

14 ：

偽物さん乙ですｗ

15 ：

平面上の三角形の三辺の積をL,面積をSとする.
三角形の形を変化させるとき,L^2/S^3は最小値を持つことを示し,その値を求めよ.

16 ：

[過去問]
正四角錐Vに内接する球をSとする.
Vを色々変えるとき,比
R=(Sの表面積)/(Vの表面積)
の取りうる値のうち,最大のものを求めよ.
ここで,正四角錐とは,底面が正方形で,底面の中心と頂点を結ぶ直線が底面に垂直であるような角錐のこととする.

17 ：

>>12
(1)1/12
(2)P(n) = (n+1)n/{48(2n-3)(2n-5)}, lim[n→∞]P(n) = 1/192
>>15
正三角形のとき,最小値 64/(3√3)

18 ：

a, b, p, q を無理数とする.
次の 2 つの x に関する方程式 �@, �A を考える.
　　　x^3 + ax^2 + bx + c = 0　... �@
　　　x^2 + px + q = 0　　　　　... �A
�@ が有理数の解をもたないとき,
�@ と �A は共通解をもたないことを示せ.

19 ：

ごめん, 間違った.
下に正しい問題書く.

20 ：

a, b, p, q を有理数とする.
次の 2 つの x に関する方程式 �@, �A を考える.
　　　x^3 + ax^2 + bx + c = 0　... �@
　　　x^2 + px + q = 0 　　　　　... �A
�@ が有理数の解をもたないとき,
�@ と �A は共通解をもたないことを示せ.

21 ：

xの多項式 f(x) があり,任意の実数aに対して, f(x) - f(a) が常に
x^3 - a^3 で割り切れるとする.
このとき,ある多項式g(x)によって f(x) = g(x^3) と表されることを示せ.

22 ：

(1)
天使はつねに真実を述べ,悪魔はつねに嘘をつく.
A, B は悪魔か天使であることはわかっているが,どちらかはっきりしない.
A がこういった.
「わたしが天使ならば, B も天使です」
この 2 人の正体を調べよ.
(2)
3 人の女神が口論している.
もっとも美しい女神はただー人であるとする.
また,もっとも美しい女神のみが真実を述べる可能性を持つ.
3 人がこういった.
アテナ「もっとも美しいのはアフロディテではない」
アフロディテ「もっとも美しいのはヘラではない」
へラ「わたしがもっとも美しい」
この 3 人の中でもっとも美しい女神を調べよ.

23 ：

おい！もう一問！
もとのスレに戻ってこい！
こっちじゃ誰も解かないぞ

24 ：

Prove that if one and only one edge of a tetrahedron is greater than 1, then
its volume is ≦1/8
tetrahedron……四面体

25 ：

>>12
まとめる際に問題文は多少変更しました（解答も変わってます）
変更した部分が問題解決の本質に繋がるのなら申し訳ありません
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/345854.pdf
　・合計が (1) となるように事象をうまく分割できる
　・極限だけなら簡単に求まり，検算に役立つ
といったテクニックが使えるのかも知れませんが
俺には見えませんでした
面白い問題とは思うけど，あえて言わせてもらえば
入試問題としてはあまりいい出来ではないと思います
入試では厳しい時間制限があるのでもう少し誘導をつけるべきでしょう
解答の表現も人それぞれになりそうで採点も大変になると思います
もっともそれ程多くの人が解けるわけではないでしょうが…
解けない人が多くなるということは得点の分布に偏りが生じて
選抜試験としてはあまり役に立たないかもしれません
受験生が受験という困難を乗り越えていくのを
手助けするような問題ももう少し増やして頂ければと思います
高い能力をお持ちなので，そういう問題も多数作れると思うのです

26 ：

訂正
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/345856.pdf

27 ：

>>20
　　　x^3 − 2√2 ＝ 0　…�@
　　　x^2 − 2 ＝ 0　…�A
のとき，�@は有理数解をもたないが
�@�Aは共通解 √2 をもつが…

28 ：

>>20
やってしまいましたなぁ

29 ：

ごめん, c も有理数.

30 ：

>>20
対偶、共役解、解と係数の関係、ごにょごにょ

31 ：

>>20 解答例
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/346847.pdf
方針は >>30 さんが述べておられるとおり
別に難しくはないが，どこまでを前提としてよいか判断に困る
解説に加えた性質の証明も要求しているなら
それも設問にするべきと思うがいかがでしょう
それとも，根本的に別の方針があるんですかね

32 ：

>>31
いつもお疲れ様です。勉強になります。
このスレでは解答を要求されないんだからもう一問さん戻ってきてくれないかなー

33 ：

>>21
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/347362.pdf
「注」を認めていいなら（事実だけは教科書にも書いてある）適度なレベル
これの証明は経験がないと発想しにくい

34 ：

半径 a, b (a＞0, b＞0) の球がそれぞれ 2 個ずつあり, どの球もそれ以外の 3 つの球に外接している.
これらの球の接点から任意に 2 点を選び, その 2 点間の距離を考える.
それらの距離のうち, 最大のものを a, b を用いて表せ.

35 ：

>>34
合ってるか合ってないかぐらい言ってくれないと
本当に意味のない出題になると思うのですが？

36 ：

>>34
√（2ab）

37 ：

>>36
正解です.

38 ：

>>33も正解です.

39 ：

めんどくさいならもうやめればいいのにw

40 ：

面白い積分を見つけたので, 勉強の息抜きにでも.
n が 2 以上の整数のとき,
　　　　　∫[0→π/2] sin(nx) (cosx)^(n-2) dx
を求めよ.

41 ：

出題者の振る舞い方ひとつでスレの盛り上がりがこんなにも違うんだな

42 ：

もう一問さんの問題は問題集では見かけないものが多いので
出題を楽しみにしてるんですけどね
難しすぎる問題にはもう少し誘導を付けるべきとは思うが
他所のスレで見た問題
xyz 空間上に2点 A （ 1 ， 0 ， 0 ）， B （ 0 ， 1 ， 0 ） をとる．
点 P が線分 AB 上を，点 Q が z 軸上の　z ≧ 0　の部分を
PQ ＝ 1　を満たしながら動くとき，
xy 平面と線分 PQ の軌跡とで囲まれる領域の体積を求めよ．
解答例
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/353108
パスは >>40 の解答を半角で

43 ：

>>42
1/4
あんまり自信ないけど…

44 ：

出題者も回答者（ほぼひとりだけど）も内に籠っちゃったこのスレはもう終わりだね

45 ：

>>43
>>42 の問題の答えなら残念
どの平面での切り口を捉えるかが鍵になる
それがわかればあとは15分くらいの処理量で済む
vip ではアステロイドに着目する解法があるかもと言ってた人がいた
>>40 は n に具体的に 2，3，4，… を入れてみれば容易に予想できる
ただ，この方針ではちゃんとした解答にはしにくいだろうけど
三角関数は公式が多いので多少の試行錯誤は必要になるだろう
運がよければ5分もあればできる

46 ：

微分法の基本問題です.
実数 x に対して,
　　　　　f(x) = x cos(π/x)
とおく. x ≧ 1 のとき,
　　　　　f(x+1) - f(x) ≧ 1
を示せ.

47 ：

aを0<a<1/2を満たす定数とする。A(a,0)とする。
円x^2+y^2=1の周上に点Pが、直線x=a上に点Qがあり、PQ＝aを満たしながら動くものとする。
このとき、AQの長さのとりうる値の範囲を求めよ。
これはどう解けばいいでしょうか

48 ：

>>47
Q（ a ， q ）とする
中心 Q ，半径 a の円 C が単位円と共有点（これが P ）をもつときを考えればよい
最大となるのは，もちろん Q が単位円上に来るとき
最小となるのは，円 C が単位円と接するとき

49 ：

>>48 訂正
最大になるのも接するとき

50 ：

　　 /＼＿＿／ヽ
　 ／／~　　~＼:＼
　｜ (●)　(●) :｜
　｜　ノ(＿)ヽ ::｜
　｜　`-=ニ=-′::｜
　 ＼　 `＝′ ::／
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼
　 ／｀ー――-´＼

51 ：

sin(x^2) は 周期関数 か ?

52 ：

2つの自然数で、その和が4984、最小公倍数が162540であるものを求めよ。

53 ：

>>52
東大受験生向きの問題をお願いします
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/4007984.html

54 ：

x,y が整数であるとき、 x/15 + y/20 の形に表される最小の正の有理数は何か。

55 ：

1/60

56 ：

これは簡単過ぎるかも...
しかし演習効果はなかなか高いと思います.
n を自然数とする.
(1) lim[n→∞] ∫[0,π/2] (1 - cosx)^n dx を求めよ.
(2) lim[n→∞] {∫[0,π] (1 + cosx)^n dx} / {∫[0,π] (1 + sinx)^n dx を求めよ.

57 ：

これは簡単過ぎるかも...
しかし演習効果はなかなか高いと思います.
n を自然数とする.
(1) lim[n→∞] ∫[0,π/2] (1 - cosx)^n dx を求めよ.
(2) lim[n→∞] {∫[0,π] (1 + cosx)^n dx} / {∫[0,π] (1 + sinx)^n dx} を求めよ.

58 ：

>>57
これはおもしろいですね
計算できる人のほうがかえって苦労しそう

59 ：

>>58
そのトリップは (2) の答えですね.
正解です.
確かに, センスのある人は (1) も (2) も暗算で答が出せそうですね.

60 ：

0
1/2
おもんない

61 ：

>>60
(1) はどう示しましたか ?

62 ：

>>46

63 ：

誰か>>46解けた？
平均値の定理使うと成り立たなそうなんだが…

64 ：

5x≡1（mod 12）を満たすx を求めよ。

65 ：

>>61
解答作らないくせに人に質問するなよ

66 ：

このスレにまで来て解答クレクレは、流石にやめろや…
てか、解答クレクレ荒らしって向こうのスレ主の塾の生徒？

67 ：

>>63
今日のもう一問 ◆gMApZoM0qsM7
こいつに聞けよｗｗｗｗ

68 ：

>>63
x ≧ 2 なら平均値定理ですんなり片付く
1 ≦ x ≦ 2 のときは俺は少し悩んだ
グラフの凸性を踏まえて
y ＝ f ( x )　と　y ＝ f ( x + 1 )　のグラフの y 座標を比較した

69 ：

>>64
合同式の問題なんて出ないと思うが。
5x≡1 (mod12) ⇔ 5*5x≡5 (mod12) ⇔ x≡5 (mod12)
または
5x≡1 (mod12) ⇔ 5x≡1+24 (mod12) ⇔ x≡5 (mod12)

70 ：

これはちょっと難しいかな... ?
よくあるネタなんですが... (神大, 北大 等で類題あり)
(1) x ＞ 0 のとき, 不等式
　　　　　x - x^3/6 ＜ sinx ＜ x - x^3/6 + x^5/120
が成り立つことを示せ.
(2) 0 ＜ x ＜ π/2 の全ての x に対して, 不等式
　　　　　(sinx)/x ＞ cos(αx)
が成り立つような正数 α のうち, 最小のものを求めよ.

71 ：

1/√3

72 ：

>>71
論証した？
答の当たりをつける位なら誰にでも出来るが、
論証はなかなか出来ない、という問題じゃない？

73 ：

論証も何も・・・・２回微分すれば明らかなんだが＾＾；

74 ：

>>68はスルーか

75 ：

>>74
もう少し詳しく書いていただかないと, 合っているかどうか判定出来ません...
平均値定理で "すんなり" 片付く, というのには懐疑的ですが...
>>73
簡単だったようですね, 失礼しました.
ところで, (1) が強力な誘導になっているのですが, 気付かれましたでしょうか ?

76 ：

あっさり答だけ書かれるとムカつく
書くなら途中もちゃんと書けよ

77 ：

まともにコミュニケーション取れたんだ

78 ：

>>46 解答例
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/355272.pdf&key=math
こういうことなんですけど，どっかまずいですかね
計算，グラフは wolframalpha や GeoGebra でも確認しています
なお，俺は >>74 とは別人です，念のため

79 ：

>>78
お見事です.
こんなに素直に解けるんですね.

80 ：

なるべく計算量が少なくなるような解法を考えてみて下さい.
楕円に内接する長方形の辺は,
長軸または短軸のいずれかに
平行であることを証明せよ.

81 ：

>>79
自分の考えてた解はめんどくさいから書く気ないよね

82 ：

途中も書けというのでとりあえず俺が答えた分は上げておきます
>>57 解答例
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/355347.pdf&key=math

83 ：

>>82
正解です.
(1) は,
　　　　　1 - cosx ≦ 1 - (cosx)^2 = (sinx)^2 ≦ x^2
とする手もあり.

84 ：

>>83
ごめん, 大ウソでした.
>>81
π/x = π/(x+1) + π/(x^2+x)
1 = {cos(π/(x+1))}^2 + {sin(π/(x+1))}^2

85 ：

二人が同時にそれぞれ一枚の硬貨を投げる試行を続ける.
一方の表の出た回数が, 他方の表の出た回数より二回多くなったとき, 試行を終える.
n 回目に試行が終わる確率を求めよ.
ただし, 硬貨の表が出る確率は 1/2 とする.

86 ：

　　　　　a = cos6゜
　　　　　b = sin6゜
とする. 以下の問いに答えよ.
(1) 次の等式を証明せよ.
　　　　　a^5 - 10a^3b^2 + 5ab^4 = (√3)/2
　　　　　5a^4b - 10a^2b^3 + b^5 = 1/2
(2) a, b はともに無理数であることを証明せよ.

87 ：

>>85
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/356128.pdf&key=math

88 ：

>>87
正解です.
連立状態から抜け出すことも出来ます.

89 ：

n と a を自然数とし, 以下の命題 P, Q を考える.
　　　　　P : n が a で割り切れるならば, n の各桁の和も a で割り切れる.
　　　　　Q : n の各桁の和が a で割り切れるならば, n も a で割り切れる.
(1) 任意の自然数 n に対して P が真となる自然数 a をすべて求めよ.
(2) 任意の自然数 n に対して Q が真となる自然数 a をすべて求めよ.

90 ：

自然数 m, n が
　　　　　√n ≦ m/2 ＜ √(n + 1)
をみたしているとき,
　　　　　m ＜ √n + √(n + 1) ＜ m + 1
が成り立つことを示せ.

91 ：

阪大

92 ：

a , b , c を実数とする．3 次方程式
　　　　　ax^3 + bx^2 + cx - b/3 = 0
の実数解 α で,
　　　　　-1 ＜ α ＜ 1
を満たすものが，少なくともひとつ存在することを示せ．

93 ：

>>92
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/357216.pdf
パスは sin18°の近似値を有効数字3桁で半角で入力（0.*** と5文字入力）

94 ：

ここはレベル高いなあ…

95 ：

こういうのは「レベル高い」とは言わんよ
受験数学の縛りの範囲で受験に役立たないことをシコシコシコシコ．．．
無意味すぎて哀れ

96 ：

>>93
正解です.

97 ：

>>78と>>82と>>87と>>93をもう一度上げてもらえませんか？お願いします。

98 ：

>>97
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/357657.zip&key=math

99 ：

>>89ってどうやって解くんですか？
面白そうと思って考え始めたが、全然わからぬ

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