力学･解析力学part2

1 ：2010/09/17 〜 最終レス ：2012/11/15

ここは学部程度の力学・解析力学のスレです
キーワード
ニュートンの３法則、質点、運動量保存則、エネルギー保存則、角運動量保存則
慣性モーメント、変分原理、一般化座標、一般化運動量、ハミルトン-ヤコビ方程式
ラグランジアン、ハミルトニアン、正準変換、正準共役、不変性と保存則、母関数
ネーターの定理、ポアソン括弧式、シンプレクティック幾何学

2 ：

ma = F
って質量の定義式？力の定義式？

3 ：

>>2
両方

4 ：

1ccの水を1gとする。話はそれからだ。

5 ：

>>4
そんな200年前の定義はダメ。

6 ：

力の定義は
　F＝dp/dt
力とは運動量を変える働き。
　F＝0の時、p＝一定、これは慣性の法則である。
でもニュートンの３法則の内、第一法則が第二法則に含まれるように見える
が第一法則は独自の意味を持っている。(低

7 ：

ここは恥部程度の力学・目子筋力学のスレです

8 ：

>>２
バネの定義かも知れない罠

9 ：

ばねはない

10 ：

全ての物理量は、他の物理量との相互作用を通じてしか定義できないのかな？
相互作用を必要とせずに定義可能な物理量ってのは存在しえないのかな？

11 ：

相互作用は粒子同士で働く力なので意味が通じない。
普通に相互作用と言えば４つの相互作用を指す。

12 ：

じゃあ>>10さんが言いたかった事は、物理学的に言うと何だろう。

13 ：

>>６さんへ
第１法則はあまりに簡単で、第２法則の方が１００倍の内容を持っている、
と誤解している人も、いや誤解している先生もいる。
第１と第２は独立な内容。左足と右足。
第２法則の語る力で生じた加速度は、
第１法則の対象である、慣性系である座標系たちの無数の存在と、
それらがガリレオ変換で結ばれる関係を知らなくても語れる。
式を使って書くなら、
どのような慣性系から見ても、第２法則　Ｆ＝ｍａ の加速度 ａ は同様に見える。
すなわち、Ｆ＝ｍａ の関係は、第１法則が語る無数の慣性系の存在を
知らせてくれない。だから、別件、第１法則に言及しなければならない。
次に、非慣性系たち、の話であれば、
第１法則と第２法則が、同様な働きとして混在する。
この中で、第２法則は、古典的にはみかけの力を生み、一般相対論的には、等価原理を生む。

14 ：

>>12
相互作用→相互関係
他の物理量との関係式であらゆる物理量は定義されているから、
堂々巡りしているって言いたいんだろうな。
経験則からの定義が嫌ならば、解析力学の最小作用の原理から物理量を導いたら
俯瞰的に見れると思う。

15 ：

>>14
なるほど。
ありがとう。

16 ：

>>13さん
第一法則は全体の枠組みを説明しているのかなと思っています。つまり運動
を語る上で空間とか時間の等質性です。等速直線運動するなら、空間のあら
ゆる場所での等価であることの保障。時間に対しては未来永劫にわたってつ
づくという保障。
慣性系で止まっている質点は、力を加えない限り未来永劫にわたって止まっ
ていることの保障を与える。
そういう理解でよろしいかと？

17 ：

ラグランジアンの空間並進で０と取ると運動量が一定となるので
第一法則と同じでは？

18 ：

ワシの高校の先生は、
　第一法則の意義は、
　そもそも第一法則が成り立つような座標系がこの世に存在し、
　これらの座標系が互いに等速直線運動している関係にある。
　つまり、慣性系が存在して、ガリレイ変換で互いにコンバートできる。
　そこでは第２法則以降の法則が同様に成り立つよ。
という宣言だと教えていたよ。
宇宙観的にいえば、
慣性系というものは無数に存在して、
どれも物理法則的には同等だから宇宙に特別な絶対座標とかは
ないと思っていいよ。
とも解釈できるんだと。

19 ：

第一法則は
現代的にはそういう解釈（慣性系の存在の主張）
が適切なんだろうね。
歴史的には、たぶん、アリストテレス的な見方
（動いている物体は力を加えていないと減速する）への反論として
慣性の法則が提起されたんだろうけど。

20 ：

アリストテレスは間違ってるって言ってるわけだからな
今で言うとアインシュタインは間違っているみたいなもんだ
それが通ったんだからすげーよ

21 ：

第一法則は空間の並進対称性につながるモノと思う。
多粒子系で粒子同士相互作用ある場合でも作用反作用の法則から重心が取れる。
その重心の運動はあたかも一個の粒子が等速直線運動しているように見える。
運動量保存則が成り立つような空間は並進対称性が謳えるのでは。

22 ：

>>145
その通り、つか「ネーターの定理」って聞いた事無い？

23 ：

あれ、アンカーをめちゃくちゃに間違えたｗ
>>22 は >>21 へのレス。

24 ：

サンクス
名前は知っているけどまだ解析力学やり始めたばかり。
それまで楽しみにしている。
慣性の法則の意義についてしばらく考えてみた。ここでは法則の普遍性に
ついて言いたかったのではと思う。つまり
「これから述べる法則は条件さえ同じならいつでも、どこでも成り立つ」
ということだろうと思います。

25 ：

空間の一様性、等方性、時間の一様性、対称性。

26 ：

慣性の法則が空間の一様性と結びついているのは分かるけど
時間の一様性との結びつきは今ひとつピンと来ない。

27 ：

力学を一生懸命勉強したのにボーリングのスコアが伸びません…
150点を超えられる日は来るのでしょうか？

28 ：

>>27
その勉強が活かせるように、まずは体の正確な制御ができるようになって下さい。

29 ：

>>27
解くときは、初期条件が重要。
x(t=0), v(t=0)の誤差を減らすことにより、170。
マイボール使用でより正確になり、260までは行った。
が、時折襲ってくるケイオティックな挙動に悩まされ、頭打ちに・・・。

30 ：

>>26
一様でない時間とはイメージしにくい。

31 ：

振動数が突然変わったり
回転数が力を掛けないのに変わったり
では

32 ：

空間が一様で無いと言うのも、実際にはやっぱり判定しづらいような。
例えば、ある領域に突っ込んだらすべての物体が縮んだり伸びたりするとする。
しかし、すべての物体が同様に伸び縮みし、光の速度も物体の速度もそれに辻褄が合うように
遅くなったり速くなったりしてたら果たしてそれに気づくだろうか？
要するに何らかの「他所とは違う」ような目に見える測定結果が起きない限り分からない。
それが起きない限り「一様等方」だと考えざるを得ないわけで。

33 ：

質問です!
熱力学と流体力学と材料力学と機械力学、勉強するのに時間かかる順に並べるとどうなりますか？
「工」学部でふつう習う範囲としてです。

34 ：

>>32
それ、相対論まであと一歩のところまで来ているよ。
よく使われる喩えでは
重力場の中で自由落下している箱の中にいる人は
自分が重力場の中にいることがわかるだろうか？
無重力空間の慣性系と区別着くだろうか？
って奴だな。

35 ：

>>32
すべてが同時に縮んだり伸びたりしても比較する対象がなければ意味ない。
こんなのもある。空間各点で一様な曲率を持ったならN+1次元の球の表面
になるけど、慣性の法則は成り立つと思う。ただし等速直線運動するけど
元の位置に戻る。

36 ：

>>35
>空間各点で一様な曲率を持ったならN+1次元の球の表面
>になるけど
細かいけど、これは間違い。

37 ：

>>33
機械力学というのは具体的には剛体の静力学及び動力学のことかな？
だとしたら流体力学>材料力学>機械力学>熱力学という順かな。
熱力学は統計力学が絡まない範囲でならかなりコンパクトにまとまっていて
学ぶのにそんなに苦労はしない。工学部で学ぶ程度なら他の物理学の分野
と比べて圧倒的に学ぶべき量が少ない。熱力学の法則を理解して
エントロピーが計算できるようになれば十分では？
機械力学は、教養科目で古典力学を学んだと思うので
手っ取り早く理解できるはず。考え方の手法がニュートン力学まんまだし。
材料力学は、弾性領域までしか扱わないのなら機械力学よりも早いかも。
とりあえず、棒の伸び縮みと梁の歪みが計算できればいいでしょう。
流体力学はとにかく膨大。他の3つとは比べものにならない。
基礎知識としてベクトル解析と複素解析と偏微分方程式は必須。
数学的にかなり難易度が高い。

38 ：

電磁気のクーロンの法則と万有引力の法則と同じ形をしているけど
決定的な違いは電磁気が近接作用に対して
万有引力は遠隔作用。

39 ：

なんか教科書に書いてある事ばっかじゃん。
面白い話題よろ

40 ：

>>38
だったら別に近接作用の表式に合わせた方が見やすくね？

41 ：

書き込み少ないと「エルネギー運動量テンソル」すれのように削除人
から、消されるので38を書いた。たんに"age"ではツマラないし、すこし
話題を等価のつもりあった。39氏にはスマソ。
>>38
一般相対論では質量のある引力が働いている空間は曲がってしまうので
遠隔作用と言うには不自然な気がする。

42 ：

つまり、どういうことだってばよ・・・

43 ：

お前らyahooオークションをみような
解析力学ノート　がなんと１円！！
http://page11.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/n88303581
急げ！これを読んでからレスするように

44 ：

遠隔作用は近傍の空間にいっさい影響を与えないと定義されている。
砂川の電磁気の教科書を詠め。

45 ：

>>41
相対論以前では、ニュートン力学的には、万有引力は「遠隔作用」である。
なぜなら、それを伝えるための媒質が無くては力が働かない…というのは日常からの経験だが、重力だけはジャンプしても逃れられない。
その時、人間と地球との間に媒質を仮定しては、
また宗教的なものが科学に入り込む可能性を危惧した。
そこで、仮定を全て省くという意味で、遠隔的と強調した。。。というニュートンの話。
ここで大事なのは、遠隔作用が正しいとかの話よりも、歴史的経緯を読む事によって
当時の状況を考える必要がある、ということ。
今ではトンデモ理論でも正しいかどうかを検証すればいい・・・なんて考えだが、
昔はきっと宗教的にダメなものは科学的に説明がついてもタブーだったのだろう。
>>44
定義っていうよりも、言葉の意味じゃないか？
まぁ定義とも言うだろうけど。

46 ：

>45
なるほどそうでしたか。さんくす。
38だが、残しておきたいスレですので皆様の協力を。

47 ：

http://page18.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/w56037600
これは安いね　力学マセマが１円って・・・

48 ：

>>45
でも、電磁気学でdivD=pが出てきたのに、重力でも似たような式が作れそうな予感がするんだが…それができなかったのはなぜなんだぜ。
質量もマイナスがあってもいいじゃないか。。といっても、電場に対応する磁場、みたいに
重力に対応するものが無かったからそうしなかったのかな、と今思った。

49 ：

ブラックホールは電荷、ブラックホールの２連星は磁値になるんじゃなかろうか、しらんけど

50 ：

でも重力波とか重力四重極子なんてものもあるんだよね。

51 ：

地球を密度一様な球体と見なしたときに、
中心を通る風穴を空けてそこから物体を落下させ、
手元まで戻ってくるまでにかかる時間が
第一宇宙速度で地球を一周する時間と等しいですがこれは…

52 ：

>>51
それがどうかしたの？
どちらも自由落下してその勢いで戻ってくるまでだから、尤もだとは思うが。

53 ：

>>52
でも、人工衛星のほうは地球全体に引かれているけど
穴の物体のほうはいわば内側部分だけに引かれているから
両者の周期が一致するのはやっぱり面白い。
ああ、これは調和振動子の周期が振幅によらないからだね。

54 ：

>>48
リーマンテンソルの何が不満だ

55 ：

なぜラグランジュ形式以外にハミルトン形式が必要なのか？

56 ：

自分も同じ疑問を持っていていろいろ探したら
ウイキで「シンプレクティック幾何学」という項目にヒットした。
自分(低)にとってハードルが高い。引用しとくけど
ハミルトン形式においてもっとも特徴的なことは、方程式が対称的であり、
かつ、一般化座標と一般化運動量の二つが独立に扱われることである。こ
の事実は、系の対称性や可積分性を調べるにはハミルトン系のほうが都合が
よいことを意味する。なぜなら、ラグランジュ形式は配位空間上の対称性し
か扱わないのに対して、ハミルトン形式は相空間（=配位空間の余接バンドル）
上の対称性をも扱うからである。つまり、ハミルトン形式の方がより多くの
変換が許容される。
==引用終わり

57 ：

>>56
ありがとう。
勉強になりました。

58 ：

えっ全部わかったの？解説してくれる？

59 ：

そのへんは
レベルの低い大学で物理スレよくに出てくる東大数学科(650)さんあたりが
解説してくれるとありがたい。

60 ：

>>58
何が分からないの？

61 ：

接バンドルとか余接バンドルとか？
です

62 ：

接空間とかの定義は理解してる？
接バンドルってその和空間だよ。
余接空間は接空間の双対空間。

63 ：

接空間とは
なんらかのベクトル関数を時間微分したヤツ
あるいはスカラー関数を偏微分して基底ベクトルで線形結合したヤツの
全体の集まり。
でいいかな？

64 ：

つまり、何かしらのベクトルを微分したものの集まりを接空間というんですね。
物理で言えばベクトルというのは状態ベクトルなどのベクトルも扱ってもよいのですか？

65 ：

というより微分作用素のなすベクトル空間が接空間。
多様体の入門書で基本的なことを抑えておくといいよ。

66 ：

本嫁。基本中の基本。こんな所で聞く様なことじゃねぇ。

67 ：

スマソ
なにぶん(低)な学校なもんで、
「解析力学と微分形式 (現代数学への入門)」 深谷賢治著で
勉強してみます。

68 ：

>>67
訊きたいから質問したんだろ？
他人のたわごとなど気にするな．

69 ：

今の解析力学はシンプレクティック幾何学まで踏み込んでやるの？

70 ：

あそこまでいったら物理じゃない。

71 ：

>>69
興味があるとこまでやってみるのが一番いいと思う。
可能性のある限り何をやってもいいかと。

72 ：

Rも？

73 ：

「解析力学・量子論」須藤靖著という本買った。
その41pの下の方に
概要
「ニュートンの方程式からでも、エネルギー運動量角運動量の保存則は
導けるが、それを何回繰り返したところでも、それらの起源が時空間の
持つ対称性にある結果には到達できまい。ラグランジュ形式のおかげで
それに到達できる・・」
ちょっと夢を砕くような内容でした。ぜひお読みになってください。

74 ：

今読んだ

75 ：

>>74
概要じゃダメなのかも？
実際、>>73を読んでも『夢を砕く内容』が伝わってこないし。

76 ：

ニュートンの方程式から保存則を導く場合単に時間にたいして一定の積分定数が出るって事しか示せない。
別に夢を砕くも何も無いと思う。
ニュートンの運動方程式はイメージングは素晴らしいと思うけど、その考えをいつまでも持っていてもなぁ…。ラグランジュ形式というのも偉大なものだとおじさんは思うぞ。
場の量子論とかまで勉強してても未だにラグランジアンとか出てくるあたり、ニュートンよりもっと深みがあって面白い内容を持ってるんじゃないかなって個人的には思う。
確かに初期段階ではニュートンの方程式だけでどこまでやれるか、とか気になるとは思うけど。

77 ：

いったい、どこが夢を砕く内容だと思ったのかは気になるね

78 ：

運動量保存則は作用反作用の法則の反映ですね。内部で相互作用する複数の
粒子系で孤立しているなら結局一個の粒子に見なせるわけで、それが等速
直線運動しているのと同じになります。等速直線運動をよく考えてみると
入れ物としての空間のあり様を規定していると思うのです。トンデモかも
しれません。
ラグランジュ形式はなんとなく数学のロピタルの定理にみたいに強力過ぎる
感じがします。

79 ：

>>78
ロピタルの定理ってそんなに強いのか？
証明の仕方からすると、ロピタルの定理ってそこまで強くない気がする。
そしてほとんど使うことが無いというのもポイント。
ラグランジュ形式様はどんな（言いすぎ？）状態でもラグランジアンが書き下せればあとは形式算によって運動が分かるのが魅力。全然比較にならん。

80 ：

私には「強力過ぎる」と言う価値判断が良く理解できない。
強力な定理があると言うのは普通、嬉しい事だと思うのだが。

81 ：

エレガントさに欠ける、って事かと。

82 ：

強力過ぎて胡散臭い、本当にそんなにいつでも通用するの？と言う疑いを持ってると言うならそれはそれで分かるけど。

83 ：

高校の時ロピタルの定理を使ったら減点された。
82さんに近い、つたない文章ですまんが
強力というのは
運動方程式の直角座標から極座標への変換も楽になる。
胡散臭いと感じるのはランダウの本では最初にラグランジァンありき から
はじめているが実はラグランジァンの形は方程式に合うように決めている。
これ見てラグランジュ形式がそんなにエラくはないと感じる。
エネルギー運動量保存則の起源が時空の並進対称性から来ていることを
ニュートンの三法則から導けないのかなと願っている。

84 ：

「解析力学・量子論」によると
第二法則は力と質量と加速度の関係を述べたものであり、
この式をよく"力の定義式"と主張する人がいるが不適切だとのこと
それだと第二法則の意味を失ってしまう。力は別に定義するとある。
この本の解説だと力はすでに分かっているものとして進めなければ
ならないのでは。

85 ：

デパ地下に貧乏人が来てはエレガントさに欠ける、って事かと。

86 ：

＞力は別に定義するとある
最後はどうしても定義できない語句がある。日常的に
既によく知られた概念では、無定義語句のひとつである。
ここでは運動状態を変える働きでいいと思う。あいまいになるけど
しかたない。

87 ：

>>84
どう力を定義するのか知りたい
普通に考えればF, mは無定義用語だろ
その性質を規定する公理が運動方程式で

88 ：

質量の定義は第三法則

89 ：

88
説明して呉

90 ：

マッハの力学でも読んでなさい

91 ：

V(ｒ) = -k/|r|　で表わされる中心力の中での質点の運動について。

初期条件は、ｒ↑(t=0) と ｖ↑(t=0) で６成分ありますが、
対応する保存量は、エネルギーE、角運動量Ｌ↑ の４成分しか無いんでつか？

92 ：

>>91
それは変ですねぇ。

実はもう一つの保存量があります。
これは Laplace-Runge-Lenz のベクトルと云って、
　Ａ = ｐ×Ｌ - mkｒ/|r|,
　Ｌ = ｒ×ｐ,
　ｐ = mｒ'　　　　{ ' は時間微分(d/dt)}
と定義されます。×はベクトルの外積です。
この式には中心力の強さを表わす定数mkが入っています。
また、明らかにＡはＬに垂直ですから、実質的には２成分です。
次に Ａ' = ０　を示しましょう。
〔補題1〕
　m|r||r|' = (m/2)(|r|^2)' = (m/2)(ｒ･ｒ)' = m(ｒ･ｒ') = (ｒ･ｐ)
〔補題2〕
　　m(ｒ/|r|)' = mｒ'/|r| - m|r|'/|r|^2 ｒ
　　　　　　 = ｐ/|r| - (ｒ･ｐ)/|r|^3 ｒ
　　　　　　 = {(ｒ･ｒ)ｐ - (ｒ･ｐ)ｒ}/|r|3
　　　　　　 = -ｒ×(ｒ×ｐ)/|r|^3
　　　　　　 = -ｒ×Ｌ/|r|^3,
これらより、
　Ａ' = (ｐ×Ｌ)' - mk(ｒ/|r|)'
　　　= (ｐ×Ｌ)' + kｒ×Ｌ/|r|^3
　　　= {ｐ' + kｒ/|r|^3}×Ｌ + ｐ×Ｌ'
　　　= {ｐ' + kｒ/|r|^3}×Ｌ + ｐ×(ｒ×ｐ')
よって ｐ' = -∇{V(ｒ)} = -kｒ/|r|^3　のとき Ａ' = ０　となり、Ａは保存しまつ。

93 ：

>>91-92
それから何が分かるかって？

最近点、最遠点では |r|' =0, 補題１より (ｒ･ｐ) = 0,
　Ａ = ｐ×Ｌ - mkｒ/|r|
　　 = ｐ×(ｒ×ｐ) - mkｒ/|r|
　　 = |p|^2･ｒ - (ｐ･ｒ)ｐ - mkｒ/|r|
　　 = {|p|^2 - mk/|r|}ｒ
となり、Ａはｒに平行になる。
∴　Ａは最近点、最遠点の方を向いている。
∴　上記の中心ポテンシャル中では最近点、最遠点の方向は変わらない、
ってことでつね。
まあ、楕円軌道だから当然か････

94 ：

１）半球の微笑質量の出し方がいまいちわかりません
２）
　　　　　　（Ａ)━□　
長さ２Ｌ質量ｍの棒(右の□)が　水平で制しした状態から重力によって点Ａ（左端
まわりに回転し、角度θだけ回転したときの棒の先端の速度ｖ
を求めよで
Ａ周りの慣性モーメント７/3　ｍｌ＾２までもとめました
そのあとのＫ＋Ｕ＝０のＵの求め方とＵがなんなのかをおしえてくださいｍｍｍｍｍｍ

95 ：

>>94
ほほえみ質量？

96 ：

>>95
すみません
微小質量ですｍｍ

97 ：

ここは恥部程度の力学・目子筋力学のスレです

98 ：

現在力学を初めていますが、ニュートン関連で引っかかっています。
問：長さ150cmの真っすぐな棒があり、左端から30cmに質量4.0kgの物体、
　　左端から120cmに質量5.0kgの物体がある．
　　左端を回転可能な軸に付け、右端を手で支えて、棒を水平に保つ。
　　この時、手に加わる力が何Nか求めよ。ただし、重力加速度を10m/s^2とする。
　　また、回転軸に加わる力の大きさが何Nかも求めよ。
という問題です。どのように手を出して行けばいいのか分からないです。
ご教授願います。

99 ：

>98
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