命題 A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。 B を A の有限部分代数(過去スレ022の605)とする。 このとき B は正則(過去スレ023の986)である。 証明 ι：B → A を包含写像とする。 E を B の部分集合とし、sup E が存在するとする。 ι は準同型(過去スレ022の30)で E は有限集合だから ι(sup E) = sup ι(E) である。 よって、過去スレ023の844より ι は順序連続(過去スレ023の660)である。 よって、B は正則である。 証明終
命題 A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。 B を A の有限部分代数(過去スレ022の605)とする。 このとき B は正則(過去スレ023の986)である。 証明 ι：B → A を包含写像とする。 E を B の部分集合とし、sup E が存在するとする。 ι は準同型(過去スレ022の30)で E は有限集合だから ι(sup E) = sup ι(E) である。 よって、過去スレ023の844より ι は順序連続(過去スレ023の660)である。 よって、B は正則である。 証明終
命題 A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。 B を A の有限部分代数(過去スレ022の605)とする。 このとき B は正則(過去スレ023の986)である。 証明 ι：B → A を包含写像とする。 E を B の部分集合とし、sup E が存在するとする。 ι は準同型(過去スレ022の30)で E は有限集合だから ι(sup E) = sup ι(E) である。 よって、過去スレ023の844より ι は順序連続(過去スレ023の660)である。 よって、B は正則である。 証明終
22 ：
念の為に、もう1度投下します。 命題 A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。 B を A の有限部分代数(過去スレ022の605)とする。 このとき B は正則(過去スレ023の986)である。 証明 ι：B → A を包含写像とする。 E を B の部分集合とし、sup E が存在するとする。 ι は準同型(過去スレ022の30)で E は有限集合だから ι(sup E) = sup ι(E) である。 よって、過去スレ023の844より ι は順序連続(過去スレ023の660)である。 よって、B は正則である。 証明終
命題 A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。 B を A の有限部分代数(過去スレ022の605)とする。 このとき B は正則(過去スレ023の986)である。 証明 ι：B → A を包含写像とする。 E を B の部分集合とし、sup E が存在するとする。 ι は準同型(過去スレ022の30)で E は有限集合だから ι(sup E) = sup ι(E) である。 よって、過去スレ023の844より ι は順序連続(過去スレ023の660)である。 よって、B は正則である。 証明終
命題 A、B をBoole代数(過去スレ021の336)とする。 f：A → B を単射準同型(過去スレ022の30)とする。 f が順序連続(前スレ>>660)であるためには f(A) が正則(前スレ>>986)であることが必要十分である。 証明 必要性： f は順序連続であるとする。 g：A → f(A) を f の値域を f(A) に制限した写像とする。 ι：f(A) → B を包含写像とする。 E を f(A) の部分集合とし、f(A) において inf E = 0 とする。 F = f^(-1)(E) とおく。 f は単射であるから g はBoole代数の同型である。 よって、inf F = 0 である。 f は順序連続であるから前スレ>>844の(7)より inf f(F) = inf ι(E) = 0 よって、前スレ>>844の(3)より ι：f(A) → B は順序連続である。 よって、f(A) は正則である。 十分性： f(A) は正則であるとする。 g：A → f(A) を f の値域を f(A) に制限した写像とする。 ι：f(A) → B を包含写像とする。 E を A の部分集合とし、inf E = 0 とする。 f は単射であるから g はBoole代数の同型である。 よって、inf g(E) = 0 である。 f(A) は正則であるから>>844の(7)より inf f(E) = inf ιg(E) = 0 よって、前スレ>>844の(3)より f は順序連続である。 証明終
59 ：
例(順序閉でない部分代数) X を無限集合とする。 P(X) を X の冪集合とする。 P(X) は包含関係によりBoole代数(過去スレ021の336)と見なせる。 Φ = {E ∈ P(X)； E または X - E は有限集合} とおく。 Φ は X の部分代数(過去スレ022の605)である。 Y を X の可算無限部分集合で X - Y が無限集合であるようなものとする。 Ψ を Y の有限部分集合全体とする。 Ψ ⊂ Φ である。 Y = ∪Ψ であるが、Y は Φ に属さない。 よって、Φ は P(X) において順序閉(前スレ>>469)でない。
60 ：
例(正則でない部分代数) Z を有理整数全体の集合とする。 P(Z) を Z の冪集合とする。 Φ = {E ∈ P(Z)； E または Z - E は有限集合} とおく。 過去スレ022の691より、Φ は Z 上の集合代数(過去スレ007の196)である。 よって、包含関係によりBoole代数(過去スレ021の336)となる。 Ψ = {E ∈ P(Z)； E または Z - E は有限個の偶数の集合} とおく。 過去スレ022の691と同様にして Ψ は Z 上の集合代数(過去スレ007の196)である。 Ψ ⊂ Φ であるから Ψ は Φ の部分代数(過去スレ022の605)である。 Γ = {E ∈ P(Z)； E は有限個の偶数の集合} とおく。 Γ ⊂ Ψ である。 偶数全体の集合を 2Z とする。 ∪Γ = 2Z である。 Γ の Ψ における上界を E とする。 2Z ⊂ E であるから Z - E は空集合である。 よって、Z = E よって、Γ の Ψ における上限は Z である。 Δ を Γ の Φ における上界の集合とする。 Δ = {E ∈ P(Z)； Z - E は有限個の奇数の集合} である。 任意の E ∈ Δ に対して Z - E に含まれない奇数 p がある。 F = E - {p} とおけば F ∈ Δ であり、F ≠ E である。 よって、Δ は最小元を持たない。 よって、Γ は Φ において上限を持たない。 以上から Ψ は Φ の正則でない部分代数である。
