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2013年01月数学180: ★東大入試作問者になったつもりのスレ 第二十一問 (234)
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★東大入試作問者になったつもりのスレ 第二十一問
- 1 :2012/07/17 〜 最終レス :2013/01/01
- 理系で数学が得意な高校生が25〜50分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
前スレ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第二十問
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325575627/
- 2 :
- ∩_∩
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| (゚)=(゚) |
| ●_● |
/ ヽ
r⌒| 〃 ------ ヾ |
/ i/ |_二__ノ
./ / / ) 精神を加速させろ
./ / / //
/ ./ / ̄
.ヽ、__./ / ⌒ヽ
r / |
/ ノ
/ / /
./ // /
/. ./ ./ /
i / ./ /
i ./ .ノ.^/
i ./ |_/
i /
/ /
- 3 :
- i: : : : : : : : : : : : : /i: : : : :l l: :i
ヽ: : : : :`:ヽ: : : : /: |: : 、: :l` ': / _.... -_、
ヽ: : : : : : ヽ, - ¨ニ_-、: , : :〃 ,ノ -_っミ,'
\: : :\//_ ' 。` l/ l ノ __/ヽ´ ,-‐'' `'
ヘ`ー:ヽ:i { ・ , _ー 'ヽ / __/:./ i'/
\:ヽ:ヘ ー' ( ヽ /' , .. -ヽ{:.:.:{ /,i
(`ヾ 、ミー- ..ー'≠ッ、ム 、 ,)ヘ、iー'´
r‐-.\\ー¨ >- '¨、' `ー 、ヽir-:.':.>
`,> , `, 二フ ) ノ`ヽ;:'..、
'ー ィ ' (/ヽ、 _ }¨/´ `ヽ
,' /ヽ- 'ー'¨¨ ー、 r ' }、__,, ノ
` rヽr' 。・・/ ヽ...- '' __..... ---―― '''' ¨¨ `ヽ.
/ ノ'ー,-'''¨ー= '`ー '' ¨ ` 、
{ 〈 / ,, -〜 、 丶、
Y 〈 } ,, -‐ '' ヽ、 丶、
l! ヽ-. Vー― ''' ¨ ` 、 丶
` ´ ̄`| i ` ¨ ー 、 ` ー ,=
i. l ヽ、 /::::::
i i 丶、/:::::::::/
i l ` 、_ノ
i .l
ヽ i
ヽ ヘ
- 4 :
- 今の国会を見てみろや。無能や低脳だけでどうやって国益を保って国家
を存続させる事が出来るのや。真面目に考えたら判るやろ。馬鹿に何が
出来るのや。オマエ等は国を潰す積もりかァ!
そもそも『優秀な人間に対して消えろ』とは何事や。徹底して叩くゾ。
描
>これからの日本は低脳が支える。
>そうすれば僻みも出ないし楽チン。
>優秀な人間は消えろ!!!!!!!!!
>
>うるせえ!!!!
>こちとら人間が嫌いなんだよ!!!
>優秀な奴ほど日本の足を引っ張るんじゃ!!
>たわけが!!!
>
- 5 :
- 極限
lim(n→∞){Σ(k=1,n)1/(n_C_k)}^n
を求めよ
- 6 :
- 問題
0≦x≦nかつ0≦y≦n(ただしnは1以上の自然数)を満たす範囲を範囲Aとおき、
範囲Aに含まれるx座標もy座標も自然数であるような点を範囲Aの格子点と呼ぶことにする。
ここで以下のようなルールに従ってゲームを行う。
(操作1)全ての格子点の中からただ一点だけを選択する。この時、全て格子点から任意の点を選ぶような確率は全て同等である。
このように、選択した点は"マークされた点"と呼ぶことにする。
(操作2)マークされた点以外の格子点からただ一点だけを選択する。
この時、マークされた点以外の格子点から任意に点を選ぶような確率は全て同等である。
(操作3)(操作2)を選ぶ点がなくなるまで続け、選ぶ点がなくなった場合は終了する。
このゲームにおいて、範囲Aの中でx=kまたはx=yまたはx=-yまたはy=k(kは0以上の任意の整数)上の
全ての格子点がマークされた点であるとき、その状態をある直線における「ビンゴ」、範囲Aにおけるビンゴの個数を「ビンゴ数」とする。
また、あと一点だけマークされれば「ビンゴ」になる状態を「リーチ」、範囲Aにおけるリーチの個数を「リーチ数」とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)n=3かつ(操作2)を行う回数が2回のとき、ビンゴができる確率を求めよ。
(2)n=5かつビンゴ数が0のとき、(操作2)の回数の最大値を求めよ。
(3)n=5かつ(2)のような回数を取ったときの範囲Aにおけるマークの付け方の場合の数を求めよ。
(4)n=a(aは定数)かつビンゴ数が0かつ(操作2)の回数が最大値を取るときの範囲Aにおけるマークの付け方の場合の数を求めよ。
(5)n=b(bは定数,b≧3)かつ(操作2)の回数が2bのとき、リーチ数の期待値を求めよ。
- 7 :
- ・5×5のビンゴの最大リーチ数っていくつよ?http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342264881/から着想。
・東大の昔の後期試験っぽく。
- 8 :
- 出題ミス・訂正
1≦x≦nかつ1≦y≦n(ただしnは2以上の自然数)を満たす範囲を範囲Aとおき、
範囲Aに含まれるx座標もy座標も自然数であるような点を範囲Aの格子点と呼ぶことにする。
ここで以下のようなルールに従ってゲームを行う。
(操作1)全ての格子点の中からただ一点だけを選択する。この時、全て格子点から任意の点を選ぶような確率は全て同等である。
このように、選択した点は"マークされた点"と呼ぶことにする。
(操作2)マークされた点以外の格子点からただ一点だけを選択する。
この時、マークされた点以外の格子点から任意に点を選ぶような確率は全て同等である。
(操作3)(操作2)を選ぶ点がなくなるまで続け、選ぶ点がなくなった場合は終了する。
このゲームにおいて、範囲Aの中でx=kまたはx=yまたはx=-yまたはy=k(kは0以上の任意の整数)上の
全ての格子点がマークされた点であるとき、その状態をある直線における「ビンゴ」、範囲Aにおけるビンゴの個数を「ビンゴ数」とする。
また、あと一点だけマークされれば「ビンゴ」になる状態を「リーチ」、範囲Aにおけるリーチの個数を「リーチ数」とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)n=3かつ(操作2)を行う回数が2回のとき、ビンゴができる確率を求めよ。
(2)n=5かつビンゴ数が0のとき、(操作2)の回数の最大値を求めよ。
(3)n=5かつ(2)のような回数を取ったときの範囲Aにおけるマークの付け方の場合の数を求めよ。
(4)n=a(aは定数)かつビンゴ数が0かつ(操作2)の回数が最大値を取るときの範囲Aにおけるマークの付け方の場合の数を求めよ。
(5)n=b(bは定数,b≧3)かつ(操作2)の回数が2bのとき、リーチ数の期待値を求めよ。
- 9 :
- 今の国会を見てみろや。無能や低脳だけでどうやって国益を保って国家
を存続させる事が出来るのや。真面目に考えたら判るやろ。馬鹿に何が
出来るのや。オマエ等は国を潰す積もりかァ!
そもそも『優秀な人間に対して消えろ』とは何事や。徹底して叩くゾ。
描
>これからの日本は低脳が支える。
>そうすれば僻みも出ないし楽チン。
>優秀な人間は消えろ!!!!!!!!!
>
>うるせえ!!!!
>こちとら人間が嫌いなんだよ!!!
>優秀な奴ほど日本の足を引っ張るんじゃ!!
>たわけが!!!
>
- 10 :
- >>8
たぶんx=-yじゃなくて、x+y=n+1だねこれ
- 11 :
- ★★★学歴格差:無意味
★★★学力格差:尊重しろ
★★★能力格差:最大限利用せよ。
東大や京大にだって馬鹿は沢山居てるんだヨ。
学力格差と能力格差を認める理想社会を実現しろや。要するに:
★★★『馬鹿は無意味なので不必要だから、従って無能は静かにせよ。』★★★
っちゅうこっちゃ。低脳が騒ぐのはワシが許さんのや。
ちゃんと読め。
描
- 12 :
- >>5
C[n,n] = 1,
C[n,1] = C[n,n-1] = n,
C[n,2] = C[n,n-2] = n(n-1)/2,
C[n,k] ≧ C[n,3] = n(n-1)(n-2)/3! (3≦k≦n-3)
よって
1 + 2/n ≦ Σ(k=1,n) 1/C[n,k] ≦ 1 + 2/n + 10/{n(n-1)},
よって
lim(n→∞) (1 + 2/n)^n = e^2,
- 13 :
- (1) x>-2について、
3e^x>log(3x+6)を証明せよ
(2)a>0,b>-2において
ae^b>log(ab+2a)を証明せよ
- 14 :
- >>13
(1) 3e^x = e^{ln(3) + x} ≧ {1+ln(3)} + x,
ln(3x+6) = ln(3) + ln(x+2) ≦ {1+ln(3)} + x,
(2) a・e^b = e^{ln(a) + b} ≧ {1+ln(a)} + b,
ln{a(b+2)} = ln(a) + ln(b+2) ≦ {1+ln(a)} + b,
e^y ≧ 1 + y,
ln(1+y) ≦ y,
- 15 :
- >>13-14 (蛇足)
y = a・e^x
は映進(*)
x ' = y - 2,
y ' = x + 2ln(a),
により
y = ln{a(x+2)}
に移り、これは映進(*)
x ' = y - 2ln(a),
y ' = x + 2,
により
y = a・e^x
に戻る。
*) 映進は、直線 y = x + {1+ln(a)} に関する鏡映と、平行移動(d,d)を続けたもの。
x ' = y - {1+ln(a)} + d,
y ' = x + {1+ln(a)} + d,
- 16 :
- eを自然対数の底とする
120/45<e<120/44を示しなさい
- 17 :
- >>16
マクローリンで・・・・
e^(-1) = Σ[k=0,∞) (-1)^k / k!
= 1 -1 +(1/2! -1/3!) +(1/4! -1/5!) + (1/6! -1/7!) + ・・・・
= 44/120 + (1/6! - 1/7!) + (1/8! - 1/9!) + ・・・・
> 44/120,
e^(-1) = 44/120 + 1/6! -(1/7! - 1/8!) - ・・・・
< 44/120 + 1/720
= (44 + 1/6)/120
- 18 :
- >>16
マクローリンで・・・・
e = Σ[k=0,∞) 1/k!
> Σ[k=0,3] 1/k!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/6
= 8/3,
e = 1 + 1 + 1/2 + Σ[k=3,∞) 1/k!
< 1 + 1 + 1/2 + Σ[k=3,∞) (1/6)(1/4)^(k-3)
= 5/2 + (1/6)(4/3)
= 5/2 + 2/9
= 2 + 13/18
< 2 + 8/11
= 30/11,
∵ 18*8 - 11*13 = 1 > 0,
- 19 :
- <問題>
nを正の整数とする。
xy座標平面上にて、0≦x≦n かつ 0≦y≦nを満たす領域を、領域Dとする。
1辺の長さが正の整数であり、
全頂点が領域に属する格子点であるような正方形の集合をSと呼ぶ。
集合Sに属する正方形の中から、当確率で2つの正方形を選び、
その2つの正方形が重なる領域の面積の期待値を、f(n)とする。
問1:f(5)を求めよ。
問2:f(7)を求めよ。
- 20 :
- タイプミスった・・・。
全頂点が領域に属する格子点で・・・・
ではなくて、
全頂点が領域Dに属する格子点で・・・・
#################################
すみません、はるか昔、東大生と学コンマンやってたものですが、
今日、Google Docs(Google Drive)でスプレッドシートで遊んでたら、いつのまにか
数学の問題を作ってました。
↓これ
https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AqIQfyJXnDwXdF9uRzRjVXZ1TTJwRGcxdUdfUExIWWc
(だれでも閲覧&編集できます。
参考になるかならないのかわかんないマス目が、あります。
10人分くらい、マス目つきシートをコピーしてますので、暇だったら適当にいじってもいいです。
問題つくってからマス目つくったのではなくてその逆でして、
きっと問題解いてて気づくと思いますが、
Google Docs のスプレッドシート、まじ役にたたないです。。。むかつくかもしれませんW
やっぱりエクセルのほうがずっと便利だわ。。。
- 21 :
- アンカーまちがえた。
https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AqIQfyJXnDwXdFpoUzZleXVWRGRoYmozSExFLUg1YXc
こっちでした。。。すまそ。。。
- 22 :
- >>20
のアンカーみちゃったひとはヒントみちゃったかも。。。
もうアクセスできないようにしたけど。。。
- 23 :
- 「等確率で2つ」っていうのは同じものでもいいの?
試しに f(2) を計算したら同じものを許容するかどうかで答えが違ったが
- 24 :
- あ、同じものでもいいです。説明不足すみません。
- 25 :
- ある数列 {a_n} は、全ての項の値が実数であり、
a_1, a_2, a_3, ....... , a_2010, a_2011, a_2012 なる、2012個の項により成り立っている。
そして、これら2012個の項の値は、いずれも p または q と一致する。
(ただし p, q は p≦q なる変数)
a_(n+1) = (a_n)^3 -3×a_n (n = 1, 2, 3, ..... , 2010, 2011 )が成立するとき、
変数 p, q, 数列 {a_n} について、全種類求めよ
- 26 :
- >>25
・p=q のとき
p = p^3 - 3p,
p = -2, 0, 2
a_n = p,
・p<q のとき
(p,q) = (-1,2)
a_1 = p,
a_n = q, (n>1)
(p,q) = (-2,1)
a_1 = q,
a_n = p, (n>1)
- 27 :
- >>25
y = x^3 - 3x と y = ±x との交点などに着目
・ 0,0,0,…,0 ( p = q = 0 )
・ 2,2,2,…,2 ( p = q = 2 )
・ -2,-2,-2,…,-2 ( p = q = -2 )
・ -1,2,2,…,2 ( p = -1,q = 2 )
・ -√3,0,0,…,0 ( p = -√3,q = 0 )
・ ±√2,干√2,±√2,干√2,…,干√2 (複号同順,p = -√2,q = √2 )
- 28 :
- >>27
ついでに・・・・・
・ 1,-2,-2,…,-2 ( p = -2,q = 1 )
・ √3,0,0,…,0 ( p = 0, q = √3 )
- 29 :
- >>26-28
まだ、他にもあるよ。途中のやりかたを全部見てないけど、
きっと解いてるとき、論理的ではないかしょがあるんだと思う。
あと、もし最終的な答えがあってたとしても、論理的欠陥で減点される人が多そう。
だれかが、正しい最終的な答えを得たら、途中の論理も含めた回答をアップします。
(ここだとおさまりきれないし、a_(n+1) とか見づらいから、手書きのをスキャンしてうpな予定)
- 30 :
- p = 2cosθ などとおいたほうがよかったか
- 31 :
- >>26 の続き
f(x) = x^3 -3x とおくと、f の不動点は -2, 0, 2 の3個
・p<q のとき
p,q,q,・・・,q,
f(p)=f(q)=q より、qは不動点
(p, q) = (-1, 2) (-√3, 0)
q,p,p,・・・,p,
f(p)=f(q)=p より、pは不動点
(p, q) = (-2, 1) (0, √3)
p,q,p,q,・・・
q,p,q,p,・・・
f(p)=q, f(q)=p,
[1] 0 = f(p)-f(q) +p-q = (p-q)(pp+pq+qq-2),
仮定により p-q <0 だから, pp+pq+qq-2 = 0, ・・・(1)
[2] 0 = f(p)+f(q) -p-q = (p+q)(pp-pq+qq-2),
p+q=0 または pp-pq+qq-2 = 0, ・・・(2)
p+q=0 の場合は (p,q)=(-√2,√2)
pp-pq+qq-2=0 の場合は pq=0, だが不適解。
- 32 :
- >>25
ttp://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org3300915.jpg
完全な答案は今作っている
需要があるならそのうちうpする
- 33 :
- >>32
あー、一瞬正解かと思った。13種類ってのはあってる。
是非うp希望。
というのも、その間違えかたからして、
自分と違う解き方をしてるような気がするので。
自分の解き方だと、その計算ミス(?)にはすぐ気づくはず。
(っていうか、ただの書き間違い?)
- 34 :
- >>32
いま気づいた。
間違ってる数列は、そもそも、
2012個の項の中に、3種類の相異なる値が存在しちゃってる。
- 35 :
- アンカーをミスった。
>>34 を書き込んだのは、問題だした自分です。
- 36 :
- >>25
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/369634.pdf&key=math
cos36°などの求め方の解説を付け足す予定だが
とりあえずうpして出題者様の意見を聞いてみたい
いつもは GeoGebra や wolframalpha で検算するがそれもまだしていない
- 37 :
- >>25 誤植訂正
ttp://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/369636.pdf&key=math
- 38 :
- >>37
えと、正解だと思います。
けど、すみません、
そもそも、Cosやグラフを使う解き方を想定してなかったので、
あーそういう考え方もあるのかと思いました。
ですが、やはり、Cosが出てくると、Cos36°みたいなものが出てきますよね・・・。
自分の想定した解き方では、途中で道をはずれると、
9次の方程式に出くわすことになるのと近いのかな?
===
あと、(ii)では、a_1≠a_2=a_3 を考えてますが、
(i)では、なぜか「ある番号k」で、a_(k+1) = a_k としてますよね。
これ、「a_2 = a_1」を考えれば、いいんではないでしょうか?
グラフの呪縛?
というか、言ってしまうと、この問題、を言い換えてしまうと、
「2012個の項に出現する値は、1種類または2種類である」です。
- 39 :
- >>38
(i) であのような論証をしたのは 「 p , q が不規則に現れたりしたら…」 という不安を払拭するためでもあります
まぁ今回は思いついた解法をそのまんまタイプしたのでよりよい解法の吟味は不十分ですが…
>>25 を見てすぐに浮かんだのは多くの問題集で取り上げられている早大の97年の問題です
その早大の問題はグラフ,三角関数の活用する解法がよく知られています
そういうなじみのある解法で解いてみた,ということです
- 40 :
- あ、スキャナこわれたかも・・・
mathematicaみたいなの持ってない・・・。
でも、当初の解き方を、もうちょっと縮めた解き方を思いついた・・・かも。
しばしお待ちを。
- 41 :
- 2周期解は y = x^3 - 3x , x = y^3 - 3y の交点に着目すればすぐに見えたかも
これを連立すれば9次方程式になりますね
- 42 :
- >>37
>>25 に書いた質問では、念の為に、
「数列のすべての項が実数である」ということを書いたのですが、
>>37 さんがうpしてた問題文には、
そのこと書いてなかったですよね。
そんとき、虚数の可能性について触れなくても、大学入試的には構わないもんなんでしょうか?
まあ、ま、p<q のときは虚数なわけないですが。
そんな私は、高校数学に「複素平面」が含まれた時代のおっさんですが。
あと、p,qは変数ではなくて定数ですよね・・・失礼。
===
って、実は文学部出身なので、的外れなこといってたらご指摘ください。
- 43 :
- >>31 の訂正
[2] 0 = f(p)+f(q) -p-q = (p+q)(pp-pq+qq-4),
p+q=0 または pp-pq+qq-4 = 0, ・・・(2)
p+q=0 の場合は (p,q)=(-√2,√2) → 2種類。
pp-pq+qq-4=0 の場合は (1)と連立して pq=-1,
(p+q)^2 = 1, p+q = ±1,
(p-q)^2 = 5, q-p = √5,
(p,q) = ((1-√5)/2, (1+√5)/2) または ((-1-√5)/2, (-1+√5)/2)
これは [1] [2] だけでなく元の f(p)=q, f(q)=p も満たしている。
→ 各2種類、計4種類。
9次多項式を分解するのは御勘弁。。。
- 44 :
- 複素数では大小は考えないので条件が不等式で与えられていれば
必然的に実数となるので >>37 ではその説明は省きました
俺の作る解答例だとスペース的に余裕がないことが多いので
なるべく表現が短くなるように問題文に手を入れることがあります
「実数の」と書いてあったほうが丁寧ですし
あと3文字入れるくらいのスペースはありましたが…
- 45 :
- >>41 >>43
9次多項式を分解すれば、
f(f(x)) - x = f(f(x))-f(x) + f(x)-x = g(f(x)) - g(x) = {f(x)-x)}h(x,f(x)) = g(x)h(x,f(x))
ここに
g(x) = f(x) - x = x(x+2)(x-2),
{g(y)-g(x)}/(y-x) = h(x,y) = xx + xy + yy -4,
h(x、f(x)) = (xx-2)(xx-x-1)(xx+x-1),
- 46 :
- sin(cos(sin(π)))とcos(sin(cos(π)))の大小関係を調べよ。
- 47 :
- sin(cos(sin(π)))=sin(cos(0))=sin(1)
cos(sin(cos(π)))=cos(sin(-1))=cos(-sin(1))=cos(sin(1))
sin(π/4)<sin(1)<sin(π/2)であり、
sin(π/4)<x<sin(π/2)の範囲で、cos(x)-x>0だから
cos(sin(cos(π)))>sin(cos(sin(π)))
- 48 :
- 訂正
sin(π/4)<x<sin(π/2)の範囲で、cos(x)-x<0だから
cos(sin(cos(π)))<sin(cos(sin(π)))
- 49 :
-
a,bを実数とし、
点P(a,b)、点Q(a+b,ab)として定める。
座標平面上の楕円:x^2/4+y^2/3=1の内部及び周上を点Pが、点Qも内部及び周上を動くように動く。
このとき、線分PQの最大値を求めよ。
- 50 :
- 日本語下手糞だな
- 51 :
- <第一問>
関数f(x)=x^π-π^x(0<x<π)とし、f(x)の最大値をMと定める。
ただし、πは円周率3.1415...とする。
(1).方程式f(x)=0はただ一つの解を持つことを示せ。
(2).(1)の解をx=αとする。α<x<πの範囲でMの値をとるxが存在することを示せ。
(3).M>1/2を示せ。
- 52 :
- __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
, '´ _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
/ /:::::; -‐''" `ーノ
/ /:::::/ \
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ハ .| ,ハ|
| |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル'
| | | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
| |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、 ヒニ二、 \
. | /::::::::::::::::::|::::::::\/:::O`、::\ | '、 \
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'、::::\ノ ヽ、 |
| |:::::/:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'、',::::'、 /:\__/‐、
| |/:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::O::| '、::| く::::::::::::: ̄|
| /_..-'´ ̄`ー-、:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::\;;;;;;;_|
| |/::::::::::::::::::::::\:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::O::|::|::::::|:::::::::::::::/
- 53 :
- <第二問>
a+b+c≦10を満たす自然数(a,b,c)のうちに、aが偶数のものがm通り、aが奇数のものがn通りあるとすると、m≦nであることを示せ。
- 54 :
- <第三問>
平面による切り口がすべて円であるような有限な立体は球であることを証明せよ。
- 55 :
- >>51 (1)
g(x) = (1/x)log(x) - (1/π)logπ とおくと f(x)=0 ⇔ g(x)=0,
∴ g(x) について調べる。
g '(x) = {1-log(x)}/x^2,
g '(x) < 0 (x>e) と g(π) = 0 から、g(e) > 0,
g '(x) > 0 (0<x<e) と g(1)<0<g(e) から、中間値の定理より
g(α) = 0 (1<α<e)
を満たすαがただ1つ存在、 α = 2.38217908799302
LambertのW函数を使えば
α = -(π/logπ) W(-(logπ)/π),
とも表せる。
- 56 :
- この方毎問答えてるすごい
- 57 :
- >>53
母函数は G(x) = x + x^2 + x^3 + ・・・・・ = x/(1-x),
G(x)^3 の x^s の係数が a+b+c=s の場合の数に対応する。
m-n は G(-x)G(x)^2 の x^s の係数の和(3≦s≦10)
G(-x)G(x)^2 = -x^3 (1+x)/(1-x^2)^2
= -x^3 (1+x)(1+2x^2 +3x^4 +4x^6 +・・・・)
なので、係数の和は負。
∴ m-n < 0.
- 58 :
- 母関数キタ━━━┌(_Д_┌ )┐━━━!!
- 59 :
- 毎度ながらボカン数は凄いな
- 60 :
- __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
, '´ _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
/ /:::::; -‐''" `ーノ
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| | | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
| |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、 ヒニ二、 \
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| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'、::::\ノ ヽ、 |
| |:::::/:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'、',::::'、 /:\__/‐、
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- 61 :
- 問題
直径5の円の周上および内部からなる領域をDとする.
D内にどの2点の距離も2以上になるような9点を配置することは不可能であることを示せ.
- 62 :
- 露骨な一発芸丸出しネタは試験にならん
- 63 :
- >>61
引き出し論法で終了
- 64 :
- >>63
どうやって?
- 65 :
- >>64
失せろカス!
- 66 :
- >>25 の問題ですが、いそがしくて・・・概略でゆるして
p=qのとき
a_1 = a_2 が必要。逆にこのとき漸化式により、p=qが成立
a_1 = a_2 と漸化式をといて、答えが出る。
p≠qのとき、
a_1=a_2と仮定すると前述の議論を考慮すると、p=qとなってしまい矛盾。
よってa_1≠a_2が必要。
すると、a_3=a_2またはa_3 = a_1
(i)a_3 = a_1 のとき、(i)と同じように、(a_1≠)a_2 = a_3 = ,...., a_2012 = 0,2,-2
よって漸化式ゆえ、 0(と2と−2)=a_1^3 -3a_1 これを解けばいいが、
そのなかに、a_1 = a_2 となり矛盾して不適となるものがあるので注意。
※ (a_2 = ) 2 = (a_1)^3 -3(a_1) でa_1を求めたら、
-2 = (a_1)^3 -3(a_1) を計算する必要はない。
-2 = (a_1)^3 -3(a_1) ⇔ 2 = (-(a_1) )^3 = -3((-a_1)) なので、(-a_1)の値が自動的にでる。
(ii)a_3 = a_1 のとき
α=a_1, β=a_2 とおくと、a_3=a_1 = β。
a_1が決まるとa_2も一意に決まる。
a_2が決まるとa_3も一意に決まる。(つづく)
- 67 :
- >>66 のつづき
でもa_3 = a_1 なので、
結局、a_1 = a_3 = ..... =a_2011 = α
a_2 = a_4 = ....a_2012 = β(α≠β)
なので、a_1 = a_3 かつ 漸化式を満たすα、β(α≠β)を求めれば数列が求まる。
漸化式でn=1のときを考えて、β=α^3 -3α・・・・・・・・・・・・@
n=2のときを考えて、α=β^3 -3α・・・・・・・・・・・・・・・・・A
@ーAより、(α-β)(α^2+αβ+β^2-2)=0 だがα≠βゆえα^2+αβ+β^2-2=0
@+Aより、(α+β)(α^2-αβ+β^2-4)=0
つまりα+β=0・・・B または α^2-αβ+β^2-4=C
結局「AかつB」または「AかつC」(α≠β)をとけばOK。
あとは
●対称性を利用する
●「BをAに代入したり、A-Cを計算したり」 が無難?
===============================================================
答えは、(簡単にかいちゃいますが)
<全部同じパターン>
0,0,0,......................................,0
±2, ±2, ±2, ............................, ±2,(複合同順)
<a_1≠a_2 = .... =a_2012のパターン>
±√3,0,0,0,............................, 0
±1,干2,干2,干2,....,干2(複合同順)
<交互なパターン>
±√2, 干√2, ±√2, 干√2,...... ±√2, 干√2 (複合同順)
干√2, ±√2, 干√2,...... ±√2, 干√2,±√2 (複合同順)
(√5±1)/2, (-√5±1)/2, ..............以下、交代に出てくる
(-√5干1)/2, (√5干1)/2, ..............以下、交代に出てくる
・・・・書き方はしょってすみません。
- 68 :
- おーはげしく誤字ってるが、くみとってくらさい
- 69 :
- 同一平面上に、3点A、B、Cがあり、線分AB、BC、CAのながさはそれぞれ1, p, q である。
線分ACの長さをmとするとき、mの取りうる値を、p,q,によって表せ
- 70 :
- typo
3点A、B、C
ではなくて、
「相異なる3点A、B、C」
- 71 :
- pは素数、k,Nは正の整数とする。
以下の条件をみたすようなNをp, kを用いて求めよ。
条件:「(p^k) ! は p^Nで割り切れるが、p^(N+1)では割り切れない」
---
大学の数学やってれば簡単?
- 72 :
- >>53 の問題を>>57さんがといてますが、
これ、高校数学の範囲でとけますか?
とけるのであれば、解き方教えてください。
- 73 :
- >>71
{1,2,3,・・・,n} のうち、p^m で割り切れるものは [n/(p^m)] 個。
N = Σ(m=1,n) [n/(p^m)],
ここで n=p^k
- 74 :
- あれ、おれが間違ってるのかな???
おれがといたら[ ]の中身は分数じゃないんだけどなあ・・・
- 75 :
- >>72
組み合わせは31通りしかないから
時間掛けてゴリゴリ数えれば一応解ける
とりあえず31通り書き出して、それぞれ↓のどのパターンに当てはまるか見て、偶数・奇数の個数を加算していく
1)三つの数字が異なるパターン
a)偶数×3 aが偶数→6通り、aが奇数→0通り(これは存在しないけど一応)
b)偶数×2、奇数×1 aが偶数→4通り、aが奇数→2通り
c)偶数×1、奇数×2 aが偶数→2通り、aが奇数→4通り
d)奇数×3 aが偶数→0通り、aが奇数→6通り
2)同じ数字が二つあるパターン
a)偶数×3 aが偶数→3通り、aが奇数→0通り
b)偶数×2、奇数×1 aが偶数→2通り、aが奇数→1通り
c)偶数×1、奇数×2 aが偶数→1通り、aが奇数→2通り
d)奇数×3 aが偶数→0通り、aが奇数→3通り
3)三つ同じ数字のパターン
a)偶数×3 aが偶数→1通り、aが奇数→0通り
b)奇数×3 aが偶数→0通り、aが奇数→1通り
- 76 :
- >>61
直径5の円と中心を共有する、直径 0.99 の円を曳く。
内側には1個しかない。
外側では中心から見た角度差が45゚より大きいことを示す。
- 77 :
- >>73
あれ、文字が多くてこんがらがってるけど、表現が違うだけであってる?
答えはN = p~(k-1) + p^(k-2) + p^(k-3) + .... + p~1 + p~0 = (p^k -1)/(p-1)なんだけど・・・。
- 78 :
- 日本語がなんかへん。
↓こういうこと?
同一平面上に、直径5の円Aと直径0.99の円Bが存在し、
この2つの円は中心が一致する。この中心を点Oとする。l
点M、Nが、円Aの周上の任意の点を動くとき、∠MON > 45゚を示せ。
- 79 :
- でもそうすると、円Bの直径0より大きくて、5より小さければ、
おんなじことだね、で、示せない。
- 80 :
- >>75
ありがとうございます。
- 81 :
- 連続する素数の2倍は素数の2倍にならないことを示せ。
- 82 :
- 間違えました。
ただしくは、
「連続する素数の和は素数の2倍にならないことを示せ。」です
- 83 :
- 2012^2012 と 2013^2011 はどちらが大きいか?
ってこの問題みたことあるきがする。
- 84 :
- 凸四角形ABCDにて、
AC=1、0<∠ACB = ∠ACD <Π/2、∠BAD=Π/2 である。
三角形BCDの面積Sの最大値を求めよ。
- 85 :
- >>76 >>78
点M,Nは円Aと円Bの中間にある点とする。
OM=m, ON=n, ∠MON = θ とおく。
0.99 ≦ m,n ≦ 2.5
第二余弦定理から
4 ≦ MN^2 = m^2 + n^2 -2mn・cosθ
cosθ ≦ (m^2 + n^2 -4)/(2mn) ≦ 17/25 = 0.68
θ ≧ arccos(17/25) = 47.156357゚
- 86 :
- >>61 訂正 スマソ
半径 0.99の円を曳く。(直径 1.98)
- 87 :
- >>83
(k+1)^2 = k(k+2) + 1 > k(k+2),
これをk乗して k=1〜n で掛ける。
(n+1)^(n+1) > (n+2)^n,
本問では n=2011
- 88 :
-
x,yについての方程式
sinπxsinπy=1/2
の有理数解を全て求めよ。
- 89 :
- __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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/ / ∧. l \ ヽ
,' / !. / ', l ヽ ', /
! l l. / ', lヽ、___',. } / \
| l | / __ノヘ /リ! l |  ̄ ̄ ̄ヽ
| | l ̄ ', // _ l |
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. V 〉、 ! /´ ̄` l∧! │ │
!{ _\ l j ノ
l ゝ __ ヽl ___ /l __
! >. 丶__ノ イ l /__/ ヽヽ
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| >'´ ..ィ: \_: :/-、/}>ァ'´ \', ─┼─
r<_. <: : : : : :./ ヽ Y i / \ │
l: :\: : : : : : :/ ヽ \〉l´V / \ ノ
- 91 :
- >>85
〔補題〕
0.9 ≦ m, n ≦ 2.5 のとき
(m^2 +n^2 -4)/(2mn) ≦ 0.68
(略証)
2mn*{0.68 - (左辺)} = 0.68*(2mn) - (m^2 +n^2 -4)
= 0.68*2*(2.5-m)(2.5-n) + (2.5-m)(0.9-m) + (2.5-n)(n-0.9)
≧ 0
- 92 :
- >>91 訂正
= 0.68*2*(2.5-m)(2.5-n) + (2.5-m)(m-0.9) + (2.5-n)(n-0.9)
- 93 :
- >>88
x,yは周期2をもつので、[0,2] で考えれば十分。
sin(πx)= sin(πy) = 1/√2,
(x,y) = (1/4, 1/4) (1/4, 3/4) (3/4, 1/4) (3/4, 3/4)
sin(πx)= sin(πy) = -1/√2,
(x,y) = (5/4, 5/4) (5/4, 7/4) (7/4, 5/4) (7/4, 7/4)
sin(πx) = 1, sin(πy) = 1/2
(x,y) = (1/2, 1/6) (1/2, 5/6)
sin(πx) = 1/2, sin(πy) = 1
(x,y) = (1/6, 1/2) (5/6, 1/2)
sin(πx) = -1, sin(πy) = -1/2
(x,y) = (3/2, 7/6) (3/2, 11/6)
sin(πx) = -1/2, sin(πy) = -1
(x,y) = (7/6, 3/2) (11/6, 3/2)
他にあるかも。。。
- 94 :
- >>82
背理法で。素数の2倍になったと仮定すると最初の素数の間に別の素数があるので「連続する素数」であることに反する。
- 95 :
- 1は合同数でないことを証明せよ
- 96 :
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- 97 :
- >>88
sin(πx)sin(πy) = (1/2){cos(π(x-y)) - cos(π(x+y))},
cos(π(x-y)) = 1, cos(π(x+y)) = 0,
(x,y) = (1/4, 1/4) (3/4, 3/4) (5/4, 5/4) (7/4, 7/4)
cos(π(x-y)) = 0, cos(π(x+y)) = -1,
(x,y) = (3/4, 1/4) (1/4, 3/4) (7/4, 5/4) (5/4, 7/4)
cos(π(x-y)) = 1/2, cos(π(x+y)) = -1/2,
(x,y) = (1/2, 1/6) (1/2, 5/6) (1/6, 1/2) (5/6, 1/2)
- 98 :
- __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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- 99 :
- 中級問題
x^3+y^3+z^3=k x y z を満たす正の解 x、y、z が存在する為の実数 k の必要十分条件を求めよ。
上級問題
x^3+y^3+z^3=k x y z を満たす相異なる正の解 x、y、z が存在する為の実数 k の必要十分条件を求めよ。
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