19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その13
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1340469523/
なおSTSあるいはTTTと名乗る者のレスは
きちんとした数学的理解に基づかず無意味な内容です。
このことは本人も認めています。（前スレの900以降など）
STSあるいはTTTと名乗る者の相手をすることは
荒らし行為に当たりますのでご注意ください。
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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これまでの経緯から想像するとその通りだろうね。
だからこそ>>1はよくやったと思う。スルーするしか対処法ないからね。
もっともコテを替えられたらどうしようもないんだけど。
本当に手に負えないよ
前スレで名無しで書き込んでた奴いるのか？
俺はTTTじゃないからね。
まさか前スレの自分以外の書き込みは全部TTTの書き込みだと思って叩いてたとか？
そこまでいくとちょっと極端だよ
色んな意味づけができるので、一つの意味だけを取り上げるとかえって実情と掛け離れる。
同義である場合もそうでない場合もある。
基数ってなんすか
アレフの活字が無いのが惜しいのだが
これって大学何年レベルなの？
自分はまだコンパクト集合くらいまでしかやってないからな＿|￣|○
一年生の時から或る意味大学院レベルの勉強ができるのであります
集合論を扱った本なら大抵基数は載ってると思うんだが
同値関係なんだから似たようなものじゃん、と思うかもしれないけどさに非ず。
厄(a)と厄(b)が同じ ⇔ a△b := (a-b) ∪ (b-a) が有限
みたいな同値関係だと、さすがに海のものとも山のものとも分からない代表元を
選んで来ちゃう厄(x)を導入して大丈夫なのか不安に思うでしょ？
こういう厄介な関数が存在しても矛盾はしないわけだが、それを言うのは学部の知識じゃ無理
（要はNBG + Global Choiceがあれば良い。
でもこれの整合性を示すには、強制法を使わないと証明が大変な
NBGのZFからの相対無矛盾性と、
任意のproper class C と V は一対一対応するという定理が要るはず）
厄(･)は何を意味してるの？
条件（厄）：「厄(a)と厄(b)が同じ ⇔ a△b := (a-b) ∪ (b-a) が有限」
を満たすクラス関数とします。
つまり（厄）を満たすもの、というのが定義です。
等濃な集合の同値類を取るのと同じ操作をした訳です。
って別に不安に思わない気がしてきた（汗
ところで北田均先生が「数理解析学概論」という本を新しく出したのが
生協に売ってたんだけど、立ち読みした範囲だと
不完全性と集合論に関する間違いは発見できなかった。
最近は新井先生の教科書みたいな本
（ただしこの本は、テクニカルな間違い・ミスプリがかなり多いので
新しく買うときは第3刷を買いましょう）も出て
理解しやすいようになったから或る程度ご理解されたのかなあ。
こんな話があるがこのスレ的にはどうなの？
（abc予想と）Uniform Serre Open Image予想なるものを仮定すると
成り立っていないようだって言われてるんじゃなかったっけ？
＞その前までの数論的な部分については指摘されていない。
これは明らかに間違いです。
たぶん全然ロジック知らない人が、前スレの
もっちーの公理の数え方がおかしいという話を、
これが問題点なのか！とトンデモナイ勘違いしたとかそういう話なのではｗ
前スレのあれは、望月先生の権威がどうとかに関係なく
こんなのは誰が見たって揚げ足取りですよね、って話ですよｗ
>もっちーの公理の数え方がおかしいという話を、
>これが問題点なのか！とトンデモナイ勘違いしたとかそういう話なのではｗ
お前やっぱかなーりズレてるわ
どういうお花畑脳だとこう解釈できるんだよｗ
お花畑ってことは自分にとっておめでたい解釈ってことですよね？
>>32さんがおかしいと指摘しているその解釈が仮に正しかったとすると
どうして31の自説(>>31の最後の2行)を補強することになるのか
理解できてるってことですか？
もしそうなら教えて下さい。
その時間で噂の望月論文でもお経のように唱えてた方がまし
「超難問を解いた論文・著者にケチをつけているように見られておまいらバカね」って言いたいんじゃないの？
これを権威を借りようとしていると言わずして何というのか
得てしてこういうことは本人が一番気づけないんだな
初歩的な勘違いしてる可能性が限りなく低いのは、数学のリテラシーがあれば誰でも分かるから
おっしゃることはその通りだがそれがいまの話とどんな関係が？
ZFCGがZFCの保存拡大になっているというところじゃないの？
ZFCGは前スレのZFC+Uのことだから、ロジシャンなら誰にでも分かる明らかに間違い。
この間違いが他の部分に本質的な打撃を与えたりしないとは思うけど
もっちーが基礎論の部分に関して初歩的な勘違いしているのは否定しようのない事実。
初歩的もいいとこでほんとにそんなバカなことが書いてあるのかよと
ダウンロードしたまんま開いてなかった論文を見てみたよ。確かに書いてある。
というかこれって前スレ830が引用した箇所のすぐ近くなんだけど
前スレ830=>>31はこんな初歩的な間違いにも気づかずに
得意になって「望月先生は〜」なんて引用してたんか？アホだろ。
「(†)はZFCから独立である」みたいな問題記述だったら
ロジックの専門家でもやっちゃうことがあるし、その否定が正しい訳でもないんですが
conservative extentionって書いちゃったら（ZFCが矛盾していない限り）偽ですね。
ネットで手に入りやすい参考資料
・ http://math.stanford.edu/~feferman/papers/BernaysLecture3.pdf の特にスライド8あたり（同名の論文あり）
・ http://arxiv.org/pdf/0810.1279v2.pdf （もっと詳しい）
mathoverflowの
"Set theory for category theory beginners"ってトピックみたら
ShulmanさんとかHamkinsさんとかが普通に答えててﾜﾛﾀ
「不完全性」の定義について吉永良正と同じように酷い勘違いしてるのも見たことあるんですよね…
自然に読者を誤解させるような用語法を使ってるロジシャンも酷いと言えば相当に酷いのですが。
Springer社のUTMの"Geometry : Euclid and beyond"（和訳あり）にこういう文章があります
> 最後に，公理系は完全であるかと言う問題がある．すなわち，公理系のす
>べてのモデルでなりたつ命題は，公理系から結果として証明されるか，とい
>う問題である．再びゲーデルは，相応に豊富な任意の公理系が，完全ではあり
>得ないことを示している． （R.ハーツホーン「幾何学」 p.83）
望月先生もハーツホーンも「初歩的」なミスをしているのは
たぶん、普通の数学者は統語論と意味論の区別ができないからだと思います。
小平邦彦先生もこの区別が分かっていなかったフシがあります。
代数幾何学者がZFCなどの集合論について何かしら書いたものを読むときには
そもそも、Grothendieck学派の人達自身がZFCからはみ出した
Grothendieck宇宙の公理がどこで必要になるのかちゃんと分かってたのかどうかとか、
そのレベルで疑問符付きでやらないとダメなのかもしれません。
「一つの宇宙を固定してその中で作業するのが集合論なのに対し
同じ論理式を異なる宇宙で解釈させるのががspecies理論だ」
みたいなこと書いてあるけど、こりゃ集合論者も真っ青だなｗ
なんか「数学では答えは一つだけど現実社会でははそうじゃない」
って言われたときのあの脱力感。
きちんと身につけてから使おうとしたら勉強だけで終わってしまう。
ここだけは望月先生をdisるスレになってるね！
本当なら歓迎したいし個人的な本音としてはディスりたくなんかないさ。
しかしロジックの部分の内容が余りに的外れで擁護のしようが(ry
もっちーの論文の信頼性が微妙に破綻しかけてることのほうがまずい
もっちーはDrakeを一応持ってるみたいだから、巨大基数とは何か、
みたいなことは或る程度知ってると思う
たぶん代数幾何学者は集合論には興味を持って勉強しようとするだろうけど、
一階述語論理についてきちんと勉強しようという気にはならないんだと思う（数学者的には、そらそうだわな）
集合論の言語は< =, ∈>であって保存拡大かどうかは
言語を意識的にfixして考えないといけない、とか
公理的な集合論を勉強するときはコンパクト性定理とかL-S定理とか
完全性定理と不完全性定理を知っていることは
基礎知識として仮定されていることが多い、とかそういうところで躓くんだと思う
そういうところで躓いてたとしてもDrakeの本をさらっとでも見たら
「一つの宇宙を固定してその中で作業するのが集合論なのに対し
同じ論理式を異なる宇宙で解釈させるのががspecies理論だ」
なんて誤解はしないんじゃないか？
絶対性がどうとか、モデルに相対化させる記法とかさんざん出てくるんだから。
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ABC予想をZFCGで証明した後その主張からZFCの定理であると言うため？
だとするとかなり致命的なんじゃないの？
本当に大丈夫なのか心配になってくるよね
abc予想はその前の節で証明されていることになっているはず
だとすると何故必要もないのに、自分がよく知らない世界に立ち入って
怪しい理解に基づいた主張をするんだろう？
（しかも原文だと conservative extensionality になってる）
どう贔屓目に見ても保存拡大の概念を理解していないし
一階述語論理の言語とか理論とかを分かっているとは思えない
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「相応に豊富な任意の公理系」って二階算術のことで、モデルってのは
二階算術としての標準解釈（Henkin解釈ではなく）だったりするのかな
まさかね
×二階算術として
○二階述語論理として
＞Springer社のUTMの"Geometry : Euclid and beyond"（和訳あり）にこういう文章があります
＞> 最後に，公理系は完全であるかと言う問題がある．すなわち，公理系のす
＞>べてのモデルでなりたつ命題は，公理系から結果として証明されるか，とい
＞>う問題である．再びゲーデルは，相応に豊富な任意の公理系が，完全ではあり
＞>得ないことを示している． （R.ハーツホーン「幾何学」 p.83）
前半の完全と後半の完全は別の意味で使っているから正しいのでは？
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ただちに無意味であるとか役に立たないとかそういうことは言えないよね
保存的拡大の部分は枝葉末節。
そら無理ってもんだろ
それでどういう役割を果たすんだい？
>Springer社のUTMの"Geometry : Euclid and beyond"（和訳あり）にこういう文章があります
> 最後に，公理系は完全であるかと言う問題がある．すなわち，公理系のす
>べてのモデルでなりたつ命題は，公理系から結果として証明されるか，とい
>う問題である．再びゲーデルは，相応に豊富な任意の公理系が，完全ではあり
>得ないことを示している． （R.ハーツホーン「幾何学」 p.83）
吉永の誤解とは違うね。
吉永は完全性を決定可能性と同義だと誤解していたからね。
ハーツホーンが、例えば自然数論を二階論理上の理論と考えているなら
上記の文章がマチガッテルとはいえないな。
二階論理では、一階論理と違って完全性定理が成立しない。
そしてそれは、ゲーデルの不完全性定理から証明される。
「偉い人はやっぱり偉い」って言い続けていればいいよ
＞ただちに無意味であるとか役に立たないとかそういうことは言えないよね
誰かそんなこと言ってたか？
ロジックに関して初歩的な勘違いをしているね、という話しか出てないはずだが
僅か1時間50分の間に同じ文章の解釈（間違いではない根拠）が
劇的に変わっているんだが同一人物ではあり得ない、よな？
私はハーツホーンは２つの完全性の違いをきちんと理解している可能性もあるんじゃないと主張しています。
たとえば翻訳者が２種類の完全性を同一のものと勘違いして意訳してしまったという状況もありえます。
原著のpp.70, 71。ちょっと広めに引用するけどfinally以降が相当する部分。
While we are discussing axiom systems, there are a few more concepts we should mention.
An axiom system is consistent if it will never lead to a contradiction. That is to say, if it is not
possible to prove from the axioms a statement A and slso to prove its negation not A.
（中略）
Unfortunately, however, the logician Kurt Godel has proved that for any reasonably
rich set of axioms, it will be impossible to prove the consistency of that system.
So we will have to settle for something less, which is relative consistency.
(中略)
Another question about a system of axioms is whether it is categorical. This means, does
it describe a unique mathematical object? OR in other words, is there a unique model
(up to isomorphism) for the system of axioms?
（中略）
Finally, one can ask whether the axiom system is complete, which means, can every
statement that is true in every model of the axiom system be proved as a consequence of the axioms?
Again, Godel has shown that any axiomatic system of reasonable richness cannot be complete.
For a fuller discussion of these questions, see Chapter 51 of Kline(1972) on the foundations of mathematics.
その直前か直後で「同じ単語を別の意味で使っています」と断り書きがあれば別だが、
>>61はそういう断り書きを示すことはできないんだよな？
あとはハーツホーンは正しく理解していたが誤ってという可能性だが
これはもう本人の責任であって「間違ってる」と言われても仕方がない話。
ハーツホーンはcompleteを含め論理学については何も知らないと思う。
なかなかRobinsonのQとかRとかは良い感じに弱いよ
ゲーデル数化は或る意味で多様体の局所座標みたいなものだから
きちんと定義して性質をまとめるのは有意義なんじゃないかな、
とは思うんだが、そういう研究はあまり見たことないな。
知られている中で最弱の〜〜だったらある程度文献を調べるだけで良いんだけどね。
その定義に則って最弱なものの存在も示さないとな
つまり理論やモデルの解釈関係で良いはず。
こういうinterpretabilityについてはそれなりに研究されてるんじゃないのかな。
文字列 s のコードを G(s) としたときにゲーデル数化ができるというのは
チューリングマシンを用いて s から G(s) が計算でき、
また G(s) から s も計算できる、という定義で良いか。
異なるゲーデル数化同士の関係には再帰理論がそのまま応用できる。
82は無しで
Hajek-Pudlak に書いてあったと思うけど
Robinson's Q とか Buss' S^2_i とか弱い体系は
全部 mutually intepretable になるはず。
だからその定義だとその辺の体系はすべて最弱。
数年前にQより弱いR'_0で第一の方が証明されたというPDFを読んで浮かんだ疑問でした。
一般の理論Tにたして、何が示せたら第二不完全性定理が示せたことになるのか、
という本質的に全く同じ問題が残るわけだが
どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。
例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(¬Ｑ⊃¬Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。
そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［¬Ｑ(ｘ)⇒/x/¬Ｐ(ｘ)］
こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。
M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformationは、おそらく、世界を
席巻することとなろう。
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html
0または1に当たるものとsuccessor Sがあれば良い
そのゲーデル数の性質がどれだけ証明できるか、ということなんだよね
第二不完全性定理を（知られているやり方で）証明するためには
帰納法がある程度必要になる、というのがコンセンサスかと
RobinsonのQとか帰納法が全くないにもかかわらず
第二不完全性定理が証明できるわけだが。
何個か前のスレでもこの話題出てなかった？
解釈可能関係で同値なものは第二不完全性の観点からは区別する必要はない。
そして>>84が指摘しているように
帰納法が全く入っていない体系(Qなど)と帰納法のある体系がこの意味で同値になることがある。
つまり
***帰納法の有無は第二不完全性に影響しない***
わけなのだけれど、ということは>>88のいう
＞第二不完全性定理を（知られているやり方で）証明するためには
＞帰納法がある程度必要になる、というのがコンセンサスかと
はどんな素人間のコンセンサスかよ、という話になる。
第一不完全性定理のメタ証明を理論Tの中で形式化するためには
Tが数学的帰納法の公理を持ってないといけないんじゃないの？？
第一と違ってΣ1式について帰納法を仮定していることに注意すること、
とかそういうこと書いてたような
ゲーデル数化には最低でもｘ＾log(ｙ)程度の演算が必要とあったんだけど、これの情報元が不明。
またゲーデル数化の可能なIΣ1＋Ω1がQで解釈可能なのでQは第二が成り立つとあったんだけど、これの情報元も不明。
それから弱い限定算術の体系（S^i_2とか）は、自分の無矛盾性の証明どころか、
自分よりも弱い体系の無矛盾性も証明できないので、どれが弱い理論なのかよくわからないのでは？
いったい何が正しいのか分からないから、できれば情報元を提示してほしい。
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/terui.pdf
の18ページ脚注も
>実際には、PA ほど強力な証明能力は必要ではなく、高々Σ1 論理式に関する
>帰納法が使用できれば十分である。（
となってるので第二は帰納法が無ければ証明出来ない、と認識してる人が多いんだと思う。
ただHajek & Pudlakの最後あたりとか、Bussの"First-Order Proof Theory of Arithmetic"
（Handbook of Proof Theoryの第二章）とかだとQに対して第二不完全性が証明してある。
限定算術について本格的に勉強したことある人はQでもOKということを知ってるんだと思う。
en.wikipedia.orgのQの記事にも、Qを含む理論に対して第二が証明できるよと
ちゃんと書いてあって文献も示してある。さすが英語版。
ただ>>90さんの言うように或る弱い算術の理論の中で
別の算術の理論を解釈するというやり方だとちょっと反則な感じがしないでもない。
ネルソンのように超準解析を経由して帰納法に疑いを持つのは理解できる。
http://projecteuclid.org/euclid.pl/1235421934
Bussの"First-Order Proof Theory of Arithmetic"
http://www.math.ucsd.edu/~sbuss/ResearchWeb/handbookII/ChapterII.pdf
en.wikipedia.orgのQの記事
http://en.wikipedia.org/wiki/Robinson_arithmetic
何拗ねてんのｗ
私は代数幾何とか知らんから
ハーツホーンが偉いかどうか
なんて知らんよｗ
というのは常識であって知らない奴はモグリ
東大でも京大でも数学科学部生に「ハーツホーン読んだことある？」って言ったら普通通じる
物理学科でも通じる人のが多いかも
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