中三が東大を目指してみようと思っている Part2

1 ：2012/08/23 〜 最終レス ：2013/09/12

前スレ
中三が東大を目指してみようと思っている
http://engawa.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1326347264/

2 ：

>>1
乙！

3 ：

>>1
乙です

4 ：

>>1
立てようと思ったけれど
仕事が早い！
乙！

5 ：

>>1
乙です
いちおう近況報告・・・
進研模試は散々な結果でした
とりあえず二週間後の期末テストに向けて勉強中です

6 ：

>>5
ぜひがんばって下さい！！！

7 ：

真剣、校内偏差値120とったったwwwww
総合は78と言う微妙さ

8 ：

>7
120……
見たことないぞ、そんな数字……

9 ：

120w

10 ：

ではしつこく出題していきます……
本スレ初問題
問７
１より大きい奇数 n が任意に与えられている。このとき、
C(n,1),C(n,2),C(n,3),...,C(n,(n-1)/2)
の (n-1)/2 個の中に奇数は奇数個あることを示せ。

11 ：

>>8
高校偏差値54だからな…。
252点でこれだ

12 ：

xy平面上で座標がともに整数であるような点を格子点と呼ぶ。
各格子点を中心として半径ｒの円がある。
傾き2/5の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点を持つという。
このような性質をもつ実数ｒの最小値を求めよ。
前スレのこれがわからん。
中３数学レベルとあったから知識が不足しているわけじゃないんだろうけど。
>>10
出題もいいけど、たまには解説もよろしく頼む

13 ：

>>12
了解！>解説の件
たとえば(X,Y)と(X+5,Y+2)という２点を通る線分を、X,Yの値を自由に変えて動かすことを考える。
このとき、なるべく円に触れないようにするには、
x=(整数),y=(整数)+(1/2)
である必要があるよね?

14 ：

(√29)/58

15 ：

あと１つ報告。
昨日のn個の自然数の組の問題ですが、n=15の場合は
1,2,3,5,14,41,62,68,84,91,99,109,114,119,133
の組が、最大の数が最小となる組で、これは100を超えているので不可能。
よって答えは 16 であっていました。
どうか不備をお許し下さい。
※知恵袋で質問したり自分で考えたりしました。
上記の組は知恵袋で教わりました。
回答者様曰く「難問です。」
単純なようでなかなかの難問だったようです。

16 ：

(√29)/29

17 ：

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1392839288
これか

18 ：

計算ミス
俺も(√29)/58

19 ：

>>17
そうですそれです
どうやら論理的に突き詰められる問題ではなく、つぶさに調べるほか無かったようです。

20 ：

数オリとか出てる所を見ると
やっぱり理�T志望なの？

21 ：

internetのすべての文字を使ってできる順列のうち、
どのｔもどのｅより左側にあるものは何通りか。

22 ：

4*5*6*7

23 ：

>>20
いまのところ理系志望であることは確かですが、具体的な科類はまだ決めてません。
ジュニア数学オリンピックは、数学が好きだったので受験しました。
学校で習う数学よりも数学オリンピックの数学のほうが面白いし、考えていて楽しいので。
高２になるまでに科類を決める予定です。

24 ：

昨日の問題の答えは９時くらいになったら掲載します。

25 ：

いやもうちょっと考えていただきましょう。
「奇数が奇数個」ということは
C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+...+C(n,(n-1)/2) =（奇数）
ということですよね？

26 ：

x^2＋y^2≧axy が、実数x,yに対して常に成り立つような a の範囲は？

27 ：

>>26
(左辺)-(右辺)
=x^2-axy+y^2
=(x-(a/2)y)^2+(1-(a^2/4))y^2
(x-(a/2)y)^2+(1-(a^2/4))y^2=Xとすると、
Xが常に0以上であればよい。
ここでx,yは実数なので
(x-(a/2)y)^2≧0,y^2≧0は明らか。
1-(a^2/4)＜0のときは、たとえば(x,y)=(a/2,1)とすれば
X=0+(1-(a^2/4))＜0　よってX＜0となり不適。
1-(a^2/4)≧0のときは明らかにX≧0なので、aは1-(a^2/4)≧0を満たしていれば良い。
1-(a^2/4)≧0を変形して
4≧a^2
∴-2≦a≦2
こんな感じでしょうか？

28 ：

>>26
相加平均・相乗平均の臭いが・・・

29 ：

正解ーーー！！
x^2＋y^2≧axy が、正の実数x,yに対して常に成り立つような a の範囲は？
ちょいとラベルあつぷ

30 ：

>>29
前問同様にa>2の場合は不等式が成立しない場合があるのでa≦2
a≦2の場合、不等式は必ず成立する。なぜなら
x^2+y^2≧2xy≧axy
が成立するからである(∵a≦2,xとyは正の実数)。
�@a≦2でなければならず、
�Aa≦2なら必ず不等式は成立するので、
求めるべき条件は　a≦2

31 ：

小・中学生向けの問題だけど解けるかな？
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org3349399.jpg

32 ：

>>31
図がないので説明しにくいんですが、
２つの三角形を●の長さの辺でくっつけると、
頂角３６度の二等辺三角形の一部になって、そこからいろいろやっていくと
なんか正五角形の中に正三角形をいれた形の一部になっていて……
答えは３０度？

33 ：

a,b,c,d≧2 のとき、abcd＞a＋b＋c＋d を示せ。

34 ：

>>33
２段構成でいきましょう。
［補題］x,y≧2のとき、　xy≧x+y…�@　を示す。
［証明］
(左辺)-(右辺)
=xy-x-y
=(x-1)(y-1)-1
ここでx,y≧2より(x-1)≧1,(y-1)≧1
∴(x-1)(y-1)≧1
(x-1)(y-1)-1≧0
したがって(左辺)≧(右辺)
等号成立は(x-1)(y-1)=1,つまり(x,y)=(2,2)のとき。
�@より
ab≧a+b…�A
cd≧c+d…�B
�A、�Bの辺々を足し合わせ、
ab+cd≧a+b+c+d…�C
つぎにab≧4,cd≧4だから�@より
ab*cd>ab+cd…�D
(ab=cd=2となりえないため等号は成立しない。)
�C、�Dより
abcd>ab+cd≧a+b+c+d
以上より
abcd>a+b+c+d

35 ：

x^2+mx+n=0 が解をもち、その実部が負となる条件は？

36 ：

>>35
やばいな、こういう問題苦手なんだよな……
「その実部が負」というのは、２つの解のうち少なくとも一方ですか？
それとも２つの解どっちもですか？

37 ：

「すべての解の実部が負」だと思ふ

38 ：

m^2-4n>=0かつm<0かつn>0

39 ：

>>38
「実部」というからには複素数解の実部についても考えなければならないので、m^2-4n<0の場合についても考えなければならないのではないかと思います。

40 ：

そこがよく分かりません。

41 ：

壮絶いじめ首謀者・黒木瞳の娘が青山学院を停学に
　２万円渡して男子同級生に女子をRさせる
http://www.gekiura.com/gossip/post-227/

42 ：

m^2-4n<0の時は実部=-m/2>0だけでおｋ

43 ：

-m/2<0だった

44 ：

>>43
ああそうか、解の公式の分子の[-b]のところが正になればいいんですもんね。
判別式が負だからルートの中身は関係ないんですよね。

45 ：

ではそろそろ問７の解説です。
まず、次の［補題］を考えます。
［補題］
nを3以上の奇数とする。
n人を2つのグループに分ける。
分け方は何通りあるか。
ただし0人のグループは作ってはならない。
解法�@
2つのグループを区別すると仮定した場合、分け方は
(2^n)-2　通り（2を引いたのは、0人のグループが禁止だから。）
実際は2つのグループは区別しない為、［補題］の答えは
{(2^n)-2}/2=2^(n-1)-1　通り。
解法�A
奇数人を2つのグループに分けるとき、「人数の多いグループ」と「人数の少ないグループ」が出来る。
「人数の少ないグループ」の人数として考えられる人数は、
1,2,3,...,(n-1)/2
である。「人数の少ないグループ」の選び方の総計が［補題］の答えだから、答えは
C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+...,C((n-1)/2)　通り。
解法�@、�Aの値は当然等しくなければならないため、
C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+...,C(n,(n-1)/2)=2^(n-1)-1=(奇数)　(∵n≧3)
和が奇数ということは、そのなかに奇数は奇数個無ければならない。
以上より
C(n,1),C(n,2),C(n,3),...,C(n,(n-1)/2) 　の中に奇数は奇数個ある。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
今回は、「C」という記号の意味を、具体的な事例にどう対応させるかがカギとなりました。

46 ：

f(x)＝lx^2−x−kl (0≦x≦1) の最大値を最小にするような k の値は？

47 ：

1から50までの整数の中から互いに異なる２６個の数をどのように選んでも
和が51になる２つの数の組が必ず含まれている事を示せ

48 ：

１飛ばしで
1,3,5････49まで２５個か
2,4,6････50まで２５個
作れば51は作れないけど
あと１個はどこに入れても連続する区間ができる
間に入れた１個とペアになる数字があるから
絶対５１は作れそうだ

49 ：

折り返した頂点と、ｙ切片が一致すればいいことに気付けば一気に
下準備
f(0)＝f(1)＝lkl ,f(1/2)＝lk+1/4l
f(0)＝f(1/2) を解いて、ｋ＝-1/8
解）放物線P0；y＝x^2−x+1/8 とする
　　直線　ｙ＝1/8 と折り返し放物線Q0;y＝lx^2−x+1/8l を図示
　　P0の頂点が下に移動したP1では、折り返し放物線の頂点が直線y=1/8を越える
　　P0の頂点が上に移動したP2では、折り返し放物線の端が直線y=1/8を越える
　　よって、P0のとき、最大値が最小となる。　このときｋ＝-1/8
Ans. k=-1/8

50 ：

g(x)=x^2-x-kとおく
maxf(x)=max｛maxg(x),-ming(x)｝≧(maxg(x)-ming(x))/2=1/8
等号成立はmaxg(x)=-ming(x)であるから
-k=1/4+k
ゆえにk=-1/8

51 ：

>>47
こういうシンプルな問題いいね

52 ：

43より小さくて、43と互いに素な自然数の個数は？

53 ：

43が素数だから
43以下の素数の数を数えれば良いのかな？

54 ：

違うわ
43が素数だから
２〜４２まで全部当てはまるか

55 ：

出題者の意図をしっかり読んで適切に引っ掛かる>>53は良い奴だな。

56 ：

名大だかの過去問で>>52の一般化問題が出てたな

57 ：

どんな問題？

58 ：

41こ

59 ：

いやあごめんなさい。いつも出題している人です。
ちょっと都合で外出していたのでここ３、４日書き込みが出来ませんでした。
>>52の問題は「オイラー関数」と呼ばれています。
一般的にφ(n)の形で表します。
たとえば上の43の例だと
φ(43)=42　となるわけです。
※ちなみに「互いに素」とは「最大公約数が1」ということなので1〜42までの42個。（1も含まれることに注意。）
じゃあ今日はオイラー関数についての問題です。
問８
φ(n)はn>2のとき、必ず偶数になることを示せ。
まずは簡単な問題から。

60 ：

あまとうさんいつも出題乙です

61 ：

あまとうさんって公立じゃなかったっけ？
問題出してる人って中学受験してるから
あまとうさんじゃないと思う

62 ：

>>60
>>61
僕は某国立高校の１年生です。

63 ：

ついに筑駒生まで来るスレになったか
凄いなｗ
日本を宜しくお願いします

64 ：

とりあえず素数の時は
素数-1が答になるから
素数は奇数だから必ず偶数になるのは分かった
あとは任せたﾉｼ

65 ：

x,y,z,n：0以上の整数。
x＋y≦3 を満たす組 (x,y) の個数は？

66 ：

中国は儒教の国じゃない
http://www.catv296.ne.jp/~t-homma/dd050709.htm
「韓国は初めての訪問でした。行く前にはすべてが中国と似ていると考えました。ところが途方もないカルチャーショックを受けました」。
最も大きい衝撃は韓国の儒教文化だった。成均館（ソンギュングァン）で紗帽冠帯をかぶり孔子に祭礼をするのを見て（中国人として）恥ずかしさすら感じたという。
「中国の儒教文化はほとんど明代以後のものです。その上に清代と共産政権以後に事実上絶滅し、最近になり孔子思想を再評価する水準です」。
http://logsoku.com/thread/engawa.2ch.net/poverty/1342061492/

67 ：

入試でできるだけ長い循環小数を作れって問題が出たら
どうしよう

68 ：

>>67
「長い」ってのは周期が長いってこと？

69 ：

そう
できるだけ長い循環節を作れみたいな感じで

70 ：

>>69
まず入試ではそういう問題は出ないと思う。
というのはこういう創作的な問題は採点がめんどくさいから。
一人ひとりの結果が正しいかを調べるのは非常に時間が掛かるからね。
感覚的には循環節はどこまでも長く出来そうな気がする。
だから採点の際も「○個以上の周期なら●点」みたいな採点基準だと不公平すぎるから、出題はまずないと思って問題ない。

入試に出るか出ないかは別として問題そのものを考えると、
1/(素数)の形は循環節が長くなる印象。
とくに1/97とか1/61みたいに、　(約数の数が多い自然数)+1　の形の素数を分母にもってくれば長くなる気がする。

71 ：

>>65
7個でいいしょ

72 ：

>>71
10個じゃない？

73 ：

1/999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

74 ：

10個だつたわ

75 ：

ライバルがいたとは

76 ：

4つの自然数x,y,z,nにおいて、x^n+y^n=z^n(n≧3)を満たすnは存在しない事を証明せよ。

77 ：

なんか未解決問題で見たような希ガス

78 ：

フェルマーの大定理

79 ：

>>76
これが証明できた人は数学史上まれにみる天才だｗｗｗｗｗ
まあn=3の場合やn=4の場合とか、場合によってはわれわれでも解けるものはありますよね。

80 ：

じゃあフェルマーの小定理でも

81 ：

x,y,z,n：0以上の整数。
x＋y≦n を満たす組 (x,y) の個数は？

82 ：

3で割ると2余り
5で割ると3余る数のうち
100以下のものは幾つあるか？
（5分）

83 ：

7

84 ：

誰かスレ立て代行お願いしたい
スレタイ　伊那北高校を語るスレ
本文　　　田舎の進学校
　　　　　　情報とかあったら言ってけ

85 ：

>>79
まれどころか世界の大学が土下座して招き入れるレベル

86 ：

>>81
12nでおk？

87 ：

こんな感じの問題はよく見かけるね

88 ：

では問８の解説をしましょう。
まず大事なのは、次の事実です。
・nとk(<n)が互いに素のとき、nとn-kも互いに素である。
この証明は簡単なので省略します。
で本題に入ります。
�@nが偶数のとき
0からnまでの整数のなかでnと互いに素なものの個数を考えます（便宜上0も範囲に含めます）。
ある数kがnと互いに素であるとき、nとn-kも互いに素です。
したがって0からnまでの整数を一列に並べたとき、nと互いに素なものはn/2(=整数)を中心に左右対称に並んでいるはずです。
またn/2は言うまでも無くnの約数ですからφ(n)には含まれません。
以上よりnが偶数であるときφ(n)は必ず偶数です。
�Anが奇数のとき
nが奇数の場合は、先ほどいった左右対称の中心はn/2ですが、n/2は整数ではないため、n/2がnの約数になることはありえません。
nとnは互いに素になりかねないのは明らか。したがってφ(n)が偶数になるのは明らかです。
以上より2より大きいnにおいてφ(n)は偶数になります。

非常に大雑把な証明なので、なにか不明瞭な点があったら質問下さい。

89 ：

新しい問題。本当はこの問題を先に出すべきでした。
問９
nを素因数分解すると
n=(p1^a1)(p2^a2)(p3^a3)...(pn^an)
(p1〜pnは相異なる素数、a1〜anは自然数)
となるとき、φ(n)の値をもとめよ。

オイラー関数の一般形です。

90 ：

んー　要は各素数から1引いた値を
それぞれ掛けて行けばいいのか？

91 ：

素数は無限個あることを証明せよ。

92 ：

>>91
有名でかつ大事な証明ですよね。
自分の知っている証明のなかでもけっこう美しい部類にはいります。

93 ：

では問９の答えを発表します。
答えは>>90の仰るとおり、
(p1-1)(p2-1)(p3-1)...(pn-1)です。
で、この一般化した式は大変役立ちます。
ぜひとも覚えておいて下さい。

94 ：

>>89>>93
＞φ(n)の値をもとめよ
問題の意味がわからない。。。

95 ：

やばいまちがえた……
答えは
n(1-(1/p1))(1-(1/p2))(1-(1/p3))...(1-(1/pn))
でした。スミマセン。

96 ：

>>94
「オイラー関数」というものです。
少し前のレスにあるとおり、
・ある自然数nについて、n以下でnと互いに素な自然数の個数をφ(n)で表す。
という定義の関数です。

97 ：

やったー　当たった
で、オイラー関数とやらは
大学受験で使うの？

98 ：

[問] 素数が無限個存在することを示せ。
[証明] 背理法で示す。素数が有限個であって、小さい順に
　　a_1、a_2、a_3、…、a_n
のn個であると仮定する（つまり最大の素数をa_nとする）。
このとき、(a_1 * a_2 * a_3 * … * a_n) + 1という数は、
どの素数よりも大きいので素数でない。
一方、この数は、どの素数で割っても1余るので素数である。
矛盾をきたすので、はじめの仮定が誤りである。
すなわち、素数は無限個存在する。

99 ：

>>97
オイラー関数は数学Ａの整数分野の発展だから、微分積分とかと比べたら出題率はずっと低い。
ただ出題されたばあい、オイラー関数の問題を過去に解いたことがあるのとないのとでは非常に大きな差が生じる、といった感じです。

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