でも、詳しければいいとか、易しければいいとか、
そういうことではないと思うんです。
関数解析（Functional Analysis）
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1311378587/
関数解析＆ルベーグ積分
http://logsoku.com/thread/science.2ch.net/math/1043423127/
Functional Analysis, Lebesgue Integral II
http://logsoku.com/thread/science3.2ch.net/math/1088665870/
Lebesgue積分ｾﾞﾐ
http://logsoku.com/thread/science3.2ch.net/math/1109910304/
どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもA=(O∪S1)-S2とならないような
Aは存在しますか
存在する。
集合A⊂Rに対して、Aの閉包をA^aと書き、Aの開核をA^iと書くことにする。
ルベーグ可測集合Aに対して、Aのルベーグ測度をm(A)と書くことにする。
補題1：Oは開集合でNはゼロ集合とする。このときO⊂(O∩N^c)^aが成り立つ。
補題2：閉集合 K⊂R であって、K^i＝φかつm(K)＞0を満たすものが存在する。
>5への回答：
補題2を満たすKを取る。このKが求めるAである。実際、ある開集合Oと零集合S1,S2が存在して
K＝(O∪S1)∩S2^c
と表せたとする。K ⊃ O∩S2^c であるから、
K ＝ K^a ⊃ (O∩S2^c)^a ⊃ O
が成り立つ(最後の包含は補題1を使った)。よって K ⊃ O となるので、
φ ＝ K ^i ⊃ O^i ＝ O
となる。すなわちO＝φとなる。このとき K＝S1∩S2^c ⊂ S1 だから
m(K)≦m(S1)＝0すなわちm(K)＝0となるが、これはm(K)＞0に矛盾する。
よって、どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもK＝(O∪S1)∩S2^cとならない。(終)
補足：K＝(O−S1)∪S2 も出来ない。この場合 K ⊃ O∩S1^c だから、あとは同じ議論で矛盾する。
開球と言っても、今の場合は1次元だからB_r(x)＝(x−r, x＋r)である。
補題1の証明：
O＝φのときは明らかに成立する。以下、O≠φとしてよい。
題意を示すには「x∈Oならばx∈(O∩N^c)^a」を示せばよい。すなわち、
「x∈Oならば『任意のr＞0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φ』」
を示せばよい。
x∈Oとする。あるr＞0が存在してB_r(x)∩(O∩N^c)＝φ が成り立つとする。このとき
B_r(x)∩O ⊂ N … (1)
が成り立つことが分かる。また、Oは開集合でx∈Oだから、B_{r_1}(x)⊂Oなるr_1＞0が取れる。
よって、r_2＝min { r, r_1 } と置けば B_{r_2}(x) ⊂ B_r(x)∩O となる。これと(1)から
B_{r_2}(x) ⊂ N
となる。よって 0 ＜ m(B_{r_2}(x)) ≦ m(N) ＝ 0 となって矛盾する。
よって、任意のr＞0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φが成り立つ。以上より、成立。
I＝[0,1]と置く。有理数全体の集合をQと置く。Qは可算集合だから、
Q＝{p_k｜k＝1,2,3,…} と番号づけて表示できる。
O ＝ ∪[k＝1〜∞] B_{ 0.01^k }(p_k)
と置くと、明らかに
Q ⊂ O … (1)
である。また、Oは開集合であり、
m(O) ≦ Σ[k＝1〜∞] 2*0.01^k ＝ 2/99
が成り立つ。次に、K＝I∩O^c と置く。このKが求めるKである。以下でこれを示す。
まず、Kは明らかに閉集合である。次に、
I＝(I∩O^c)∪(I∩O)＝K∪(I∩O)⊂K∪O
が成り立つ。よって
1＝m(I)≦m(K)＋m(O)≦m(K)＋2/99
すなわち m(K)≧1−2/99＞0 となる。さらに、K^i＝φである。実際、K^i≠φだとすると、
x∈K^i なるxが存在する。このとき、あるr＞0が存在してB_r(x)⊂K^i が成り立つ。これと
K^i ⊂ K ＝ I∩O^c ⊂ O^c ⊂ Q^c
より、B_r(x) ⊂ Q^c が成り立つことになる。しかし、B_r(x)＝(x−r, x＋r) には
必ず有理数が含まれるから、矛盾する。以上よりK^i＝φである。(終)
証明理解しました
測度が0じゃないカントール集合のようなモノを作ればいい訳ですか
ありがとうございました！
ｆ（ｘ）＝sin(2πｘ） （0.1)＼Ｑ
∞ （0.1)∩Ｑ
の||f||Ｌ∞（E)
と
g(x)=1/x (0.1)
の||g||Ｌ∞（E)
の二問です。
よろしくお願いします。
E=(0,1)だとして
どんなに小さいε>0に対しても{x∈E | 1-ε≦f(x)≦1}の測度が0より大きくて
{x∈|E | |f(x)|>1}の測度が0だから ||f||_L∞(E)=1
またどんなに大きいC>0に対しても{x∈E | g(x)>C}の測度が0より大きいから
||g||_L∞(E)=∞
ありがとうございます。
また質問するかもしれないです。
本当にありがとうございます。
μ-測度収束位相において、C_0^∞(R)がR上μ-可測関数全体のなす線形空間の閉部分空間となる例は有るか？
f_nが測度収束 ∀ε,δ>0∃N∀n,m>N ( m(|f_m-f_n|<ε)<δ)
E∈ｍ ｍ（Ｅ）＜∞
1≦p＜q≦∞のとき
Lq(E)⊂Lp(E)を示せ。
またｆ∈Lp(E)→||f||Lp(E)≦Ｃｏ||f||Lq(E)
となる Ｃo(fによらない）があることを示せ。
お願いします。
∪(q_n-2^(-n)..q_n+2^(-n)) はBorel可測となりその測度は1以下になるはずだが, 本当にこれでいいのか.
う〜ん。
とりあえずは志賀浩二の「ルベーグ積分３０講」だな。
自分も高校の時に読んで良かった。
ソレ以外だと、適当なのがないな。
中野剛志先生がＴＰＰ賛成論者の詭弁を全滅させたようです
http://www.youtube.com/watch?v=9amjatPD_l4
http://www.youtube.com/watch?v=8G29qFqId2w
中野先生が敗北宣言、暗される？
日本が米国の植民地に。すでに９９％手遅れか？
http://www.nicovideo.jp/watch/sm15973549
テレビ・新聞にだまされるな。
気づいたら、
「ｍｙ日本」で検索
数学は、高校数学と＋αで止まっています。
30講は読みましたが、あぁいう感じの本は読みにくかったです。
何をいいたいのかって言うと・・・
数学の知識が足りないくせに、なるべく論理的・厳密に測度論を理解したいというわがままな俺に、お薦めの本や、準備段階としてやるべきこと（集合位相は必須？）を教えてください。
目的は確率論です。
積分と関数解析
http://www.amazon.co.jp/gp/aw/d/4431711872/ref=_p0
難しそうなので別のをお願いします
整数Z上の測度mで、・m(Z)=1
・(∀b∈Z)(∀A:Z上の可測集合)m(A)=m(A+b)
(A={a_i}としたとき、A+b={a_i+b})
を満たすとする。
このとき、mのような測度が存在するZ上ののσ加法族で最大のものはなんですか？？
はっきりと言ってあげるね
君には測度論は二年早いよ
数学科ではまず微積分と線形代数を教養課程でみっちりやる
基礎がない君が背伸びしても何も身につかないよ
経済学部の測度論なので、確率、確率過程が展開できればいいと思うので、厳密にやらなくてもいいと思うよ。
したがって、測度も無限次元位相ベクトル空間に値をとるものが重要
ほんまかいな
こういう話はアルみたいですけどね：
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_measure
でも普通に使われるのは：
http://en.wikipedia.org/wiki/Bochner_integral
だと思います。但し主流かどうかは知りませんが。
猫
Nを自然数全体からなる集合とする.
写像f:N→R,でR-{0}のfによる逆像が有限集合になるもの全体からなる空間とf:N→R全体からなる空間がある.
有限個しか0以外にならないほうが扱いやすいこともある.
Z上のσ加法族Fが条件を満たすとするなら
(∀b∈Z)(∀A∈F) A+b∈F ……(1) という条件を満たさなければいけない
また A+b=A となるような正の整数bで最小の物をAの周期N(A)として
そのようなbがないならAは周期が無いとする
I_k={i∈Z | i/k ∈Z} とする。以下Fは条件(1)を満たすσ加法族とする。
このとき ( A∈F and N(A)=b ) → ( I_b∈F ) が成り立つことは何とか示せる
次に N(A_1)<N(A_2)<... となるような A_1,A_2,...∈Fがあるならば
{0}∈Fが成り立つこと、F=2^Zとなることも示せる
一方2^Zに対して>>29の測度は作れないので
ある自然数N>0があって F は周期がNより大きい元を持たないことになる
そして b>N として以下の F' を考えるとき、F' が I_b と F を含み(1) を満たす
σ加法族となること、また F' がそのようなσ加法族の中で最小となることを示せる
F' = { A'⊂Z | ある A_1,...,A_b ∈ F があって
A' = ((I_b + 1)∩A_1) ∪ ((I_b + 2)∩A_2) ∪...∪ ((I_b + b)∩A_b) となる }
Fに>>29のような測度が存在するとき、F'にもそんな測度があることを示せば
>>29を満たすσ加法族は常にそれより真に大きくてなおかつ条件を満たす
σ加法族を持つことになり最大どころか極大な物すら無いことになる
何気に面白いなこれ。
ZのかわりにQを使って、んで完全加法性すててジョルダン測度にしたらどうなるだろ？
まじで！スゴいな。
うpキボン
なんか扱いが難しそうな奴は>>29を満たす例にならなくて
周期的な集合のみからなる測度空間だけが>>29の例に該当するのかな
その様なmは存在しない。
>29で書かれている「可測集合」は、ボレル可測集合全体とか
ルベーグ可測集合全体とかの意味ではないぞ。
σ集合体から自分で設定するんだ。
F＝{φ, Z} とすれば、Fはσ集合体。
m(φ)＝0, m(Z)＝1 と定義すれば、mはF上の測度。
そして、測度空間(Z,F,m)は次を満たす。
・m(Z)＝1
・(∀b∈Z)(∀A∈F) A+b∈F
・(∀b∈Z)(∀A∈F) m(A)＝m(A+b)
だから、>>29 が成り立つような測度空間は
少なくとも1つは存在している。
A∈F ⇔ ∃An∈Fn A = {a∈Z|∃b∈An a≡b (mod n)} となるZ上の集合族Fが作れて
m(A)をm_n(An)で定義した測度mとあわせて測度空間 {Z,F,m} を作れるよ
これ以外の F の例があるのか>>41に教えて欲しい
すると （Ｚ，Ｂ，Ｐ） を、
ａ∈Ｚ、Ａ∈Ｂ ⇒ Ａ＋ａ∈Ｂ
を満たす確率測度空間とする。
仮に、Ø≠Ａ≠Ｚ だとする。
ある ｎ∈Ｚ が存在し、
ｎ∈Ａ、ｎ＋１∉Ａ
または
ｎ∈Ａ、ｎ−１∉Ａ
である。
前者の場合、
Ｃ＝Ａ∩（Ａ＋１）∩（Ａ＋２）∩…∈Ｂ
ｎ∈Ｃ⊆｛…，ｎ−２，ｎ−１，ｎ｝
Ｂ∋Ｃ∩（Ｃ＾ｃ−１）＝｛ｎ｝
後者も同様。
よって、Ｂ＝｛Ø，Ｚ｝ 以外にはあり得ない。
それも間違い。A＝{ 2x｜x∈Z } と置くと、B＝{φ, A, A^c, Z} はσ集合体である。
また、m(φ)＝0, m(A)＝1/2, m(A^c)＝1/2, m(Z)＝1と置くと、mはB上の測度になる。
そして、測度空間(Z,B,m)は次を満たす。
・m(Z)＝1
・(∀b∈Z)(∀A∈B) A+b∈B
・(∀b∈Z)(∀A∈B) m(A)＝m(A+b)
つまり、何が言いたいかというと、>>49 により、
B＝{φ, Z }以外にも存在するということ。
もう帰りや
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それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
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誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険
知ったかブッタの日本人
失敗作
Zを整数の集合、FをZ上のσ集合族として測度空間(Z,F,m)が次を満たしたとする
(1)m(Z)=1
(2)(∀n∈Z)(∀A∈F) A+n∈F
(2)(∀n∈Z)(∀A∈F) m(A)=m(A+n)
まず{0}∈FならF=2^Zとなることと(1)〜(3)を満たす(Z,2^Z,m)は存在しないことに注意する
A≠φとなるA∈Fをとってきて I_A=∩{a∈A}(A-a) とおくと(2)よりI_A∈Fである
0∈I_A より ∃i∈I_A(i≠0) が成り立つ。また i∈I_A, n∈Z → in∈I_A と i,j∈I_A → i+j∈I_A
となることを使えば、ある数n_Aがあって I_A={..., -2n_A, -n_A, 0, n_A, 2n_A, ...} だと示せる
次に I_F=∩{A∈F, A≠φ}I_A とおけば I_A の候補は可算個しかないので
右辺は実質は可算個の集合の共通部分になり I_F∈F となる
また 0∈I_F よりある数n_Fがあって I_F={..., -2n_F, -n_F, 0, n_F, 2n_F, ...} だと示せる
そして F' を I_F, I_F + 1,...., I_F + n_F -1 で生成されるσ集合族とすると(2)よりF'⊂Fである
A∈F, A≠φ ならば I_A は適当な数列 a_1,...,a_k があって I_A=∪_l (I_F + a_l) となるので
I_A ∈ F' である。また A = ∪{a∈A} (I_A + a) なので A∈F' である
よって F⊂F' より F=F' となる
以上より (Z,F,m) が(1)〜(3)を満たすσ集合族ならば、ある数n_Fがあって
Fは I_F, I_F + 1,...., I_F + n_F -1 で生成されるσ集合族となることが分かる
という風に Z をもっと一般の可算環（って言葉あるっけ？）に出来そうな証明が出来た
＞ i∈I_A, n∈Z → in∈I_A
n≧0のときは簡単だけど、n＜0のときはどうやって証明するの？
A∈F, i∈I_A とする
B≡A∩(A^c+i)=φならば∀a∈A (a-i∈A) となり -i∈I_A が示せるので
それを証明する。B∈FなのでBは可算集合か空集合になる
Bが可算集合だとすると a2=a1+ni , n∈N となる a1,a2∈B があり
a2-i=a1+(n-1)i∈A となるがこの時 a2∈A+i となってしまうので矛盾する
よって -i∈I_A となる。また一般の n<0 の場合も ni∈I_A となる、って感じで
サンクス。理解した。しかし凄いな。
sn(x)= n (f(x)≧nのとき）
k/2^n(k/2^n≦f(x)≦k＋1/2^n) k=0.1.2・・・n2^n-1
のときf(x)=√x
(1)∫sn dxを求めよ (2)(1)のlim
の二問お願いします。
√xの面積をルベーグ積分の定義で計算したいのです。
例えば、
> 非負単関数列sn E=[0.∞）が次
と、関数列と領域が何の脈絡もなく併記されているとか、
> E＝[0.2]とし
としておきながら、直後に
> E=[0.∞）
と矛盾したことを書く等
E=[0.2）とし 非負単関列sn E→[0.∞）です。
申し訳ないです。
非負単関数列 s_n : E→[0,∞)が次で与えられているとする
s_n(x)= n (f(x)≧nのとき)
s_n(x)= k/2^n ( k/2^n≦f(x)≦(k+1)/2^n ( k=0,1,...,n*(2^n-1) ) )
f(x)=√x のとき
(1)∫_E s_n dx を求めよ (2)lim[n→∞]∫_E s_n dx を求めよ
が問題文だとして、(2)は∫_E √x dx だけど
(1)は計算するのめんどそうだ
2番は楽なんですけど
1番の計算ができないので1番だけでもいいのでよろしくお願いいたします。
吉田朋広ってどうなんだろ
…という訳にはならないけど学部で必要な知識得るだけだったら同じよ
単に、ルベーグ積分ですって言っておいて、
定理を利用すると、証明しやすいってだけじゃないの？
K⊂R^n 有界閉ならばC(K)がバナッハ空間になることを証明せよ
という問題なんですが
区間なら証明できるのですが一般の場合だと
どうすればいいのかわからないのでぜひよろしくお願いします。
C(K)の収束は関数列の一様収束と同値を使えばできると思う。
ということは区間でも大丈夫っすね？
KがコンパクトであればOK。