Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日
part 1
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/
part 2
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/716
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/718
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/720
通報
C において任意の有限集合を添字集合とする積が存在するとする。
このとき C は有限積を持つと言った(代数的整数論018の911)。
同様に有限余積を持つ圏が定義される(代数的整数論019の51)。
(代数的整数論019の510)。
C における任意の射が核(代数的整数論019の506)と余核(代数的整数論019の506)をもつとき
C を前アーベル圏(preabelian category)と呼んだ(代数的整数論019の512)。
Ob(I) および Hom(I) が有限集合のとき I を有限グラフと呼んだ(代数的整数論019の170)。
I をグラフ(過去スレpart2の809)とし
F：I → C を図式(過去スレpart2の817)とする。
I が有限グラフ(>>7)のとき F を有限図式と言った(代数的整数論019の177)。
C において任意の有限図式(>>8)の極限(過去スレpart2の824)が存在するとき
C を有限完備(finitely complete)と言った(代数的整数論019の178)。
C において任意の有限図式(>>8)の余極限(過去スレpart2の831)が存在するとき
C を有限余完備(finitely cocomplete)と言った(代数的整数論019の179)。
代数的整数論019の532より C が前アーベル圏(>>6)であるためには
C が有限完備(>>9)かつ有限余完備(>>10)であることが必要十分である。
C を前アーベル圏(>>6)とする。
C が積を持てば(過去スレpart2の900) C は完備(過去スレpart2の887)である。
証明
>>11より C は有限完備である。
よって、C は差核を持つ(過去スレpart2の900)。
過去スレpart2の901より C は完備である。
証明終
C を前アーベル圏(>>6)とする。
C が余積を持てば(過去スレpart2の900) C は余完備(過去スレpart2の888)である。
証明
>>12の双対である。
>>12と>>13より Mod(A) (過去スレpart2の685)は完備かつ余完備である。
そういう事は自分で調べて下さいまし。
猫
I×J を積(代数的整数論017の586)とする。
F：I×J → C を関手とする。
u：i → j を I の射とし、s：a → b を J の射とする。
F(1_i, s)：F(i, a) → F(i, b) と F(u, 1_b)：F(i, b) → F(j, b) を
合成した射 F(u, 1_b)F(1_i, s) は F(u, s)：F(i, a) → F(j, b) である。
F(u, 1_a)：F(i, a) → F(j, a) と F(1_j, s)：F(j, a) → F(j, b) を
合成した射 F(1_j, s)F(u, 1_a) は F(u, s)：F(i, a) → F(j, b) である。
よって、次の可換図式が得られる。
F(i, a) → F(i, b)
↓ ↓
F(j, a) → F(j, b)
I×J を積(代数的整数論017の586)とする。
F：I×J → C を関手とする。
i ∈ I を固定したとき各 a ∈ J に F(i, a) を対応させ、
J の射 s：a → b に F(1_i, s)：F(i, a) → F(i, b) を対応させることにより
関手：F(i, －)：J → C が得られる。
a ∈ J を固定したとき各 i ∈ I に F(i, a) を対応させ、
I の射 u：i → j に F(u, 1_a)：F(i, a) → F(j, a) を対応させることにより
関手：F(－, a)：I → C が得られる。
u：i → j を I の射とする。
各 a ∈ J に射 F(u, 1_a)：F(i, a) → F(j, a) を対応させると
>>18の可換図式より自然変換：F(i, －) → F(j, －) が獲られる。
これを F(u, －) と書く。
s：a → b を J の射とする。
各 i ∈ I に射 F(1_i, s)：F(i, a) → F(i, b) を対応させると
>>18の可換図式より自然変換：F(－, a) → F(－, b) が獲られる。
これを F(－, s) と書く。
C を完備(過去スレpart2の887)な圏とする。
F：I×J → C を関手とする。
>>19より、各 i ∈ I に対して関手 F(i, －)：J → C が得られる。
F(i, －)：J → C は図式(過去スレpart2の817)である。
λ_i：L_i → F(i, －) を F(i, －) の極限(過去スレpart2の824)とする。
u：i → j を I の射とする。
>>19より自然変換 F(u, －)：F(i, －) → F(j, －) が定義される。
よって、次の図式が可換になるような ｆ_i：L_i → L_j が一意に存在する。
L_i → L_j
↓ ↓
F(i, －) → F(j, －)
よって、各 i ∈ I に対して L(i) = L_i とおき
I の射 u：i → j に対して L(u) = ｆ_i とおくことにより図式 L：I → C が得られる。
π：P → L をこの図式の極限とする。
u：i → j を I の射とし、s：a → b を J の射とする。
このとき、次の可換図式が得られる。
P → P （P の単位射）
↓ ↓
L_i → L_j
↓ ↓
F(i, a) → F(j, a)
↓ ↓
F(i, b) → F(j, b)
各 (i, a) ∈ I×J に対して φ_(i, a)：P → F(i, a) を
π_i：P → L_i と (λ_i)_a：L_i → F(i, a) の合成射とする。
>>20の可換図式から φ：P → F は錐(過去スレpart2の822)である。
これが F の極限(過去スレpart2の824)であることを証明しよう。
α：S → F を錐とする。
u：i → j を I の射とし、s：a → b を J の射とする。
このとき、次の可換図式が得られる。
S → S （S の単位射）
↓ ↓
F(i, a) → F(j, a)
↓ ↓
F(i, b) → F(j, b)
よって、次の可換図式が得られる。
S → S
↓ ↓
P_i → P_j
↓ ↓
F(i, a) → F(j, a)
↓ ↓
F(i, b) → F(j, b)
よって、次の可換図式が成り立つような射 S → P が一意に存在する。
S → S（S の単位射）
↓ ↓
P → P （P の単位射）
↓ ↓
P_i → P_j
↓ ↓
F(i, a) → F(j, a)
↓ ↓
F(i, b) → F(j, b)
よって、φ：P → F は F の極限である。
>>20の続き
各 (i, a) ∈ I×J に対して φ_(i, a)：P → F(i, a) を
π_i：P → L_i と (λ_i)_a：L_i → F(i, a) の合成射とする。
>>20の可換図式から φ：P → F は錐(過去スレpart2の822)である。
これが F の極限(過去スレpart2の824)であることを証明しよう。
α：S → F を錐とする。
u：i → j を I の射とし、s：a → b を J の射とする。
このとき、次の可換図式が得られる。
S → S （S の単位射）
↓ ↓
F(i, a) → F(j, a)
↓ ↓
F(i, b) → F(j, b)
よって、次の可換図式が得られる。
S → S （S の単位射）
↓ ↓
L_i → L_j
↓ ↓
F(i, a) → F(j, a)
↓ ↓
F(i, b) → F(j, b)
>>23の続き
よって、次の可換図式が成り立つような射 S → P が一意に存在する。
S → S （S の単位射）
↓ ↓
P → P （P の単位射）
↓ ↓
L_i → L_j
↓ ↓
F(i, a) → F(j, a)
↓ ↓
F(i, b) → F(j, b)
よって、φ：P → F は F の極限である。
F：I → C を図式(過去スレpart2の817)とする。
lim F (過去スレpart2の824) を lim[i ∈ I] F(i) または lim[i] F(i) または lim F(i) とも書く。
C を完備(過去スレpart2の887)な圏とする。
F：I×J → C を関手とする。
>>19より、各 i ∈ I に対して関手 F(i, －)：J → C が得られる。
F(i, －) の極限を lim[a ∈ J] F(i, a) または lim[a] F(i, a) と書く。
>>23より lim F = lim[i] (lim[a] F(i, a)) である。
同様に lim F = lim[a] (lim[i] F(i, a)) である。
よって、lim[i] (lim[a] F(i, a)) = lim[a] (lim[i] F(i, a)) である。
これを lim の交換公式と言う。
F：I×J → C を関手とする。
以下に現れる lim と colim は全て存在するとする。
>>19より、各 i ∈ I に対して関手 F(i, －)：J → C が得られる。
同様に、各 a ∈ J に対して関手 F(－, a)：I → C が得られる。
各 (i、a) ∈ I×J に対して、射 lim F(i, －) → F(i, a) と射 F(i, a) → colim F(－, a) の
合成 lim F(i, －) → colim F(－, a) は図式 a → colim F(－, a) の錐である。
よって、射 lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) で次の図式を可換にするものが
一意に存在する。
F(i, a) ← lim F(i, －)
↓ ↓
colim F(－, a) ← lim[a] colim F(－, a)
u：i → j を I の射とすると次の可換図式が得られる。
F(i, a) ← lim F(i, －)
↓ ↓
F(j, a) ← lim F(j, －)
↓ ↓
colim F(－, a) ← lim[a] colim F(－, a)
よって、lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) は余錐である。
よって、次の図式を可換にする射 colim[i] lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) が一意に存在する。
lim F(i, －) → colim[i] lim F(i, －)
↓ ↓
lim[a] colim F(－, a) ＝ lim[a] colim F(－, a)
この射 colim[i] lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) を標準射と呼ぶ。
任意の類(代数的整数論017の323)は離散圏と見なせる。
例
I = J = {1、2} を離散圏(>>30)とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
F：I×J → Set を関手とする。
A_1 = F(1, 1)
B_1 = F(1, 2)
A_2 = F(2, 2)
B_2 = F(2, 2)
とおく。
標準射：(A_1)×(B_1) ＋ (A_2)×(B_2) → (A_1 ＋ A_2)×(B_1 ＋ B_2)
は単射であるが全単射でない。
ここで ＋ は直和を表す。
>A_2 = F(2, 2)
A_2 = F(2, 1)
>標準射：(A_1)×(B_1) ＋ (A_2)×(B_2) → (A_1 ＋ A_2)×(B_1 ＋ B_2)
>は単射であるが全単射でない。
標準射：(A_1)×(B_1) ＋ (A_2)×(B_2) → (A_1 ＋ A_2)×(B_1 ＋ B_2)
は単射であるが一般に全単射でない。
次の条件を満たす圏を擬フィルター圏(pseudo-filtered category)と言う(SGA 4)。
(1) 任意の射 u：i → j、u’：i → j’に対して w：j → k と w’：j’→ k で
wu = w’u’となるものが存在する。
(2) 任意の射 u：i → j、v：i → j に対して w：j → k で wu = wv となるものがある。
ファイバー余積(代数的整数論017の867)と差余核(代数的整数論017の850)を持つ圏は
擬フィルター圏(>>34)である。
それを基底とする余錐(過去スレpart2の830)が存在するとき
C をフィルター圏(filtered category)と呼んだ(代数的整数論020の97)。
(代数的整数論020の101)。
(1) C は空でない。
(2) i と j を C の任意の対象とするとき C の対象 k と射 i → k、j → k が存在する。
(3) 任意の射 u：i → j、v：i → j に対して w：j → k で wu = wv となるものがある。
有向集合(代数的整数論008の140)はフィルター圏(>>36)である。
有限余完備(>>10)な圏はフィルター圏(>>36)である。
C を圏とする。
C の対象全体の類(代数的整数論017の323) Ob(C) に以下の様に同値関係 ≡ を導入する。
x, y を C の対象とする。
C の対象の有限個の列 x = x_0, x_1, ．．．x_n = y があり、
各 i (i = 1, 2, ．．．n)に対して射 x_(i-1) → x_i または射 x_i → x_(i-1) が存在するとき
x ≡ y と定義する。
Ob(C) の ≡ に関する各同値類から定まる C の充満な部分圏(代数的整数論017の362)を
C の連結成分と呼ぶ。
Ob(C) の ≡ に関する同値類が１個のとき C を連結と言う。
C を圏とする。
C がフィルター圏(>>36)であるためには C が空でない連結(>>40)な擬フィルター圏(>>34)であることが
必要十分である。
証明
必要性：
C がフィルター圏であるとする。
>>37の (1) より C は空でない。
>>37の (2) より C は連結である。
>>37の (2) より任意の射 u：i → j、u’：i → j’に対して
w：j → k と w’：j’→ k となる射がある。
wu：i → k、w’u’：i → k である。
>>37の (3) より射 v：k → k’で vwu = vw’u’となるものがある。
よって、>>34の (1) が満たされる。
よって、C は擬フィルター圏である。
十分性：
C が空でない連結な擬フィルター圏であるとする。
x と y を C の任意の対象とするとき C の対象 z と射 x → z、y → z が存在することを
証明すれば良い。
C は連結だから C の対象の有限個の列 x = x_0, x_1, ．．．x_n = y があり、
各 i (i = 1, 2, ．．．n)に対して射 x_(i-1) → x_i または射 x_i → x_(i-1) が存在する。
n に関する帰納法で証明する。
n = 1 の場合は明らかであるから n ≧ 2 とする。
帰納法の仮定より射 x → r、x_(n-1) → r が存在する。
一方、仮定から射 x_(n-1) → y または射 y → x_(n-1) がある。
x_(n-1) → y がある場合は>>34の (1) より y → z と r → z がある。
よって、x → r → z と y → z がある。
y → x_(n-1) がある場合は x → r と y → x_(n-1) → r がある。
証明終
C を圏とする。
C の射の集合 Hom(C) が有限集合のとき C を有限圏と言う。
X ∈ Ob(C) に X の単位射 1_X ∈ Hom(C) を対応させる写像は単射である。
よって、Ob(C) は有限集合である。
よって、C の台グラフ(過去スレpart2の809)は有限グラフ(>>7)である。
I を小さい(代数的整数論017の322)フィルター圏(>>36)とする。
F：I → Set を関手とする。
S = ΣF(i) を族 (F(i))、i ∈ I の直和集合とする。
x ∈ F(i)、y ∈ F(j) とする。
u：i → k、v：j → k となる射があり
F(u)(x) = F(v)(y) となるとき x ≡ y と書く。
このとき代数的整数論020の109より ≡ は S 上の同値関係である。
L を商集合 S/≡ とし、p：S → L を標準写像とする。
f_i：F(i) → S を標準写像とする。
このとき代数的整数論020の110より (p(f_i)：F(i) → L)_I は F の余極限(過去スレpart2の831)である。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
I を小さい(代数的整数論017の322)フィルター圏(>>36)とする。
F：I → Set を関手とする。
S = ΣF(i) を族 (F(i))、i ∈ I の直和集合とする。
≡ を>>44で定義した同値関係とする。
このとき以下が成り立つ。
(1) x ∈ F(i)、y ∈ F(j) とする。
このとき k ∈ I と x’∈ F(k) と y’∈ F(k) があり x ≡ x’、y ≡ y’となる。
(2) x、y ∈ F(i) とする。
このとき x ≡ y となるためには射 u：i → j で F(u)(x) = F(u)(y) となるものが存在することが
必要十分である。
証明
(1)
>>37の (2) より u：i → k と v：j → k がある。
x’= F(u)(x)、y’= F(u)(y) とおけばよい。
(2)
必要性：
x ≡ y とする。
s：i → k と t：i → k があり F(s)(x) = F(t)(y) となる。
>>37の (3) より w：k → j で ws = wt となるものがある。
F(w)F(s)(x) = F(w)F(t)(x) より F(ws)(x) = F(wt)(y)
u = ws とおけば、u：i → j で F(u)(x) = F(u)(y)
十分性：
自明である。
証明終
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通報
I を小さいフィルター圏(>>36)とする。
J を有限圏(>>43)とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
F：I×J → Set を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) は同型である。
証明
J の対象全体を {a_1、．．．、a_n} とする。
F(i, a_k) の元を (i, x_k) と書く。
ここで x_k ∈ F(i, a_k) である。
lim F(i, －) は F(i, a_1)×．．．×F(i, a_n) の部分集合である。
よって、lim F(i, －) の元は ((i, x_1)、．．．、(i, x_n)) で表される。
この元の標準射 lim F(i, －) → colim[i] lim F(i, －) による像を
[(i, x_1)、．．．、(i, x_n)] と書く。
他方、(i, x_k) ∈ F(i, a_k) の標準射 F(－, a_k) → colim F(－, a) による像を
[i, x_k] と書く。
このとき、ψ([(i, x_1)、．．．、(i, x_n)]) = ([i, x_1]、．．．、[i, x_n]) である。
>>45の(1)より lim[a] colim F(－, a) の元は ([i, x_1]、．．．、[i, x_n]) と書ける。
この元に [(i, x_1)、．．．、(i, x_n)] を対応させる写像 φ が ψ の逆写像である。
φ が矛盾なく定義(well-defined)されることは以下のようにして分かる。
([i, x_1]、．．．、[i, x_n]) = ([j, y_1]、．．．、[j, y_n]) とする。
>>44より射 u：i → k、v：j → k があり
F(u, a_1)(x_1) = F(v, a_1)(y_1)、．．．、F(u, a_n)(x_n) = F(v, a_n)(y_n) となる。
よって、[(i, x_1)、．．．、(i, x_n)] = [(j, y_1)、．．．、(j, y_n)] である。
証明終
I を添字集合とする集合の族 (X_i)、i ∈ I を (X_i)_I とも書く。
直積 ΠX_i の元 (x_i)、i ∈ I を (x_i)_I とも書く。
各 X_i がある圏の対象であるときも同じ記法を使う。
I を小さい圏(代数的整数論017の322)とする。
C を圏とする。
F：I → C を関手とする。
I の連結成分(>>40)を (I_λ)、λ ∈ Λ とする。
F の定義域を I_λ に制限した関手を F_λ とする。
このとき、colim F = Σcolim F_λ である。
ここで Σ は余積を表す。
証明
i ∈ I のとき i ∈ F_λ となる λ ∈ Λ がある。
μ_λ：F_λ → colim F_λ を標準的な余錐(過去スレpart2の830)とする。
標準射 F(i) → colim F_λ と標準射 colim F_λ → Σcolim F_λ の合成を
φ_i：F(i) → Σcolim F_λ とする。
φ = (φ_i)_I (>>49) は余錐 φ：F → Σcolim F_λ である。
α：F → T を余錐とする。
α は余錐 α_λ：F_λ → T を引き起こすから射 f_λ：colim F_λ → T で
α_λ = f_λμ_λ となるものが一意に存在する。
f = Σf_λ とおく。
即ち、f：Σcolim F_λ → T である。
fφ：F → T は各 λ に対して α_λ = f_λμ_λ：F_λ → T を引き起こす。
よって、α = fφ である。
このような f：Σcolim F_λ → T の一意性は明らかである。
よって、colim F = Σcolim F_λ である。
証明終
C を圏とする。
(X_i)_I (>>49)を I を添字集合とする C の対象の族とする。
(X_i)_I の積(代数的整数論017の747)を ΠX_i、Π(X_i)_I、Π[i] X_i などと書く。
(X_i)_I の余積(代数的整数論017の837)を ΣX_i、Σ(X_i)_I、Σ[i] X_i などと書く。
I を小さい離散圏(>>30)とする。
J を３個の対象 a, b, c と２本の射 a → c、b → c と単位射 1_a、1_b、1_c からなる圏とする。
b
↓
a → c
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
F：I×J → Set を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：Σ[i] lim[p] F(i, p) → lim[p] Σ[i] F(i, p) は同型である。
証明
F(i, a) = X_i
F(i, b) = Y_i
F(i, c) = Z_i
P_i = lim[p] F(i, p)
とおく。
次の図式はファイバー積(代数的整数論017の799)である。
P_i → Y_i
↓ ↓
X_i → Z_i
次の図式がファイバー積であることを証明すれば良い。
しかし、これは明らかである。
ΣP_i → ΣY_i
↓ ↓
ΣX_i → ΣZ_i
証明終
分かりやすいやっちゃｗ
いや、監視中だよ。イデア界からね。
I を小さい擬フィルター圏(>>34)とする。
J を３個の対象 a, b, c と２本の射 a → c、b → c と単位射 1_a、1_b、1_c からなる圏とする。
b
↓
a → c
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
F：I×J → Set を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim[p] F(i, p) → lim[p] colim[i] F(i, p) は同型である。
証明
I の連結成分(>>40)を (I_λ)、λ ∈ Λ とする。
>>41より各 I_λ はフィルター圏(>>36)である。
よって、>>48と>>50と>>52より本命題の主張が得られる。
証明終
F：C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレpart2の809)とする。
任意の図式 G：I → C と錐(過去スレpart2の822) α：M → G に対して
F(α)：F(M) → FG が FG の極限(過去スレpart2の824)であるとき
常に α は G の極限であるとき、F は I 型の極限を反映する
(F reflects limits of type I)と言った(代数的整数論019の324)。
同様に I 型の余極限(過去スレpart2の831)を反映する関手が定義される。
I を小さいフィルター圏(>>36)とする。
F：I → Grp を関手とする。
S = ΣF(i) を直和集合とし、f_i：F(i) → S を標準写像とする。
≡ を>>44で定義した同値関係とする。
L を商集合 S/≡ とし、p：S → L を標準写像とする。
x ∈ S に対して p(x) を [x] と書くことにする。
x ∈ F(i)、y ∈ F(j) とする。
I はフィルター圏だから u：i → k、v：j → k となる射がある。
[x] と [y] の積 [x][y] を [F(u)(x)・F(v)(y)] により定義する。
このとき、この積は各同値類の代表の取り方によらず
L はこの乗法により群となる。
明らかに L = colim F (過去スレpart2の831) である。
I を小さい圏(代数的整数論017の322)とする。
Diag(I、F) (過去スレpart2の820) と Func(I、C) (過去スレpart2の597) は
一般に異なることに注意する。
Diag(I、F) は自然変換(過去スレpart2の811)を射とすることにより圏となる。
Func(I、C) は Diag(I、F) の充満な部分圏(代数的整数論017の362)である。
C と D を圏とする。
I を圏(代数的整数論017の322)とする。
G：I → C を任意の関手とする。
G の極限(過去スレpart2の824)が存在するなら
F は常に G の極限を保存(過去スレpart2の845)するとき
F は I 型の極限を保存すると言う。
定義 586
C と D を圏とする。
F：C → D を関手とする。
I を圏(代数的整数論017の322)とする。
G：I → C を任意の関手とする。
G の極限(過去スレpart2の824)が存在するなら
F は常に G の極限を保存(過去スレpart2の845)するとき
F は I 型の極限を保存すると言う。
即ち、I 型の極限を保存することと、|I| (過去スレpart2の809)型の極限を保存することは
一般に異なる。
F：C → D を関手とする。
任意のフィルター圏(>>36) I に対して F が I 型の余極限を保存する(>>64)とき
F はフィルター余極限を保存すると言う。
F：C → D を関手とする。
任意の小さいフィルター圏 I に対して F が I 型の余極限を保存する(>>64)とき
F は小さいフィルター余極限を保存すると言う。
F：C → D を関手とする。
I を圏とする。
任意の関手 G：I → C と錐(過去スレpart2の822) α：M → G に対して
F(α)：F(M) → FG が FG の極限(過去スレpart2の824)であるとき
常に α は G の極限であるとき、F は I 型の極限を反映する
(F reflects limits of type I)と言う。
同様に I 型の余極限(過去スレpart2の831)を反映する関手が定義される。
F：C → D を関手とする。
任意のフィルター圏(>>36) I に対して F が I 型の余極限を反映する(>>67)とき
F はフィルター余極限を反映すると言う。
同様に小さいフィルター余極限を反映する関手が定義される。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)の圏とする。
Grp を小さい群(過去スレpart2の893)の圏とする。
U：Grp → Set を忘却関手とする。
即ち、各 G ∈ Grp に対して U(G) は G を集合と見たものであり、
Grp の各射 f：G → H に対して U(f) は f を U(G) から U(H) への写像と見たものである。
このとき、U は小さいフィルター余極限を保存する(>>66)。
証明
I を小さいフィルター圏(>>36)とする。
F：I → Grp を関手とする。
λ：F → L を余極限とする。
L は>>58と同様に構成されたものと仮定してよい。
このとき、>>44より U(λ)：UF → U(L) は余極限である。
証明終
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)の圏とする。
Grp を小さい群(過去スレpart2の893)の圏とする。
U：Grp → Set を忘却関手とする。
即ち、各 G ∈ Grp に対して U(G) は G を集合と見たものであり、
Grp の各射 f：G → H に対して U(f) は f を U(G) から U(H) への写像と見たものである。
このとき、U は小さいフィルター余極限を反映する(>>68)。
証明
I を小さいフィルター圏(>>36)とする。
F：I → Grp を関手とする。
λ：F → L を余錐(過去スレpart2の830)とする。
U(λ)：UF → U(L) が余極限であるとする。
U(L) は>>44と同様に構成されたものと仮定してよい。
x ∈ F(i)、y ∈ F(j) とする。
I はフィルター圏だから u：i → k、v：j → k となる射がある。
λ：F → L を余錐だから、
λ_i(x) = λ_kF(u)(x)
λ_j(y) = λ_kF(v)(y)
よって、λ_i(x)λ_j(y) = (λ_kF(u)(x))(λ_kF(v)(y)) = λ_k(F(u)(x)F(v)(y))
よって、L は>>58と同様に構成されたものである。
即ち、λ：F → L は余極限である。
証明終
Grp を小さい群(過去スレpart2の893)の圏とする。
Grp は完備(過去スレpart2の887)である。
証明
代数的整数論019の183より Grp が積と差核を持つ(過去スレpart2の900)ことを証明すればよい。
Grp が積を持つことは明らかである。
f：G → H と g：G → H を Grp の射とする。
K = {x ∈ G；f(x) = g(x)} とおく。
K は G の部分群である。
u：K → G を標準射とすれば、これが f と g の差核である。
証明終
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)の圏とする。
Grp を小さい群(過去スレpart2の893)の圏とする。
U：Grp → Set を忘却関手とする。
即ち、各 G ∈ Grp に対して U(G) は G を集合と見たものであり、
Grp の各射 f：G → H に対して U(f) は f を U(G) から U(H) への写像と見たものである。
このとき、U は小さい極限を保存する(代数的整数論019の259)。
証明
>>71より Grp は完備である。
よって、代数的整数論019の275より U が積と差核を保存することを証明すれば良い。
U が積を保存することは明らかである。
U が差核を保存することは Grp における差核の構成(>>71)より明らかである。
証明終
I を小さいフィルター圏(>>36)とする。
J を有限圏(>>43)とする。
Grp を小さい群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Grp を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) は同型である。
証明
U：Grp → Set を忘却関手(>>72)とする。
>>48より
>>29の標準射 φ：colim[i] lim[p] UF(i, p) → lim[p] colim[i] UF(i, p) は同型である。
colim[i] lim[p] UF(i, p)
= colim[i] U(lim[p] F(i, p)) ← >>72
= U(colim[i] lim[p] F(i, p)) ← >>69
lim[p] colim[i] F(i, p)
= lim[p] U(colim[i] F(i, p)) ← >>69
= U(lim[p] colim[i] F(i, p)) ← >>72
よって、φ = U(ψ) であり、ψ は同型である。
証明終
I を小さいフィルター圏(>>36)とする。
J を有限圏(>>43)とする。
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Grp をAbとする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) は同型である。
証明
>>73と同様である。
I を小さい離散圏(>>30)とする。
J を有限(>>42)な離散圏とする。
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：Σ[i] Π[p] F(i, p) → Π[p] Σ[i] F(i, p) は同型である。
証明
J は有限であるから Σ[i] Π[p] F(i, p) = Σ[i] Σ[p] F(i, p) である。
同様に Π[p] Σ[i] F(i, p) = Σ[p] Σ[i] F(i, p) である。
>>26の双対より(または明らかに) ψ：Σ[i] Σ[p] F(i, p) → Σ[p] Σ[i] F(i, p) は同型である。
証明終
I を小さい離散圏(>>30)とする。
J を３個の対象 a, b, c と２本の射 a → c、b → c と単位射 1_a、1_b、1_c からなる圏とする。
b
↓
a → c
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：Σ[i] lim[p] F(i, p) → lim[p] Σ[i] F(i, p) は同型である。
証明
F(i, a) = X_i
F(i, b) = Y_i
F(i, c) = Z_i
P_i = lim[p] F(i, p)
とおく。
次の図式はファイバー積(代数的整数論017の799)である。
P_i → Y_i
↓ ↓
X_i → Z_i
次の図式がファイバー積であることを証明すれば良い。
しかし、これは明らかである。
ΣP_i → ΣY_i
↓ ↓
ΣX_i → ΣZ_i
証明終
I を小さい圏(代数的整数論017の322)とする。
J を有限(>>42)な離散圏とする。
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] Π[p] F(i, p) → Π[p] colim[i] F(i, p) は同型である。
証明
J は有限であるから colim[i] Π[p] F(i, p) = colim[i] Σ[p] F(i, p) である。
同様に Π[p] colim[i] F(i, p) = Σ[p] colim[i] F(i, p) である。
>>26の双対より ψ：colim[i] Σ[p] F(i, p) → Σ[p] colim[i] F(i, p) は同型である。
証明終
命題 592
I を小さいフィルター圏(>>36)とする。
J を有限圏(>>43)とする。
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim F(i, －) → lim[a] colim F(－, a) は同型である。
証明
>>73と同様である。
I を小さい擬フィルター圏(>>34)とする。
J を３個の対象 a, b, c と２本の射 a → c、b → c と単位射 1_a、1_b、1_c からなる圏とする。
b
↓
a → c
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim[p] F(i, p) → lim[p] colim[i] F(i, p) は同型である。
証明
I の連結成分(>>40)を (I_λ)、λ ∈ Λ とする。
>>41より各 I_λ はフィルター圏(>>36)である。
よって、>>78と>>50と>>76より本命題の主張が得られる。
証明終
I を小さい擬フィルター圏(>>34)とする。
J を２個の対象 a, b と２個の射 u：a → b, v：a → b と単位射 1_a、1_b からなる圏とする。
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim[p] F(i, p) → lim[p] colim[i] F(i, p) は同型である。
証明
F(i, a) = X_i
F(i, b) = Y_i
f_i = F(i, u)
g_i = F(i, u)
とおく。
f_i：X_i → Y_i
g_i：X_i → Y_i
である。
γ_i：X_i → (X_i)×(Y_i) を f_i のグラフ射とする。
即ち γ_i(x) = (x、f_i(x)) である。
同様に λ_i：X_i → (X_i)×(Y_i) を g_i のグラフ射とする。
次の図式をファイバー積とする。
K_i → X_i
↓ ↓γ_i
X_i → (X_i)×(Y_i)
λ_i
K_i → X_i は f_i と g_i の差核(代数的整数論017の772)である。
即ち、K_i → X_i は lim[p] F(i, p) である。
よって、本命題の主張は>>79から得られる。
証明終
I を小さい擬フィルター圏(>>34)とする。
J を有限圏(>>43)とする。
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim[p] F(i, p) → lim[p] colim[i] F(i, p) は同型である。
証明
代数的整数論019の183の証明より Ab における有限図式の極限は
有限積と差核(代数的整数論017の772)から構成される。
よって、本命題の主張は>>77と>>80から得られる。
証明終
kummerさんの数学力に憧れます。
なにか数学学習のアドバイスでもあれば教えて下さい。
このスレの内容と直接関係ない質問には原則として答えないことにしてるので悪しからず。
逆にこのスレの内容に関する質問や誤りの指摘は歓迎します。
貴方の存在自体が誤りです。
ですがスレの（書き込みの）内容に：
★★★『熊氏の存在自体が誤りではない。』★★★
という記述は差し当たっては見当たりません。なので何処の記述をどう
いう風に訂正するべきなのでしょうか？
お返事をお待ちしています。
猫
C と D を圏とする。
F: C → D を関手とする。
S ∈ Ob(D) と F から新しい圏 E を次のように定義する。
対象として対 (X, u) 全体をとる。
ここで、X ∈ Ob(C) であり、u: S → F(X) は D における射である。
(X, u) から (Y, v) への射は射 f: X → Y で
次の図式を可換にするものである。
S → S
↓ ↓
F(X) → F(Y)
ここで、上段の横の射は恒等射であり、下段の横の射は F(f) である。
この圏 E を (S↓F) と書き F に関して S の下にある C の対象全体の圏と言う。
そうでしたか。失礼しました。
お返事をして下さいまし。
猫
C と D を圏とする。
F: C → D を関手とする。
S ∈ Ob(D) と F から新しい圏 E を次のように定義する。
対象として対 (X, u) 全体をとる。
ここで、X ∈ Ob(C) であり、u: F(X) → S は D における射である。
(X, u) から (Y, v) への射は射 f: X → Y で
次の図式を可換にするものである。
F(X) → F(Y)
↓ ↓
S → S
ここで、上段の横の射は F(f) であり、下段の横の射は恒等射である。
この圏 E を (F↓S) と書き F に関して S の上にある C の対象全体の圏と言う。
お返事をして下さいまし。
猫
I と J を圏とする。
L: I → J を関手とする。
各 k ∈ J に対して圏 (k↓L) (>>86)が空でなく連結(>>40)なとき L を終関手(final functor)と言う。
I と J を圏とする。
L: I → J を関手とする。
各 k ∈ J に対して圏 (L↓k) (>>89)が空でなく連結(>>40)なとき L を始関手(initial functor)と言う。
J を I の部分圏とする。
任意の i ∈ I に対して射 u：i → j で j ∈ J となるものが存在するとき
J を I の共終(cofinal)な部分圏と言った(代数的整数論020の216)。
I はフィルター圏(>>36)と見なせる。
J を I の部分集合とする。
J は I の充満部分圏(代数的整数論017の362)と見なせる。
J が共終(>>95)のとき J を I の共終な部分集合と言った(代数的整数論020の218)。
I をフィルター圏(>>36)とする。
J を I の部分圏とする。
L：J → I を標準関手とする。
このとき L が終関手(>>92)であるためには J が共終(>>95)であることが必要十分である。
証明
必要性：
L が終関手であるとする。
任意の i ∈ I に対して (i↓L) は空でない。
よって、射 u：i → j で j ∈ J となるものが存在する。
よって、J は共終である。
十分性：
J が共終であるとする。
任意の i ∈ I に対して (i↓L) は空でない。
u：i → j と v：i → j’を (i↓L) の対象とする。
ここで、j、j’∈ J である。
>>41より I は擬フィルター圏(>>34)である。
よって、I の対象 k と射 r：j → k、s：j’→ k で ru = sv となるものが存在する。
J は共終だから k ∈ J と仮定してよい。
よって、(i↓L) は連結である。
証明終
そろそろお返事が欲しいなァ～。ワシ、アンタの返事を待ってるのや。
猫
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