【和算もｵｯｻﾝも】▲初等幾何ｽﾚｯﾄﾞ2●【代数で解析】

1 ：2010/09/16 〜 最終レス ：2012/10/22

全ての道は初等幾何に通ず
過去スレ
☆★初等幾何スレッド★☆
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1147941227/
関連サイト・スレ等は>>2-10辺り

2 ：

たけしのコマ大数学科　Part15
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284271214/
面白い問題おしえて〜な 十七問目
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
分からない問題はここにかいてね３４０
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284106958/
数学の本　別冊1巻
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284041828/
代数学・幾何学・解析学スレッド
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284040894/

3 ：

【計算機科学】計算幾何学スレ【じゃないよ】
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1263048852/
趣味としての数学オフ、サークル、勉強会等
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1256394405/
代数的解析幾何学
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1248179276/
線形代数/線型代数 6
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1243022831/
【行列で】m次元ユークリッド幾何学【n単体の5心】
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1212089911/
数学のwebsiteを一緒に読みませんか
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1174322923/
和算について語るスレッド
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1163163607/
球・球面の性質を1000個あげるスレ
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1108524401/
▲■◆正多角形 正多面体 高次元正多胞体◆■▲
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1091090755/

4 ：

数学＠2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
Go Geometry Step by Step from the Land of the Incas, Cuzco, Machu Picchu. Elearning.
http://gogeometry.com/
青空学園数学科玄関
http://www33.ocn.ne.jp/~aozora_gakuen/
Wolfram MathWorld: The Web's Most Extensive Mathematics Resource
http://mathworld.wolfram.com/
今月のコラム by 佐藤郁郎
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu.htm
和算の館
http://www.wasan.jp/
CRUX with MAYHEM
http://www.math.ca/crux/

5 ：

面白い問題おしえて〜な＠数学板
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/1.html
不等式スレまとめ Wiki
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
数学学習マニュアル　まとめページ
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7997/
線形代数/線型代数スレ　過去ログ倉庫
http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public
数学オリンピックの問題
http://www.imojp.org/challenge/index.html
Project Euclid - mathematics and statistics resources online
http://projecteuclid.org/

6 ：

【数理哲学】数学について何か語ってください！
http://mimizun.com/log/2ch/philo/academy4.2ch.net/philo/kako/1156/11568/1156849401.html
1 ：考える名無しさん：2006/08/29(火) 20:03:21 BE:1139854098-2BP(222)
近代における純粋数学の発展は、人間精神のもっとも独創的な産物といってよいだろう。（ホワイトヘッド）
数学者をまるめこむのは、円を正方形にするのよりむずかしい。（オーガスタス・ド・モルガン）
数は宇宙を支配する。（ピタゴラス学派）
数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である。（フリードリヒ・ガウス）
健全な哲学を創造するためには形而上学を打ち捨ててよき数学者にならなければならない。（ラッセル）
数学はたった一つのよい形而上学である。（ケルヴィン卿）
神はつねに幾何したまう。（プラトン）
無限！　これほど人間の精神を動かした問題はなかった。（ヒルベルト）
しかし数学が高い評価を受けるのにはもう一つ理由がある。
厳密な自然科学にある程度の確実性を与えるのが数学であり、数学なしにはそれは不可能なのである。（アインシュタイン）
宇宙の大建築家はいまや純粋数学者として姿を現しはじめている。（ジーンズ）

7 ：

深川英俊, ダン・ペドー, 日本の幾何―何題解けますか?, 森北出版, 1991
http://www.amazon.co.jp/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E5%B9%BE%E4%BD%95%E2%80%95%E4%BD%95%E9%A1%8C%E8%A7%A3%E3%81%91%E3%81%BE%E3%81%99%E3%81%8B-%E6%B7%B1%E5%B7%9D-%E8%8B%B1%E4%BF%8A/dp/4627015305
伊理正夫, 線形代数汎論, 基礎数理講座3, 朝倉書店, 2009
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11778-3/
藤原松三郎, 日本学士院編, 『明治前日本数学史』全5巻, 野間科学医学研究資料館, 岩波書店, 1979
http://www.iwanami.co.jp/cgi-bin/isearch?isbn=ISBN978-4-00-200038-1

8 ：

Geometry - Wikibooks, collection of open-content textbooks
http://en.wikibooks.org/wiki/Geometry
Harold Scott Macdonald Coxeter, Non-Euclidean geometry, Cambridge University Press, 1998
http://books.google.co.jp/books?id=usKZpDAH0WUC
Akiyama Jin and Sato Ikuro, The element number of the convex regular polytopes, Geometriae Dedicata, 2010
http://www.springerlink.com/content/100269/

9 ：

●スカラー(scalar)：a,b,...,z, A,...,Z, α,β,...,ω, Α,Β,...,Ω,...（「ぎりしゃ」「あるふぁ〜おめが」で変換）
●ベクトル(vector)：\x = [[x_1], [x_2], …] = [x_1, x_2, …]^T, （通常は列ベクトル(column vector)）
●行列(matrix)：\X = [\x_1, \x_2, …] = [[x_{1 1}, x_{1 2}, …], [x_{2 1}, x_{2 2}, …], …]
●多次元配列(tensor)：\\X=[…, [[…], […], …], [[…], […], …], …]
●転置行列・随伴行列：\X^T ・ \X^* ●行列式 ・ トレース：|[\X]|=det[\X] ・ tr[\X]
●複号：x±y（"±"は「きごう」で変換可）
●内積：<\x, \y> = \x^* \y (= \x^T \y) ●関数 ・ 数列 ： f[x] ・ a_n
●各成分全ての平方根：√[\X]（"√"は「るーと」で変換可） ●(n乗したら\X)=\X^(1/n)
●指数関数・対数関数：exp[x+y]=e^(x+y) ・ log[x]=log_{e}[x]（exp[x]はeのx乗）
●三角関数：sin[θ], cos[θ], tan[θ] ●逆三角関数：sin^{-1}[x], cos^{-1}[x], tan^{-1}[x]
●絶対値：|x|　　●共役複素数：z^*　●切り捨て（ガウス記号）・切り上げ：floor[x]・ceil[x]
●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*... ●組合せ：{n}_C_{k}
適所エスパー

10 ：

●微分・偏微分：dy/dx ・ ∂y/∂x （"∂"は「きごう」で変換可）
●積分：∫_{x=0…1}[ f[x] ]dx = F[x]|_{0…1}, ∫_{D}[ f[x,y] ]dxdy
（"∫"は「いんてぐらる」，"∬"は「きごう」で変換可）
●数列和・数列積：sum_{k=1…n}[ a_k ] ・ prod_{k=1…n}[ a_k ]
●極限：lim_{x→∞}[ f[x] ] （"∞"は「むげんだい」で変換可）
●図形："△"は「さんかく」 "∠"は「かく」 "⊥"は「すいちょく」 "≡"は「ごうどう」 "∽"は「きごう」
●論理・集合："⇔⇒∀∃∧∨¬∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩"は「きごう」で変換
●等号・不等号："≠≒＜＞≦≧≪≫"は「きごう」で変換
適所エスパー

11 ：

枠は作った
だがコンテンツはない
でおｋ？

12 ：

枠は一日考えた。
ネタも一日考える。
初等幾何ならいくらでもあんよー
とりあえずコマ大の応用問題でどうよ

13 ：

数オリの幾何問題って本当に高校数学の知識で解けるの？無理じゃね？

14 ：

なんか変なの貼りすぎ

15 ：

>>13
http://www.imojp.org/challenge/index.html
解析も代数の問題も高校数学までの用語では
書かれている気はするけど、解法は思いつかなそうだなぁー
そんなトコに補助線かよ！みたいな…
でも、座標入れて解析すれば全部いけるんじゃないか、
幾何学的に知らんがな

16 ：

>>14
趣味です
許せ兄弟

17 ：

一般の三角形のある頂点から対辺におろす線分のうち、
垂線・角の二等分線・中線の３つについて、
一般的に長さが小さくなる順に並べよー

18 ：

三角形ABCについて、辺が長い順に、線分BCの長さa
・線分CAの長さb・線分ABの長さcとする。
このとき、Heronの公式より、三角形ABCの面積の大きさは
v = √[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)] / 4 となる。
このことを用いれば、頂点Aから線分BCへの垂線の長さは
h_a = 2 v / a = √[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)] / (2 a)
また、頂点Aから線分BCへの角の二等分線の長さは
d_a = √[bc(a+b+c)(-a+b+c)] / (b + c)
また、頂点Aから線分BCへの中線の長さは
g_a = √[2 (b^2 + c^2) - a^2] / 2
アッー！

19 ：

アッー！
とか言われても名。

20 ：

三角形ABCの周または内部に点Pをとる。このとき、AP+BP+CPの長さが最小となるような点Pの位置
を求めよ。
名物ネタだがw

21 ：

>>19
このままの式では不等式で証明できないっ！アッー！
ここで、直線BC上にBA':A'C=α:(1-α)となるような点A'を考える。
点A'が頂点Aからの垂線の足である場合、
α=(a^2+b^2-c^2)/(2 a^2)、1-α=(a^2-b^2+c^2)/(2 a^2)
点A'が頂点Aからの角の二等分線の足である場合、
α=b/(b+c)、1-α=c/(b+c)
点A'が頂点Aからの中線の足である場合、
α=1/2、1-α=1/2
上記より、b≧cだけを用いても、
(a^2+b^2-c^2)/(2 a^2)≧b/(b+c)≧1/2（三角不等式b+c≧aから言える）、
同様にもしくは、(a^2-b^2+c^2)/(2 a^2)≦c/(b+c)≦1/2であること
もふまえて、線分AA'が√[b^2 (1-α) + c^2 α - a^2 α (1-α）]
= √[a^2 (α - (a^2+b^2-c^2)/(2 a^2))^2 + (2 v / a)^2] と書けることから、
h_a ≦ d_a ≦ g_a が成り立つと証明できる。
よって、b≧cの任意の三角形ABCで、
√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)] / (2 a) ≦
√[bc(a+b+c)(-a+b+c)] / (b + c) ≦ √[2 (b^2 + c^2) - a^2] / 2
が成り立つ。QED

22 ：

てｓｔ

23 ：

>>20
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_point
http://mathworld.wolfram.com/FermatPoints.html
http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg09/j9h1hajj.pdf

24 ：

http://whs-math.net/math/sec3785.html
Fermat点をノーヒントで思い付く奴いたら怖すぎるぜよ

25 ：

三角形ABCの線分BC上に点A'をとり、
三角形BAA'と三角形CAA'の内接円の半径が
等しくなるようにした。（和算でいう三斜内隔斜二等円術）
この時、一般的に線分AA'の長さは、頂点Aから出る
角の二等分線の長さ以上で中線の長さ以下と言えるだろうか。

26 ：

>>21
直前見てなかったわ。スマンカッタ。

27 ：

>>26
いや、普通に相加相乗平均とかで証明できなかった能登、
アッー！って言いたかっただけだから…こっちこそゴメンな朋友
ここまですべて俺の責任

28 ：

三辺の長さがa,b,cである三角形ABCに
内接する最小の正三角形の一辺の長さを
求めよ。
（それは等力点(Isodynamic Points)の垂足三角形であるか？）
http://hi.baidu.com/whanyoung2010/blog/item/a39bf9f8879a918fb801a038.html

29 ：

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/mugen.htm
条件収束級数の無限のパラドックス（リーマンの定理）
の交代調和級数による例。すげーやつがいるもんだなぁ
http://www.a.phys.nagoya-u.ac.jp/~teppei/study/mc_seminar/5-4_8.pdf

30 ：

>>25
∠CA'Aの大きさをθで表すと、三角形ABCの
半径r_I=(2v)/(a+b+c)の内接円の足が線分BCを
(a+b-c)/(2a) : (a-b+c)/(2a)に分けることから、
隔斜二等円の半径をrとすれば、相似より
BA':A'C=(r/a) ( (a+b-c)/(2r_I) + tan(θ/2) ) : (r/a) ( 1/tan(θ/2) + (a-b+c)/(2r_I) )
が成り立ち、線分AA'の大きさについて
b - (a+b-c)r/(2r_I) + tan(θ/2) = c - (a-b+c)r/(2r_I) + 1/tan(θ/2)
も成り立つ。
(ﾟ∀ﾟ)ｷﾀｺﾚ!!

31 ：

>>30
線分AA'の大きさについて
b - (a+b-c)r/(2r_I) + r tan(θ/2) = c - (a-b+c)r/(2r_I) + r/tan(θ/2)
ですた。
これより、1/r - 1/r_I = 2/(a sinθ) = 2/((b-c) tanθ）
となることから、cosθ=(b-c)/a が出る。
この時、r = 1/( (a+b+c)/(2v) + 2/√[a^2-(b-c)^2] )
= (v / a) ( 1 - √[(-a + b + c) / (a + b + c)] ) が成り立つ。
（三斜内隔斜等円術 (1-(2r/h))^n = 1-(2r_I/h) の結果
（深川 英俊・ダン ソコロフスキー,日本の数学―
何題解けますか?〈下〉,p58,問題9.4.13）と一致）
(ﾟДﾟ)ｺﾞﾙｧ!!

32 ：

>>31
ちなみに、a'=-a+b+c, b'=a-b+c, c'=a+b-c（, a'+b'+c'=a+b+c）
とすると、r = √[a' b' c' (a'+b'+c')] (1-√[a' / (a'+b'+c')]) / (2(b'+c'))
であり、このとき tan[θ/2] = √[(a-b+c) / (a+b-c)] = √[b' / c']
であるので、BA' = √[(a'+b'+c') a' b' c'] (1-√[a' / (a'+b'+c')]) (√[(a'+b'+c') c' / a' b'] + √[b' / c']) / (2(b'+c'))
= (√[(a'+b'+c') a'] (b' - c') + (a'+b'+c') c' - a' b') / (2(b'+c'))
= (√[(b+c)^2 - a^2] (b - c) + a^2+ b^2 - c^2) / (2a) 、および、
A'C = √[(a'+b'+c') a' b' c'] (1-√[a' / (a'+b'+c')]) (√[c' / b'] + √[(a'+b'+c') b' / a' c']) / (2(b'+c'))
= (- √[(b+c)^2 - a^2] (b - c) + a^2 - b^2 + c^2) / (2a) が成り立つ。
このとき、線分AA'の大きさ d = 2 v / (a sinθ) = v (1/r - 1/r_I)
= v (2/√[a^2-(b-c)^2]) = √[(b+c)^2 - a^2] / 2 となる。
相加相乗平均より、√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)] / (2 a) ≦
√[(b+c)^2 - a^2] / 2 ≦ √[bc(a+b+c)(-a+b+c)] / (b + c)
が成り立つので、一般的に三斜内の二等円の隔斜は、
垂線の大きさ以上で、角の二等分線の大きさ以下である。QED
そっちかー図書いたときに大小の間違いに気付くべきだったorz
でもまあなんだ、隔斜をかませば、相加相乗平均に気付くじゃないか…
( ´ー｀)ネーヨ

33 ：

三斜内の二等円の隔斜って語弊あるなー
>>17
三角形のある頂点から対辺におろす線分について、
中線 ≧ 角の二等分線 ≧ 三斜内隔斜二等円術の隔斜 ≧ 垂線
が成り立つ。by ２ちゃんねる三角隔斜不等式

34 ：

>>28
内接する最小の面積の正三角形は等力垂足三角形として，
http://kikagaku.at-ninja.jp/Isodynamic_Points.html
を参考に等力点から出すか…
三角形ABCの等力点は頂点A・B・Cからの
距離がそれぞれ R/a : R/b : R/c となる点
である。Rの値によって内部点である第一と
外部点である第二等力点が出る…出ない…

35 ：

前スレ見てて思い出したけど、オススメの本↓
幾何学入門〈上〉 (ちくま学芸文庫) [文庫]
H.S.M. コクセター (著), Harold Scott MacDonald Coxeter (原著), 銀林 浩 (翻訳)
http://www.amazon.co.jp/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E5%85%A5%E9%96%80%E3%80%88%E4%B8%8A%E3%80%89-%E3%81%A1%E3%81%8F%E3%81%BE%E5%AD%A6%E8%8A%B8%E6%96%87%E5%BA%AB-H-S-M-%E3%82%B3%E3%82%AF%E3%82%BB%E3%82%BF%E3%83%BC/dp/4480092412/ref=pd_cp_b_0
ところで、三角形に内接する三円で有名な
安島・Malfattiの問題 http://mathworld.wolfram.com/MalfattiCircles.html
（和算では三斜三円術）は有名なのでいいとして、
それぞれ三角形の一辺に内接し互いに接するような
最小の三等円を求める問題は >>28 をふまえれば解けそうです。
最初に解けた方に上記のオススメの本をプレゼント。。

36 ：

どうやら前スレは清宮俊雄スレといっても過言ではないな！
しかし矢野健太郎のToLOVEるとかいう本はあまり参考にならんな

37 ：

今週のコマ大
a+b+c+d+e=a*b*c*d*eを満たす正の整数の組
{a, b, c, d, e} = {1, 1, 2, 2, 2}？寝るわ

38 ：

{a, b, c, d, e} = {1, 1, 1, 3, 3}or{1, 1, 1, 2, 5}もあったか、年だなー
2項以外全部1のn項の場合とトロピカル代数の話をしていたな

39 ：

トロピカル幾何ってのは聞いたことあるけど（中身知らない）
トロピカル代数ってのもあるんだね

40 ：

実数体上でのユークリッド幾何のように、
トロピカル代数（min-plus代数もしくはmax-plus代数）
（体）上の幾何がトロピカル幾何とおもた。
俺もよく知らんがな(´・ω・`)

41 ：

寺坂英孝, 現代数学小辞典, 講談社ブルーバックス, 1977 より、
変分問題の具体例、等周問題(isopermetric problem)、
石ケン膜の問題(Plateau's problem)、Dirichlet問題など、
というのが目に止まった。

42 ：

>>34
深川英俊, Dan Sokolowsky, 日本の数学-何題解けますか？(上)
ねずみ算・油分け問題から微積分まで, 森北出版, 1994/05.
の例題5.3に三角形の最小外接正三角形
（それぞれ違う二辺に内接する三等円の最小内接正三角形）
として載ってた。
解法は、ある角度を媒介変数にして
三角関数の加法定理による合成を使っていた。
最小内接正三角形も同じ解法になると思う。
ところで、角の三等分線によって作られるMorleyの正三角形というのもたくさんあるらしい。
http://en.wikipedia.org/wiki/Morley%27s_trisector_theorem
http://mathworld.wolfram.com/MorleysTheorem.html

43 ：

おっさんはいい年してこの程度のことも知らんのか
中学で習ったわ

44 ：

>>43
中学で解いてたんですか、すごいですねー
モーリーの正三角形の一辺の長さについて、
元の三角形の三辺の長さ a,b,c を用いて導出した
文献が見つからないので、よかったらご教授お願い致します。
それぞれの角の三等分線（全部で六辺）に全て接する
楕円は一意に導出できる気がしますが、もしかして
それは円になりませんか？こちらもよろしかったらご教授願えると
大変ありがたいです。

45 ：

っていうか俺はまだおっさんと呼ばれたくない！
ちょっと前までモー娘。と同い年ぐらいの気はしてた。の気はしてた。

46 ：

大事なことなので2回言いました
http://ja.uncyclopedia.info/wiki/%E5%A4%A7%E4%BA%8B%E3%81%AA%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AA%E3%81%AE%E3%81%A72%E5%9B%9E%E8%A8%80%E3%81%84%E3%81%BE%E3%81%97%E3%81%9F

47 ：

初等幾何はエッセンシャル

48 ：

http://ejje.weblio.jp/content/essential
それで、三角形ABCのそれぞれの角の二等分線から、
それぞれ±α,±β,±γするような六本の線でモーリーのを
通過するような適切な比にすれば，連続な正三角形列
が得られるんじゃないか！？ｷﾀ( ﾟ∀)━━━!!

49 ：

>>48
で、一般の三角形の
内心→三分角モーリー→最小内接正三角形
→三倍角モーリー→最小外接正三角形→
外心となりそうなんだけど、三角形の内心と
外心を結ぶ線って何て言いましたっけ？
この全ての正三角形の中心がその線分上を動くとかなら、まじかっけー
by ２ちゃんねる三角まじかっけー定理

50 ：

ある三角形の何らかの内部三角形の何らかの内部三角形の
って作ってく時に、周長や面積の総和は、けっこう等比級数
になって簡単に出るけど、いい応用問題ないかなぁー

51 ：

ちょっぴり感動した定理。
http://natto.2ch.net/math/kako/983/983374449.html

52 ：

シムソンの定理: 平面図形の不思議
http://suugakusuki.seesaa.net/category/6793195-1.html

53 ：

初等幾何

54 ：

初等幾何の範囲でっつーことすか？
隔斜二円術（垂線の長さhとすると(1-r_1/h) (1-r_2/h) = 1-r_I/h
だっけか）をふまえて、三角形の三頂点と内部点を結んで
三つの小三角形に分けたときに、それぞれの小三角形の内接円
の半径が同じになるようなその半径を求めよみたいな？
どこかに三斜内隔点三等円術とかでありそうだけど、
二等辺三角形の底辺の下の外部点とかでも同じように
隔点三等円できそうだな。なんぞこれ

55 ：

http://gascon.cocolog-nifty.com/blog/2010/08/194part4-55f1.html

56 ：

http://www.morikita.co.jp/soft/0164/

57 ：

http://www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/shoto.html

58 ：

http://mathmuse.sci.ibaraki.ac.jp/

59 ：

http://www.300000.net/

60 ：

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/External/external_links.html

61 ：

名無算流、名無算術！

62 ：

いきなり質問すいません。
明日の文化祭で
ベーグルを三種類各１６０円飲み物三種類各１００円
ベーグルは一日一種類２０個計６０個
飲み物は一日一種類２５個計７５個
よって二日でベーグル１２０個ジュース１５０個
を売る予定です。

この場合おつりは１０円玉５０円玉１００円玉５００円玉１０００円札５０００円札１００００円札。。。。。
それぞれどの位用意した方がいいですか

63 ：

孤立剣残月！なむさん！！
>>62
近くにコンビニを用意して、ベーグル星人をパシらせるがよいぞ

64 ：

>>62
二日目は一日目の様子から判断するとして、
一日だけで１個ずつちょっきり手に入る予定の硬貨は
十　＝６０
五十＝６０
百　＝６０＋７５
なわけよ。また、全部１個ずつ千円のおつりを払うとしたら
十　＝２４０
五十＝０
百　＝１８０＋３００
五百＝６０＋７５
ぐらいなわけよ。で、何個も買われるとか適当に計算すると、
十　＝２００
五十＝４０
百　＝２００
五百＝２０
を用意する感じかな。あとは有志の財布や隣のテナントとかと協力してくれ。
ときに、１万円対策で五千円２枚・千円１０枚隠し持つとして、
５４０００円分が両替分で１７１００円１日売上予定で２日目は調整
っつーことでどうよ？　特定されたりして１マソ札でたくさん売れるといいな

65 ：

明日の文化祭で
ベーグルを三種類各１６０円飲み物三種類各１００円
ベーグルは一日一種類２０個計６０個
飲み物は一日一種類２５個計７５個
よって二日でベーグル１２０個ジュース１５０個
を売る予定です。
ベーグル1個とジュースで２６０円、５００円か１０００円が多いから、おつりは
２４０円と７４０円。
１２０個だから半々として１００x１２０x２+５００x６０+１０x１２０x４だけど
あとジュース３０個も売るから、５００円と１０００円の客は４０％として
１００x１２x４+５００x６ー１００x１８
とか

66 ：

１２０個だから半々として１００x１２０x２+５００x６０+１０x１２０x４ー５００x６０か？

67 ：

最近のマルチはセリオも言えんのかね！

68 ：

http://www.convexoptimization.com/

69 ：

ベーグル積分

70 ：

グルベー積分

71 ：

ルベーグ積分なつかしす
http://kikagaku.at-ninja.jp/index.html
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/375_6.htm

72 ：

すいません質問です。

正８面体の６頂点を（稜の３等分点まで）切り落としてできる多面体を考えます。(切頂８面体)
これは８個の六角形と６個の四角形の面をもっています。(ケルビン14面体)
これを多数並べれば空間を埋め尽くすことができ、
　(表面積)/(体積)^(2/3) = 3(1+2√3)･(1/2)^(4/3) ≒ 5.3147397
が成り立ちます。

〔問題〕
では、２種類の多面体を使って、空間充填条件を満たしながら、上記の比を小さくすることができるでしょうか。
（平面のみ可、曲面は不可）
よろしくお願いします。

73 ：

http://math.fau.edu/yiu/geometry.html
いろいろ見てて、和算の深川さんと三角形のクラークキンバーリング
と共著してるS. Iwataって誰よ？と思って小一時間探したら、
岐阜大学は関係ないけど、本の「幾何学大辞典」の故
岩田至康(Shiko)さんということで、、、ご冥福をお祈り致します。

74 ：

>>72
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%83%AA%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%97
↑見ると、辺と言わずにあえて稜と言ったのは通ですなぁー意味通ですなぁー
ケルビン空間充填ってさっきどこかで見たけど、文面ちょっと違う気がする、改変コピペかー
ケルビン予想の反例とか空間充填問題とか
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/791_k14.htm
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/289_kelvin.htm
>α-１４面体は，長い間，単一の多面体で空間を隙間なく分割しうる唯一のものと信じられてきました．
>面を平面にするという条件下にはこれは今日でも通用することです．
>しかし，その条件を外せば，空間充填１４面体にはもう１種類あることを，１９６８年になってウィリアムズが報告しています．
>これがβ-１４面体ですが，この間，実に１世紀近い年月の隔たりがあります．
ということで、反例なし！（たぶん）
一つ言っていいかい、イクロー！かっこよすぎ。。

75 ：

>>72
悪い、全然問題読んでなかった（笑）
二種類の多面体 AとB を使って空間充填したいんですが、
Aの比＝(表面積)/(体積)^(2/3)　と　Bの比＝(表面積)/(体積)^(2/3)
をどう合成すれば、ケルビンの比＝(表面積)/(体積)^(2/3)より
小さくちょろまかすことができるか？ってこと？
２種類は同数と限るわけではなさそうだし，２種類の比
からどう比べるか、じゃあ１ユニットとして考えるとしたら、
じゃあ結局１種類の多面体っぽくなるよね・表面積２回
数えてるとこ余計だよね、ってことで結局、平面ケルビン最小伝説

76 ：

>>72
12面体2個と14面体6個から成る並進ユニットを考える。
体積: いずれも 1000
格子定数 = 20
S = 5.174234614 + 0.00309224446933･β^2
　= 5.2969504172637044822410534842894…
ここに β = 5･2^(1/3) 〜 6.299605250

頂点の座標は
http://www.steelpillow.com/polyhedra/wp/wp.htm

77 ：

>>72
Dodecahedron (12面体)

a:　β/2, 0, β,
b:　-β/2, 0, β,
c:　(2/3)β, (2/3)β, (2/3)β,
d:　0, β, β/2,
e:　-(2/3)β, (2/3)β, (2/3)β,
f:　-(2/3)β, -(2/3)β ,(2/3)β,
g:　0, -β, β/2,
h:　(2/3)β, -(2/3)β, (2/3)β,
i:　β, β/2, 0,
j:　-β, β/2, 0,
k:　-β, -β/2, 0,
L:　β, -β/2, 0,
m:　(2/3)β, (2/3)β, -(2/3)β,
n:　0, β, -β/2,
o: -(2/3)β, (2/3)β, -(2/3)β,
p: -(2/3)β, -(2/3)β, -(2/3)β,
q:　0, -β, -β/2,
r:　(2/3)β, -(2/3)β, -(2/3)β,
s:　β/2 , 0, -β,
t:　-β/2 , 0, -β,

S_(dodecahedron) = 12×√(5/4)・β^2 = 532.4304990…
V = 1000

78 ：

>>72
Tetrakaidecahedron (14面体, Goldberg)

A: β/2, 10-β, 5,
B: -β/2, 10-β, 5,
C: -5, 0, 5,
D: -β/2, β-10, 5,
E: β/2, β-10, 5,
F: 5, 0, 5,
G: (2/3)β, 10 -(2/3)β, 5 -(2/3)β,
H, -(2/3)β, 10 -(2/3)β, 5 -(2/3)β,
I, β/2 -10, 0.0 , β-5,
J, -(2/3)β, (2/3)β -10, 5 -(2/3)β,
K, (2/3)β, (2/3)β -10, 5 -(2/3)β,
L, 10 -β/2, 0, β-5,
M, 10 -(2/3)β, (2/3)β, (2/3)β -5,
N, 0, 10 -β/2, 5-β,
O, (2/3)β -10, (2/3)β, (2/3)β -5,
P, (2/3)β -10, -(2/3)β, (2/3)β -5,
Q, 0, β/2 -10, 5-β,
R, 10 -(2/3)β, -(2/3)β, (2/3)β -5,
S: 10-β, β/2, -5,
T: 0, 5, -5,
U: β-10, β/2, -5,
V: β-10, -β/2, -5,
W: 0, -5, -5,
X: 10-β, -β/2, -5,

・辺長: α = β√(7/12), β, γ = (10-β)√(5/4) = 4.137167103, δ= (√3){10 - (4/3)β} = 2.7721929294
・面積: S_1 = √(2/3)・(75-β^2) = 28.83455528, S_5 = √(5/4)･β^2 = 44.369208247, S_6 = 100-β^2 = 60.31497370(天地)
・S_(tetrakaidecahedron) = 8S_1 + 4S_5 + 2S_6 = 528.78322265…
・体積 V = 1000

79 ：

すごい人降臨した！
俺は空間充填とか全然素人なんだけど、
ときに立方体で埋め尽くせば一番あとくされないじゃん、
と思いきやケルビンのようなより球体に近いもので
埋め尽くす方が、単位何とか当たりの何某とかが効率よくなるのかな？
そこで、今度大小２つの球体に近いものを使ってよいと
条件を和らげて考えるなら、当然さらに効率が良くなって
しかるべきであるが、そもそも同一半径の球で3次元空間を
ぴったりSphere Packingできるのか、いや接吻数半端だったような…
スレ汚しスマソン

80 ：

>>75-76
　2個と6個だから
　<S> = {S_(dodecahedron)×2 + S_(tetrakaidecahedron)×6} /8
　　　= 6S_1 + 6S_5 + (3/2)S_6
　　　= 150(1+√6) + (3√5 -　2√6 - 3/2)β^2
　　　= 517.4234614 + 0.309224446933･β^2
　　　= 529.69504172637044822410534842894…

81 ：

>>76-79
失笑

82 ：

いや自演じゃねーからｗ
>>80 さんのを >>72 さん向けにあえて清書すれば、
「(表面積)/(体積)^(2/3) ≒ 5.29 ＜ 5.31（ケルビン）
よって、上記の比を小さくすることはできた。」
でぱっと見で俺にも伝わるわ。っていうか俺この定数なんていうか
知らんし、格子定数？この充填はGoldbergで調べれば見つかる？
とか >>80 さんお教え頂けると大変ありがたいです。
ところで最近、質問しっぱなし流行ってるのか？
ベーグル事件とかも当事者の意見とかその後も気になるんだけど

83 ：

�Eの短辺γを共有する5角面:
　S_1 = √(2/3)・(75-β^2),
　辺:α,γ,γ,α,δ

�Eの長辺βを共有する5角面:
　S_5 = √(5/4)･β^2,
　辺:α,α,α,α,β

天面・底面の6角面:
　S_6 = 100-β^2,
　辺:β,γ,γ,β,γ,γ

84 ：

数学セミナー2010年11月号
問題を考え，問題と親しむ
　清宮俊雄先生インタビュー…44
ttp://www.nippyo.co.jp/magazine/maga_susemi.html

85 ：

>>84
特集I「現代によみがえる初等幾何」
清宮ｷﾀ─￣─_─￣─(ﾟ∀ﾟ)─￣─_─￣─!!!!
俺たちの時代ｷﾀ━━━ヽ(∀ﾟ )人(ﾟ∀ﾟ)人( ﾟ∀)ノ━━━!!

86 ：

初等幾何はベース

87 ：

>>84
もう11月号買ったやついる？
数セミって早売りの店ないのかよ　（少年ジャンプとは違うのかｗ）

88 ：

人間のイメージとかなんて初等幾何ベースだもんな
初等整数論の問題
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1286119277/
一言で初等と言っても全然奥が深いな
これらは数学科の仕事じゃねー俺ら草の根の仕事なんだぜ！
と言ってみるテスト

89 ：

初等幾何は、数学の基礎だよね。
新しい研究テーマにはなり難いが、学習の第一歩には最適。
ヒトの認知のベースには形や図形があるし、
数学の手法を学ぶ題材としてもユークリッド幾何学は欠かせない。
そういえば、初等幾何の未解決問題ってあるの？

90 ：

クレイ研究所の懸賞未解決問題とか有名な大きい問題は
ぱっと思い浮かばないけど、
CRUX with MAYHEM
http://www.math.ca/crux/
Geometriae Dedicata
http://www.springer.com/mathematics/geometry/journal/10711
Journal for Geometry and Graphics
http://www.heldermann.de/JGG/jggcover.htm
あたりに新しく解決された問題の論文は載るんじゃまいか

91 ：

>>89
思考ゲームとしても、完成度が高い。

92 ：

　　　　', 　　　　　　　 ./:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::_ﾊ_,,. -┐　　/　 　 　 ／
　　　　 ',　　　___,,.へ./:::::::/＼:::::::::::::__::::::::::::::::::::_;;:-‐''"　　　　　|_____　　　 ／　
　　　　　',　 「　　　　　｀` ヽ､_ﾊ-'ｧ´　ﾊ⌒ヽ-''"　 _,,.　　　　　　　　　/　／
　　　　　　rｿ　　　　　＼__　　＞''｀'ｰ---─'--＜　　　_;:イ___　　 　/　　_,､∧／
＼ 　　　　く　　　＞'"::;:- '"´￣｀ヽ､::::-─-　'"´￣　｀ヽ､:::::::::｀"'＜　 「　　
　　　　　 　ﾉ＞'"_:;ア´　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ヽ､::::::::::::＜　　　新
　　　 _,,.:::''":::::ｱ´ /　 , '´　　　/　　　　 i　　　 ',　　　 i　　 　Y:::::::::::::_;＞　規　何
..,,_　く;::::::::::::::/　 /　 / 　 i.　､,'　　ﾊ　　,ﾊ　　　,i　　　ﾊ_　　　iヽ;__;;;:::::> 　 性　が
　　　 `ヽ､::::ﾉ　 ,' 　.i　 　ﾊ　 i＼/　',　/　i　　/ i ,.イ´./i　　　!　 i　／　　 .か
_____　 　,,.イ　　 i 　 i 　./　ｧ'"￣`ヽｰ/　　|　/,ｧ''"￣`ヽﾊ　　ﾊ　∠_　　 　よ
　　　 ∧　'"　／|　ﾉ　,ハｲ 　 i'´'`i 　　　　ﾚ' 　i'´'`i. 　 ﾄ|　/　i　　ヽ7　　 り
＼∧/　 Vi／　 |_,. -‐ｧi/　 　 !__,ﾘ　 　 　 　 　 !__,ﾘ 　 ' ﾚ'_ン　　i　/へ
　　　　　　　　　　　　/ | 　 `'' ｰ-　　　　　　　　 -‐ ''´　 i ハ' 　 ﾊ　　　i＼/V＼/
　　　　幾　　何　　∠,ﾊ　""　　　　　　 `　　　 　　　""〈　,.ｲ　./　!　 　 ',　　---─
　　　　何　　が　　　/从　　 /´￣`' ｰ--‐ '"´￣`ヽ 　 ﾊ ノ　/‐ ､'　 　　ヽ.
　　　　を. 　 好　　 /_ ,.へ.　i　`'' ｰ- ー─-‐‐ ''"　i ,.ｲ人iハr'　　 ヽ､. ヽ.　',　-　..,,__
　　　　語　　き　　　／|　 .ﾉヽ､r'´ 　　　　　 　｀`ン'7 i　ノ　　　　　　 ヽ. ﾍ/
　　　　れ　　か　　く　 |/　i::::::｀i＞.､.,,_______,,.. イ:::::::iヽへi　　　　　　　　Y　　　＼
　　　　よ　　で　　　 >　 ,ｲ::::::::::|ヽ､.,____l_」___,.イi::::::::>-く　　　　　　　　　|　',　　　＼
　　　　!!!　　　　　 ＜　　|/:::::::::::|_____　 |o|　　　__rへi_ン-‐ｧ　　　　_r'-イ>　',

93 ：

名無算当、ピカルの定理！

94 ：

http://komurokunio.web.infoseek.co.jp/
三角形に内接する最大の正方形・最小の正方形
http://komurokunio.web.infoseek.co.jp/index2.html
俺の中では，三角形に内接する最小の正三角形
外接する最大（最小？）の正三角形がまだ未解決

95 ：

http://www.geocities.jp/seikiii/math/index.html

96 ：

>>89 ラングレーの問題の一部に初等幾何での解法が出てないものがあるとか

97 ：

ショ糖の結晶構造に関する幾何学。
これぞショ糖幾何学。

98 ：

ここで言う初等幾何って、三角関数は使わず中学数学範囲で って感じの意味なのか？

99 ：

だと思う

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