微分方程式全般のスレッド

1 ：10/09/15 〜 最終レス ：12/05/06

線形常微分方程式から非線形偏微分方程式系までどうぞ

2 ：

ナビエ・ストークス方程式の一般解について議論しましょう！

3 ：

差分とか積分を色々組み合わせた各種作用素が
入ってる方程式は話題に入れないと言うのかね？
ケチだな

4 ：

非整数階微分とかも、仲間に入れておくれ

5 ：

微分方程式の超初心者です。
微分方程式を解くことと、変数の入ったただの式を単に不定積分することは
手続きとしては同じ事だと考えていいですか？

6 ：

>>5
もしも微分方程式が
df(x)/dx=Q(x)
という形で表されるなら求積法により解けるので
「不定積分を計算する」という手続きは同じです。
けれど方程式が綺麗に変数分離できるものばかりとは限らないので
その場合は定数変化法を用いたり、変数変換したり・・・
また、演算子法を用いたりあるいはラプラス変換を用いると
「微分方程式を解くこと」を、「代数方程式を解くこと」に帰着できます。
全ての微分方程式が解析的に解けるわけではない(むしろ解けないことの方が多い)
のでその場合は連立代数方程式に帰着するなどの処理を施して計算機を用いて
近似解を求めます。

7 ：

>>6
ご丁寧にありがとうございました。

8 ：

過去スレにあった
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1052665053/
>994 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：04/12/16(木) 17:32:18
>ベンゼン環を記述するシュレーディンガー方程式には解がない
>（解析的に解けないという意味でなく、そもそも解が存在しない）
ってどういうことなんだろう
ハミルトニアン及び時刻0での波動関数を与えただけなら
解は存在しそうに見えるが、
境界条件など更に条件を与えたら解が存在しないってことだろか

9 ：

解けないからといってすぐに計算機使う奴は素人。

10 ：

age

11 ：

微分方程式の「作り方」を学ぶのに有益なテキストを紹介していただけないでしょうか？
「デイヴィット：微分方程式で数学モデルを作ろう」は読みましたがもっと深いところまで
扱ったものが読みたいのです。

12 ：

モンジュ錐を使った、(線型とは限らない一般の)一階偏微分方程式の一般論って、面白いね。
ただ、入手容易な良い和書が見当たらない。

13 ：

非線形の偏微分方程式を極めたい

14 ：

非線形なら何でもってのは微分方程式なら何でもってのと変わらん
最初から微分方程式を極めたい、と言え

15 ：

atmospheric pde
http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521548656&ss=ind

16 ：

バタフライ効果の存在が証明されてるのに数兆円使ってスパコン回して大気モデルやるって
ものすごく詐欺なのですが。

17 ：

バタフライ効果の存在が証明というのは
数学で使われるちゃんとした厳密な「証明」のことかね？ならソースを
そうでない何となくの証明ならどうでもいい証明なんだろう

18 ：

実測値との誤差が生じたらすぐにバタフライ効果を逃げ口上にする人は三流だと偉い人が言ってた
まあ、ろくに数理モデル化を工夫せずにただいたずらに刻み幅を狭めて
力任せに計算機使っているだけの研究には価値はないね

19 ：

sage

20 ：

あらかじめ解の予想を立てといて、良い挙動をする微分方程式を作る。
ってのは工学だからそっちで聞いた方がいいんじゃないか。

21 ：

いわゆるモデルの設計っていう感じですかね？

22 ：

畳み込みで誤差が増幅するのが自然界なのに誤差が増幅しないモデルは最初からスカだ。

23 ：

>>21
モデルの設計と根本までさかのぼってしまうと話が面倒になる。
古典的なモデルが与えられていて、それを改良とかは制御工学でやる。
>>11で挙げられてる本ようなノリでゼロからモデリングするのは数学の仕事だけど
日本では数理工学の名で工学部にあるし、工学と物理方面への偏重がひどい。
化学だと確か京大だけだし、生物だと東大の計数ぐらいしかやってない。
京大の数理工と上記した東大の計数工が有名なんで調べてみたらいい。

24 ：

モデリングと聞いて明治を挙げない奴は素人。

25 ：

>>17
カオスの存在はポアンカレによって１９世紀から定性的に示されてたろ．

26 ：

Ordinary_Differential_Equation, by E.L.Lince
http://www.amazon.co.jp/s/ref=nb_sb_noss?__mk_ja_JP=%83J%83%5E%83J%83i&url=search-alias%3Daps&field-keywords=E.L.Ince&x=0&y=0

27 ：

入力ミスすたっす。　m(_ _)m
E.L.Lince ----> E.L.Ince

28 ：

コルモゴロフ流の確率の定義は間違っている。
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Bertrand.html

29 ：

"Introduction to Partial Equations and Hilbert Space Methods" by Karl.E.Gustafson
邦訳『応用偏微分方程式』(上),(下)　海外出版貿易株式会社

30 ：

>>29
http://www.amazon.co.jp/s/ref=nb_sb_noss?__mk_ja_JP=%83J%83%5E%83J%83i&url=search-alias%3Daps&field-keywords=Karl.E.Gustafson&x=0&y=0

31 ：

定理は、ぎょうさん、載せてあるのに、公理は１つも載せて無い本がoosugiru.
我々は、f(x+dx)-f(x)＝df(x) を【公理】とすれば、いいことに気付いた。
なぜか？------ クイズ（！！！素敵な景品[doremo, about \40,000 ]つき！！！）

32 ：

【誤】我々は、f(x+dx)-f(x)＝df(x) を【公理】とすれば、いいことに気付いた。
【正】ウジ虫は、f(x+dx)-f(x)＝df(x) を【公理】とすれば、いいことに気付いた。

33 ：

最大値原理はどんな応用があるのか分からねえ
終わってる

34 ：

新しいトリップですワ。
猫

35 ：

やっぱりこっちにしときますワ。
猫

36 ：

漸近級数っておもしろいよね

37 ：

常微分方程式は級数展開で必ず解けるか？
f(x) = Σc_i x^i
c_0, c_1, ..., c_n を決めれば漸化式より c_{n+1} が決まる。

38 ：

ごめん、なにいってるかさっぱり

39 ：

例えば
f''(x) - f(x) = 0
という常微分方程式であれば
f(x) = Σ c_i x^i
を代入して x のベキに揃えると
Σ [ (i+2)(i+1) c_{i+2} - c_i ] x^i = 0
なので漸化式
(i+2)(i+1) c_{i+2} = c_i
が決まる。 c_0 と c_1 に適当な値を代入すれば
任意の n に関して c_n が定まり
常微分方程式の解 f(x) が定まる。
こういう手順で任意の常微分方程式の解は求まるのだろうか？

40 ：

猫に小判、まで読んだ。

41 ：

まあ猫しとくかいな、ちょっと迷うけんどナ。
猫

42 ：

よーしパパ漸近級数を勉強してみるぞー

43 ：

文系に微分積分や線形代数が理解できるのか…
http://hato.2ch.net/test/read.cgi/news/1288117295/l50

44 ：

>>39
ほとんどの微分方程式の教科書に、級数展開で解けるための条件が
載ってるが、おまえはいったい何を勉強したのか。

45 ：

スマソ。
物理の講義でこうやって解くんだよとしか教わってなかった。
必要十分条件があるならハッキリしていて良いですね。

46 ：

WKB法と摂動法は量子論で初めて見たから
量子論でのみ成り立つものだと勘違いしていたよ…

47 ：

それは教えた教員(or 本)が悪い。

48 ：

物理分からんから量子論でのみ成り立つとか分からん

49 ：

ピカールの逐次近似法って結局のところ
解の存在を論じるためのものでしょうか？

50 ：

数値計算では逐次近似法を利用して解を数値的に求めることも出来るが
そういう利用法じゃ不満かね

51 ：

猫が寝転んだ。

52 ：

線形非同次二階微分方程式について質問。
定数変化法で「未知関数C1(x)とC2(x)の二階微分が現れない」ように、いきなり
f(x)･dC1(x)/dx+g(x)･dC2(x)/dx=0
とするのですがこれって根拠があるのですか？
何故こうなるんですか？

53 ：

　　　　　　＿＿＿　　　━┓ 　＿__　　　　━┓
　　　　 ／　―　　＼　 ┏┛／　―＼ 　　┏┛
　 　 ／　　(●)　 ＼ヽ ・. ／ノ　　(●)＼　 ・
　　/　　 （⌒　　(●) /.　｜　(●) 　 ⌒）＼
　 /　　 　 ￣ヽ__） ／ 　 ｜　　 （__ノ￣　　|
／´　　　　　_＿_／ 　　　 ＼　　　　　　　 /
|　　　　　 　 ＼ 　　 　 　　　 ＼　　　　 _ノ
|　　　　　　　　| 　　 　　　　　　/´　　 　 ｀＼

54 ：

すみません。
f(x)とg(x)は二階微分方程式の二つの一般解です。
y"+a(x)y'+b(x)y=R(x)
において
y"+a(x)y'+b(x)y=0の解がy=f(x),y=g(x)のとき一般解が
y=C1f(x)+C2g(x)(C1とC2は積分定数)
と表せ、
元の微分方程式を解くためにC1とC2を新たな関数としたときに上記の条件が何の前触れも無く出る根拠を教えて欲しかったのです。
文が短く聞きたいことが伝わらなかったようで申し訳ありませんでした。

55 ：

ラグランジュの定数変化法で検索すれば色々見つかる
http://shiwasu.ee.ous.ac.jp/in/8kaime.pdf

56 ：

>>54
方程式が線型かつ解空間が二次元だから。

57 ：

>>54
まず定数変化法自体が胡散臭い方法なので、
どんな卑怯な手を使っても特解を無理矢理見つけたら勝ち、ってことにしてもいいし、
それが嫌な場合は↓で「一応」説明できる
２階の微分方程式は１階の連立微分方程式に直せるよね
そこに１階の場合の定数変化法を真似て使えばいい
２つ方程式がでてくるけどそのうちの１つがそう

58 ：

>>55-57様
回答有難うございました！
>>57様の方法はWikipediaに載ってた方法ですか？
何故今まで見なかったんだろう…
>>56様の仰る意味が微妙に分かりませんでした。申し訳ありませんでした。
未熟者故また出直させて下さい。
回答してくださった方々、本当に有難うございました。

59 ：

猫の手なんて借りたくないちんげーる。

60 ：

猫

61 ：

FlashLiteでsin,cos使えなくて円運動どうやろうと困ってたら 　
新入社員が「円運動や単振動の微分方程式と隣接3項間の漸化式が同じ線形問題であることを利用した
最適化で実現できますよ」 　
とか言って2行で実現して涙目 　

62 ：

物体の時間nの時のx座標、y座標をx[n]、y[n]として
x[n+1]=√(1-a^2)*x[n]-a*y[n]
y[n+1]=a*x[n]+√(1-a^2)*y[n]
とすれば物体が円運動してるように見えるとかそういう事かね

63 ：

y'+y=y^n (n≠1)
教えてエロい人

64 ：

パンルヴェ方程式のいい入門書ってないの？
岡本さんの本は読みにくくて。

65 ：

神戸に池

66 ：

パンルヴェ方程式は
朝倉書店のすうがくの風景もある
入門書はそれくらいしかない

67 ：

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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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猫

68 ：

　首吊ってお詫び致します。
　　　　　　　　 ||
　　　　　　 　Λ||Λ
　　　　　　　（ / ⌒ヽ
　　　　　　　　| | 　 |
　　　　　　　　∪ 亅|
　　　　　　　 　|　|　|
　　　　　　　 　∪∪
　　　　　　　　　　 ：
　　　　　　　　　　 ：
　　　　　　　 ‐ニ三ニ‐

69 ：

そういう事は問題やないのや。馬鹿が全部壊滅せなアカンのや。判るわナ。
猫

70 ：

>>63

両辺に exp(x) を掛けて左辺をまとめると
　z'(x) = exp(x)･y(x)^n,
　　　　= exp(-(n-1)x)･z(x)^n,
これは変数分離型
　z'(x)/z(x)^n = exp(-(n-1)x),
xで積分して -(n-1)を掛けると
　1/z(x)^(n-1) = exp(-(n-1)x) + c,
　1/y(x)^(n-1) = 1 + c･exp((n-1)x),
　y(x) = 1/{1 + c･exp((n-1)x)}^(1/(n-1)),

71 ：

>>63

　dy/dx = y{y^(n-1) - 1},
　dx/dy = {y^(n-2)}/{y^(n-1) - 1} - 1/y,
yで積分して
　x = {1/(n-1)}log|y^(n-1) - 1| - log|y| - log(c)
　　= {1/(n-1)}log|1 - (1/y)^(n-1)| - log(c),
之から逆算する。

72 ：

変数係数二階線型　y''+(x^2-k)y=0 (k:定数)
なかなか解けそうに無いです、よろしくお願いします

73 ：

>>72
初等的な解はなさげ

74 ：

>>72　ご参考

　y = c1･D_a((1+i)x) + c2･D_b((-1+i)x),
と表わせるらしい。
ここに D_n(z) は 放物型円筒函数とか云うもので、Weberの微分方程式
　(d/dz)^2 D(z) + {n + 1/2 -(1/4)z^2}･D(z) = 0,
の解らしい。

75 ：

>>73>>74
やっぱり微分方程式って難しいですね
特殊関数になるとは、級数展開してもうまくいかないわけだ…
資料ありがとうございました

76 ：

>級数展開してもうまくいかないわけだ
いや、級数解は持つけど。

77 ：

>>76
おかしいな…漸化式がうまくたたなかったんだけど
この形の微分方程式は y=Σa_n x^n　っておけばいいんだよな
なんか級数を代入した後簡単にいく方法ないかな

78 ：

級数法で解ける問題のうち最も簡単なクラスの問題ですが・・・

79 ：

>>78
そうですか…漸化式からすすまない…
微分方程式の本で何かよいものがあったらぜひ教えてください
薄くて古い本で少しかじっただけで、しっかりしたものをやりたいので
先の微分方程式 y''+(x^2-k)y=0 ですが
まず　y=Σa_n・x^n　を代入してx^nの項の係数をとって
(n+2)(n+1)a_(n+2)+a_(n-2)-k・a_n=0　を得る
そして a_0=a_1=a_2=a_3=1 とでも仮定して
a_(n+2)=(k・a_n-a_(n-2))/(n+2)(n+1)　と変形しn=2,3,4,…を代入して
a_nの形を類推する　…　ここで類推がうまくいかず詰まりました
何か間違いがあれば指摘お願いします

80 ：

>>79
n=0,1のときに(n+2)(n+1)a_(n+2) = k・a_nが出てくるから
a_2,a_3はa_0,a_1から決まる。全部1にはできない。
どのみちきれいな形にはならないだろうけど、
例えば y = exp(ix^2/2)z と置き換えると
z''+2 i x z' - (k-i) z = 0 が出てきて、
z = Σb[n]x^n /n! とすれば b[n+2] + (2in - k + i)b[n] = 0。
Πを使えば一応解を書ける。

81 ：

>>80
はやいレスありがとうございます
n=0,1のときa_(n-2)の項は0と考えてしまってよいということですか？
ほーこんな微分方程式の変形があるんですね
この等比数列なら簡単に解けますね

82 ：

一般解は２つの任意定数を含むという超基本すら理解してないと思われ。

83 ：

>>81
> この等比数列なら簡単に解けますね
くらいは、自分がおかしいことを言っていると自分で気がつけるようにしとけ。

84 ：

>>82
失礼しました、二階微分方程式なので
a_0,a_1の二つが任意定数になってa_2からは漸化式ででてくる、と
>>83
よく見たらぜんぜん等比になってませんね…
>　y = exp(ix^2/2)z と置き換える
二回微分して元の関数にx^2を乗じた形になるためには
exp(x^2)のような形でなければならないのは直感的にわかります
expの中にiをいれたり、z(x)を乗じた関数にするのは常套手段なのでしょうか
それとも演習して身に着ける感覚なのでしょうか
また、この変形はx^2の項を消してz''以外の項のxの次数を一致せさたことに意味がある
ように感じますが、このような形に導く決まった手順があるのでしょうか?
今後このような微分方程式に出会った時の参考にしたいのでよろしくお願いします

85 ：

いつの間にやら、微分ガロア理論の和書が出ていたのね
本屋で見かけて即買余裕でした

86 ：

誰か微分方程式のこの式解ける人いませんいか？＞＜
高校生レベルの応用みたいなもんなんですけど。笑
(1)2xy'=y
(2)x²y'+y=0
(3)y''+y'+y=0
(4)y''+y'-12=0

87 ：

変数分離

88 ：

解を求めることは容易である。
しかし、他の解が存在するかを確認するのは困難である。

89 ：

この微分の答えわからないので教えてくれませんか？
tan(<f(t),f'(t)>)
√(<f(t),f'(t)>)
(<f(t),f'(t)>)n乗
exp(<f(t),f'(t)>)
log(<f(t),f'(t)>)
(<f(t),f'(t)>)/1
です。

90 ：

>>86
(1)(2)は変数分離形,(3)(4)は定数係数だから特性方程式
(1)
2(dy/dx) = y/x
(2/y)dy = dx/x
2logy = logx + C' = log Cx
一般解 y^2=Cx
(2)
(x^2)(dy/dx)=-y
dy/y=-dx/(x^2)
logy=1/x+C'
y=e^(x+C')=Ce^(1/x)
一般解 y=Ce^(1/x)
(3)
特性方程式 p^2+p+1=0 より p=(-1±√3i)/2=ω1,ω2　とおけば
一般解 y=Ae^{ω1x}+Be^{ω2x}
※虚数を含む指数関数なのでオイラーの公式を経由すれば三角関数になる
(4)
特性方程式 p^2+p-12=(p-3)(p+4)=0 より p=3,-4
一般解 y=Ae^{3x}+Be^{-4x}
A,B,Cはいずれも積分定数、初期条件で定まる
これでおそらくあってるはず

91 ：

微分が何の為にあるのかいまだによくわかりません

92 ：

コンピュータートスウチケイサンソフトガアレバ
ビブンナンテイラナイヨ

93 ：

オイラー法、ホイン法、ルンゲ・タック法をマスターし、
地球と月と太陽が永久に公転つづけることを確認したいです。
りんごの引力と、地球の引力により、
りんごと地球は、衝突します。
太陽の引力はすごいはずです。
地球と太陽が、衝突しないか心配なんです。
なにかよい、数値計算ソフトはないでしょうか。
微分忘れたけど、オイラー法で、自作するのは難しいのかな。

94 ：

ちょっとよく意味がわからない

95 ：

いつかは衝突すると思いますよ

96 ：

粘性解は結局誰が考えたのか

97 ：

なんかフーリエ解析の本での例で
指でつまみ上げて尖った三角形の弦の形が[0,π]において関数f(x)で与えられているとする。
ここでf(x)のフーリエ係数を求めて絶対収束する解u(x,t)を得る。
u(x,t)これは確かに弦の運動を示しているが、f(x)が二階微分不可能であるから
当然u(x,t)二回微分不可能であり、満たすべき波動方程式を満たさない。
だからこれは拡大解釈して…これを弱解云々 --- とか書いてあった
調べたところ粘性解は弱解の一種のようなので
詳しくはわからないが物理なんかの問題を解くうえで
必要に迫られたという意外と自然ななりゆきなのでは？

98 ：

ということは、弱解というのは物理的には自然な概念なんだな
超関数解はどうなんだろう

99 ：

>>98
それもほんのちょっぴり書いてある(ろくなこと書いてないけど)
これが解であるということに適切な拡大解釈を与えて、それが数学的に意味を
なすものであれば、事態はうまく収拾できるだろう。このことを理解する
ためには弱解と超関数の理論の研究に関連した考え方が必要になる。
とあるからまあ密接な関係があるのだろうけど
ちなみにこの本は「プリンストン解析学講義I　フーリエ解析入門」です。
どうやらこのシリーズの�V,�W巻にそれに関しての
考察があるらしいので興味あったらどうぞ

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