関数を転がすスレ

1 ：10/11/14 〜 最終レス ：12/04/30

真円をx軸上で滑らないように転がすとサイクロイドができることは広く知られている。
楕円やy=x^2、y=logx…無限にある関数を転がしていったら軌跡はどうなるのか…を考えつつ軌跡を鑑賞するスレ。

2 ：

めでたしめでたし。

3 ：

>>2
めでたく終わらせるなｗ

4 ：

>>2-3 クソワロタ

5 ：

>>4
ありがとうｗ
あたいもくそわろた

6 ：

f(x)
┼,
'￣'
　ｘ
,＿,

7 ：

>>6
それなんてえろげ？

8 ：

黙らっしゃい

9 ：

＞y=x^2
これを転がしていくとして
∩の状態の時はどうすんだ

10 ：

y=x^2をx軸の上で滑らないように転がして
x=y^2を平行移動させた図形に限りなく近づける。
y=x^2の頂点(0,0)の描く軌跡を求めよ

11 ：

>>9
⊂
定義域を付けなければこう見える感じで延々と転がるんじゃない？

12 ：

y=logxに至っては転がせない

13 ：

ん、Ｖみたいにすれば出来ない事もないか

14 ：

>>11
永遠に転がせるけど軌跡は求められます

15 ：

面白い。
新しい transcendental functions が得られるかも

16 ：

積分使って転がった長さを表示するか
軌跡を追う点についてベクトル求めるか
のどっちかで求められそう

17 ：

猫に小判、まで読んだ。

18 ：

>>17
猫

19 ：

地味に難しかった。
楕円も二次関数も無理。

20 ：

y=x^2はなんとか初等関数で媒介変数表示できそうだが、
y=x^4やら楕円やらは弧長を求める時点で楕円積分だな。

21 ：

初等関数で二次関数の軌跡パラメータ表示出来るか？

22 ：

頂点でx軸に接する放物線y=(1/4)*x^2について、これをx軸上で
滑らないように転がしたときの頂点の軌跡は、sをパラメータとして
x=-1+log(s)+2/(1+s^2)
y=(1/2)*{s+(1/s)}-s/(1+s^2)　(s>0)
で表される。このパラメータ表示から、頂点の軌跡により、実数全体を
定義域とする(1価)関数 y=f(x) を定義できることがわかる。
f(x)は、その作り方から明らかに偶関数で、パラメータ表示から
x>0 において狭義単調増加。
x>0 における f の逆関数 f^(-1) は初等関数となり
z=sinh^(-1)(2/y)=log(2/y+√(1+4/y^2))　とおくと
x=f^(-1)(y)=-1/cosh(z/2)-log(tanh(z/4))　と表示される。
また x が十分大きいときは f(x)〜(1/2)*exp(x+1) で近似できる。
y=(1/4)*x^2 の係数 1/4 に大きな意味はなく、パラメ-タ表示の係数が
比較的綺麗になるものを選んだだけ。
逆関数が初等関数になるあたりが、双曲線関数の類似なのかなという気はする。

23 ：

観賞用に転がしてみた。
放物線
http://www1.axfc.net/uploader/Img/so/100929.gif
懸垂線
http://www1.axfc.net/uploader/Img/so/100931.gif
指数関数
http://www1.axfc.net/uploader/Img/so/100932.gif
正弦関数
http://www1.axfc.net/uploader/Img/so/100933.gif

24 ：

>>23乙
正弦関数の動きいいね〜。
尖った点が出来たり関数にならなかったりするんだね。

25 ：

>>23
これはすごい！

26 ：

面白いな
あげ

27 ：

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猫

28 ：

傾きが漸近せずに絶えず変化すると軌跡の関数としてsinみたいに面白そう

29 ：

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猫

30 ：

>>28
sin の重ね合わせとか？

31 ：

>>30
面白いかも
いっそ、フーリエ級数と考えて…三角波、矩形波とかどうなるのだろう
これはすぐに描けるけど

32 ：

あ、そうだ、微分不可能なコッホ曲線とか高木曲線って転がせないかな
線の長さ無限大の時点で非常に怪しいけども、適当に近似してやれば
できそうな気がする

33 ：

接線が引けない状態でどうやって「転がる」を定義するの？

34 ：

>>33
そういわれると無理か…でもとがった点を持つ関数なんかはどうするのだろう
想像はつくが定義が難しそう

35 ：

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猫

36 ：

離散点上の関数について、「次の点」がx軸上に来たら転がしたと思う、というのはどうだろう。
(それの連続化が普通の曲線を転がすのと同じと思う)
そうすると、{0,1}の定義半関数(?)
R⇀R ({0,1}→R)
0,1↦0
他で未定義
というのは「転がす」ことができる。
あるいは、定義域をNにしてN→0を「転がす」こともできる。
初めの式は方程式{x(x-1)=0,y=0}に対応するから、同じ要領で{y(y-1)=0,x=0}で定まる集合
(二値関数)も「転がす」ことができる。
それをさらに拡張するというのはどうだろう。

37 ：

>>36
一行目がぜんぜん意味わからん。

38 ：

>>37
0,1↦0の軌跡は∩∩∩∩…
あとは察してください。
>あるいは、定義域をNにしてN→0を「転がす」こともできる。
というのはかなり飛躍があった。一直線上に並ぶと困る。
一直線上に並ばなければ類似の方法が定義はできる。

39 ：

＞離散点上の関数について、「次の点」がx軸上に来たら転がしたと思う、
の意味がわからん。

40 ：

離散点上の関数『のグラフ』について、「次の点」がx軸上に『来るまで回し』たら

41 ：

離散点上の関数のグラフを回すということの意味がわからん。

42 ：

立方体の積み木（あるいはサイコロ）を滑らないように転がすとどうなる？
それを一般化しただけだよ。

43 ：

http://www1.axfc.net/uploader/Img/so/103718
こういうので良いのかな。

44 ：

そうそう、そういうの。
一般に、グラフ上の点集合
{P_0=(0,0),P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2),...}
が与えられたとき、P_{i+1}-P_iとP_{i+2}-P_{i+1}のなす角度をθ_{i+1}とすると、
「(|P_1|+...+|P_i|)を中心に-θ_i回転する」ということを繰り返す軌道を描くように
「転がす」ことが定義できる。
(有限集合では、適当なnでP_n=P_0などと思えばよい)
ところで、原点の軌道が直線になるような曲線はどうやって与えられるだろう？

45 ：

折れ線グラフを作って微分係数を右側微分で与えれば良いわけよね。

46 ：

そうそう。

47 ：

>>42
んな特殊な方法で離散点上の函数のグラフを実現するなら、ちゃんといわなきゃだめだわ。

48 ：

>>47
何を言っているのかよく分からないけど、関数のグラフの実現は普通というかグラフは
{(0,0),(1,0)}と定義してるじゃない。
x軸上で滑らさずに転がすという話は>>1に書いてあるし、すごく普通の話だと思うのだけど、
正直ここまで通じないとは思わなかった。

49 ：

C1級の関数のグラフに対して自然に「転がる」が定義されるとして、
そこから、右側微分があるだけでも良いよねと拡張しただけなわけで、
そもそも離散点上でどのようになるって話になってない。

50 ：

>>49
>>36で言っていたことが、(>>44のθの意味で)結果的に>>45と一致するというのは正しいけど、
> そこから、右側微分があるだけでも良いよねと拡張しただけなわけで、
というのはあんまり正しくないよ。
まず、傾きが0の時にどうするか、という話があって、それは例えば曲線の長さに関する媒介変数表示などで考えると
「そのまま」にするのが妥当ということになる。
それは原点の軌跡を考える上では関係なくて、重要なのは頂点(とがった点)での振る舞いだけということになる。
このとき、右微分の存在は必ずしも重要でない。
次に「来る」べき点がグラフに乗るまで回す、ということを>>36で提案しているのだから。
正直、未だに>>36の何が分からないのか分からない。
グラフを回すって、x軸上の「頂点」を中心とした回転のことだけど、それってそんなに非自明？

51 ：

離散点を勝手に何らかの空間に埋め込んだり繋いだりするのは自明とは言いがたい。

52 ：

>>50
＞まず、傾きが0の時にどうするか、という話があって、それは例えば曲線の長さに関する媒介変数表示などで考えると
＞「そのまま」にするのが妥当ということになる。
＞それは原点の軌跡を考える上では関係なくて、重要なのは頂点(とがった点)での振る舞いだけということになる。
「そのまま」の意味がよくわからない。「傾きが0」ということで、R上の関数y=0でも同じようなことがいえるのであれば
それを使って具体的に例示して頂けないか。
＞次に「来る」べき点がグラフに乗るまで回す
>>36(=>>44)での主張が>>45と一致するというなら、>>36の意味で言う離散点上のグラフから
得られる原点の軌跡は、全て対応する折れ線グラフから得ることができるわけだ。であれば、
これを「離散点上のグラフへの拡張」と呼ぶ必要性はないよね。
「微分係数が存在しなくても右側微分があれば良い」というC1級関数のグラフから、ある程度
微分不可能な点があるものへの拡張として考えればいい。
別に>>36の拡張の意味がわからないとか、やり方おかしいとかいってるんじゃなくて
「離散点上のグラフへの拡張」という名前が実態に対して大げさだといってるだけ。

53 ：

>>51
半関数って書いてるし、繋ぐ必要もないんだってば。
繋いでも同じことができるけどね。
もともと点集合で考えたのは、たとえばフラクタルを点集合の極限とみて
何か面白いことができないかな、というところにある。
>>52
立方体を転がしてみなされ。
というか、y=0では「転がらない」でしょう。
つまり、「接点」なるよくわからないものが仮に(媒介変数の意味で)移動していたとしても、
表面的には何も起こらないわけですよ。
> これを「離散点上のグラフへの拡張」と呼ぶ必要性はないよね。
まあ、>>32のコッホ図形云々というところに発想のもとがあるというのが一つと、
名前が大げさだというのは人によるんじゃないかな。
>>51みたいなことを書く人もいるんだし、実際ある種の人には通じなかったわけだし。

54 ：

y=0は転がるよ。「表面的には何も起こらない」から転がらないなんてあまりにも乱暴な考え方だ。

55 ：

半関数って何？

56 ：

http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_function

57 ：

それの訳は部分函数だろう、普通の人は。

58 ：

まあ何にしても、
> 軌跡はどうなるのか…を考えつつ軌跡を鑑賞するスレ。
なので、その意味で何も起こらないものは何も起こらないし、
partial functionの訳語に限らず意味は文脈で容易に分かる。
（半関数と訳す流儀はある。）
これ以上相手にしても仕方ないから、相手にしないけど。
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org1322546.gif.html
これの極限として何やら作れそうな気はするけれど、そうするとそれもフラクタルなのかな。
これのハウスドルフ次元がどうとかこうとかいうのは研究の価値がありそう。

59 ：

媒介変数表示で接点が移動したからといっても、
物理的に転がすこととの対比でいうと力を加える位置を変えているようなものだから、
曲線そのものは転がってないんだよね。やっぱり。
その意味でy=0は転がらない。

60 ：

>>44
>ところで、原点の軌道が直線になるような曲線はどうやって与えられるだろう？
直感的には等角螺旋かアルキメデスの螺旋のような気がするけど…

61 ：

>>23
普通、x軸上で転がすっていったら、図形がx軸より下にくるのはおかしいと思うんだが。
転がすの定義をはっきりさせないか？

62 ：

別におかしくないだろ

63 ：

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64 ：

>>62
じゃあお前が運転する自転車や車はさぞかし奇怪な挙動を示すんだろうな。
なんたって転がるタイヤの凹凸がところどころ地面にめり込むんだからな。
ファンデルワールス力も真っ青。
「転がす」の定義をしないと始まらないのは事実だろ。
おかしい　おかしくないの水掛け論をするのは数学じゃない。

65 ：

少なくともC^1曲線(もっと言えばpiecewiseにC^1)については大体意味を共有出来てると思っていたんだが・・・
誰かあとよろしく

66 ：

>>64
冬だなぁ

67 ：

その点の接線がx軸と重なってればいいんじゃね
そっちのほうが数学的に面白い気がする

68 ：

次の点とか転がらないとかめり込むとか変なのばっかり寄ってくるな

69 ：

冬だからな

70 ：

>>23のだと転がるっていうより接しながら滑ってる感じだな。

71 ：

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猫

72 ：

>>70
こういう「図形を転がす」という問題の前提として
曲線上の原点から接点への（弧長で測った）距離とx軸上の原点から接点までの距離が
等しいということと「滑っていない」ということとは同義なので
その表現だと誤解を生みそう。
凸でない図形については、その凸包をとるか、接点の周りでだけの存在として
>>23のように扱うかはどちらもそれなりに正当性があると思う。
上で離散点の集合がどうとか言っていた人は、暗黙のうちに凸包を考える
ということをやっているようなのに、おそらくそれに無自覚なせいで
同意を得にくい状況を作っていたのかな、とおもう。

73 ：

>>72
いや、凸包を作っている訳ではないよ。
転がすというのを、{O,P_1,…,P_n}というものを考えて、
「P_1を中心に集合{O,P_1,…,P_n}をP_2がx軸上右の位置に来る位置まで回転させる」
という作業をして、これで得られる点集合を{O',P'_1,…,P'_n}とするとき、
「P'21を中心に集合{O',P'_1,…,P'_n}をP'_3がx軸上右の位置に来る位置まで回転させる」
という作業をして、…ということを繰り返すということによって転がすということを定義するのはどうか、
という提案をしているだけだよ。

74 ：

ああ、凸包がどうとか言ってた人は、「頂点」という言葉を使ってしまったからそういうことを考えたのか。
もともとコッホ図形を想像していたのだから、凸包なんて取られると困るのだけど。
局所的な凸包と言えなくもないけど、別にそこに本質がある訳でもない。

75 ：

放物線を直線に沿って滑らないように転がしたときに
焦点の描く軌跡が研垂線になることを示すのに、
弧長を計算せずに微分方程式を作って解くやり方があるらしいのですが、
どなたかご存じないでしょうか。
参考になりそうな本などがありましたらご教示下さい。

76 ：

ワタシを転がしてぇ〜

77 ：

村八分についての話題が流行してます。
猫

78 ：

皆さん感染しないように気をつけましょう

79 ：

防御しても無駄です。私がしつこく書き込みますので。
猫

80 ：

放物線を放物線上で転がしたらどうなるでしょうか??

81 ：

質点が放物線に衝突すると必ず焦点を通過しますが(弾性衝突、重力無視の条件下で)、半径aの球体が放物線に衝突した場合の軌跡はどうやって計算するのでしょうか？
慣性モーメントのため、焦点からすこしズレたところを通るような気がしますが、厳密な計算の方法がわかりません。方程式の立て方もわかりません。
参考になる教科書や文献はありますか？

82 ：

>>81
半径aの円がy=bx^2に接するときの円の中心のy座標と接点のy座標の
差を求めればいい。
焦点からその差だけずれた点を円の中心が通過する.
と思います。

83 ：

>>81
>>82の者ですが
y座標の差を求めても意味がなかったようです。
でたらめ書いてすみませんでした。

84 ：

>>81
面と球の摩擦を無視すればトルクがこないから慣性モーメント関係ないね
摩擦も計算に入れようと思うとかなりいっぱい考えなきゃいけない要素あって難しい
摩擦なしなら、球が回転せずに運動すると思ってよくて
実際に面と衝突する球の１点が焦点を通るよね
あと中心がどこ通るかは計算でゴリ押しできそうだけど

85 ：

>>81
曲面で反射する球の中心の運動は、曲面の各点を中心とする同じ半径の球の包絡面で反射する質点の運動と等しい。
曲面 f(x,y,z)＝0 の各点を中心とする半径 r の球の包絡面は
曲面上の点 (x,y,z) を法線方向 ∇f＝(fx,fy,fz) に r だけ移動した
(xe,ye,ze)＝(x ± r fx/|∇f|,y ± r fy/|∇f|,z ± r fz/|∇f|) を通る面である。
曲面上の点をパラメーター u, v で x(u,v),y(u,v),z(u,v) と表せば、包絡面は上の (xe,ye,ze) で計算できる。
ただし、包絡面が自己交差する場合は注意。

86 ：

関数を関数と名付けた奴は馬鹿　なぜなら関数は数じゃないから
http://hatsukari.2ch.net/test/read.cgi/news/1305463318/l50

87 ：

a rolling function gathers no moss

88 ：

関数を転がしてないでを転がせ！

89 ：

>>88
> 関数を転がしてないでを転がせ！
ころがしました。
>>23 正弦関数よりいったりきたりしましたが
どうしたらいいですか〜〜〜〜〜！？

90 ：

あんでぃ

91 ：

二次関数を無限に転がした時の頂点の座標の極限って何だろう

92 ：

猫は作業

93 ：

>>91
>>22で大体わかるんじゃないか？

94 ：

上がるノヤ。
ポチ

95 ：

>>92
そや。ワシは作業なんや。
猫

96 ：

>>95
あがったからといってそんなんにレスすんナヤ。
ポチ

97 ：

>>96
レスを付けるのはワシの権利であり、従ってソレをスルのはワシの自由。
猫

98 ：

>>97
そんなん分かってるんヤナ。
ゆえに、そんな報告いらんのヤ。
ポチ

99 ：

>>98
オマエが文句を言うからレスしただけや。ソレが何でアカンのや？
猫

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