★★★必ず最後まで読んでください★★★
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
(例1)1/2aは(1/2)あるいは1/(2a)ともとれるので誤解されないように( )を使って書く。
(例2)数列の場合も、anよりもa(n)、a[n]、a_nなどと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor問○を教えてください」だけ書くような
質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
http://mathmathmath.dotera.net/
２ちゃんが落ちた時や、規制されてる人はこちらで
http://jbbs.livedoor.jp/school/21000/（避難板）
前スレ
数学の質問スレ【大学受験板】part103
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1329263563/
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
a+b → a 足す b （足し算) a-b → a 引く b （引き算)
a*b → a 掛ける b （掛け算) a/b → a 割る b （割り算)
■ 累乗 ^
a^b a の b乗
a^(b+1) a の b+1乗
a^b + 1 （a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
a/(b + c) と a/b + c
a/(b*c) と a/b*c
はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
a[n] or a_(n) → 数列aの第n項目
a[n+1] = a[n] + 3 → 等差数列の一例
Σ[k=1,n]a_(k) → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」などで変換せよ（環境によって異なる）．）
∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
∫[0,x] sin(t) dt
■ 三角関数
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
AB↑ a↑
ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（行（または列ごと）に表示する． 例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b [a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a [２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R [正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A) [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微分]
あるパーティが開催された。
パーティのどの参加者についても、参加者の中にいる知り合いが高々3人であるとする。
このとき、参加者を二つのグループに分けて、どの参加者についてもグループ内にいる知り合いが高々1人になるように
することが可能であることを示せ。
3人の女子と10人の男子が円卓に座る
少なくとも2人の女子が連続して並ぶ確率は？
という問題で余事象でとくのはわかるのですが、その余事象の出し方が
男子を並べて間に女子を入れる で
10P3となっています
でも人を一列に並べる問題だと、PじゃなくてCをつかって余事象をだしています
これはどうしてなのでしょうか
分かりづらくて申し訳ありません
10P3=10*9*8が出てくる。
女子の場所３か所を選んでから、並びかえを考える10C3*3!でも同じこと。
別に順列 P で考えてもできる
その解答は個人は区別せずに性別だけを区別しているのだろう
全事象の取り方を工夫することで数が小さくなって計算がラクになることがある
多分そういうことをやっているのだろう
よくわかりました！Cじゃ場所を選んでるだけなんですね(いままでよく分かってなかった。。。)
ありがとうございました！
４人がお互いに知り合いである時２人ずつに分ける
この図で、角ACB=角TBAらしいのですがどうしてですか
初歩的な質問ですみません・・・
接弦定理
とりあえずテンプレ >>1-3 を読みたまえ
マルチポストは嫌われるので注意
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334845283/137
↑の計算式どなたか教えておくれ～orz
BC=√[{4-(-2)}^2+(-5-3)^2]=10
CA=√[(5-4)^2+{2-(-5)}^2]=5√2
詳しくは教科書読んでくだされ
3枚ある。これら7枚のカードから無作為に3枚取り出すとき、取り出した3枚の
カードに書かれた数字の和が5になる確率は[ウ]である
数え上げると 113 122 131 212 221 311 で6通りになったんですが
答え見ると計算する方でやってあって
2C2・3C1+2C1・2C2＝5通り
数字の和が5になってるはずなのに数え上げると何で間違うのか
間違いが分からないです
「分母の数え方を真似して分子を数える」のが原則
この問題では分母は 7C3 とするのがふつうだろう
だから分子も順列ではなく組合せをベースに数える
取り出す順番は気にせずに和が5となる組合せを考える
>>19 に列挙されたものを活かすつもりなら
「1枚ずつ，順に，戻さずに計3枚取り出す」と読み換えて処理すればよい
例えば，順に 113 と出る確率は （2/7）・（1/6）・（3/5） となる
他の出方も同様に求めて合計すればよい（が，本問では面倒なだけ）
122 212 221
組み合わせで確率を計算
ついでに
この問題で確率を計算する際には、
ｻｲｺﾛと違い、1枚取り出したときに数字が出る確率が違う
2/7
2/7
3/7
113などを1通りと考えてはいけない
113と122は同様に確からしくない
同じ数字のｶｰﾄﾞを別ﾓﾉと考える
順列では
113:2!*3=12通り
122:2*2!=8通り
とする
もう正しい説明があるので
＞何で間違うのか間違いが分からないです
これに答えるなら
全く同時に3つ取り出したときに手の中にある
2枚の1と1枚の3をなんで113と131に区別しなきゃならんの？って話になる
ありがとうございます
求め方が違うから。
君がやったようにやるなら、
113 (2/7)(1/6)(3/5)
122 (2/7)(2/6)(1/5)
131 (2/7)(3/6)(1/5)
212 (2/7)(2/6)(1/5)
221 (2/7)(1/6)(2/5)
311 (3/79(2/6)(1/5)
となって、合計すると1/7。
解答のやり方は、
カードを全て区別し、1a、1b、2a、2b、3a、3b、3cとし、
取り出したら、数字の順、数字が同じならアルファベット順に並べて置くことにする。
全ての場合の数は7C3=35通り。
和が5の場合は、
(1a1b3a)、(1a1b3b)、(1a1b3c)……1を選ぶ選び方が2C2で、3を選ぶ選び方が3C1
(1a2a2b)、(1b2a2b)……1を選ぶ選び方が2C1で、2を選ぶ選び方が2C2
の5通り。
これらはどの1通りも同じ確率で起きるので求める確率は5/35=1/7。
いずれの求め方でも求まるが、後者の方が計算が楽（説明を加えたので長くなったけど）。
定数s,t,u に対し f(x,y) を最小にする x,y を求めよ
方針だけでもm(_ _)m
予選決勝法くさいな
ひとまず x は固定しておいて y の関数と見てその最小値を考える
与式を展開せずに積の微分公式で微分するとラク
式がそれなら
１、展開して、まずxについて整理する
２、xについて平方完成
３、yについて平方完成
これでf(x,y)=(x,yの１次式)^2+(yの１次式)^2+(s,t,uの式)
ってなるからあとは２条の部分が０になるようにｘ、ｙを定める
bを固定すると
-(1-|b|)≦a≦1-|b|
がaの範囲になるのは分かったんですが、これからaをこの範囲で動かし、次にbを-1≦b≦1で動かしてpの値域を求めるって書いてあるのですが、その途中の式が書いていないのでよく分かりません
どのように動かしてpを求めればいいのですか？
そこからｐの取りうる範囲求めた方が楽だと思う
それも解答にありましたが、こっちの解答も理解したいと思いまして
p=2a-b にその a の範囲の式を当てはめれば
p が b の式で評価できる
が，この問題なら領域（線形計画法）でやるほうがラク
-(1-|b|)≦a≦1-|b|を利用して解くと
-2(1-|b|)-b≦p≦2(1-|b|)-b
つまり
2|b|-b-2≦p≦2-2|b|-b
となる。
この式をbについて場合分けする。
0≦b≦1のとき、|b|=bなわけだから
b-2≦p≦-3b+2
-1≦p＜0のとき、|b|=-bだから
-3b-2≦p≦b+2
あとはこれをbp座標で図示して、最大最小を見つければ終わり。
ちなみに答えは
-2≦p≦2
一辺の数値がわかると1:2:√3の比から
他の数値もわかるみたいなんですが
どうやって計算しているんですか？
よって角は60度30度
比がわかってるのなら別に1:2:√3の比の直角三角形でなくてもわかる。
ただの比の問題。小学校で習う。
レスありがとうございます。
計算のやり方教えていただきたいです
わからない部分はここです↓
AB:AC=13:12の比の時
AB=√13の時のAC=?
の?数値の出し方がわかりません
こんな基本的なこと聞いてしまってごめんなさい
もしよかったら教えてください。
a：b=c：dのときbc=ad
つまり内側掛けたものと外側掛けたものが等しい
AB：AC=13：12のABに=√13を入れて
√13：AC=13：12
13AC=12√13
AC=12√13/13
ありがとうございます！！
やり方理解できました！！
比の問題って、38さんが言ってる通り小学生の算数だぞ。
がんばれ、35！分からない点があったらそこまで戻って復習だ！
まあ、かくいう俺も、一瞬だが
「AB:AC=13:12の比の時、AB=√13ならACは√12にきまっとるじゃろ！」
と思ったことは内緒だ……orz
V = 1/12 * πh^3
これを時間 t で微分してやると
dV/dt = 1/12 * 3πh^2 * dh/dt = 1/4 * πh^2 dh/dt
こうなると書かれているのですが
h^3 を時間 t で微分すると 3πh^2 * dh/dtとなるのは何故ですか？
合成関数の微分
a≦-1？
普通に計算したら
a≧-1にならない？
aが負だってわかってる？
1つの方法としては、正負の判別が困難なときは
2乗数を掛ける技術がある。
今回なら、a＾２を辺々に掛ければ、不等号の向きとりあえず無視できる。
-a^2≦a≦０
ここからa≦０とわかり
-a^2≦aでa<0としてaでわると
-a≧１→a≦-1よってa≦－１
aをxに置き換えてy=1/xのグラフを書くとよくわかる。
いい本だと評価する人もいるが大学受験対策としてはどうかなぁ
lim[x→∞]{n√(x^n+ax^(n-1)+b)-x} nはn乗根で2以上の自然数 a、bは正の定数です。
A^m － B^m ＝ （ A － B ）（ A^(m-1) ＋ A^(m-2)・B ＋ … ＋ B^(m-1) ）
の公式の活用で分子の有理化ができるけどラクではない
を利用し有理化すると
与式=lim[n→∞]{ax^(n-1)+b}/{x^(n-1)+(xのn-2次以下の式)} = a
他の場合は自分で考えてみれ
ありがとうございます。
かなりややこしそうですね…
横国志望なら解けなくても大丈夫ですかね？
n乗根部分をXとする
Σ[k=0→n-1](X^k)(x^(n-1-k))
を「分子・分母にかける」と、分子が
X^n-x^n=ax^(n-1)+b
になるからあとは普通に極限計算
(√○)-△ の形の極限の計算テクニックと原理的に同じ
n乗根部分は実質的に1次だから、約分前の分母の項は実質的に全てn-1次であって、第二項より後ろも極限値に関わる
極限値はa/nになるはず
上で挙げられたポイントさえ見抜けばその後の計算は定石通りでそれほどしんどくない
n乗根部分を文字で置いたり、シグマ内部は一旦別に計算したりすることで書く手間を省けばだいぶ楽
やり方は分かりましたw
あとは気合で計算をやってみます!!
左と右は凸関数の性質f((x+y)/2)<(f(x)+f(y))/2という図形的な意味があるわけですが真ん中の式は何か図形的な意味があるのでしょうか
評価の練習として入れただけじゃないかな
ネット上のレビューをみると具体的な内容の褒めレビューがほとんどで、体系的に進めることに差し支えのない環境にいるから使用を検討しているんですが、いかんせん高価なので、試し買いができなくて…
>>52-53
俺は本屋で見て気にいったなら高くても買うが
この本はそういう気にはならなかったな
受験対策も視野に入れているなら素直に別の本にしたほうがいいと思う
受験対策ではなく趣味で見るというなら悪くないんだろうけど
教科書代わりに使うのなら現時点では数研『体系数学』を推す（これもベストではないが…）
ちなみに教科書代用候補には「新体系高校数学」もあります
これこそ受験用ではないと評判ですが
カテキョで必要だからいろいろ本を持っているので
新しくわざわざ買う気にはならなかったということ
つまり他の本でも似たようなことは出ているので
『新体系高校数学』も同様
でも結局は個人の好みなので気になったのならとりあえず買っておけばいい
今はすぐ絶版になるので買わずに後悔することもあるし
参考までに，俺が教科書代わりに参照しているのは
数研『体系数学』，大日本図書の高専用の教科書など
受験対策にはもちろん他の問題集も使う
すばらしい本だよ
わかりやすく論理的構成がしっかりしている
著者は大学レベルの数学書も書いている数学の世界では有名な人
ぜひ意欲的な高校生にすすめたい
(a)定数をbとしたとき、x→bx y→by という変換でこの微分方程式が不変なことを示せ。
(b)u≡y/x とし、xとyのかわりにxとuを使って上の式を書き直せ。
(c)前問の方程式を解くことにより、微分方程式の一般解をy=f(x,C)という形で求めよ(u=sinhθと置いてみよ。)
(a)が分かりません。単純にxとyだけが変換されるのか、それぞれの導関数にもbがかかってくるのか、判別できません。。。
（問題の続きは一応参考までに書きました）
ありがとうございます
私ももちろん受験用の参考書は別に使用するつもりです
青チャか本質の解法か、フォーカス金かで迷っています？
おすすめはありますか？
>>70
内容の構成について伺いますが、教科書的な構成で、とことん詳しく説明されているのでしょうか？
それとも巷に溢れる例題を通じて学ぶ構成でしょうか？
X = bx ，Y = by とおけば x = X/b ， y = Y/b ， y’ = (Y’)/b だが
これを与式に代入整理しても X（Y’）^2 - 2YY’ - X = 0 とはならない
この置き換えをこのあと使うわけでもないので意図がよくわからんな
>>72
俺自身はそういう網羅型の参考書は辞書的に参照した程度で
こういう使い方ではどれを使っても大差はないだろう
自分の直観を信じて好きなものを選べばよい
個人的に役に立ったと思うのは
『数学受験術指南』『数学ショートプログラム』『ハイレベル理系数学』『伝説の良問100』など
生徒の指導で使ってきたのは
『文系数学良問のプラチカ』『標準問題精講数学Ⅲ・Ｃ』『微積分基礎の極意』『合格る計算』など
（カリキュラム切り替えの時期なので1年生にはそのままおすすめできないのもある）
とことん詳しく、というのとはちょっと違うと思うけど、指導要領に
遠慮したりはしてないから、筆者が詳しく書きたいところは
少し踏み込んで書いてると思う。
やっぱり実物を見てみるのが一番いいと思うよ。
東京だったら、大きな書店で立ち読みできるし、区立の図書館でも
置いてあるところがあるから借りて読むことができるんだけどなあ。
解答の途中に
よって4a(2-p)^2=a(-1-p)^2
両辺をa(=ではないという記号）0で割って、
4(p-2)^2=(p+1)^2
とあるんですけど、
なぜ符号が変わるのか解らないです。。
展開して比較してみ
注意しよう。ちょっと説明が足らないといえば足らないかな。
あとすみませんがもう一題
関数y=｜x-1｜+｜x＋2｜のグラフをかけ（本質の解法64）
解法で
定義域を3つの区間
x<-2, -2≦ｘ≦1 ,1<x に分けて絶対値をはずす。
とあるんですけど
なぜ-2<x, -2≦ｘ≦1 ,x<1じゃないんですか？？
だって、それじゃｘがすべての実数値を取ってないじゃん。
不等号の意味が分かってる？
(2-p)^2=(-1)^2・(p-2)^2だから
結局(p-2)^2と同じ。
(-1-p)^2も上と同じように考えれば
(p+1)^2になる。
>-2<x, -2≦ｘ≦1 ,x<1
この部分はネタだよね？
わかりやすい説明ありがとうございました！
ありがとうございます
網羅系参考書を辞書的に使用されていたということは、
教科書＋傍用問題集の後は即本格的な問題集に取り組んだのでしょうか？
>>74
ありがとうございます
あいにく田舎住まいでして、近所の図書館や本屋（古本屋含む）をくまなく探したんですが、見つかりませんでした（涙）
まあ、だまされたと思って、６巻ある数学読本のうちどれか１冊
試しに買って読んでみたら？
確かに安い本じゃないけど、１冊なら買えるんじゃない？
試し読みするなら、必ずしも第１巻じゃなくてもいいと思うよ。
興味のある分野の巻を買ってみたら？
回答ありがとうございます。うまいこといかないんですよね・・・
(b)と(c)は問題なく解けそうなんですが、(a)・・・
定数a,bの値を求めよ
2x^3＋ax＋10をx^2－3x＋bで割ると、余りが3x－2である。
という問題なのですが
cを定数として、次の恒等式が成り立つ。
2x^3＋ax＋10＝(x^2－3x＋b)(2x＋c)＋3x－2
この(2x＋c)というのはどうやって出すのでしょうか。
解説お願いします。
・ 3次式を2次式で割ったときの商は1次式
・ もとの3次式の x^3 の係数から，商の x の係数が決まる
・ 商の定数項はとりあえず文字でおいた
分かりました！x^3をx^2とxに分けておくような感じにするんですね
ありがとうございました。
なんか変な覚え方をしようとしている気がする。
商をQ(x)とすると
2x^3＋ax＋10＝(x^2－3x＋b)Q(x)＋3x－2
となる。左辺が3次だから右辺が3次になるためにはQ(x)は1次。
Q(x)=px+cとして右辺を展開して左辺と係数比較するとp=2。
従ってQ(x)=2x+c。
ということをやっているのだが、それはわざわざ書くまでもないことなのでいきなり2x+cと置いている。
>>88さんはこれを少しだけ抽象的に説明しているということ。
書くまでのことじゃないので省略している部分がわからないということは
その問題集だか参考書をやるレベルになってないということだと思うよ。
戻ってやり直す方が近道だと思う。
以下は青チャート1Aの基本例題61の一部省略版です。
0<=x<=4 における関数 f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 3 の最大値を M とするとき、M を a を用いて表せ。
この問題の答えは
M : -6a + 19 (a < 2); 2a + 3 (a >= 2)
となっていました。
なぜ a = 2 の時の場合分けが a > 2 と一緒になっているのでしょうか。
因みに a = 2 のときの M は 7 となるのですが、チャートの解説には
a = 2 と置いたとき、a > 2 の場合のMと一致するから……
と書かれていました。しかし a < 2 の場合の -6a + 19 にa = 2 を代入しても 7 が得られると思うのですが何故 a > 2 の場合にまとめるのでしょうか。
言ってしまえばどちらに含めてもよい
Mをaの関数としてグラフで見たらつなぎ目がつながっているから
どちらに代入しても一致するのは当然なんだけど
どっちにまとめても別にいいけど、場合分けがダブらないように
注意が必要だよ。
でも俺ならチャートと同じようにa>2のほうにまとめちゃうと思うな。
有難うございました。
どっちにも等号をつければ紛れがない
俺は場合わけはダブらないようにするのが流儀だと思ってたんだけど、
調べてみたらそうでもないんだね。気付かせてくれてありがとう。
この式はどんな変形をしてるのでしょうか?
左から右は無理でも、右から左には出来るだろ。
ありがとうございました！
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