【東大】今日の一問【理系数学】

1 ：12/05/30 〜 最終レス ：12/06/17

東京大学入試対策用に、
スレ主が毎朝一問数学の問題を出題します。
ただし毎週土曜日はお休み。
解答、解説動画も次の日の朝にアップします。
質問があればできるだけ答えますが、
今日の一問以外の質問は時間的に答えられないと思います。
東大受験生の皆さん、この１年ともに頑張っていきましょう！
※解答に関する注意点※
�@受験生以外は、出題された当日および次の日の2日間は
　解答を控えること。ただし受験生にヒントを与えたり、
　解答に対して間違いなどを指摘するのはOK。
�Aトリップ付き固定ハンドルを用いてない人の出題には
　解答しないこと。
�B高校数学の範囲内で解答すること。
※スレ主以外が出題する際の注意点※
�@出題の際は必ず「〜日後に解答をup」or「解答up日未定」
　のいずれかを問題文に併記すること。
�A出題の際は必ずトリップ付きの固定ハンドルを用いること。
�B高校範囲を超えない、解く価値のある良問を出題すること。

2 ：

おつ

3 ：

前スレ
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1334452461/

4 ：

0以上の整数nを用いて、
関数f_n(x)を次のように定める。
　f_n(x)=e^x-(1+x+x^2/2!+x^3/3!+…+x^n/n!)
(1)x>0の範囲で次の不等式が成り立つことを示せ。
　　0<f_0(x)<xe^x
(2)x>0の範囲で次の不等式が成り立つことを示せ。
　　0<f_n(x)<{x^(n+1)}e^x/(n+1)!
画像で確認したい人は↓からどうぞ。
(p)http://blog-imgs-44.fc2.com/r/o/n/ron4310/201205300720055ca.gif

5 ：

5月30日の一問(>>4)の解答および解説動画です。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-129.html
少し難しいけれども背景にあるマクローリン展開は
頻出トピックなので考察部分もよく読んでおいてください。

6 ：

n、mを自然数とする。
(1)Σ[k=1〜n]{(k+1)^(m+1)-k^(m+1)}がnの多項式になることを示せ。
　またその次数と最高次の項の係数を求めよ。
(2)Σ[k=1〜n]k^mがnの多項式になることを示せ。
　またその次数と最高次の項の係数を求めよ。
画像で見たい方は↓を参照してください。
http://blog-imgs-44.fc2.com/r/o/n/ron4310/20120531065353d51.gif

7 ：

これってΣ公式の証明の一般化だよね？

8 ：

まだ前スレ埋まってないのにどうしてこっち？？？？

9 ：

>>7
その通り。なかなか興味深い問題だと思います。
>>8
すいません、区切りが悪くなりそうに思ったので・・・

10 ：

(2)って区分求積法使う？

11 ：

>>10
すばらしい発想力ですね！
ただ答えはそれで分かっても証明にはなりません。
なぜならばそもそもΣ[k=1〜n]k^mがnの多項式に
なることすら保証されていないからです。

12 ：

Σ[k=1〜n]k^m = Σ[k=0〜(n-1)](n-k)^m
になりませんか？
っていってること違うか
ごめんなさい馬鹿だからよくわからないです

13 ：

あー、自分のやってることのおかしさにきづきました

14 ：

>>12なりますよ！
それを使ったうまい解法が見つかりましたか！？
気になりますね。

15 ：

Σ[k=1〜n]k^m = Σ[k=0〜(n-1)](n-k)^m
=Σ[k=0〜n-1]Σ[r=0〜m]C[m,r]k^(m-r)n^r
k_r=C[m,r]Σ[k=0〜n-1]k^(m-r)とすれば
Σ[k=0〜n-1]Σ[r=0〜m]C[m,r]k^(m-r)n^r
=Σ[r=0〜m]C[m,r]{Σ[k=0〜n-1]k^(m-r)}n^r
=Σ[r=0〜m]k_r*n^r
より(2)が示される

16 ：

>>15
あ、帰納法でk_r (1≦r≦n-1)はnの多項式としとかないとダメですね。
多項式は多項式の積に閉じているの一文もつけて置くべきでした。

17 ：

>>15・・・たくさん間違いがあります。
まず最初の2項展開が間違っています。
Σ[k=0〜(n-1)](n-k)^m=Σ[r=0〜m]C[m,r]k^(m-r)n^r
ではなくて
Σ[k=0〜(n-1)](n-k)^m=Σ[r=0〜m]C[m,r](-k)^(m-r)n^r
が正しいですね。
これだけでも帰納法の仮定が使えないので、
致命的なミスと言えますが、
それ以降も間違いがあります。
5行目のΣの中身である
C[m,r]{Σ[k=0〜n-1]k^(m-r)}n^r
ですが、仮定を使えば(本当はr=0のときは使えないけど)
m+1次式になりますね。これが大問題で、
m+1次式をいくつも足し合わせると、
m+1次より次数が下がってしまう可能性があるからです。
というのは最高次の係数が打ち消し合って
ちょうど0になる可能性があるからです。
もしこれに納得いかなかったら再度書き込んで下さい。
サッと見ただけなので指摘がもし間違っていたら申し訳ない。

18 ：

（１）は（２）に利用できるんですか？

19 ：

>>18
もちろん利用するためにありますよ！
ただ結構使い方が難しいです。
Σの中身を式変形する必要があります。

20 ：

>>19
そうですか。今回は難しくないですか？解けそうにないかも。。。

21 ：

>>20
結構難しいと思います。
nにまつわる証明問題で手出しができなかったら・・・

22 ：

nの多項式中の任意の数項を取り除いたら、その数項を並べた式もnの多項式になりますか？

23 ：

帰納法使うのはmですか？

24 ：

これそこまで難しくない気が
青茶とかのk^2とかk^3のシグマ公式の証明とやってること同じな気が

25 ：

>>22そうなりますね！
>>23その通りです！nでやってもできないのが難しい。
>>24それは全然違います。
本問はnに関する帰納法ではできないと思われます。

26 ：

あー何となくわかってきたような……
けど明日も学校なので寝なきゃ

27 ：

>>25
いやいや、nについての帰納法じゃなくて式変形の仕方がです
青茶では
(k+1)^(m+1)-k^(m+1)
=Σ[i=0〜(m+1)]C[m+1,i]k^i-k^(m+1)
=Σ[i=0〜m]C[m+1,i]k^i
この式の両辺を足し合わせていって〜てな感じでk^2とk^3のシグマ公式を証明していました

28 ：

あ、式の両辺を足し合わせるっていうのはk=1〜nまでの両辺を足し合わせるっていう意味です
(1)がこの式の左辺と一緒だったので気づきました
あとはmについての帰納法でm≦l(lは自然数)で成り立つとき〜って書けばいいんではないでしょうか

29 ：

>>27おお！
すごい本格的な問題もあるんですね！
ちょっとチャート式を馬鹿にしていたかもしれません。
ごめんなさい。
確かに具体値に対する類題の経験があると解きやすそうですね。

30 ：

個人的には(1)のようなべき乗より階乗冪を使ってΣk^mを出す計算の方が
見やすいと思うけどね。
特に低次のときは。

31 ：

なるほど。青茶も馬鹿にできんね

32 ：

今日の一問は？

33 ：

生きてる〜？

34 ：

地震でやばいのかね

35 ：

すいませんディスプレイの故障でした。
買い直したので今からupします。

36 ：

5月31日の一問(>>6)の解答および解説動画です。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-130.html
(2)はかなり抽象的です。
他に手段がないので数学的帰納法を用います。
しかもnで帰納法を使おうとすると不可能なので
消去的にmに対する帰納法になります。
Σk^jのときを仮定してΣk^(j+1)のときを示すには、
2式の関係式が必要名ので、(1)に注目しましょう。
Σの中身を2項展開すれば、2式の関係式が得られます。
ただしk^jのみならず、k^(j-1)、k^(j-2)なども登場してしまうため、
k≦jのときをすべて仮定する特殊な帰納法を用いることになります。

37 ：

xyz空間において、平面z=0上の原点を中心とする
半径2の円を底面とし、点(0,0,1)を頂点とする円錐をAとする。
次に、平面z=0上の点(1,0,0)を中心とする半径1の円をD、
平面z=1上の点(1,0,1)を中心とする半径1の円をKとする。
DとKの2つを底面とする円柱をBとする。
円錐Aと円柱Bの共通部分Cの体積を求めよ。
画像でみたい人は↓を参照してください。
http://blog-imgs-44.fc2.com/r/o/n/ron4310/20120601185543680.gif

38 ：

この問題は答えをトリップにしましょう！
答は次のような形をしています。
(ｱ)π-(ｲ)
例えば答が(2/3)π-(5/4)だと思った場合、
名前欄に#2/3,5/4と記入してください。
正解ならばこの書き込みと答えが一致します。
あまり時間がないですが頑張って下さい。。。

39 ：

あ、いつものように英数字は全て半角でお願いします！

40 ：

だめだ、最後の一辺の長さが求められない

41 ：

東大過去問だな
しかし俺がこの手の問題をやるともれなく計算が煩雑になるのは恐らく計算センスの問題だろう……

42 ：

>>41
この積分は結構苦労しますよね。
部分積分とはなんなのか、
よくよく把握しておかねばなりません。
例えば∫[0,1](x^2-2x+10)cosxdxという積分など、
人によって差がでる速度に差が出るかもしれません。

43 ：

重積分を使えばすぐに求まる求積の問題が度々出題されているけど
（本問は俺の持っているＤ社の高専の教科書だと単なる「問」だ）
これは「進んで学ぶ者を歓迎する」っていうメッセージなんですかね

44 ：

>>43確かに言われてみれば多いですね・・・
ただ僕は生徒に「大学の内容を先取りして欲しい」
と思っているわけではありません。
最近の入試では大学の内容を把握していれば楽勝、
みたいな問題は激減しましたし、結局大学も
「何をインプットしているか」よりも
「いかにアウトプットできるか」を
問うている気がするのです。
数学はそもそも高校の範囲すらキチンと
理解するのが難しいですから。。。
いまの教育要綱にはそこまで不満はありません。
物理なんかはいくらなんでも微積を使わないと
かえって理解しづらい分野が多くて可哀相ですけどね。

45 ：

物理に関して同意

46 ：

こんだけ削りまくって何が難しいだよ
内容スカスカのくせにイチエーニービーとか脈絡も何もない細分化するから、無駄に高校生を苦しめてるんだろ
しかも行列なくして複素数復活だと
数学だけは相変わらずゆとり全開だな

47 ：

置換の仕方間違えたのかおぞましい計算式になった

48 ：

あっててくれー

49 ：

>>30去年はΣの中身をPにしていたのですが・・・
予習のできが悪かったので冪乗にしました。
結局できが悪いのでどちらが理解しやすいか微妙ですｗ
今年は値変え問題の方が階乗べきですね。
>>46まぁゆとりであるのは確かですよね・・・
ただ僕は基本高校3年生の東大しか持たないので、
それで不足しているとかはあまり感じないのかも。
高校3年間教えるなら旧旧過程が一番やりやすそう。

50 ：

>>36
解説の差分の公式の下半分
全部符号が逆やで

51 ：

>>50
やってしまった・・・
ご指摘ありがとうございます。
皆さん注意してください。

52 ：

pdfを印刷して解いているんだけど印刷代が結構かさむので、解説に使ってる画像を一枚にまとめてアップロードって出来ますか？

53 ：

>>52
???どういう意味でしょうか？
ブログでなくてＰＤＦダウンロードページからなら
1問ずつまとまってダウンロードできますよ。
それと思いっきり宣伝ですが東大ゼミ生になれば
B5両面刷りでバインダーに挟めるルーズリーフ用の穴が
空いたモノが無料でもらえますよ。
まぁ登録料に3150円かかるので結局高いですが
添削指導とか発展問題の解答とか他にも特典がつくので・・・
印刷料もさることながら分量も大分かさばってしまいますよね。
生徒みてるとかなり重そうです。

54 ：

う〜ん、自信ない

55 ：

こういうのがスラスラ解けたらなあ

56 ：

>>36
解答の(#)も間違ってないかなあ

57 ：

台形の面積を0〜πまで積分であってる？

58 ：

やってみた。

59 ：

どうだ

60 ：

>>56
単なるtypoでしょ。

61 ：

>>56また誤植ですね・・・
本当に申し訳ない。
(n+1)^(j+2)が正しいです。
>>57それは間違いだと思われます。
なぜならば同じ面積でも、
回転軸から遠ければ遠いほど
体積への影響力が増すからです。
xyをrとθに置換したければ、
大学の重積分の知識が必要です。

62 ：

この問題を解くことで、
曖昧だった点がクリアーになって、
もうこの種の問題は
確実に正解出来る気がしてる。
ありがとう。
しかし数学的に有り得ない解答形式は避けて欲しかった。

63 ：

>>62ありがとうございます。
確か慶応の穴埋め問題で
こういう解答形式があった気がします。
それにこうでもしないといくらなんでも
ヒントになりすぎてしまうｗ

64 ：

>>63
とか何とかやり取りしているうちに、
また「当たり前」のことに気付きました。
逆に、問題に汚い数値がダミーで出てきたとしても、
適当に相似拡大・縮小して、
「自分の求めたい面積や体積」にしちゃってもいい
ということですね。
ではさようなら。

65 ：

プライド高そうな奴やな

66 ：

円錐の半径と高さを自由に出来ることに気付き、
「円錐というのが本質的ではない」ことも分かりました。
例えば回転放物面でも大丈夫ですね。
角錐であっても、ある種の対称性があれば大丈夫ですね。
例えば正四角錐でも置き方によっては大丈夫です。
本当によく分かりました。完璧です。

67 ：

6月1日の一問(>>37)の解答および解説動画です。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-131.html
ちょっと体調を崩しまして動画のできがイマイチです。
みなさんも体調管理に気を付けて下さい。

68 ：

xの関数f(x)=-10x^2+ax+bが次の三つの不等式をみたしている。
1<=f(-1)<=5、10<=f(0)<=14、1<=f(1)<=5
このときf(1/2)の取りうる値の範囲を求めよ。

69 ：

この問題も答えをトリップにしましょう！
例えば答えが3/2<=f(1/2)<=17/5だとおもったら、
名前欄に#3/2,17/5と記入してください！
正解ならばこの書き込みのトリップと一致します。
ただし英数字はすべて半角でお願いします。

70 ：

これは簡単ですね

71 ：

あってるかな

72 ：

再び

73 ：

どうでしょ

74 ：

計算ミスったかな

75 ：

なんか別解がありそうだ

76 ：

数式的に解く方法とグラフで解く方法？

77 ：

グラフで解く以外にあるの？？分からん…

78 ：

この手の問題ってグラフ書いたら答え自体は簡単に求まるのに答案書きにくいから嫌い

79 ：

どうかな?

80 ：

てす

81 ：

あ、あれ..?

82 ：

てす

83 ：

みすった

84 ：

6月3日の一問(>>68)の解答および解説動画です。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-132.html
軌跡、通過領域、値の範囲を存在条件で考える際、
かならず同値変形で式変形するよう気をつけてください。
これが分かってないといつまでも
初見の問題が解けなくなってしまいます。

85 ：

半径1の円に内接する正n角形の周の長さをL_nとおく。
(1)極限値α=lim[n→∞]L_nを求めよ。
(2)θ>0のとき、以下の不等式が成り立つことを示せ。
　θ-θ^3/3!<sinθ<θ-θ^3/3!+θ^5/5!
(3)極限値lim[n→∞](n^c)*(L_n-α)が
　0以外の数に収束するような実数cを求めよ。
　またそのときの収束値を求めよ。

86 ：

この問題も答えをトリップにします。
例えば最後の収束値がπ^2/5だと思った場合、
名前欄に#π^2/5と記入してください。
正解ならばこの書き込みのトリップと一致します。
ただし英数字はすべて半角で！

87 ：

よっと

88 ：

どうだろ

89 ：

表記が分かりにくい

90 ：

分数忘れてた、まじワロス

91 ：

こうか？

92 ：

う〜ん、書き方がよく分からん

93 ：

↑トリップのことです。マイナスは分子？分母？とか書き方がちょっと。。。
答えは合ってたみたいだな

94 ：

6月4日の一問(>>85)の解答および解説動画です。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-134.html
背景が長くなりすぎました。
歴史のある面白い問題です。

95 ：

今日の問題は図があるので↓を参照してください。
http://blog-imgs-44.fc2.com/r/o/n/ron4310/2012060514021226e.gif

96 ：

今年の東大の確率の問題とほとんど変わらないですよね

97 ：

>>96よく気づきますね笑
ちなみに2004年の第六問、
2008年の第二問ともよく似ています。
よく練習する必要がありますね。

98 ：

東大でしょっちゅう出そうな……

99 ：

あれ？
もしかしてこれ漸化式2つで解ける？

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