ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513
数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18
「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。
アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。
両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。
ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって
u=α+βω+γω＾2
v=α+βω＾2+γω
という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。
彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。
皆さまの見解を伺いたいと思います。
ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21
ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。
が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。
自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。
ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。
ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。
ガロアの書き方が、現代の主流の置換群の書き方と違う
これについては、ブルーバックス 「ガロアの理論」 中村亨に詳しい
http://www.nikkei.com/life/culture/article/g=96958A96889DE3E2E2E5E5E4E1E2E0EBE2E4E0E2E3E29C9C99E2E2E3;p=9694E3E4E2E4E0E2E3E2E5E3E2E4
ガロアの群論 中村亨著 天才数学者の問題意識探る 2010/6/30付
ただ、ブルーバックス 「ガロアの理論」 中村亨だけでは、本当の面白さは分からない
やはり、アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) を傍に置きながら読まないと
http://www.amazon.co.jp/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB-%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2-%E7%BE%A4%E3%81%A8%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F-%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E7%B3%BB%E8%AD%9C-11/dp/4320011643
出版社: 共立出版 (1975/4/20)
倉田令二朗も、ガロアのアイデアにそった解説を書いている
http://books.google.co.jp/books/about/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%82%92%E8%AA%AD%E3%82%80.html?id=9xqpAAAACAAJ&redir_esc=y
ガロアを読む: 第1論文研究
著者 倉田令二朗
出版社 日本評論社, 1987
http://ameblo.jp/europa2718/entry-11041364474.html
2011-10-08 03:55:22
倉田令二朗著『ガロアを読む』第1論文研究 その2
http://ameblo.jp/europa2718/page-4.html
2011-10-19 03:50:26
破天荒の人 倉田令二朗
現代数学の系譜 11によれば、ガロア論文では、現代的な群や体の定義は出てこない
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論（ガロア-りろん、Galois theory）は、基本的には代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する代数学の理論をさす。
1830年代におけるエヴァリスト・ガロアによる代数方程式のべき根による可解性などの研究に端を発しているためこの名前がつけられている。
数学的構造についての最も初期の研究であり、圏と関手の考え方を含むような非常に現代的なパラダイムにもとづく理論だと見なされている。
実際にガロアは、方程式の研究において未知であった群や体の考えを用いていた。
現代の代数学はこの理論から始まった。ガロア理論を、方程式だけでなくそれの元になった初期の基本的な代数まで含めてもよいだろう。
ガロア理論によれば、"ガロア拡大" と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。
ガロアの人物については下記
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2
エヴァリスト・ガロア
（抜粋）
新資料の発見
決闘の原因と言われていた女性の素性が明らかとなった。
彼女の名はステファニー・フェリス・ポトラン・デュモテルといい、ガロアが最後に暮らしたフォートリエ療養所の医師で所長だったジャン・ルイ・ポトラン・デュモテルの娘であった。
彼らは親子共に親切な人物で、ガロアは次第にステファニーに恋愛感情を抱くようになって求婚したらしく、それに対する5月14日付でのステファニーによる断りの手紙の文面が、ガロア自身の筆跡でシュヴァリエへの書簡の裏に転記されていた。
その内容は文面を見る限り礼儀正しいものであり、少なくとも残された文章を見た印象では彼女が「つまらない色女」と表現されるような人物などではなく、そもそもガロアの遺書が真実を記したものとは言い切れないことが明らかになった。
その上でリガテリは、決闘であるならば勝つ可能性もあるのに、ガロアの死を確信した遺書に対する不自然さを指摘し、決闘の真相を次のように解釈している。
ステファニーに失恋したガロアは、｢民衆の友の会｣の会員と共に民衆を蜂起させる方法を考えていた時、ガロアが自分が犠牲となってその機会を作ることを提案した。
（作中では「D」と名前を明確にしていないが）デュシャートレがその相手を務めることとなり、ガロアは共和主義者の感情を煽るためにわざと無念を強調した遺書をしたためた。
そして、予定通り決闘を装った工作が行われてガロアは死亡し、あとは葬儀において蜂起するだけとなった。
ところが葬儀の当日、フランスの英雄であるジャン・マクシミリアン・ラマルク将軍の訃報が伝わり、ならばそれを契機に蜂起した方が良いと急遽予定が変更された、ということである（その後の暴動の様子はヴィクトル・ユーゴーの『レ・ミゼラブル』に詳しい）。
http://d.hatena.ne.jp/rockmass/20080315
2008-03-15
倉田令二朗、超準解析！（感謝を込めて）
（抜粋）
「まずは基礎論をやって、つぎに、超準解析、そうノンスタンダード・アナリシスをやろう。イプシロンデルタとか馬鹿なことをやっていないで、君たちの技術分野でも、これなら実にスマートに使えるんだ。
計算機による解析とかするんなら、これがいいんだ。」ということになった。
イプシロン-デルタ論法にかわる話を、大学に入って間もない、しかも理学部以外の学生に対してするので、教える側としては相当工夫しないと簡単には理解させることはできない。
それまでも毎回の配付資料の量の多さは異常だったが、ノンスタンダード・アナリシスになってからは、毎回の資料が30枚ほどになっていた。
いずれも汚ったない手書き文字のコピーなんだけど、いま思いだしても、非常に丁寧にわかりやすく作ってあった。
（数学者でもない私が口を挟むのもなんだが、超準解析は、いまでは多くの書籍もでて、当初は「ノンスタンダード・アナリシス」だったのに、いまでは「スタンダード」なアナリシスになった。
大学の講義でも広く扱われている。
倉田令二朗氏のすばらしさは、当然基礎論の大家でもあったのだが、30年もの昔にこの「ノンスタンダード・アナリシス」に最初に目をつけて独自に体系化し、さらに実学分野でも応用できるようにした点は、倉田令二朗氏によるところが非常に大きいと思う。）
”つぎに、超準解析、そうノンスタンダード・アナリシスをやろう。イプシロンデルタとか馬鹿なことをやっていないで、君たちの技術分野でも、これなら実にスマートに使えるんだ。
計算機による解析とかするんなら、これがいいんだ。”>>9
昔、イプシロンデルタが重視された時代があった
高校時代に数学の教師が、高校では極限はこれで済ますが、厳密にはイプシロンデルタみたく言った時代があったんだけど
そして、ワイエルシュトラスが直感を排した厳密な理論を作ったと喧伝された時代があった
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9
カール・テオドル・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラス（Karl Theodor Wilhelm Weierstras, 1815年10月31日 - 1897年2月19日）はドイツの数学者。
姓はヴァイアーシュトラスと表記するほうがより正確である。
うーん、「既存の解析の成果をすべて超準解析で書き換えなきゃいけない」ということもないように思う
超準解析でなにをしたいかってことじゃないかな
例えば、”超準解析の基本的な手法である超積はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されてもいる。”と。つまり、ある分野に限ってでも使えれば良いと
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析（ちょうじゅんかいせき）とは、超実数やその上の関数について研究する解析学の一分野である。無限小解析と同一のものとも見なされる。
そこではイプシロン-デルタ論法によって一度は追放されたと思われた、無限小や無限大という極限に関する古典的で直観的な感覚、すなわち、ライプニッツ流の微積分を数学的に厳密に定式化し、取り戻すことができる。
アブラハム・ロビンソンによって考案された。
超準解析の基本的な手法である超積はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されてもいる。
「〜なにか問題が？〜」：”簡単に言えば、ε−δによる微分は厳密性を得た代わりに、微小量の直感性を失った。”だと思う
過去、日本の多くの数学者が、直感を否定し厳密性を重視した時期があった。だが、２０世紀末から２１世紀は再び”直感”復権の時代だと思う
もっと直感を大切にすべき
http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/mysis1.htm
超準解析１
原初無限小解析は、dxやdyが図形的な考察とともに乱れ飛ぶ直感的に明快な論理体系であった。
この考え方は固有の利点を持っており、オイラー信者の高瀬正仁大先生が著書｢dxとdyの解析学｣で詳細に述べていらっしゃる。
http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/mysis2.htm
超準解析２ 〜なにか問題が？〜
簡単に言えば、ε−δによる微分は厳密性を得た代わりに、微小量の直感性を失った。
導関数は定義されてももはやそれはdfとdxの比ではなく、単なる一つの関数を表す記号なのである。dfやdxは単なる記号であり、単独では意味を持たない。
しかし、導関数が微小量の比であるというイメージはとても納得できるし、コーシー流の微分でもこのイメージを避けて通ることは出来ない。
頭の中のイメージと紙の上の証明とでは、全く違うことをやっているのである。
私は、数学は視覚的に明らかである方がよいと思う。それは、上に挙げた参考文献を書かれた小平邦彦先生もおっしゃっていることである。
数学とは、心の中で起こる数学的現象を解析する学問なのだ。それでは、感覚的に優れた微小量という存在を厳密に扱うにはどうすれば良いだろうか?
私の答えは、超準解析を学ぶことである。
http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/mysis3.htm
超準解析３
超準解析にはその学問的価値に比して、日本語の本が非常に少ない。(ような気がする。)
しかし、H.Jerome.Keisler教授が無料のpdfを自らのホームページでアップロードしている。およそ900ページの超大作である 。(それでいて、freshmanのために執筆したと書いてある!!)ちなみに私は読んでいない。というか読めない。
本章の目的は超準解析を広く流布し、モナドのイメージを掴んでもらうことであるから、公理的な記述は出来るだけ避けようと思う。公理的な記述に飢えたら、このサイトにこだわらず広く本を漁ってほしい。
まあ、こんな利用法もある
ある特定の分野で活用できるだけでも存在意義はあるし
人が直感を取り戻し、その直感を支える道具でも可だろうし
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0982-11.pdf
数理解析研究所講究録
982 巻1997 年115-125
超準解析による経路積分
駿台予備学校中村徹(Toru Nakamura)
http://www.nippyo.co.jp/book/1320.html
超準解析と物理学｜日本評論社 数理物理シリーズ 中村 徹 著 旧ISBNコード4-535-78248-2 発刊日：1998.06 判型：Ａ５判 ページ数：308ページ
無限大を実無限としてとらえる解析学《超準解析》の基礎をわかりやすく丁寧に解説し、
さらにその方法を物理学──エルゴード理論・ボルツマン方程式・経路積分など──に本格的に応用して展開した日本で初めての本。
第２章 超準解析による積分論とその応用
１節 ローブ測度
２節 積分
３節 ブラウン運動
４節 エルゴード定理
５節 ボルツマン方程式
第３章 超準解析による経路積分の構成
１節 経路積分公式の直感的な導出
２節 関数解析による合理化
３節 測度論による合理化
４節 ディラック方程式と*-測度
５節 *-測度からスタンダードな測度へ
６節 シュレディンガー方程式と*-測度
第４章 超準解析からみた位相線形空間
１節 ヒルベルト空間とスペクトル分解
２節 超関数論からの準備
３節 Ｄ’（Ω）の超準表現
４節 ’（Ｒ）の超準表現
溝口紀子氏。どうでも良いが、日経サイエンスに記事が出ていた。人の評価を気にせずやったと
http://www.saruhashi.net/latest.html
第３１回 猿橋賞受賞者 溝口紀子氏の研究業績要旨 04/19/2011 17:16:03
受賞研究題目「爆発現象の漸近解析」
“Asymptotic ysis of blowup phenomena”
溝口紀子氏は、べき乗の非線形項をもつ半線形熱方程式をはじめとする非線形放物型偏微分方程式の爆発現象の研究において目覚ましい成果を挙げてきた。
微分方程式の解の最大値がある時刻Tに近づくと無限大に発散するとき、その解は時刻Tで爆発するという。
べき乗の非線形項をもつ半線形熱方程式は燃焼現象を記述するモデルとみなされ、解の爆発は「発火」を意味する。
1960年代半ばに藤田宏氏によって先駆的な結果が発表されて以来、爆発は微分方程式の分野で最も活発に研究されてきたテーマのひとつである。
微分積分学の授業で教わるような、座標変数と時刻の関数として陽に表すことができる解は強解または古典解とよばれる。
解が爆発すれば、その時点で、発散した値からの解の延長は不可能であり、解は強解としての意味を失う。
しかし、関数に適当な試験関数を乗じて方程式を積分することで得られるような、微分の概念を広げた方程式を満たす解が存在する可能性があり、このような解は元の方程式の弱解とよばれる。
爆発後弱解としても延長不可能な爆発を完全爆発、爆発後も弱解としては延長可能な爆発を不完全爆発とよぶ。
燃焼を例にとると、完全爆発は「完全燃焼」に、不完全爆発は「不完全燃焼」に対応すると考えられる。
半線形熱方程式の爆発に関する研究は長年完全爆発を対象としてきたが、1990代後半になって、ある条件のもとではこの弱解は有限時刻で爆発することが証明され、
この時点ではじめて不完全爆発する解の存在は認識されたが、不完全爆発する解の爆発後の振る舞いについては未解決のまま残されていた。
このスレは、超準解析スレじゃない
だが、「数学に直感を取り戻そう！」というスレであることは間違いない
難しいことをやさしく
複雑なことを本質を抽出して単純化する
これぞ数学の真髄（こころ）
数学に直感を
複雑なことを図式化し
見える化する
細部に立ち入る前に全体像を把握する
これが大事だと思うよ
これぞ数学の真髄（こころ）
>>1
そろそろ主題に戻ろう
>ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？
ガロアの原論文（「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」）を読むための３つのポイントは
１．ガロア分解式（リゾルベント）
V=Aa+Bb+Cc+・・・
a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる
２．置換群のガロア記法
a b c d・・・・k
b c d・・・・k a
c d・・・・k a b
・・・・・・・・・・・
k a b・・・・・i
注）今日、置換は普通はコーシーの記法
（a b c d・・・・k）
（a b c d・・・・k）
（直上の２行は大きな括弧で括られていると思ってください）
（コーシーの記法は説明不要と思うが、下記などが参考になろう）
http://homepage3.nifty.com/asagaya_avenue/apl/association/2011/Nishikawa_nov2011.pdf
>>15 つづき
３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応
（V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V,
（V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',
（V''）| φV'',φ1V'',・・・・,φm-1V'',
・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・
（V''*）| φV''*,φ1V''*,・・・・,φm-1V''*,
注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）
１．ガロア分解式（リゾルベント）は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P28
２．置換群のガロア記法は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P30,31,36など
３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P31
に記載がある。
なお、置換群のガロア記法は、ガロアの群論 中村亨著>>2に詳しい説明がある
ガロア分解式（リゾルベント）は、「ガロアを読む」倉田令二朗>>4 P110あたりに詳しい説明がある
ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、あまり既存の本では強調されていない
>>16
１．ガロア分解式（リゾルベント）は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P28
２．置換群のガロア記法は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P30,31,36など
３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P31
に記載がある。
なお、置換群のガロア記法は、ガロアの群論 中村亨著>>2に詳しい説明がある
ガロア分解式（リゾルベント）は、「ガロアを読む」倉田令二朗>>4 P110あたりに詳しい説明がある
ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、あまり既存の本では強調されていない
下記藤原松三郎 代數學 P106あたりの記述が近いが、「ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応」という捉え方はしていない
http://www.rokakuho.co.jp/data/books/0026.html
代數學 第二卷
A5／765頁 9450円（本体9000円＋税5%） 978-4-7536-0026-7
藤原松三郎（理学博士） 著
第十一章 がろあノ方程式論
1. 代數的數體／2. 方程式ノがろあ群／3. がろあ分解式ノ簡約／4. 代數的ニ解カレル方程式／5. 圓周等分方程式／6. あーべる方程式／7. 素數次ノ方程式
ガロアの時代
今日のように、群をある演算（積）で閉じた集合として捉えられていない
体の漠然とした概念はあったろうが、同じようにある演算（積と和）で閉じた集合として捉えられていない
そこでガロアが今日の体の代わりに考えたのが、”ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”だと思う
>>16
さて、ガロアは
V、V'、V''、・・・・、V''*
注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）
を使って、次のガロア方程式を作る
F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）
１．この方程式は、例えば一般の５次方程式なら根の置換は１２０個あり
２．V、V'、V''、・・・・、V''*も、１２０個あり（５次の置換で異なる値をとるから）
３．F(x)は１２０次の方程式
４．そんなものを考えてどうなる？
５．どっこい、F(x)の１２０次の方程式をガロアは体の理論の代用に使ったのだ
例えば、重根を持たない場合、差積から判別式を作り、判別式の平方根を
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）に添加すると
ガロア方程式は、二つに分けられるだろう
V、V'、V''、・・・・、V''*の内から、>>29の置換との対応で、偶置換に属するものだけを取り出し（それらは６０個）、並べ替えて
V、V'、V''、・・・・、V''**として
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）を作ることができる
残りの積は、奇置換に属するものの積
こう考えることにより
ガロア方程式F(x)に補助方程式の根を添加することで、ガロア方程式F(x)を分解し、次数を下げることができる
これによって、ガロア方程式F(x)を体論の代わりに使って、ガロア理論を展開することができるのだ
残念ながら、複雑な数学記号が掲示板では使えない
例えば、置換のコーシーの記法は、２行にわたる括弧が必要だが、ここでは使えない
そこらの読みにくさはご容赦願いたい
その制約の中で出来るだけ分かりやすくを心がける
そうそう、よろしくね。怪しいところがあれば、指摘して
高校生の諸君は、図書館に
アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) >>4は、あるかい
ブルーバックス 「ガロアの理論」 中村亨>>2も是非併読を
それから、倉田令二朗ガロアを読む>>6があれば完璧かな
>>18 補足
差積と判別式は、下記に詳しい
ここでは、判別式は重根の有無を見分けるためと書かれている
しかし、差積（＝判別式の平方根）は、偶置換（＝交代群の置換）で値が変わらないということも重要なのだ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E6%A0%B9_(%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F)
（訂正）
V、V'、V''、・・・・、V''*の内から、>>29の置換との対応で、偶置換に属するものだけを取り出し（それらは６０個）、並べ替えて
↓
V、V'、V''、・・・・、V''*の内から、>>16の置換との対応で
（注：前スレからの再録で、リンクの番号がずれているものがあります。気付けば直しますが、気付かず旧のママのものがあればご容赦ください。）
>>18
補足
ガロア方程式という言葉は、倉田>>4のP110では
「その任意の根が他の根の有理式（k上の）で表されるような方程式のことを、今日ガロア方程式と呼んでいる」とある
しかし、ここでは狭義にガロア分解式を根とするF(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）をガロア方程式と呼びたい
それが、ガロアの頭の中にあったものだったろうから（ガロア論文で扱われているのはこれだ）
そして、判別式の平方根を添加することで
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）
は
F(x)＝F’(x)F’’(x)
と二つに分けられ
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：偶置換に属するものだけを取り出した
F’’(x)：奇置換に属するものだけを取り出した
となる
そして、これを素数Pのべき根に一般化すれば
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）
は
F(x)＝F’(x)F’’(x)・・・・F’p(x)
とp個に分けられ
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：ある部分群に属するものだけを取り出した
F’’(x)・・・・F’p(x)：ある部分群の共役に属するものだけを取り出した
となる
これが、ガロアが現代の集合論的体論の代わりに頭に描いていたものだろう
補足
方程式のガロア群をGとすれば、ある部分群をHとして
G=H＋τ1H+τ2H+・・・・+τp-1H
と左剰余類に分割されるべき（倉田>>4 P139 式(7)）
ここに、τ1、τ2、・・・・、τp-1は、ご存知Gを剰余類分割するときに登場するGの要素
なので、部分群Hの位数は群Gの位数をPで割ったものになる
補足
なお、議論を簡単にするために
ここでは、念頭に置いているのは、一般の５次方程式で、ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）はkで既約で、重根を持たないと単純化している
>>20
>これが、ガロアが現代の集合論的体論の代わりに頭に描いていたものだろう
こう考えると、ガロアの原論文の意図が見えてくる
例えば、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36でガロアは
４次方程式の解法について、上記のガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法>>28、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応>>29の３点セットを念頭に解説する
というかこの３点セットを念頭にしなければ、なにを書いているか理解できまい
>>21 つづき
”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36でガロアは
４次方程式の解法について
１．まず、（判別式の）平方根を添加することで、全体で24個の置換を含む（ガロア）方程式の群（＝４次対称群）は２つに分解するという
これは、>>20に書いた通り
２．そこで、12個の置換群（これが偶置換のみで構成される交代群であることは現代数学の常識ではあるが）
３．４次方程式の根をa,b,c,dとして、この群をガロアは下記のように置換群のガロア記法で書き下す
a b c d, a c d b, a d b c
b a d c, c a b d, d a c b
c d a b, d b a c, b c a d
d c b a, b d c a, c b d a
これで、24次のガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）が
12次のF'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：偶置換に属するものだけを取り出し次数が下がった
a b c d, a c d b, a d b c
b a d c, c a b d, d a c b
c d a b, d b a c, b c a d
d c b a, b d c a, c b d a
この１２個の置換を含む群（＝４次の交代群）を立て４行の群（＝位数４の群）に対し、巡回置換（b,c,d）との積と見ることができる
そこで、３次の累乗根を添加することで、>>45-46のようにさらにガロア方程式の次数が下がる
群は
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
に縮小し、ガロア方程式も４次式になる
これは、
a b c d, c d a b
b a d c, d c b a
と見ることができる
あとは、ガロアが書いている通り
平方根を添加することでガロア方程式も２次式になり、４次方程式が解けることになる
ここに示したように、置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすくし、群の分解にガロア方程式の次数低下が対応していると見ることができる
これが、ガロアが頭の中に描いていたガロア理論の原型ではなかったか
>>24 補足
”群
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
は、
a b c d, c d a b
b a d c, d c b a
と見ることができる”
これは、クライン群などと呼ばれる
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4
クラインの四元群とは、巡回群でない位数が最小の群である。また、位数2の巡回群の直積と同型である。
クラインの四群元の単位元以外の元の位数は、2である。
また、交代群 A4 の正規部分群
V = < identity, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >
と同型。
まとめよう
１．ガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応の３点セットが、ガロア理論の原型
２．そして、ガロア分解式からガロア方程式を作る
３．平方根を添加すると、ガロア群は二つに分解し、その群の分解に対応してガロア方程式を二つに分解することができる
４．同様にして、これを素数Pのべき根に一般化すれば、ガロア群はP個に分解し、その群の分解に対応してガロア方程式をP個に分解することができる
５．このようにして、ガロア群の縮小に伴ってガロア方程式の次数を下げることができる
この様子を、ガロアは４次方程式について、解説しているのだ（ ”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36
「置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすく」を補足
群
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
はコーシー流（現代の群論の教科書はこれ）では、次の４つの置換で書く
（a b c d）
（a b c d）
（a b c d）
（b a d c）
（a b c d）
（c d a b）
（a b c d）
（d c b a）
ここで、一番上の置換は恒等置換でｅと書かれたりする
（つづく）
で、これだけだと、メリットが少ないと見えるかも
だが、群の分解を考えると
a b c d, c d a b
b a d c, d c b a
と見ることができる”ってところでメリットがでる
１．つまり現代のコーシー記法だと下記
（a b c d）, （a b c d）
（a b c d）, （c d a b）
（a b c d）, （a b c d）
（b a d c）, （d c b a）
２．しかし、こうも見ることができる
（a b c d）, （c d a b）
（a b c d）, （c d a b）
（a b c d）, （c d a b）
（b a d c）, （d c b a）
つまり、ガロアの記法は「１行目の順列の並びが省略されたコーシー記法」だと
そして、上記２．の見方は、ガロアの記法の真骨頂
２．左の列の２番目は、（ab）と（cd）が入れ替わっている。これを番号に書き直すと（12）と（34）が入れ替わっている。右の列も同じく（12）と（34）が入れ替わっている。
そういう目で、もう一度>>15のガロア記法を眺めて欲しい。ガロアが見ていたものが見えるだろう
”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”の最後P41で
定理VII
n=5とせよ；群は次のようなものであろう：
a b c d e, a c e b d, a e d c b, a d b e c
b c d e a, c e b d a, e d c b a, d b e c a
c d e a b, e b d a c, d c b a e, b e c a d
d e a b c, b d a c e, c b a e d, e c a d b
b c d e a, d a c e b, b a e d c, c a d b e
ここで、a→0, b→1, c→2, d→3, e→4と置き換えると
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4
そしてガロアが見ていたものは
１．最初の列を縦に、順列0 1 2 3 4に対し、＋１mod 5(5を法として計算)で一番左の列の群（部分軍＝長さ５の巡回群）が得られ
２．横に、第一番目の列の群
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
を、２倍 mod 5(5を法として計算)すれば、２列目、２列目を２倍して３列目・・と
３．それを、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群（G）前後の記述で言えば
ガロアが見ていたものは
Xk, Xak+b、あるいはf(k+c)=f(k)+Cだと
(ここは、上記”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”と合わせて読んでください)
難しいことをやさしく、複雑なことを本質を抽出して単純化する
複雑なことを図式化し、見える化する
細部に立ち入る前に全体像を把握する
これぞ数学の真髄（こころ）
ガロアの見ていたものが、少し見えてきただろうか？
>>18
>ガロアの時代
>今日のように、群をある演算（積）で閉じた集合として捉えられていない
補足
ガロアは、群を群に属する二つの置換S、Tの積STが群に属することは明記している。
”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP27だ
この事情は、ガロアの群論 中村亨>>2のP211に詳しい
ただ、ガロアが現代群論のように、集合論を基本として、単位元、逆元、積で閉じた集合として群を考えていたわけではなかった
だが、方程式のガロア理論を語るには十分だった
ただ、他の人にそれを理解させるためには、群の概念を現代のように明確にした方が良いわけで、そこがガロアの現論文が分かりにくいといわれる原因になっている
ただ、>>33で見たように、置換群のガロア記法>>19は、現在のコーシー記法より、群の分解の仕方や、置換の相互の関係を見やすくし、内容を直感的に把握するのに優れていると思う
ガロアは群論の創始者であり、群論が一番有名だ
が、下記「ガロアへのレクイエム」や「近世数学史談」によれば、楕円関数論についても当時の時代を凌駕する研究をしていたようだ
山下純一さんの本「ガロアへのレクイエム」 (現代数学社)
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kojihas/kojihas-jM.html
山下純一さんの本「ガロアへのレクイエム」 (現代数学社)にお世話になりました。
近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治
http://www.amazon.co.jp/%E8%BF%91%E4%B8%96%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2%E8%AB%87-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%96%87%E5%BA%AB-%E9%AB%98%E6%9C%A8-%E8%B2%9E%E6%B2%BB/dp/4003393910
>>28
なお、この位数20群は、下記ではB'5 メタ巡回群と書かれている
この元吉文男氏の5次方程式の可解性の高速判定法は面白くて参考になった
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf
5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著 - 1993
ほぼ同じ内容が下記（こちらの方が年代が後で少し詳しい）
http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf
5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01
追伸
”5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著”は、本当に面白くて参考になった
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4
この位数20のメタ巡回群B'5 >>31
元吉文男氏は、これを利用して5次方程式の可解性の高速判定法を考えた
つまり、5次方程式のガロア群がもともと位数20のメタ巡回群B'5 になっていることが、5次方程式が可解である条件なのだ
一般のガロア群S5の位数は120。120/20＝6次の式が、”P の中に根を持つならば元の多項式のP でのガロア群はB05 の部分群である”
ここに、Pは5次方程式の係数が属する体
もう少し精密には
体P 上の５次の多項式f(x) = x5-a1x^4+a2x^3-a3x^2+a4x-a5
x1, x2, x3, x4, x5 を不定元とし、
h = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1 - x1x3 - x3x5 - x5x2 - x2x4 - x4x1 (1)
としたときに多項式
g = h^2
は、B'5 の置換で不変であり、A5 やS5 の置換では不変ではない。
g にS5 のすべての元を作用させたときに生成される多項式のうちで異なるものは６個
この６個を根に持つような６次方程式を考える
ここでは、アスキーベースなので、添字やべきがうまく書けないので、下記文献を見てほしい
http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf
>>32
”１．ガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応の３点セットが、ガロア理論の原型”と書いた
>>20のアナロジーで言えば
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*） （120次）
は、方程式のガロア群が位数20のメタ巡回群B'5 になっている場合
メタ巡回群B'5に属する20個のV、V’・・・を取り出し
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：B'5に属するものだけを取り出した20次の式
以下、B'5の共役類に分けて
F(x)＝F’(x)F’’(x)・・・F’’’’’’(x)
のように、ガロア方程式F(x)（120次）が、20次づつ6つの式に分けられることがイメージできるだろう
これがガロアが現代の体論と群論をベースとした理論の代わりに、頭に浮かべていたことではないだろうか
最近気付いたが、下記Jean-Pierre Tignolも詳しい
というか、P156の定理10,7など、ガロア論文>>4のP39のラグランジュ分解式のn乗を扱っていることや補助方程式の次数が(n-2)!になることと、完全に一致している
一致という意味では小杉の方がお話風で読みやすいが
ともかく、こういうラグランジュが到達していた地点を見ると、ほとんどガロアに近い
というか、ガロアは完全にラグランジュを下敷きにしていると思う
その痕跡をかなり消しているが
ただし、方程式のガロア群とその分解を明確に意識して理論を展開したという点では、やはり天才ではあるのだが
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/shinkan/shin0503_03.html
代数方程式のガロアの理論（ISBN4-320-01770-6）Jean-Pierre Tignol著 新妻 弘訳 A5，360頁，3200円
第10章 ラグランジュ
10.1 方程式の理論の成熟
10.2 既知の方法に対するラグランジュの考察
10.3 群論とガロア理論の最初の成果
（引用おわり）
Jean-Pierre Tignol「代数方程式のガロアの理論」P307に
”付録：ガロアによる置換群の表現”としてガロア記法>>27の解説がなされている
これはなかなか興味深いね
P311には、
「順列群というガロアの記述において、疑いのない明確な点は部分群、特に正規部分群の概念がこれから見ていくようにかなり自然なやり方で発生することである。」と書かれている
つまり、正規部分群こそがガロアの理論の核心であり、オリジナルな点だが、それはガロア記法があったればこそと言えよう
なお、ブルーバックス「ガロアの理論」中村亨>>2は高校生向けのガロア記法の解説であり、
Jean-Pierre Tignolは、大学の講義用の専門的な解説になっているので、両方読まれることをお勧めする
>>14
補足
数学に直感を取り戻そう！
難しいことをやさしく
複雑なことを本質を抽出して単純化する
複雑なことを図式化し見える化する
細部に立ち入る前に全体像を把握する（ジグソーパズルと全体像）
途中で分からなくても最後まで通してみる
視点と切り口
思考の補助線
複数の本を見る
こんなところが、このスレの重要キーワードだ
補足
思考の補助線って本があるんだね
ある数学的対象があって、数学の理論がある
「補助線は何だ」という視点で学んでゆくことは大事だと思う
http://rinribenkyouhou.seesaa.net/article/155740162.html
思考の補助線: 文系国公立大学受験・勉強法ブログ(^o^)／ 2009年08月08日
補足
（再録）
ある事象Aについて、見る視点によって、見え方が違うという場合がある
というか、多少複雑な事象については、視点を変えてみる必要がある場合が多い
例えば、Aが四角形の形に配列された煙突だとすると、視点によっては３本に見えたりする
上空から見れば、配列は一目瞭然としても、上空に上がれない場合にはその配列を周囲から調べるしか配列を知る方法はない
>>35
補足
>視点と切り口
モース理論というのがある
複雑な対象を切り口で考えるのだと思う（下記）
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~hashimot/tateshina.htm
『ADHM 構成』歴史おぼえがき 2002 年8月
(抜粋)
素粒子論は湯川秀樹の中間子論に始まる．彼の理論には二つの特徴があった．一つは新粒子を導入したこと，もう一つは場の理論の枠内にとどまったことである（『場の理論』は平坦な抑揚で読むこと）．
一方，西洋を中世から近代へと移行せしめた『オッカムの剃刀』という格率のせいなのか，ヨーロッパの物理学者たちは新粒子の導入に慎重であり，
また，若き日に量子力学の開拓者たちであった彼らは，subatomic な領域に足をふみいれるにあたり，自分たちがつくりあげた量子力学を惜しげもなく捨てるというより過激な方向にむしろ魅力を感じていた．
東洋人であって西洋近代の格率のもとにいなかったことと，時期的・地理的要因により量子力学に後から追随する位置にいたことが，湯川を独創的にした，という見方もある．（小平邦彦の複素多様体論についても同様のことが言えるかもしれない．）
３．現代数学という衝撃
話をもどそう．つづいて物理学者たちの競争は多重インスタントンへと向かう．アノマリーの Jackiw や当時まだ無名の Witten も参戦してきた．そんな中， 4 人の数学者が 4 次元ユークリッド空間上の多重インスタントンを完全に分類した論文を Physics Letters に提出した．
それが ADHM である．物理学者にとって重要かつホットな問題に対し，そのさなかに数学者のみによるインパクトある仕事が提出される，というのは過去に例のないことではなかったか．
しかもその手法が，それまで物理学者たちには全くなじみのなかった代数幾何という分野の，それも層係数コホモロジーの言語で書かれた現代的なものであった．
Polyakov は「現代数学が役に立つのをはじめて見た」と周囲に漏らしたと伝えられる．この衝撃が若き日の Witten の眼を現代数学へと向けるきっかけとなったのではないかと推察される．
（引用つづく）
>>43
（引用つづき）
Bott は各地の物理学者たちの前で，Atiyah と彼とのゲージ理論について講演して回ったのだが，その反応は熱いものではなかった．しかしそんな中にあって一人の男が鷹のように Bott のことばを追ってきた．Witten である．
彼は Bott の講演から，後に言う Witten のモース理論を着想する．後日，Bott は彼から一通の手紙を受けとる．そこには，「Bott 先生，わたしはついにモース理論がわかりました！」と記されていた．
それは奇しくも，かつての弟子 Smale が直伝のモース理論にさらに磨きをかけついに高次元ポアンカレ予想を解決したときに Bott に告げたのと同じことばだったという．
５．あれでもなくこれでもなく
Donaldson や Kirwan といった "Atiyah の子どもたち" は，Bott の来訪を毎回サンタを待つように楽しみにしていたという．
Donaldson の論文 "An application of gauge theory to four dimensional topology" の題が Bott の若い頃の論文の題と似ているところに，そのあたりの雰囲気が表れているように思う．
Donaldson のこの論文は，ADHM とも Atiyah-Bott とも違う道を切り開くものであった．
すぐ近くで誕生した ADHM も Atiyah-Bott も深い理論であり，また当時できたばかりだからやることはたくさんあったはずである．
事実 Donaldson はそれぞれに関連する仕事もしている．しかし彼は，それとは別に 4 次元トポロジーへの応用という思いもよらぬ方向へと一歩を踏み出した．
彼の理論は，Rochlin の定理しかなかった 4 次元トポロジーの状況を打開しただけでなく，異種 4 次元ユークリッド空間という存在をわれわれに示してくれた．
こんなものがあると知っただけでも数学を勉強した甲斐があったというものではないか．Witten はこう言っている，「Donaldson 理論は時空の幾何を理解する鍵である．」
（引用おわり）
モース理論までいかなくとも、製図の正面図は平面図がある
立体を平面に表す
もちろん、１面では無理で、３面を必要とする
同じように、複雑な対象は一つの切り口だけでなく、複数の切り口を使うべし
これも面白い
http://www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html
眠りから覚めた微分ガロア理論 梅村 浩 多元数理科学専攻教授 名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15
彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
（１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
（２）ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。
方程式の場合、目のつけどころであるカナメの部分がガロア群である。ヒヨコのお尻と違って、方程式の対称性であるガロア群は隠れているので、発見するのが難しいのである。
ガロア理論は上に述べた歴史的難問の解決に役立っただけではない。19世紀以降の数論、代数幾何学の発展はガロア理論なくして考えられない。たとえば300年を越える眠りから覚めたフェルマの最終定理の証明もそうである。
忘れ去られたアイデア
代数方程式とならんで大切なのが微分方程式*4である。科学の多くの問題が微分方程式記述できることからもその重要性が推察できよう。
代数方程式においてガロア理論が重要な役割をはたすのを見て、リー*5はガロア理論を微分方程式に対してもつくろうという着想をもった。微分方程式のガロア理論は微分ガロア理論とよばれている。つまり、リーは微分ガロア理論をつくろうと考えた。
ところがこれは難しい問題である。その理由は2つあって、1つは理論が本質的に無限次元*6であること（略）
有限次元の理論さえなかった当時、リーは有限次元の理論からつくり始めなければならなかった。リーのアイデアの実現は20世紀の初めまで盛んに試みられたが、問題が難しいこともあって放棄され、ついには忘れ去られてしまった。
私は1996年に、20世紀初頭に活躍したフランスの数学者ヴェッシオ*7の晩年の1つのアイデアを現代代数幾何学*8と結びつけることにより、新しい無限次元微分ガロア理論を提案した。
数年後海外で話題となった。現在はこの分野の研究に注目する数学者が増えてきた。無限次元微分ガロア理論は数十年の眠りから覚めて復活したのである。
1980年代からひそかにこの分野の重要性に注目して、研究をしていた私にとって、復活のための一翼を担うことができたのは、うれしいことである。
”（１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。”
この視点が気に入った
「隠れた対称性」というキーワードが気に入った！
訂正
モース理論までいかなくとも、製図の正面図は平面図がある
↓
モース理論までいかなくとも、製図の正面図や平面図がある
前スレ432で紹介の
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/432
高瀬正仁氏のブログ これは一読の価値あり
（URLが通らないので、右記のキーワードで検索乞う： 日々のつれづれ オイラー研究所の所長 ）
2012-04-14-Sat ガウスの数学日記 1 発見されるまで
>（そろそろ新しい話題を）
補足
旧スレからいろいろ引用したのは、いわゆる「テンプレ」です
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1415823529
２ちゃんねるに「テンプレ」という単語を時々見かけます。テンプレとは何ですか？？ 2008/4/8
（抜粋）
長期になると自然発生的にスレッドを説明する雛形が出来、
>>1〜>>10辺りまでの始めに書かれている事を指しています。
（引用おわり）
さらに補足
新スレを立てると、三日間くらいで30スレを超えないとDAT落ちする場合がある
それを防ぐために、旧スレからの引用で「テンプレ」をかねて30超えくらいまで埋めたのです
>（URLが通らないので、右記のキーワードで検索乞う： 日々のつれづれ オイラー研究所の所長 ）
補足
これ（URLが通らない）は、たまに経験する
普通は、宣伝に貼られたURLを禁止するためにそのURLを書き込めなくする場合が多い
高瀬正仁氏のブログ自身が問題なのではなく、何か類似のURLが問題で、おそらくURL中のキーワードでチェックを掛けていて、巻き込まれたと思う
キーワード： 日々のつれづれ オイラー研究所の所長
で検索すると、いろいろヒットしてこれはこれで面白い
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/index.html
大阪大学 落合 理 の ホームページ
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/work.html
（PDFファイルがある）
それ以外の原稿など
玉原数論幾何研究集会(2011/5/30-6/2) におけるBeilinson-加藤Euler系のまとめ原稿 (pdf.file)
日本数学会秋季総合分科会代数学特別講演の発表原稿 (pdfファイル)
雑誌「数学」（日本数学会）の２００８年７月号記載
「p-adic Automorphic forms on Shimura Varietiesの書評」 ---肥田理論の紹介--- (pdfファイル)
２００７年秋エコール・ノルマルでの勉強会における自分の発表原稿（\varphi-\Gamma-moduleの計算について） (pdf.file)
パリ北大学で主催した 勉強会``モジュラー形式のp-進L函数" (２００６年秋)で自分の発表分の解説記事
``楕円モジュラー形式の1変数p-進L函数(仏語)” (pdf.file) と``楕円モジュラー形式の2変数p-進L函数(英語)” (pdf.file)
雑誌「数学セミナー」（日本評論社）の２００６年３月号記載 連載「現代代数学のあゆみ」の第１７回目 ``ワイルズ"の原稿の古いバージョン (pdfファイル)
Japan-Korea joint number theory seminar (2006/1/5-8) ``p-adic L-functions for Galois deformation spaces and Iwasawa Main Conjecture "のOHP原稿 (pdfファイル)
群馬大学工学部における(物理、工学者向け)サーベイトーク (2005/8/5) ``Weil予想と数論幾何"のOHP原稿 (pdfファイル)
Greenberg's conference(2005/6/13-17) ``Greenberg's view on generalizing Iwasawa theory via Galois deformations"のOHP原稿 (dviファイルと (pdfファイル)
Iwasawa2004(2004/7/5-9) ``On the two-variable Iwasawa theory”のOHP原稿 (psファイルと (pdfファイル)
大阪大学談話会(2003/10/27) ”岩澤理論の一般化とガロア表現の変形空間”のOHP原稿 psファイル (1,2,3) とpdfファイル
>ジグソーパズルの各ピースを見ていても理解は進まない
>だが、各ピースを見ないと、全体像が理解できない。数学の本を読むのはなかなか大変だ（一部の天才は別として）
>
>わんこら式>>449というのも一理ある
>前の方で分からないところが出てくる。だが、最後まで読むと、後ろの方で関連したところが出てきて、「ああ、そうか」と分かる場合がある
>
>早く最後まで読んで、また前から読むべし。全体像を掴みながら
>これが良いのでは・・
昔なにかで読んだが、数学科の先輩に「高木の解析概論は１週間くらいで読め」と言われたと
そのときはびっくりしたが、いま思うと「ちんたら読んでもかえって分からない」という意味だったのかも
ジグソーパズルの各ピースを見て「きれいな色のタイルだ」と思ったとしても
それだけでは、全体の絵柄は分からない
”微分積分”＝少し（微）分かった。分かったつもり（積もり）と
だが、初等的な”微分積分”からさらに進んで、微分方程式、偏微分方程式、複素関数、演算子法、フーリエ変換、超関数・・・と進んでいくと、こてこてしたイプシロン−デルタとは違った世界が見えてくる
”微分積分”をさらに高い立場から俯瞰し把握することが真の理解ではないだろうか？
初等的な”微分積分”の範囲で、いくら理解しようともがいても決して到達できない高みに立て
>つまり、ガロアはラグランジュ、アーベル、ガウスといった巨人たちの肩の上に乗って仕事をしたのだ
>もちろん、巨人たちの肩の上に乗ること自身大変なことなのだが、ともかく遠慮なく巨人の肩の上に乗れ
ガロアは天才だった、巨人の肩に乗る・・
巨人の肩に乗るにも基礎体力が必要で容易なことではない
が、遠慮はいらない
グロタン師であれ、佐藤幹夫であれ、肩に乗って良い
かれらもそうして来たのだから・・
エベレスト
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%99%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%83%88
1920年代からの長きにわたる挑戦の末、1953年に英国隊のエドモンド・ヒラリーとシェルパのテンジン・ノルゲイによって初登頂がなされた。（1953年、酸素装備の改良、登攀技術の研鑽などによって満を持したイギリス隊が送り込まれる。）
1970年5月11日 - （日本人初登頂） - 松浦輝夫・植村直己
1975年5月16日 - （女性初登頂） - 田部井淳子
（引用おわり）
最初にエベレストに登った人はえらいが
いまから登る人は、それなりに準備をしてゆくべき
遠慮はいらない
グロタン氏が登ったエベレストに無酸素初登頂する必要はないだろう
地図（ランドスケープ）を持つ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%8A%E8%83%BD%E5%BF%A0%E6%95%AC
伊能忠敬
シーボルトが国外に持ち出した伊能図の写本は、日本に開国を迫った際にマシュー・ペリーも持参している。
ペリーはそれを単なる見取図だと思っていたが、日本の海岸線を測量してみた結果、きちんと測量した地図だと知り、驚愕したと言われる。
（引用おわり）
ペリーも黒船で日本に来るときに伊能図を準備している
（前スレ294より再録）
>うん、そうそう。私もソレは全く同じ印象ですね。だからグロタンがや
>った事は『数学が正しく行われる場所を与えた』という事で、正に新約
>聖書の役割を果たしていると思いますね。
猫さん、乙です
グロタンディークの頭の中には、ランドスケープがすでにあって、それを文字にしていった
そういう風に考えます
そうでなければ、あの仕事量は理解できない
佐藤幹夫も同様で、ランドスケープが先にあった
佐藤の場合は、自分で書かずに弟子が書いたんだけれど
佐藤幹夫は偉大です
グロタンディークと同様に、彼の前と後とでは世界が変わった
>斎藤毅
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/
Takeshi Saito's Home Page: 和文のページ
（余談：和文の方が情緒が出ているね）
>完全な証明をつけるのですから, 図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです.
これと反対のことを言おう
ナスカの地上絵、遠目の富士
ナスカの地上絵
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8A%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%81%AE%E5%9C%B0%E4%B8%8A%E7%B5%B5
あまりにも巨大な絵が多く、空からでないとほとんどの地上絵の全体像の把握が難しい。
遠目の富士
http://www.marino.ne.jp/~rendaico/kakuei/phirosophy_zinbutuhyo.htm
「遠目の富士だ。遠くに見る富士は颯爽として美しい。近くに行けば瓦礫の山さ。石ころばかりだ 」。
（引用おわり）
遠目の富士は引用文と趣旨がだいぶ違うが、ナスカの地上絵も言いたいことは、近くでは単なる石ころだが離れて見ないと意味わからん場合もあるよと
補足
数学は語学と似ているところがある
毎日やって慣れることが良いと思う
英語の辞書を覚えても、それだけでは英語をマスターしたとは言えない
文は単語から出来ているからと、文を単語に分解しただけでは意味はとれない
ユークリッド原論
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%8E%9F%E8%AB%96
論証的学問としての数学の地位を確立した古代ギリシア数学を代表する名著。
『原論』ではいくつかの定義からはじまり、5つの公準（要請）と、5つ（又は9つ）の公理（共通概念）が提示されている。
議論の前提となる点や線、直線、面、角、円、中心などの概念が定義され、次のような5つの公準を真であるとして受け入れることにより、作図の問題の基礎を明確にしている。
（引用おわり）
定義からはじまり、公理、定理とつづく
その一つ一つは、単語だ
全体を一つの文章として理解しようとする努力がなければ、いつまで経っても理解できない
というか、まず全体像（ランドスケープ）を持つことが可能ならば、理解は容易になるだろう・・
遠慮はいらない、いまからエベレストに登る人は、利用できるもの何であれどんどん使えば良い
英語のwikipediaに対する一つのテクニックとして、まず日本語のwikipediaの検索ページを開く
そして、左端の言語のEnglishのところをクリックする
そうすると、日本語のwikipediaの検索に対応する英語の記事に飛ぶことができる
数学では、英語のwikipediaの記事が圧倒的に情報量が多いね
で本題は類体論
日本語ではこれだけ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A1%9E%E4%BD%93%E8%AB%96
で、左端の言語のEnglishのところをクリックすると・・、おおこんなに情報が・・
http://en.wikipedia.org/wiki/Class_field_theory
で
http://en.wikipedia.org/wiki/Class_field_theory
References
Conrad, Keith, History of class field theory. pdf
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/cfthistory.pdf
がある
これがなかなか面白
で、Conrad, Keithさんのページ
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/
Expository papers
These were written up for various reasons: course handouts, notes to accompany a talk for a (mathematically) general audience, or for some other purpose that I have since forgotten.
If you find typographical or other errors in these files, or have comments, please let me know. Files that are revised will be reposted without any indication that they have been changed (sorry).
（以下多数の文献）
（引用おわり）
History of class field theory は、上記のAlgebraic number theory の中の一つということがわかる
で、さらに遡るとこんなところも
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/
Keith Conrad （写真あり）
抜粋
Summer program courses
（リンクあり）
What is a Reciprocity Law? (Yaroslavl, Summer 2011): Lecture 1, 2, 3, 4
Number Theory in Quadratic Fields (Lisbon, Summer 2011)
Diophantine Equations (Ross program, Summer 2008)
Elliptic Curves and Arithmetic Progressions of Squares (Ross program, Summer 2007)
Sums of squares (USA/Canada Mathcamp, Summer 2005)
Quaternion algebras (Ross program, Summer 2004)
Analogies between integers and polynomials (Ross program, Summer 2003)
Zeta and L-functions (PROMYS program, Summer 2000)
高瀬正仁氏のブログ これは一読の価値あり
（URLが通らないので、右記のキーワード＋下記で検索乞う： 日々のつれづれ オイラー研究所の所長 ）
2011-01-15 リーマンを語る 101. ガウスがアーベルを無視した理由（その6）
（抜粋）
アーベルに取って代数方程式の代数的可解性の問題はきわめて重く、この問題に決着をつけることができたなら、まちがいなく数学史に刻まれるべき歴史的偉業です。
ガウスにとってはどの程度の問題だったのでしょうか。
次数が５以上の代数方程式に対して解の公式が存在しないことは、すでに学位論文の時点で自覚していました。
それにもかかわらず、次数がどれほど高くとも代数的に解ける方程式が存在することも承知したうえで、代数的可解性を左右するのは「根の間の相互関係」であることを認識し、円周等分方程式によって具体的に例示しました。
しかもその円周等分方程式をどのように解いたのかといえば、今日のいわゆる「ガロア理論」に沿う解法手順がそのままなぞられています。
代数的可解性は「根の間の相互関係」で定まるという認識はアーベルに継承されてアーベル方程式の概念を生みました。
円周等分方程式を代数的に解く解き方ををモデルにして「ガロア理論」もまた生まれました。そんなガウスにとって「不可能の証明」などは当然のことで、わざわざ証明するまでもないことだったのではないでしょうか。
しかもガウスの円周等分方程式論の真意は代数方程式論にあるのではなく、ガウス平方剰余相互法則の証明という、数論の法則の証明の原理をそこに見いだそうとして努力を重ねていたのでした。
ガウスは「不可能の証明」程度のレベルをはるかに超越した地点に立脚して、なお遠くを見ようとしていたのですから、今さら「不可能の証明」などを書き綴られてもじゃまなばかりで、ただうるさかったのではないでしょうか。
ガウスの心情の世界では、ルジャンドルにおける「補助的素数の使用」「相互法則という用語」「ルジャンドルの記号」「フェルマの小定理を始点とする相互法則の定式化」と、アーベルにおける「不可能の証明」はぴったり対応するように思われてなりません。
ガウスはリーマンも複素関数論もほめませんでしたし、ガウスにほめられた人はごくわずかなのですが、例外中の例外はアイゼンシュタインです。
> ガウスはリーマンも複素関数論もほめませんでしたし
ここは少し違うかも
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3
1851年にガウスのもとで論文「1複素変数関数の一般理論の基礎づけ」を提出して博士号を取得、1854年には「幾何学の基礎にある仮説について」で大学教授資格を取得した。
（ガウスは若い数学者をほとんど評価しなかったが、リーマン幾何学に関する講演を高く賞賛した。）
えーと英語版には出てこないから、上記は高木の近世数学史談によるのだろう
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann
”Gauss”の出てくる箇所は下記４箇所のみ
However, once there, he began studying mathematics under Carl Friedrich Gauss (specifically his lectures on the method of least squares).
Gauss recommended that Riemann give up his theological work and enter the mathematical field; after getting his parents' approval, Riemann transferred to the University of Berlin in 1847.[1]
Euclidean geometry versus Riemannian geometry
In 1853 Gauss asked his student Riemann to prepare a Habilitationsschrift on the foundations of geometry.
The subject founded by this work is Riemannian geometry. Riemann found the correct way to extend into n dimensions the differential geometry of surfaces, which Gauss himself proved in his theorema egregium.
[G⇄M]
[O⇄H]
[W⇄J]
[RC⇄PF]
残り7組
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/techterm/equ5.html
五次方程式の代数的解法
Wolfram の site の中に Quintic Equationという page があって, ここに良い解説 (英語だが) が出ているのでご覧ください。
http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html
五次方程式の冪根による解法が不可能であることを完全な厳密さを持って証明するのはそれほど難しいことではないであろう。
Carl Friedlich Gauss
学位論文
あらゆる一変数整有理的代数函数は一次若しくは二次の実素因子に分解されるという定理の新しい証明,
1797, 第 9 条
四次を超える方程式の一般的解法, 言い換えると, 混合方程式の純粋方程式への還元を見出そうとする卓越した幾何学者たちのあらゆる努力は, これまでの所常に不首尾に終わっていた。
そうしてこの問題は, 今日の解析学の力を超えているというよりは, むしろある不可能な事柄を提示しているのである。
Carl Friedlich Gauss
整数論, 1801,
第 7 章 円周等分方程式論
http://www15.ocn.ne.jp/~janpal/webdoc/HtmlDoc/materilist.html 翻訳リスト （ここに沢山の興味深い論文の翻訳がある）
数学三大予想の証明
フェルマの最終定理
Wilesモジュラー楕円曲線とフェルマの最終定理 PDF
Wiles&Taylor 或るＨｅｃｋｅ代数の環論的性質 PDF
Faltings TylorとWilesのFLTの証明 PDF
志村-谷山-Weil予想
Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, and Richard Taylor Q 上の楕円関数のモジュラリティーについて--- 野性的3 進表現の場合?? PDF
Henri Darmon 完全志村-谷山-Weil 予想の証明が宣言された! PDF
ポアンカレ予想
Grisha Perelman Ricci フローのエントロピー公式とその幾何学的応用 PDF
Grisha Perelman 3 次元多様体上の手術付きRicci フロー PDF
Grisha Perelman 或る３次元多様体上のRicci フローの解に対する有限消滅時間 PDF
Takasi Shioya and Takao Yamaguchi 下界曲率をもつ崩壊３次元多様体の体積 PDF
Michael T. Anderson Ricci フローからみた３次元多様体の幾何化 PDF
関連文献
Ribet ガロア表現とモジュラー形式 PDF
R.Taylor Galois Representations PDF
Shimura Goro ON ELLIPTIC CURVES WITH COMPLEX MULTIPLICATION AS FACTORS OF THE JACOBIANS OF MODULAR FUNCTION FIELDS PDF
John Coates Kenkichi Iwasawa(1917-1998) PDF
Michael T. Anderson REMARKS ON PERELMANN'S PAPERS PDF
S.K. Donaldson SCALAR CURVATURE AND STABILITY OF TORIC VARIETIES PDF
物理関連
S.W.Hawking Information Loss in Black Holes, 15 Sep 2005 PDF
Edward Witten Comments On String Theory, 19 Dec 2002 PDF
ClaudeLeBrun Polarized 4-Manifolds, Extremal Kahler Metrics, and Seiberg-Witten Theory PDF
_______ _＿
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＼ヽ、 ｜l | | | | | | | | ``( (. .| | | | ~~
`､二===-' ` ===' ' ` ===' ' //￣ヽヽ |__ゝ ヽ二=''
ヽヽ___// 日本
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|街宣車両の正体 朝鮮人工作員 .| |検索|←をｸﾘｯｸ！！
[G⇄M]
[O⇄H]
[W⇄J]
[RC⇄PF]
残り7組
>>65 あんでぃさん乙、ageで書いてくれると助かるなー
が、高山 幸秀先生（下記）が良い！
（アスキー文字化けは修正しません（うまくできません）。PDF原文を見てください）
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~takayama/galois.pdf
環・体論II | GALOIS 理論
（抜粋）
10.1. 方程式の可解性70
10.2. ５次以上の代数方程式の非可解性72
10.1. 方程式の可解性. ４次以下の代数方程式に「根の公式」が存在するということ
は、それらの方程式が以下に定義する意味で「代数的に解ける」ということである。
定義127 (代数的に解ける). 代数方程式
Xn + a1Xn?1 + ・ ・ ・ + an?1X + an = 0 (ai ∈ C)
が代数的に解けるとは、方程式の根が、係数a1, . . . , an と有理数を使った四則演算
とべき根( m√?, m ? 2) 演算を使って表せることを言う。
このことを代数拡大の理論から見れば、次の概念でとらえることができる。
定義128 (べき根による拡大). 有限次代数拡大L/K が、べき根による拡大である
とは、体の列 K = K0 ⊂ K1 ⊂ ・ ・ ・ ⊂ Kr = E
で各Ki (i ? 1) はKi?1( ni√ai) の形で得られるものが存在し、L ⊂ E となっている
場合をいう。特別な場合としてE = L となる場合も当然含む。ただし、ai ∈ Ki?1
で、Xni ? ai ∈ Ki?1[X] は既約であるとする。
２つの定義を見比べれば、以下のことが直ちに従う。
命題129. 代数方程式
f := Xn + a1Xn?1 + ・ ・ ・ + an?1X + an = 0 (ai ∈ C)
の根をx1, . . . , xn ∈ C とし、拡大体K := Q(a1, . . . , an) ⊂ L := K(x1, . . . , xn) を考
える。このとき、以下は同値：
(1) f = 0 が代数的に解ける。
(2) L/K はべき根による拡大。
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/372-376
372 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/02/26(日) 16:11:33.11
>>371
つづき
１．V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、”a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる”ように定めた>>28
だから、Vを変えない置換は恒等置換eのみ
２．ここで代数的可解性の原則を認めて、元の方程式が解けるためには、根a,b,c・・・の有理式から補助方程式を作って、補助方程式の根を添加することで、方程式を解くことを考えてみよう
３．ラグランジュの定理を補助線として、Vを見ると、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっているんだ（ここポイント）
４．で、>>343
・ある根の有理式を持ってくる
・その有理式で根a,b,c・・・の置換を行なって、値の異なるものを集める
・そうして、最小定義多項式（＝補助方程式）を作る（補助方程式は根と係数の関係から、元の体の数になる）
・最小定義多項式には、有理式の置換で異なる値（補助方程式の共役な根）が含まれる
・補助方程式を全部添加して、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）の因数分解（可約性）を見ると、因数分解できるときは補助方程式のガロア群をHとしてHがもとの方程式のガロア群Gの正規部分群になってしまうんだと
ここは、上記の>>345-348だ
376 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/02/26(日) 17:31:21.27
>>372
代数的可解性の原則は、下記のP26などをご参照。倉田>>4なら、P154など
http://homepage2.nifty.com/cakravala/historyofequation.pdf >>321
方程式論の歴史（平成１４年）
代数的可解性の原則：元の方程式が解けるためには、根a,b,c・・・の有理式から補助方程式を作って、補助方程式の根を添加することで、方程式を解く
もう一つの切り口が、べき根拡大>>67
代数的可解性とは、べき根拡大→べき根で方程式の根a,b,c・・・を表すことができる→逆に見ると補助方程式のべき根は根a,b,c・・・の有理式、というのは至極当然に見えるだろう
方程式論の歴史（平成１４年）は、代数的可解性の叙述がいまいちはっきりしない
その点、倉田>>4ははっきりしている。（方程式論の歴史（平成１４年）は倉田を参考にしているように見える）
足立 ガロア理論講義 http://www.nippyo.co.jp/book/2113.html は、高山>>67と同じくべき根拡大を前面に出しているね
高山 幸秀先生、これも良いね。読みやすい。目次がないと思ったら、最後にあったorz
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~takayama/group.pdf
代数学序論I,II
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~takayama/reHist.html
私の研究物語 (抜粋)
1993年以前 数学を勉強していた時代
京都大学理学部で主に可換環論と(Grothandiek以前の)代数幾何学を勉強する。
微積分を含めた解析学を「高校数学の延長」と馬鹿にしてほとんど勉強しな かった事と、それをカバーできる程代数学が抜群に出来た訳でもない事から、院入試に落第ししばらくグレる。
(ほんとうは「しばらく」なんて程度ではなく、１０年ぐらいグレていた。)
1983年 〜 1985年 駆け出しの計算機技術者時代
ふつうの計算機科学者の中にも、真に尊敬すべき人物はいる事を知り、計算機科学はそれなりに立派な学問なんだと思うに至る。
そうこうしているうちに、なぜか理学博士号が取れてしまう。工学博士よりも、理学博士の方が断然カッコ良くてエライのだと思っているので、大いに喜ぶ。
1992年 〜 1996年 リストラを恐れて大学へ
博士号が取れたおかげで、大学教員として立命館大学情報工学科(のち情報学科) に移れた。転職先として申し分無く、理論計算機科学をやっていて良かったとしみじみ思う。
京大数学科では、私の立命館大学への 転職を聞いて驚いた某教授が「数学科の大学院入試に落ちた奴が、学位取って大学教員にまでなれるなんて、計算機科学ってのはやっぱりいい加減な学問だ」と言ったとか言わなかったとかの噂を耳にする。
真偽のほどはさておき、隠れ純粋数学至上主義者である私としては、大いに納得する。
2000年〜2010年頃 「私は数学者です」
数学に転向してから 自分は生まれた時から一貫して純粋数学至上主義者であったし、これからもそうであることに気づく。
自分にも数学のゴミ論文が書けることがわかり勇気百倍。これからは、自分の事を「『自称数学者』を自称する者です」とも「『数学者』を自称する者です」とも言わず「私は数学者です」と言うことにした。
2010年頃〜 「私は数学者ではありません」
その後、数学研究者としてどうにかこうにかやってきたのだが、学生時代からずっと数学だけやってきた数学者と、しばらく外の世界をほっつき歩いていた私との メンタリティーのえも言われぬ違いの大きさに気づく。
そこで2010年頃から、「私は数学者でも何でもありません、その辺のおっさんです」と言うようになった。
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~takayama/myprofile.html
研究分野
１９９６年頃までは理論計算機科学者として長年プログラム理論を研究していた。
それ以降は、可換環論に転じ、特にStanley-Reisner環、単項式イデアル、極小自由分解、局所コホモロジーなどを調べている。
最近は密着閉包理論や特異点理論などにも興味を持っている。
下記、おそらく間違いで訂正しておく
1993年以前 数学を勉強していた時代
↓
1983年以前 数学を勉強していた時代
（参考）
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~takayama/myprofile.html
経歴
１９５８年 三重県津市生まれ。
津市立修成小学校、私立高田中学、三重県立津西高等学校(第１期卒業生)、学校法人河合塾を経て(！！)京都大学理学部入学(１９７８年)
１９８３年 京都大学理学部卒業(数学専攻)
同年 沖電気工業株式会社入社
総合システム研究所にて逐次型推論マシンSIMのネットワークサブシステムの開発に従事
１９８５〜１９８９年 財団法人新世代コンピュータ技術開発機構に出向
定理自動証明システム、知的CAIシステム、構成的論理に基づくソフトウエア検証合成システムの研究開発に従事
１９８９〜１９９２年 沖電気工業株式会社復帰、
総合システム研究所、電子システム研究所、関西研究所にて 構成的プログラミングシステムSHUTENの開発を行う。
１９９１年 京都大学にて博士(理学)を取得
１９９２年 立命館大学理工学部情報工学科助教授
１９９４年〜 立命館大学理工学部情報学科助教授
１９９６〜１９９７年 京都大学数理解析研究所長期研究員
２０００年〜立命館大学理工学部数理科学科教授
２０００〜２００１年 エッセン大学招聘研究員
２００４年 エッセン大学招聘研究員
高山先生いいね
あと、理論計算機科学者として長年プログラム理論を研究していたという経歴を生かして、数式処理とか群論計算プログラミング（あるいはHaskellなど）を学生に教えてあげると良いと思うな
（前スレ416より再録）
http://ja.wikipedia.org/wiki/Haskell
Haskell は高階関数や静的多相型付け、定義可能な演算子、例外処理といった多くの言語で採用されている現代的な機能に加え、パターンマッOやカリー化、リスト内包表記、ガードといった多くの特徴的な機能を持っている。
また、遅延評価や再帰的な関数や代数的データ型もサポートしているほか、独自の概念として圏論のアイデアを利用し参照透過性を壊すことなく副作用のある操作（例えば 代入、入出力、配列など）を実現するモナドを含む。
>あと、理論計算機科学者として長年プログラム理論を研究していたという経歴を生かして、数式処理とか群論計算プログラミング（あるいはHaskellなど）を学生に教えてあげると良いと思うな
高山先生：学生時代からずっと数学だけやってきた数学者と、しばらく外の世界をほっつき歩いていた私との メンタリティーのえも言われぬ違いの大きさに気づく。
そこで2010年頃から、「私は数学者でも何でもありません、その辺のおっさんです」と言うようになった。
すっかり高山先生のファンになりました
ところで、本題
失礼ながら、立命館と京都大学を比較すれば、大学入学時点で差があることは、教員学生自他ともに認めるところでしょう
そこで、かれらが将来戦う大きな武器になるのが、数式処理とか群論計算プログラミング（あるいはHaskellなど）ではないかと （ガウス、オイラーなみの計算力つく）
（エベレスト登頂の近代的装備だと）
（個人的には）
１．エクセルマクロ（無限級数など）
２．エクセル行列計算、特殊関数計算（ベッセル関数くらいは組み込み済み）
３．数式処理：一押しはMathematicaかな（"ウルフラム・リサーチは webMathematica というプログラムも作成している。" http://ja.wikipedia.org/wiki/Mathematica ）
４．群論計算ソフト
５．Haskellに限定しないが（Lisp、Cなども）、何か一つ数学に役立つであろう適当なプログラミング言語を
東大京大レベルだと、教えなくとも自分たちで勉強すると思いますが
>失礼ながら、立命館と京都大学を比較すれば、大学入学時点で差があることは、教員学生自他ともに認めるところでしょう
>そこで、かれらが将来戦う大きな武器になるのが、数式処理とか群論計算プログラミング（あるいはHaskellなど）ではないかと （ガウス、オイラーなみの計算力つく）
>（エベレスト登頂の近代的装備だと）
昨年だったか一昨年だったかに下記を見つけた
家電量販店の書籍部門で。オライリー・ジャパンなので、プログラミングのところに紛れて置かれていたんだ
これがなかかな面白い。もし図書館にあれば、一度手にとって見てください
http://www.oreilly.co.jp/books/9784873114361/
数学を生み出す魔法のるつぼ――実験数学への招待 オライリー・ジャパン
Jonathan Borwein、Keith Devlin 著、伊知地 宏 訳 2009年12月 164ページ 定価1,890円
原書: The Computer As Crucible
『数学で犯罪を解決する』『数学する遺伝子』に代表される数学読み物のベストセラー作家、キース・デブリンと、実験数学の気鋭の研究者ジョナサン・ボールウェインが実験数学とは何かをやさしく解説します。
数学者が頭をフル回転させて定理を証明する古典的な数学とは違い、実験数学ではコンピュータを道具として使って計算を行い、膨大なデータをもとに数式処理システムなどを利用して予想を立て、検証していく、
つまり文字通り「実験」しながら、数学的発見を行うものです。この書籍では実験数学の魅力と可能性を紹介します。
補足
いまの数式処理は、ある特殊な数値を入れると、その数値を構成する特殊関数の組み合わせを返すそうですね
それが、ガウスなみに賢くて、並みの数学者以上だと
下記は検索でヒットしたのでご参考まで
(URLが通らないので、検索願います。)
数学を生み出す魔法のるつぼ 2009/12/29(火)
1章 実験数学とは何？
2章 πの10進表現で1000兆桁目の数字は何？
3章 この数は何？
4章 数学で最も重要な関数
5章 次の積分を解け
6章 思わぬ発見をする才能
7章 πの計算
8章 コンピュータは人より数学を知っている
9章 極限を取りなさい
10章 危険！コンピュータを使うときにはいつも警戒を
11章 書き残したこと
おもしろかったのは10章ですかね。コンピューターを使って計算する際の注意点。ある級数を数式処理システムで評価すると、答えは1になるんだけど、実はそれが不正解。
収束はするけれど、その値は小数点以下268桁まで1と一致するような値なのだとか。
どんだけ差が小さくても、この答えを“1”と言ってしまうのは間違いなわけで。よくもまあこんなおもしろい問題を見つけるものですね。
補足
>いまの数式処理は、ある特殊な数値を入れると、その数値を構成する特殊関数の組み合わせを返すそうですね
>それが、ガウスなみに賢くて、並みの数学者以上だと
> 6章 思わぬ発見をする才能
> 8章 コンピュータは人より数学を知っている
この6章と8章が面白かった
>>59
>ガウスにとってはどの程度の問題だったのでしょうか。
>
>次数が５以上の代数方程式に対して解の公式が存在しないことは、すでに学位論文の時点で自覚していました。
>それにもかかわらず、次数がどれほど高くとも代数的に解ける方程式が存在することも承知したうえで、代数的可解性を左右するのは「根の間の相互関係」であることを認識し、円周等分方程式によって具体的に例示しました。
>しかもその円周等分方程式をどのように解いたのかといえば、今日のいわゆる「ガロア理論」に沿う解法手順がそのままなぞられています。
>
> 代数的可解性は「根の間の相互関係」で定まるという認識はアーベルに継承されてアーベル方程式の概念を生みました。
>円周等分方程式を代数的に解く解き方ををモデルにして「ガロア理論」もまた生まれました。そんなガウスにとって「不可能の証明」などは当然のことで、わざわざ証明するまでもないことだったのではないでしょうか。
> ガウスは「不可能の証明」程度のレベルをはるかに超越した地点に立脚して、なお遠くを見ようとしていたのですから、今さら「不可能の証明」などを書き綴られてもじゃまなばかりで、ただうるさかったのではないでしょうか。
>62
>五次方程式の冪根による解法が不可能であることを完全な厳密さを持って証明するのはそれほど難しいことではないであろう。
>Carl Friedlich Gauss 学位論文 あらゆる一変数整有理的代数函数は一次若しくは二次の実素因子に分解されるという定理の新しい証明,1797, 第 9 条
>
>四次を超える方程式の一般的解法, 言い換えると, 混合方程式の純粋方程式への還元を見出そうとする卓越した幾何学者たちのあらゆる努力は, これまでの所常に不首尾に終わっていた。
>そうしてこの問題は, 今日の解析学の力を超えているというよりは, むしろある不可能な事柄を提示しているのである。
>Carl Friedlich Gauss 整数論, 1801, 第 7 章 円周等分方程式論
円周等分方程式で、ガウスはべき根と巡回群の関係およびべき根による体の拡大の限界は熟知していたのだろう
早くから、「五次方程式の冪根による解法が不可能であることを完全な厳密さを持って証明するのはそれほど難しいことではないであろう。」と言った
つづき
ガウスがその時代を超越していて、書いたが公表しなかったこと、分かっていたが書かなかったことは、「五次方程式の冪根による解法が不可能であること」だけではない
有名なところでは、複素関数論、楕円関数論、非ユークリッド幾何など
ガウス以外なら、「本当？」と疑うところだが、ガウスの言には説得力がある
ともかく、べき根による数体の拡大には限界があり5次方程式はべき根では解けないということくらいは、ガウスにはほぼ自明だったのかも
つづき
人は、２次３次４次と可能なら、５次もと考える
それが自然だ
しかし、数学でもある低次では成立することが、それ以上の高次のでは事情が異なるということは、方程式論以外でもある
ポアンカレ予想などは逆だった（高次元の方が簡単で４次元が解かれ、３次元が最後まで残った）が、次数が違うと事情が異なるということはありうる
（余談だが、数学的帰納法は逆に次数の低いときの事情がそのまま通用しますという場合に有効）
人は、２次３次４次と可能なら、５次もと考える。それが自然だけれども
低次では成立することが、それ以上の高次のでは事情が異なるということは、方程式論以外でもあって方程式論もその範疇の話だったのだと
そういう切り口の理解も一つ加えておくと良い
あと、アナロジーという考えがある
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A1%9E%E6%8E%A8
類推（るいすい）は類比（るいひ）、アナロジー（Analogy）ともいい、特定の事物に基づく情報を、他の特定の事物へ、それらの間の何らかの類似に基づいて適用する認知過程である。
ドイツ語のAnalogieはギリシャ語の?ναλογ?αからの外来語だが、そのギリシャ語での意味は「反ロゴス」である。
類推は、問題解決、意思決定、記憶、説明（メタファーなどの修辞技法）、科学理論の形成、芸術家の創意創造作業などにおいて非常に重要な過程であるが、論理的誤謬を含む場合が高く、論証力としては弱い論理である。
(科学的な新概念の形成過程は、チャールズ・パースによるアブダクション理論として区別される場合が多い)
異なる事象に対し類推することで、共通性を見出す言語的作業が比喩である。 言語学では、言語自体に対する類推が言語の変化の大きな要因とされる。
（引用おわり）
”べき根拡大→巡回群→ぐるぐる回る関係しか表現できない→表現能力に限界がある”>>124ということを
平面多角形の周囲と内部の対角線の複雑さに例えると
対角線は、下記のサイトの図のようになる
http://yosshy.sansu.org/taikakusen.htm
方程式の次数に対応するように、１次方程式には１点のみの図形、２次方程式には２点からなる図形（線分）を、多角形に含める（３次は当然３点からなる三角形）
そうすると、１次、２次、３次までは対角線がない。だから、（対角線に関係しない）巡回群のみで話が済む
４次方程式は、四角形が対応するが、対角線はただ２本だけ。なので、これはまだ巡回群の範囲で扱える*)
だが、５次方程式は、五角形が対応するが、上記のサイトの対角線の図で、この対角線に従う根の置換までを表現する必要が出てくる
で、巡回群は上記のサイトの図で、対角線での置換を除く、周囲の根の配置はそのままで、ぐるぐる回る関係を表現するもの
とすると、五角形になると複雑になって対角線に従う根の置換は、巡回置換（＝巡回群）の範囲で収まらない→だからべき根の範囲に収まらない→べき根では解けない と
*)鏡像変換（＝３次元空間に持ち上げて180℃反転する）で扱える。鏡像変換は、C2（２次の巡回群）と同型だと
ガロアの第一論文の最後の定理>>4
（前スレ440より再録）
話がそれたが、今日の本題は、正十二面体の中で、５次の線形群（位数 5・4=20）を考えてみようと
>正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます．
>この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります．
>正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね．
>まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります．
>次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります．
>P(12)〜5xA4=A5
P(12)〜5xA4=A5の中で、5は５次の巡回群＝”上記の内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”で位数５
だから、位数 5・4=20のためには、A4の部分群で位数４のものを探すと・・・、”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”計3本＋恒等置換で計４！ これかなと
まとめると、
５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと
これ（>>435-436）で、A5（５次交代群）と正十二面体や正二十面体群との関係、部分群として５次の線形群（位数 5・4=20）の正十二面体の中での位置づけが見えたと思う
で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416
そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ
しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる
これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ
補足
べき根拡大は、巡回群による拡大であり
平面多角形で言えば、図形をぐるぐると回転させる操作を考えていることになる
一方一般の方程式は、例えば５次なら５つの根が５角形の頂点に配置されているとして、回転だけでなく対角線にそって入れ替える置換も考える必要がある（群S5になる）のだと
３次の場合は三角形なので、対角線は無い
４次の場合は四角形で、対角線は２本のみ。これは単純な入れ替え（例えば鏡像変換）で処理できる
なので、４次までは巡回群の延長で処理できる
５次では対角線が増えて、回転操作と鏡像変換の組み合わせでは処理できなくなった・・
これが平面多角形のアナロジーによる、次数が高い場合の方程式解法の切り口（直感的理解）
（そういう自分なりの直感的な理解を増やしてゆくことが大事だ。勿論、重要な理論については細部のところを暗記する必要もある。車の両輪だろう）
>勿論、重要な理論については細部のところを暗記する必要もある。車の両輪だろう）
余談だが、試験対策として定義や専門用語はしっかり暗記する必要がある
東大京大のトップクラスで頭が良すぎて、定義を試験の場で考えて専門用語を試験の場で作る人がいる
それを理解してくれる採点官なら良いが
普通は「定義さえしっかり書けないのか。勉強不足だ」との推定が働く
なので基本的な定義と用語は正確に覚えるのが良いだろう
あと、理解してから使うのではなく使って理解し覚えるべし
（余談）
ほぼ書きたいことは書いたので、あとは流してゆきます
因みに、ボーア氏は弟の方だとか
http://www.saiensu.co.jp/?page=book_details&ISBN=ISBN4910054701111&YEAR=2011
臨時別冊・数理科学2011年11月
「リーマン予想の数理物理」
〜 ゼータ関数と分配関数 〜
黒川信重(東京工業大学教授)
小山信也(東洋大学教授) 著
第3章 分配関数の零点
3.1 リー・ヤンの定理とは
3.2 実例の計算
3.3 リー・ヤンの定理の証明
第4章 ゼータ関数と分配関数の一致
4.1 本章の目的
4.2 数列空間上の作用素C^*_環
4.3 Q-格子の同値関係の亜群C^*_環
4.4 ヘッケ環から作るC^*_環
4.5 数論的多元環とアイゼンシュタイン級数類似
4.6 類体論
4.7 虚2次体への一般化
第5章 ウィッテン・ゼータ関数
5.1 ウィッテン・ゼータ関数
5.2 ボーア・コンパクト化
5.3 ボーア・コンパクト化とウィッテン・ゼータ関数
物理の分配関数とゼータ関数の一致？
それに都市計画？
http://www.aokilab.arch.titech.ac.jp/lab/y_notes/notes/89_ynote.pdf
[PDF] 都市とリーマン予想 1 1 1
(抜粋)
１. はじめに
都市とリーマン予想というと、大方の人は、まったく異なる世界を強引に結び付けようとしていると訝るに違いない。筆者もつい半年ほど前までは、都市とリーマン予想に関係など何もないと考えていた。
しかし、筆者が10 年ほど時間を使って研究してきた都市変容の確率過程を記述する基本モデル２）の中で重要な役割を持つ関数が、なんとリーマン予想の主役とでもいうべきゼータ関数と対応しているのであった。
といっても筆者の研究で、明確になったわけではない。筆者の知らない深遠な世界で、物理学者と数学者との共同研究が切開いた結果見えてきたことなのである。
それにしても、以外なところで、現実の都市を解析する世界と数学のもっとも意味深い世界がつながっていることに感動を覚える。
この感動を伝えてみたく、充分理解できない世界のことではあるが、素人なりに述べてみたい。
４．都市とリーマン予想
4.1 統計物理学
都市とリーマン予想を結ぶ仲介者は統計物理学３,４）である。
前述の都市モデルの定式化の結果は、統計物理学に表れる表式と極めて類似している。その全体像のすべてをここで記述することはできないが、本質的な両者の類似を示すため、イジング・モデルを紹介しておこう。
筆者は下記か
ゼータ関数とは結びつきが薄いが、
黒川信重氏がおなじ東京工業ということか
http://spysee.jp/%E9%9D%92%E6%9C%A8%E7%BE%A9%E6%AC%A1
青木義次 プロフィール - あのひと検索スパイシー
青木 義次 アオキ ヨシツグ 職名 教授 所属（本務） 大学院理工学研究科／建築学専攻 所属（協力）
生年月 1946年 04月 連絡先番号 ホームページのＵＲＬ E-mailアドレス
研究テーマ
都市形態形成の確率論的モデル スキーマグラマーを用いた伝統的空間構成の分析 都市の地理的イメージ形成における概念図式
学歴
東京工業大学理工学研究科理工学研究科社会工学修士課程修了(1972)
東京工業大学工学部社会工学卒業(1970)
職歴
東京工業大学工学部教授 (1991-)
東京工業大学工学部助教授 (1983-1991)
Carnegie-Mellon Univ.Visiting Prof. (1981-1982)
建設省建築研究所研究員 (1972-1983) 委員歴、役員歴 取得学位・学位論文 学位論文 共同研究 著書・発表論文 全件表示 芸術系の活動・フィールドワーク等 全件表示
受賞学術賞
日本都市計画学会論文賞 (2007)
日本建築学会賞 (1991)
所属学会
計算工学会 、地理情報システム学会 、日本火災学会 、日本建築学会 、日本行動計量学会 、日本都市計画学会 図書館へのリンク 所蔵著書一覧 蔵書検索ページ 担当講義へのリンク Tokyo Tech Open Course Ware
>わんこら式>>449というのも一理ある
>前の方で分からないところが出てくる。だが、最後まで読むと、後ろの方で関連したところが出てきて、「ああ、そうか」と分かる場合がある
>
>早く最後まで読んで、また前から読むべし。全体像を掴みながら
>これが良いのでは・・
数学セミナー2012.4月号P11に、長岡亮介氏が書いている
「最近の学生は、筆者の学生時代に比べると、はるかに講義への出席率は良いにもかかわらず、昔以上に躓く人が多い。
それは、思うに、高校までの数学の勉強の経験が、大学数学を理解する上での障害になっているということである。
「解き方」をしっかり暗記するという受動的、表面的な勉強こそが数学だという命題が、堅固な信仰箇条のようになっていて、納得できるまで自分の頭で考え抜こうとする努力と、それを完遂したときの歓喜の経験から全く遠ざけられてきたのではないだろうか。」
と
思うに、しっかり考え抜くということと、全体像を早く把握することとは両立すると思う
車の両輪だ
>思うに、しっかり考え抜くということと、全体像を早く把握することとは両立すると思う
>車の両輪だ
理解して記憶する、これがベスト
それから、絶対覚えなければならないが覚えにくいことはゴロ合せや映像記憶法や理屈付記憶法をとること
自分も経験があるが、理解できない理由
１．先にすすめば分かること：全体像が分かっていないから部分しか見えていないため理解できていない→対策は先に進むこと
２．具体例が浮かばない：あまりにもいままでの経験にないから→対策は理解できる具体例を探す
３．本質的に難しいところ：その理論のキモ（簡単ならだれでも思いついているはず）→対策は繰り返す（読書百返）と多様な切り口（全体との関連や具体例でどうなるとか）を考えてみること
> ３．本質的に難しいところ：その理論のキモ（簡単ならだれでも思いついているはず）→対策は繰り返す（読書百返）と多様な切り口（全体との関連や具体例でどうなるとか）を考えてみること
補足
本が悪いという場合も
書いている人が分かっていない、誤植があるなど
だから、本は複数見た方が良い
日本という国は、そういう特権階級の人たちが、楽しく、幸せに暮らせるように、
あなたたち凡人が、安い給料で働き、高い税金を払うことで、成り立っているんです。
そういう特権階級の人たちが、あなたたちに何を望んでいるか知ってる？
今のままずーっと愚かでいてくれればいいの。
世の中のしくみや、不公平なんかに気づかず、
テレビや漫画でもぼーっと見て何も考えず、会社に入ったら、上司の言うことを大人しく聞いて、
戦争が始まったら、真っ先に危険な所に行って戦ってくれればいいの。
北朝鮮か中国なら・・、すぐ秘密警察に逮捕されるだろうよ、あなた
日本は言論の自由があるから、国家への批判も自由で許される国だ
まずは、日本に生まれたことを感謝したらどうだ？
>”（１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。”
>この視点が気に入った
補足
例えば、５次方程式f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e の５つ根α、β、γ、δ、ε
根と係数の関係から、係数は根の基本対称式になる
ここに隠れた対称性といわれる所以がある
http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_polynomial
Symmetric polynomial
Galois theory
One context in which symmetric polynomial functions occur is in the study of monic univariate polynomials of degree n having n roots in a given field.
These n roots determine the polynomial, and when they are considered as independent variables, the coefficients of the polynomial are symmetric polynomial functions of the roots.
Moreover the fundamental theorem of symmetric polynomials implies
that a polynomial function f of the n roots can be expressed as (another) polynomial function of the coefficients of the polynomial determined by the roots if and only if f is given by a symmetric polynomial.
This yields the approach to solving polynomial equations in terms of inverting this map, "breaking" the symmetry ? given the coefficients of the polynomial (the elementary symmetric polynomials in the roots), how can one recover the roots?
This leads to studying solutions of polynomials in terms of the permutation group of the roots, originally in the form of Lagrange resolvents, later developed in Galois theory.
>例えば、５次方程式f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e の５つ根α、β、γ、δ、ε
>根と係数の関係から、係数は根の基本対称式になる
>ここに隠れた対称性といわれる所以がある
補足の補足
アルティンによれば、一般５次方程式の５つの根α、β、γ、δ、εをすべて添加した拡大体は５！＝120次元のベクトル空間になると。これがアルティン流の隠れた対称性の捉え方
（これは、アルティン本の定理13の応用例の２に記されている）
http://www.kishimo.com/math/Galois/p46.html
http://na-inet.jp/weblog/archives/001482.html
E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」ちくま学芸文庫
補足の補足の補足
>アルティンによれば、一般５次方程式の５つの根α、β、γ、δ、εをすべて添加した拡大体は５！＝120次元のベクトル空間になると。これがアルティン流の隠れた対称性の捉え方
一見５次に見えるけど
隠れた対称性：”５！＝120次元のベクトル空間”
５！＝120は、対称群S5の位数
ここを強く意識しないと、ガロア理論は分からないよ
（ ） 朝鮮人は宇宙一ニダ
｜ ｜ |
〈＿フ__フ
Λ＿Λ
< ；｀Д´> あ…
（ ）ﾎﾟﾛ
｜ ｜ | ヽヽ
（_＿ﾌ＿フ =( ´∀｀)
朝鮮人だらけの東京のテレビ局が日夜流す、デマや歪曲に騙されないようにしましょう。
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n22754
いろんなガロア理論☆ガロア圏☆ （最終更新日時:2012/3/9）投稿日：2012/1/17
ガロア拡大（正規・分離拡大）である体の拡大L⊃Kが与えられると、ガロア群と呼ばれる群
Gal(L/K)が決まるというのがガロア理論です。方程式の解の背後にある群を調べよという思想は、単純に代数方程式論や代数学といった枠を超え、幾何学など多くの分野に強い影響を与えることになります。ここではそれらについて少し考えてみましょう。
ガロア理論の位相空間版が被覆空間論です。
適当な連結性を仮定した位相空間に対し、（不分岐な）被覆p:X→Yというものがあります。
pは全射で、Yの各点xに対してある開近傍Uがあり、p^(-1)によりUをXに引き戻すと、Uと同相なXの開集合たちがバラバラと出てくるようになっている（局所同相）というのが被覆空間です。
Uのコピーのようなものが上にバラバラと互いに離れているような形で出てきます。XをL、YをKと並べることで、ちょうどガロア理論の類似になります。
このとき被覆変換群という、「被覆空間のガロア群」が定義されます。位相空間によい連結性があれば、これは基本群と同型になります。つまりここではガロア群＝基本群。
ではこれらを参考にして体上のスキームを考えてみましょう。ちょうど上の２つをミックスさせたような形になっています。
体k’をkの有限次分離拡大とすると、Spec k’→Spec kは局所同型です。（上での局所同相に当たるもの）
体の拡大k’/kを被覆空間的に見るとこういった感じになります。ここでも同じように基本群にあたるものが定義できます。
ガロアが考えた代数の理論をGrothendieckが幾何学的に見直したんですね。
（以下略）
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