２つの封筒問題スレ 4

1 ：2011/10/29 〜 最終レス ：2013/01/26

[問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
選んで中を見ると10000円だった。
他方の封筒の金額の期待値は？

この問題・類題に関する意見・質問のスレです。
このような問題を他スレで話題にしたりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くよう誘導お願いします。

派生元
こんな確率求めてみたい その1/8
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
過去スレ
２つの封筒問題スレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1267847049
２つの封筒問題スレ 2
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1272010151
２封筒問題スレ　その３
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1286091715/

2 ：

※注意
ここは数学板の数学スレです。数学的な態度を心掛けましょう。

あくまでも数学の問題として考えて下さい。
期待値が高い方が得なの？交換した方がいいの？実際にやったらどうなるの？実際にはできないんじゃないの？
等、その他数学の範疇でないことに関するレスは、スレ違い・板違いです。
上の[問題]は、そのままでは数学の問題として解けません。
新たな仮定・別の仮定する場合は明記して、別の問題として考えて下さい。
どこを問題とするか、何に興味があるか、何を主張したいか等で、前提が異なることがあります。
前提が異なれば、結論が異なることも当然あり得ます。
前提は明確にしましょう。何を主張したいのかも明瞭にしておくと更に良いです。
主張の結論だけ書くのではなく、その証明も書きましょう。
主張する命題が真であったとしても証明ができないならば、正しい論証ではありません。
「もう解決してる」と思うなら、何が解決しているのかを明瞭に、具体的に書きましょう。
自然言語による説明だけでは、証明にはなりません。
定義を明確にし、論理式や数式を用いて主張・証明しましょう。
他の人の意見が間違っていると主張したい場合は、間違っていることを証明しましょう。
反例が挙げられた命題は否定的に証明されたことになります。
自説を証明したとしても、必ずしも他の説が否定されるわけではありません。
また、説を否定した人が代替案を用意する義務はありません。
偽の命題を前提として推論することはtrivialです。止めましょう。

3 ：

現代の数学では通常、確率の定義や理論を確率論によって与えています。
確率空間や確率分布がどんなものかくらいは、知っておいた方がよいでしょう。

自然数全体や実数全体に対して一様な確率分布というものは存在しません。
確率分布でないものを確率分布と呼んだり、期待値でないものを期待値と呼ぶのは止めましょう。
どんな確率分布を前提にしているか、明確にしましょう。
(特定の確率分布、一般の離散型確率分布、一般の連続型確率分布、一般の確率分布などなど)
所謂「何の・誰にとっての確率・期待値」を考えているのか整理できていますか？
その確率・期待値は数学の記号でどのように表すのか、わかりますか？
期待値とは、確率と確率変数を掛けた総和、確率による重みを付けた確率変数の値の加重平均です。
単なる加重平均に損得などの特別な意味はありません。また、総和が絶対収束しない場合、普通は定義しません。
期待値が大きいことを期待値的に"得"とか"有利"と言ったり
期待値が正の無限大に発散していることを"期待値無限大"と表現するローカルルールがありますが
損得や期待値の定義を曖昧なまま使う輩が非常に多いので
このスレ内では使わないことを推奨します。

隔離用のスレなので、電波の強い方もホイホイ来ます。
数学的な態度をとれない人にいくら説明しても、理解してはくれるとはかぎりません。
いちいち相手にしたくなかったら、黙殺しましょう。
電波の強い方の反応や、滑稽な解答(のつもりのモノ)を楽しむことが目的の人も、数学的な態度を忘れずに。
数学的な態度をとれず、程度の低い煽りしかできないなら、荒らしや電波の方と同じです。

4 ：

たけしのコマ大数学科　Part17
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319347999/43-
43 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/25(火) 16:43:53.46
封筒のパラドクスの問題がよくわからないんだけど・・・
選びなおしたほうがいいって本当？
中身を見るかどうかで期待値が変わると思えないんだけど

5 ：

51 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/26(水) 04:46:53.46
>43
封筒Ａ，Ｂに対して１つを選んだらC円だった。
だからの残りの封筒はC/2か２Ｃ。で期待値は5C/4までは俺でもわかる。
Ｃ円を戻して最初の状態を考えると可能性は（Ｃ，C/2）と（Ｃ，２Ｃ）の二つ。
封筒の合計金額の期待値としては（３/４＋３/２）*C/2で９Ｃ/８。
選んだ封筒、残った封筒の組み合わせは
（Ｃ，C/２）
（Ｃ，２Ｃ）
（Ｃ/２，C）
（２C，C）
変えたときの期待値は上から、−Ｃ/８、+C/４、＋C/８、−Ｃ/４.。
全体としてはプラマイゼロだけど、上二つ下二つで区切ると+C/8と-C/8。
それを9C/8に足すとあR。
Ｃ円が確定したことで下二つの組み合わせの可能性が消えたから変えたほうが得になる。
ということなのではないだろうかと思ったんだけどどうなの？

6 ：

83 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/28(金) 09:30:42.99
封筒のポイントは変更しても０やマイナス（自腹を切る）にならない事
84 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/28(金) 18:31:50.35
封筒の中身が偶数か奇数か考慮すると結果が違ってくるけど
そんなことはどうでもいいのか
開けた封筒が偶数だった時点でもう片方は2/3の確率で半額だと思うが

7 ：

ge] 投稿日：2011/10/28(金) 20:18:48.26
本買ったけどよくわからん
なんで見た瞬間に期待値が決まるの？
見てなくてもx円と1.25x円じゃないの？？
87 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/28(金) 21:08:58.73
>>74
確かに納得できないねぇ
>>84
そこは小切手などで25.5円とかできるで考える
ただでさえ複雑なのにモンティ入れたら収拾付かない
>>86
確かにこの問題においては、見た瞬間に期待値が決まるのに納得はいかんなぁ
２つの封筒をもらえるＡ，Ｂがいて、開封後にＡに交換する権利がある場合の期待値っていくつなんだろう？
その場合のＢの期待値は？

88 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 00:40:37.51
>>87
見たあとなら交換したほうが得ってことはさ、
均等に乱雑な金額が入ってる封筒で片方が２倍で
Aは何も考えずに封筒を１つ選ぶ
Bは見てからもう１つに取り替える
Cは１つ選んで見ないでもう１つに取り替える
こうするとBだけほかの１．２５倍に収束するってことか？
ありえないだろw

8 ：

89 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 02:11:55.39
「一方の封筒にx円入っていたときに、
もう一方の封筒にx/2円入っている確率と2x円入っている確率が常に同じ」
と仮定すると、封筒を開ける前の時点で、
封筒にx円、2x円、4x円、8x円、16x円、32x円、…入っている確率はすべて同じになる。
つまり、封筒を開ける前の期待値は∞ということになる。（必ず両方に0円入っているという場合を除く）
これが、「常に封筒を変えた方が得」という変な結果になる理由ではないかと思う。
両方の封筒の期待値が∞なので、変える前後の封筒の期待値の比が∞/∞になり、1になるとは限らない。
90 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 04:25:37.20
>>88
＞ 均等に乱雑な金額が入ってる封筒で片方が２倍で 
こんなふうに封筒にお金を入れることは不可能。
よってそれ以降の論議は意味を成さない。
91 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 05:28:27.04
小切手にしてやれ。堅いやつめ。
92 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 08:32:42.53
そうそう、小切手とか、塩の量で考えるのいい

9 ：

93 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 10:06:14.29
例えば現実に封筒のゲームをやるとする
まず親となる人間が封筒に１０００円と２０００円を入れる
このときプレイヤーは金額を全く知らないが、親から見た期待値は１５００円
そしてプレイヤーが１０００円を引いて交換しようとするとプレイヤー視点の期待値は１２５０円
もし２０００円のほうを先に引いたら期待値は２５００円のように見える
どちらを先に引いても正しい期待値１５００円を計算できないんだから
封筒の金額から期待値を求めるのは間違ってるんじゃないかと思う

10 ：

97 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 12:31:22.20
問題がおかしい気もするね。
a, 2a の封筒があるときに
aを引けば、変えると2a,1/2aの可能性
2aを引けば、変えると4a,aの可能性
となるが、すべて1/2の確率で２倍か1/2倍になるという仮定をしているが
実際にはそうならない。確率０％の1/2aや4aを50％と見なしているので
おかしなことになる。
問題を変えて、「２つめの封筒を引く前に、１つめの封筒の２倍か1/2倍
の金額に入れ替えました。ただし、２倍か1/2倍のどちらになるかは50%
の確率です。あなたは、２枚目の封筒に変えますか？」
としないとだめだろ。
98 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 12:34:11.56
>>97
問題を変えたら意味ないだろ
パラドクスでもなんでもない

11 ：

テンプレとこれまでの経緯は以上

12 ：

20%くらいじゃないの？

13 ：

20%くらいは専用スレで

14 ：

とりあえずExcelのマクロ動かしてみた
Sub Macro1()
Dim i As Long
Dim x(1) As Long
Dim coin As Long
Dim jibunnogaku As Long
Dim koukannogaku As Long
Dim koukanshinai As Long
Dim koukansuru As Long
For i = 1 To 10000
Randomize
x(0) = Int(Rnd(1) * 100000) + 1
x(1) = x(0) * 2
Randomize
coin = Int(Rnd(1) * 2)
If coin = 0 Then
jibunnogaku = x(0)
koukannogaku = x(1)
Else
jibunnogaku = x(1)
koukannogaku = x(0)
End If
koukanshinai = koukanshinai + jibunnogaku
koukansuru = koukansuru + koukannogaku
Next i
End Sub

15 ：

金額が有限ではあるけど、結果は施行するたびにkoukanshinaiが上だったり、koukansuruが上だったり
あとはここみた
http://www.yoshizoe-stat.jp/stat/sinf9307.pdf#search='パラドックス 2つの封筒'
結局、用意できる数字が無限と考えるのがいけないのかな・・・
問題的に無限であっても数学的に計算するときに無限と考えてはいけないケース
金額に範囲があるとすると50%の確率で倍や半分になるのではなく、時には100%の確率で半分に、また、100%の確率で倍になるケースもある。
金額の範囲が仮に1000円〜1億円だとすると
最初選んだのが1000円で100%の確率で1000円の得、1億円の場合は100%で5千万円の損、よってこの1000円と5千万円が全ての確率を相殺しているのでしょうね。
1000円〜1億円と設定したが実際には上にも下にも壁があるというだけでで限りになく0や無限に近い数字なのでしょう

16 ：

Sub Macro2()
Dim i As Long
Dim x(1) As Long
Dim coin As Long
Dim jibunnogaku As Long
Dim koukannogaku As Long
Dim koukanshinai As Long
Dim koukansuru As Long
For i = 1 To 10000
Randomize
x(0) = Int(Rnd(1) * 100000) + 1
jibunnogaku = x(0)

koukanshinai = koukanshinai + jibunnogaku
Randomize
coin = Int(Rnd(1) * 2)
If coin = 0 Then
koukannogaku = x(0) * 2
Else
koukannogaku = x(0) / 2
End If
koukansuru = koukansuru + koukannogaku
Next i
End Sub

17 ：

封筒はひとつ、封筒の金額を見た後1/2で倍か半分になるギャンブルをするロジックに変えてみた
なんとギャンブルをするほうが平均的に1.25倍程度に増えます・・・
最初に用意された２つの封筒と、封筒を見た後に1/2のギャンブルをするのでは結果が変わりました・・・

18 ：

>>17
それはそうなるだろうと思ってた

19 ：

期待値は？じゃなくて変えたほうがいいかどうかだろ
最初にどっち選んでも変えたほうがよくなるんだから、つまりどちらでも同じということだろ
最初に選ぼうが選ぶまいが中身が決まっているのだからもはや確率ではないんだよ
確率と言えるのは最初に高いほうを選ぶのが1/2というだけ

20 ：

いや
期待値の計算はどこがおかしいのか知りたい

21 ：

どの期待値の計算？

22 ：

だから、期待値という考え方がおかしいんだよ
ランダムなものの中から選んできたら平均でこれぐらいですよ、というのが期待値だろ
もう既に確定しているものを予想するのは数学的な意味での期待値ではない

23 ：

> ランダムなものの中から選んできたら平均でこれぐらいですよ、というのが期待値だろ 
違う。
＞ もう既に確定しているものを予想するのは数学的な意味での期待値ではない 
確定しているものの確率を数学で扱うことになにも問題はないが？

24 ：

期待値とは、確率と確率変数をかけたものの総和。 他の意味は(数学的には)ない。

25 ：

>>24
なんかバカに説明しても無駄だということがようやくわかったよ
おまえさんももうやめときな

26 ：

確定しているものの確率は１
勝手な想像で1/2と1/2にするのが間違い

27 ：

>>25
数学板なんだから、数学の話をすればいいと思うよ。

28 ：

＞ 中身を見るかどうかで期待値が変わると思えないんだけど 
中身をみたら期待値は変わる。
封筒内の金額に関する新たな情報が与えられたのに
期待値が変わらないほうがおかしい。

29 ：

数学的な期待値と勝手な妄想による己の期待している値をごっちゃにしているバカ発見ｗｗｗ

30 ：

>>28
おかしいのはおまえの頭

31 ：

おそらくそんな感じで合ってると思うけど、
じゃあ１つの封筒をあけて1万円だったときもう1個の封筒の期待値はいくらなの？

32 ：

最初に見た封筒に高額の方の金額が書かれているか、低額の方の金額が書かれているかどうかは1/2づつ。
交換しないを選択し、高額の金額を手に入れるか、低額の金額を手に入れるかも1/2づつ。
交換するを選択し、高額の金額を手に入れるか、低額の金額を手に入れるかも1/2づつである。
しかし、見た封筒の金額がAであったとき、他方の封筒の金額が、2Aであるか、A/2であるかの確率は
1/2づつだと判断できるはずがない。
前者は「○●」があったとき、「○」を選択するか、「●」を選択するかは1/2づつだと言うことを言っている。
最初に「○」を引き、交換するか、交換しないか迷ったり、最初に「●」を引き、交換するかしないか迷おうと、
結局、高額を引く確率、低額を引く確率は、どうなろうとも、最終的には1/2づつである。
後者は、「□」を選んだ時、これは、「◇□」という物の中から「□」を選んだのか、「□☆」という
物の中から、「□」を選んだのか、確率が1/2づつだという判断など出来るはずがないということを言っている。
この確率は、「◇□」と「◇☆」の存在比に依存する。この比が与えられない以上、期待値など計算できるはずがない。
明らかに違うこの両者を「同じ？」と錯覚させるのが、２封筒問題の正体。

33 ：

訂正
誤：この確率は、「◇□」と「◇☆」の存在比に依存する。この比が与えられない以上、期待値など計算できるはずがない。
正：この確率は、「◇□」と「□☆」の存在比に依存する。この比が与えられない以上、期待値など計算できるはずがない。

34 ：

>>31
２封筒の合計金額がaである確率を P(a)とすると。
2500(P(15000)+4P(30000))/(P(15000)+P(30000))

35 ：

>>30
数学板なんだから数学の話をすればいいと思うよ

36 ：

>>29
誰が？

37 ：

>>32
>明らかに違うこの両者を「同じ？」と錯覚させるのが、２封筒問題の正体。
そこが最重要ポイントの１つではあるが、それだけじゃない。
そこをクリアしているにも関わらず、
元の問題や派生問題で、パラドクスだと考え、それに関して間違った解決・説明を与えているのも多い。

例えば、以下の２つのような主張や、これに対する説明
「◇□」と「◇☆」の確率の比が全くわからない場合、
どちらが選ばれる(主観)確率も同じと考えるしかないので、パラドクスとなるとする主張：
一方の封筒をあけて10000円だったとき
他方の封筒の金額が5000円である(主観)確率,20000円である(主観)確率は1/2ずつと考えるしかないので
他方の封筒の金額の期待値は12500円。これは確認した金額(交換しない場合の金額)より大きいから
交換した方が良い・交換した方が得である。これはパラドクスである。

「◇□」と「◇☆」の確率の比が与えられていてもパラドクスとなる場合があるとする主張：
n=0,1,2,3,…で
２封筒に2500*(2^n) 円, 5000*(2^n) 円を入れる確率を (1/3) * (2/3)^n であると明らかな場合を考える。
・確認した金額が2500円である時は、他方(交換後)の金額が5000円である確率が1なので
　他方の金額の期待値は 5000*1=5000(円)で、確認した金額2500円より大きいから交換した方が良い・得である
・確認した金額(交換前の金額)が5000*(2^n)円(n>=0)である時は、他方(交換後)の金額が
　2500*(2^n)円である確率は3/5, 10000*(2^n)円である確率が2/5なので
　他方の金額の期待値は 2500*(2^n)*(3/5) + 10000*(2^n)*(2/5)=　(11/10)*5000*(2^n) (円)
　で、確認した金額5000*(2^n)よりも大きいから交換した方が良い・得である
どのような金額を確認した場合でも、交換した方が良い・得であると導かれたが、これはパラドクスである。

38 ：

上の例はなんも>>32の内容をなんも理解していない人の考えそのもの
下の例は、分布が与えられているのだから、封筒を確認する前の時点でゲームの期待値を計算できるが、発散している。
無限大が絡む話ではその様なことはよくあること。不思議なことかもしれないが、原因は明確。
無限大に繋がる量を、普通の数と同じルールの上で計算しようとしたことにある。
「２封筒問題の不思議」ではなく「無限の不思議」のカテゴリーに入れればよいこと。

39 ：

はじめの封筒にx円入っている確率をpとすると、
確率分布関数p(x)は、
∫[0;∞]p(x)dx=1かつ
任意のxでp(x)=0
を満たすものとなるよな？
このような関数の持つ性質について

40 ：

>>39のような分布で２封筒のお金a円・2a円の額を決めることは不可能
1以上∞までのさいころやくじがないから。
仮に主催者が異なる分布たとえばp(1)=p(2)=…=p(1000)=0.001
としてa円を決めその2倍（2a円）をもう1つの封筒に入れたとする。
もう前提が違うので意味のない話だが、
１まい目の金額をb円とすると∫[0;b-1]p(x)dxと∫[b+1;1000]p(x)dx（または額が2倍なのでp(x/2）の積分でも良い)
の大小で2枚目の封筒にするかとどまるか判断すれば良く１：１ではない。
１：１というのは何も情報がない人がとりあえず、勝手に、決めたものである。

41 ：

>>39
xが離散的な値ではないと仮定しているのか？

>>40
＞ >>39のような分布で２封筒のお金a円・2a円の額を決めることは不可能 
＞ 1以上∞までのさいころやくじがないから。 
ふつうの６面サイコロがあればいい。
1以上∞までのさいころやくじなど必要ないと思うがどうか。

42 ：

>>40
あ、ごめん。 「>>39のような分布で」 を 「>>37のような分布で」  と読み間違えていた。
>>41は無視してくれ。

43 ：

128 ：１３２人目の素数さん：2011/11/01(火) 10:41:11.11
「２つの封筒問題スレ」を見る限り、
「封筒を空けて金額を見た瞬間にその後の交換したほうが得」という中村亨の回答・解説は間違いのような気がするがどう？
>>128
「得」という単語の意味を
「現在の封筒の金額の期待値よりも交換後の期待値のほうが大きい」と
置き換えるのなら正しい。
ただし、以下を仮定している。
開けて出てきた金額が今回と異なる金額のときに
他方の封筒の金額が高額である場合と低額である場合が
それぞれ1/2である必要はない。

では、ＡとＢに封筒が渡されて交換が可能、金額を見た瞬間に両方の期待値があがるという事？

44 ：

二つの封筒で、二倍の場合、十倍の場合、差額が十万円の場合(マイナスなら自腹)などで
一方の金額がわかった後の期待値を考えれば問題の性質がわかるかも
よくわからんが

45 ：

俺は期待値はあがらないと思うんだけどな

46 ：

というかコマ大本、もっと解説充実させるべきだろ
あれだけじゃ誰も理解できないじゃん

47 ：

>>43
＞ では、ＡとＢに封筒が渡されて交換が可能、金額を見た瞬間に両方の期待値があがるという事？ 
両方あがるって何と何のことで、何に対して上がるって言ってる？
「A、Bというのは人で、二枚一組の封筒の一方がA、もう一方がBに渡されたときに
　AとBとが共に封筒を開け金額を確認（互いには見せ合わない）したときに
　A,Bふたりとも交換後の金額の期待値が、現在の封筒の中の金額よりも高い」
ということなのだとしたら、そうだよ。
ただし、封筒を開けた時の金額がいかなる場合でも、自分が持っている封筒が
多い方の封筒なのか、少ない封筒なのかが常に1/2という分布は存在しない。
たまたま、今開けた時の金額のときには1/2だということはあり得る。
A,B共にそういう金額だったということもありえる。
ここでは、そういった場合を想定している。 
そうでなければ、A,B共に交換して増えるか減るかが1/2ということはありえない。
さらにA,Bが増えるか減るかは独立ではない、片方が増えるなら、もう一方は必ず減る。

48 ：

>>45
何の期待値が、何に対して上がるか上がらないかの話をしている？

49 ：

>>48
具体的にいうと1枚目をあけて１００００円だったときにあけてないほうが１２５００円になるということ

50 ：

>>47
>ただし、封筒を開けた時の金額がいかなる場合でも、自分が持っている封筒が
多い方の封筒なのか、少ない封筒なのかが常に1/2という分布は存在しない。
これっておかしくない？
どちらを選ぶかは自由なんだから1/2だと思うんだけど

51 ：

コマ大から流れてきたから数学の専門的なことはわからないよ
封筒２つの組が２組あって
それぞれ（５０００円、１万円）と（１万円、２万円）の組み合わせしかない時は
１万円の封筒引いたとき交換したほうがお得だよね？
でも問題のようになるとお得ではなくなる？

52 ：

>>49
そのときＢが中身を見て5000円だったら、Ｂの交換期待値は6250円になるということか？

53 ：

>>52
俺はおかしいと思うけど、
このコマ大の解答ならそうなるんじゃない？

54 ：

>>49
それは「期待値が上がる」のではなく、現在の金額より「交換後の期待値のほうが高い」だね。
期待値のほうが高くない（低いまたは同じ）とする理由は？

55 ：

>>50
＞ どちらを選ぶかは自由なんだから1/2だと思うんだけど
それは封筒を開け金額を確かめる前なら、そのとおり。
金額を確かめたら、そうではない。

56 ：

誰かコマ大の問題を、正しく再掲載してくれないか？

57 ：

>>54
たしかにそうだね
確定した金額と期待値を比べているのもおかしいと思うけど、
コマ大の解答は交換したほうがいいって書いてあるよね
金額をたしかめるということによって変わるのがおかしいと思う
見たふりして見なかったらどうなるの？
二人ひと組みで一人だけ見たらどうなるの？？

58 ：

>>55
それも理解できない
確かめたあとでも
高い方を引いてるか低い方を引いてるかは半々じゃない？

59 ：

>>56
書こうかと思ったけど、本にのってる文章はどうでもいいこといっぱい書いてあるからすごい長い

60 ：

箱がある。箱には、「◇□」というものと、「□☆」というものがたくさん入っている（※）。
箱の中から一つの「？？」を取り出し、「？？」の中からさらに一つを選んだら、
「□」がでてきた。「？？」の中のもう一方が、「◇」である確率と、「☆」である確率は？
こんな問題、計算できるはずがない。出来るはずのない問題に対し、あれこれ言っているのが２封筒問題だ。
例えば、(※)が
・箱には、５０個の「◇□」というものと、５０個の「□☆」というものが入っている。
・箱には、９９個の「◇□」というものと、１個の「□☆」というものが入っている。
・箱には、１個の「◇□」というものと、９９個の「□☆」というものが入っている。
の様になっていれば、きちんと計算できる。そして、それぞれに対応して、☆の確率は50%、1%、99%となる。
これが判って初めて、交換してもしなくても同じか、しない方がよいか、した方がよいか決定できる。
逆にこの様なデータがなければ、「判らない」としか言いようがない。
「交換した方が常に得？」←勝手な思いこみを根拠としている間違った判断以外の何物でもない。

61 ：

>>57
＞ コマ大の解答は交換したほうがいいって書いてあるよね 
すまん、コマ大は放送を見ただけで、
「確かめた金額よりも交換後の期待値のほうが大きいので交換する」
という趣旨の回答だったことはおぼえているんだが
一字一句正確な問題文や、回答文はおぼえていない。
＞ 金額をたしかめるということによって変わるのがおかしいと思う 
これはどうして？
＞見たふりして見なかったらどうなるの？ 
見なかった時と同じ。
＞二人ひと組みで一人だけ見たらどうなるの？？ 
見た方の期待値だけが変わる。 見ていない人は変わらない。
（ただし、中身を確かめるまえの期待値が計算できるかどうかは
　番組の問題文からはわからないはず、おそらく分布は与えられていなかったと記憶している。）
>>58
＞ 高い方を引いてるか低い方を引いてるかは半々じゃない？ 
ちがう。 封筒に入っている金額の分布によって変わる。
開けるまでは、封筒に入っている金額がわからないので
２つの封筒のどちらが高いか低いかは1/2。
しかし金額がわかった後で、いかなる金額でも1/2になるような分布はない。
（何か特定の金額で1/2になるような分布はある、おそらく番組で扱ったのはこのケース）

62 ：

>>60
じゃあコマ大の解答が間違えているってこと？
その例ならどんなばらつきだとしても
◇は□より大
□は☆より大とか条件つければ
選んだ１つが大である確率は５０パーだと思う
その例自体が不適切なんじゃない？

63 ：

>>61
つまり
見たあとだと期待値は１２５００円になるから交換したほうがよい
見たあとでは残りが５０００円の確率と１００００円の確率は等しくない
この２つが同時に成り立つってこと？
上と下は同時に成り立たないと思うんだけど

64 ：

>>60
＞ 逆にこの様なデータがなければ、「判らない」としか言いようがない。
具体的な数値はわからなくても、答えを思考することはできる。
任意に取り出したものが「◇□」である確率をPとすれば
「□☆」を取り出す確率は1-P。
このPを使って、Pがどのような値なら交換後の期待値が大きくなるのかを考えれば良い。
番組では、Pが1/2と仮定した場合についての答を出していたが、他のいろいろな値でも考慮すればいい。

65 ：

>>63
微妙に異なる。
1) 見た後では、選んだ封筒が高いほうか低いほうか1/2とは限らない。（1/2になることもある）
２） 見た後に、選んだ封筒が高いほうか低いほうか1/2の仮定の下では期待値は１２５００円になる。
１）と２）は同時に成立する。
交換したほうが良いかどうかは、価値観の問題なので数学とは異なる。

66 ：

>>65
それならたしかに矛盾しないが
それだとコマ大の解答の期待値は１２５００円になるから〜
ってのは仮定を勝手に作ってるということ？
その仮定が成り立つ場合と成り立たない場合がよくわからない

67 ：

>>62
おれはコマ大なるものを知らない。
設定の違いがあるのなら、それが原因で結論が異なることもあるだろうが、違いがないのに同じ
結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。
後半部分に対しては、>>32でも書いたが、「大きい方」等という指定の仕方をすれば、
それは、「○●」で表現できる「大きい方」と「小さい方」の２種類しか現れないが、
「A円」等という指定の仕方をすれば、「◇□☆」で表したように、「A/2」、「A」、「2A」
の三種類を考えなければならない。この違いをきちんと認識した上で問題を捉えているか？

68 ：

>>67
＞ 違いがないのに同じ 
＞ 結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。 
言いたいことはなんとなくわかるが、おそらくこれは書き間違いだよな？

69 ：

>>67
いや、俺自身も>>32と同じ考えだからそれはわかるよ
期待値として計算できないものを期待値としてるってことでしょ？
1/2ずつじゃないってのはちょっとよくわからないけど
コマ大の解答では同じ問題なのに期待値は見る前はわからないが見たあとは12500円になると書いてあって
それが理解できない

70 ：

>>69
>>32と同じと書いたがほぼ同じというべきだったな
俺は1/2ずつだと思ってるから

71 ：

>>62
≫60の例は、考え方としては間違いの方向にはないだろう
◇＞□＞☆の関係があるとする
【◇□】も【□☆】の組み合わせも同じ量入っているとする
仮に◇10000＞□5000＞☆2500だとして（引いた人はこれを知らない）
開けた封筒が5000円の場合は50%の確率で+5000円、-2500円の損得
10000円を引いて交換すると常に5000円の損
2500円は常に2500円の得である
5000円を引く確率は50%、10000円、2500円を引く確率は25%づつ
5000円→50%+1250円[50%-2500円、50%+5000円]=
10000円→25%-5000円
2500円→25%＋2500円
そうするとこの箱から選んで交換する場合の期待値はプラスマイナス０です。

72 ：

>>71
そう結論づけるならわかるよ
つまり交換してもしなくても変わらないってことでしょ？
俺はそうなると思ってるから

73 ：

71の箱が無限にあり、【□☆】【☆○】も期待値プラマイゼロ71の箱が無限にあり、【◎◇】【◇□】も期待値プラマイゼロと無限に考えれば
【◎◇】【◇□】【□☆】【☆○】の集合でもプラマイゼロと考えられるだろう・・・

74 ：

>>64
一体、何を書いているんだ？　だからおれは、
>>　逆にこの様なデータがなければ、「判らない」としか言いようがない。
と書く前に、具体的な存在比を仮定して、50%だとか、99%だとか、1%だとか書いただろう。
そして、その数値によって、判断は３つに分かれると。
だから、その判断材料に不可欠な数値が明らかでない以上、判断できないとかいた。
>>具体的な数値はわからなくても、答えを思考することはできる。
すでに、実践して示しる。

75 ：

そして封筒を開けて□5000円が入っていたとして、それが【◎◇】【◇□】の□か、【◇□】【□☆】の□か、【□☆】【☆○】の□かは不明だが
【◎◇】【◇□】【□☆】【☆○】の中の□がプラマイゼロの期待値だから交換期待値は5000円だと思う
よってコマ大の空けて中身を見ると1.25倍の期待値になるというのは間違いだと思う

76 ：

>>75
俺も間違えだと思うんだよね
でもあの本が間違えるかな？

77 ：

>>68　ご指摘の通り　訂正
誤：設定の違いがあるのなら、それが原因で結論が異なることもあるだろうが、違いがないのに同じ
　 　結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。
正：設定の違いがあるのなら、それが原因で結論が異なることもあるだろうが、違いがないのに異なる
　 　結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。
ついでに>>74　も訂正
誤：すでに、実践して示しる。
正：すでに、実践して示している。

78 ：

補足として、あけて10000円で交換しても期待値が１００００円というのを逆算すると、
残りの封筒に入ってるのは５０００円か２００００円
これの期待値が10000円になるためには、
5000円が2/3、20000円が1/3になる
ということはあけて10000円だった時点でそれが大きいほうだった確率は小さい方だった確率の２倍
10000円という数に意味はないから
無作為に２つの封筒から１つ取ると小さいほうを引く確率が２倍ということになる
？？？？？
これはどこが間違えてる？？

79 ：

>>74
＞ そして、その数値によって、判断は３つに分かれると。 
３つにわかれる？
交換する、しない、以外に何があるんだ？

80 ：

>>76
間違えてもおかしくはないと思うけど・・・こういう時はコマ大チームの出番だと思うけど、
大量に二組の封筒を混ぜた箱から一組選んで1万回くらいやって、変えた場合、変えない場合のトータル金額を出す
大量に二組の封筒を混ぜた箱から選ぶというのが問題の意に反するといわれたどうしようもないが・・・

81 ：

>>74
＞ すでに、実践して示しる。 
先に手にした封筒が高額の方の封筒である確率がどのくらいの範囲ならば
交換後の期待値が高くなるのか等、示されていないと思うが。
実践というのは、そのような具体的な数値を示すことは含まないのか？

82 ：

>>80
そういう試行したら絶対変わらないと思うんだよね
見たか見てないかで結果が変わるってのはありえないでしょ
あの番組に出てる数学者の人って一応それなりの人でしょ？
有名問題だし間違えるというのは考え難いなぁ

83 ：

>>78
うまくいえないけど、
5000円が1/2、20000円が1/2の場合もあるし、5000円が0/1、20000円が1/1の場合もあるし、5000円が1/1、20000円が0/1の場合もある事も考慮に入れないといけない
それを平たくすると5000円が2/3、20000円が1/3となる、しかしこの2/3とか1/3は確率ではなく期待係数みたいなものかな・・

84 ：

>>78
＞ 無作為に２つの封筒から１つ取ると小さいほうを引く確率が２倍ということになる 
逆じゃないか？ 大きい方をひく確率が２倍だと言いたいんじゃないの？
もっとも、「交換後の期待値が交換前の金額と一致する」というところは間違い。
それは一致しない。
（たまたま一致することはあるが、するとは限らないと言ったほうがいいか？）

85 ：

>>83
うーん
それがよくわからないな
大と小と書かれた二つの封筒があって
無作為に封筒あけて大きいほうである確率はさすがに1/2だよね？

86 ：

>>84
そうだ、大きいほうが２倍の間違え
やっぱり確定した金額と期待値を比較するという概念自体が間違えてるということ？
じゃああけて１００００円だった封筒がある
この封筒の期待値っていくら？？

87 ：

>>85
それで間違いないと思う、
この集合には見えない下限と見えない上限が存在するとすると、下限の出現する可能性と上限の出現する可能性は等しい
しかし、下限のときに100%プラスになる金額と上限のとき100％マイナスになる金額の差が膨大
よって長いことこの封筒の交換を行うと交換してもしなくても期待値は同じになる
よって個々の施行の期待値も同じであると考える

88 ：

まとめると、
10000円引いたとき残りの封筒が5000円である確率は0か100%
10000円引いたとき残りの封筒が20000円である確率は0か100%
それを合成して5000円1/2、20000円1/2としているのが間違いなんだろうね

89 ：

>>87
差が膨大ならプラスのほうが大きくなるんじゃないの？
というか言ってることの意味がよくわからない

90 ：

>>88
まぁ、それはそうなんだよね
それが正しいのはわかる
結局もう１枚の期待値も今引いてるほうの期待値も定義できないってことでしょ？
コマ大は間違えてるってことになるけどそれもおk？

91 ：

でもそれだと結局取り替えても変わらないってことでしょ？
それはもう１枚の期待値も１万円ということにはならない？？？
いや、期待値を考えることすらできないんだからならないのか？

92 ：

>>87
書かれている金額にマイナスがあるんならその通りだけど、下限が０なら、上に発散する。
すると、「交換する方が常に得」という状況もあり得るが、無限を仮定した世界ならば、
このような事があっても不思議ではない。
>>88
正しい。面白い切り口だな。

93 ：

>>91
取り替えた方がよいか、取り替えない方がよいか、判断に必要な材料がないのだから
判断できないのであって、変わらないというのとはニュアンスが違う。
期待値が考えられないというのは正しい

94 ：

>>93
つまり、変えても変わらないのでなくて、
変えたら得になるかどうかは期待値の視点からもわからないということ？

95 ：

だとすれば１つ目の封筒を見て替えることと見ないで替えることは
全く同じということでいい？

96 ：

>>90
コマ大間違いはＯＫだと思う、
コマ大の先生は偉いから間違いないというなら、こちらのえらい先生は間違いというパラドックスが生まれてしまう
http://www.yoshizoe-stat.jp/stat/sinf9307.pdf#search='パラドックス 2つの封筒'
>>89
上限のときは100%-1億円とかになるから、マイナスに触れるの意味
>>91
半分になる確率や倍になる確率は不明でも、期待値は1万円でいいと思う
>>92
かりに無限があるとして、無限の2倍という存在し得ない数字がないと成立しないので上限てきな物は必ずあると考えている。また無限に０に近い数字というのものも考慮する、これは1/2に出来る数字ではない
あくまで期待値を求めるために考慮しないといけない存在・概念の話ですが・・・

97 ：

>>95
まったく同じだろうね、実際に100万回やって、1.25倍の差は出ないと思う

98 ：

ただ100万回の施行するのにどのような条件の元施行すればいいのか考えるのが大変

99 ：

>>96-97
それだとなんの疑問も無くなってしまうな
ただ、
>半分になる確率や倍になる確率は不明でも、期待値は1万円でいいと思う
この部分はおかしくない？
確率不明で１万円ってことは、ありえる金額は５０００円か２００００円なんだから、
>>78の議論になってしまわない？？

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