電磁気学

1 ：10/09/24 〜 最終レス ：11/12/02

学部程度の電磁気学のスレ
キーワード
マックスウェル方程式、ガウスの法則及び定理、グリーンの定理、
ストークスの定理、EとD、HとB、ビオサバールの法則、ベクトルポテンシャル、
ポインティングベクトル、クーロンゲージ、ローレンツゲージなど
電磁場の相対論的取り扱いは「エネルギー運動量テンソル」スレにて

2 ：

電流とは
金属導体の自由電子の流れと思ってもよいのですか？
金属の断片取っても電気的には中性ってこと。　

3 ：

メコス磁気学
恥部程度のメコス磁気学のスレ

4 ：

>>3
　書くな

5 ：

物質中の電磁気学もここでいいのかな
>>2
金属に限った話ではなく、電流は確かに電子の流れのこと

6 ：

＞電流は確かに電子の流れのこと
根本的な疑問がある？
電子のところを電荷とすると
同方向平行電流の場合引力ですね。同極なら斥力では？
例えば電荷の移動速度と同じ速度ので動いている座標系で見れば
電荷は動いていないのと同じ、静電荷として扱える。

7 ：

>>6
止まっている、電流の流れていない導線は
電気的に中性。

8 ：

>>6
それ、相対論で電磁気学を考えないと解けない疑問。
ファインマン物理学の問題として挙げられてるらしい。

9 ：

電流密度が相対論的な意味でベクトル密度になっているから、
電荷密度と三次元的な電流密度は変換のときに互いに関わり合う。

10 ：

根本的な疑問とは
中学時代…銅線に電流通すと磁場ができる。砂鉄で実験。
高校…右ねじの法則習った
大学電磁気…直線上に一様に分布する電荷、静電場を習ったが
その線電荷を動かしたら磁場を生じさせる電流とは言えるかという疑問。
動いているか否か見ただけでは分からない。
明らかに銅線に電流を流すとは違う。銅線はどこを取っても電気的中性。
分かりやすいイメージだとパイプに電荷をつらなって流した場合です。
これもパイプに電荷を詰めて自分が動けば同じこと。
銅線はパイプそのものが逆電荷になっていて電荷と電気的に中性になってい
ると思う。

11 ：

要するに電流の定義が分からないってこと？
線電荷を動かしても電流になるよ。

12 ：

というか、大学の電磁気学で一体何を勉強したの？静電問題しかやってないの？

13 ：

>>11
電荷、荷電粒子が動けば電流が発生するという理解です。
電荷の周りには電場がある。電荷同士ではクーロン力が発生する。
電磁気の教科書の電流の章に入ると
平行して流れる線電流には引力が働くということだが、クーロン力は
どうなったの？という疑問。同極なら斥力ではないかと？

14 ：

教科書には触れていないけど電流とは金属内を移動する自由電子を想定
しているのでは、そうでないとつじつまが合わない。

15 ：

電荷は電場を生み出す
電荷が運動すればさらに磁場を生み出す

16 ：

電荷が電場がないところで速度０となるような慣性系選べば、
磁場は生じないハズ。矛盾する。

17 ：

>>14が簡単に書いているけどもう少し詳しく書くとこうかな。
運動している電荷は磁場と電場の両方を作る。
導線を流れる電子の電荷は金属の陽イオンによって中和されているため磁場の効果だけが現れる。
電子とおなじ速度で動く慣性系から見た場合は陽イオンの運動があるためそれによって磁場が現れる。

18 ：

電荷が0だけれど、電流が0にならない状態がイメージできないってこと？
>>14も書いてるけど、導線に電流が流れているときは、
金属原子(プラスの電荷)と自由電子(マイナスの電荷)で電荷は0になっている。
だから、二つの電流の間で、電荷による力は考えなくてもよい。

19 ：

かぶった！
ごめん・・・

20 ：

13です。なにぶん低学歴なもんで地頭悪く、よく理解できなかったところです。
17さん18さんだいぶ分かってきました。でももう少し疑問あります。
自由電子はたぶん平均速度があると考えられます。その平均速度が０と
なる慣性系と通常の陽イオンの速度が０となる慣性系とは物理的に
同等と言えるか？です。というのは陽イオンは金属結晶ですね、自由電子は
結晶格子内を動くとき等速直線運動ではないと思います。多少結晶陽イオン
と相互作用していると思えるので加速度運動では？
考え杉ですかね？

21 ：

>>16に関してだけれども、
ある系で次のような荷電粒子の流れがあったとする。
x軸上を荷電粒子が+xの方向に流れ、
x軸上で電流は
j=(J,0,0)
J:定数
それ以外では
j=0
とする。電荷については、x軸上で、その荷電粒子「のみ」による電荷が存在し、
x軸上以外では電荷\rho は
\rho=0
となる。
この時、>>16が言うように、電流j によって磁場が生ずる。（慣性系x）
しかし、観測者が、荷電粒子と同じ速度で移動すれば、
つまり、荷電粒子が静止している慣性系（これを慣性系Aと呼んでおく）で観測すれば、磁場が存在していないことになるのではないか？
ある慣性系では磁場が存在した筈なのに、違った慣性系で観測すると磁場がなくなってしまう。
おかしい！
これが >>16 の疑問。
これに関して、>>16 の言うように、慣性系A で観測すれば、磁場は0になる。
しかし、これは矛盾する訳ではない。
違った慣性系で観測すれば、電場、磁場といった物理量は違った値をとりうる。
この辺は特殊相対論を勉強すればローレンツ変換で学ぶと思うので、
相対論やるまで楽しみにしてくださいな。

22 ：

>>20
「電子の平均移動速度」などで検索してみては？

23 ：

>>20
＞等速直線運動ではないと思います。
そうですね。私もそう思います。
一般的には次のように考えられていると思います。
まず、一般的な状況で、導線に電流が流れているとします。
乾電池、抵抗による単純な回路を想定します。
この場合、導線に電位差が生じるために、自由電子が導線内の電場から力を受けます。
すると、自由電子が加速されて、電流が流れ始めます。
このまま自由電子に、ほかの力が働かなければ、どんどん加速されてスピードが速くなっていきます。
しかし、導線内に分布している原子に衝突したりして、逆向きの力を受けます。
ある程度のところで平衡状態のようになって、電流が大体一定といえる状態になるのです。
物理的に同等云々に関しては、大体同等と考えて差し支えないと思います。
細かい話をすれば、結晶陽イオンも完全に静止しているわけではないです。
0[K]でない温度を持っている以上運動エネルギーを持っているわけですしね。
実際の現象を扱うとき、完璧に正しい答えを得ることはめったにできません。
だから、観測する精度によって、「このぐらいは仮定しても差し支えないだろう」
（例えば、自由電子は等速直線運動で考えればいいだろう、のような）という事を考えてモデル化していくのです。

24 ：

メコス磁気学
恥部程度のメコス磁気学のスレ

25 ：

・古典論のみの高校レベルの話だと
電流は自由電子の流れで、ときどき金属中のイオンやら不純物で散乱される。
自由電子は外から掛けられてる電場で加速して、散乱されると停止する。
電流はそのときの平均的な電子の運動として出てくる。
このとき電子間のクーロン相互作用は全く考えていなくて、
原子核のクーロン相互作用も電子の散乱の源としてしか考えていない。
・量子論をちょっと使った大学の初歩的なレベルの話だと
電流は伝導電子帯にいる電子の準古典的な運動として考える。
このとき電子・フォノン間の相互作用とか電子・不純物の相互作用が散乱として効いてくる。
伝導電子帯にいる電子が原子核から感じるクーロン力は価電子帯にいる電子によって遮蔽されて
弱くなるため、伝導電子はほぼ自由電子として扱える。
したがってこの考え方では、電子間のクーロン相互作用を無視すると、
散乱確率を量子論的に計算すれば高校レベルの話と同じようにして扱える。

26 ：

23さん25さんありがとうございます。
最初静電場やりますから一様に分布する線電荷が最初に登場してから
線電流と何の説明もなしに出てくると誤解しますね。よく分かりました。
力学では質点の概念から解説しますのに不親切な気がします。

27 ：

>>21
16ですがそれまで頑張ってみます。

28 ：

ちょっとした質問
磁場の元になっている電流は運動量みたいに慣性はあるの？
電流も慣性系では方向を変えないで保存する。
変えようとすると力がいる。

29 ：

>>28
漠然とした質問なのでごく部分的なコメントだけする。
電流の単位は、[電荷]/[時間]で長さに関する単位を含まない。したがって運動そのものではない。
運動と結びつけるには電子のような電荷を担う粒子を想定してその流量に換算しないといけない。

30 ：

レンツの法則がそんな感じでは？

31 ：

コイルに電流を流そうとすると磁石を妨げる方向にコイルの磁場が生じる
と言うことから、磁石には力がかかる。ただし方向が直角。

32 ：

フレミングだよ

33 ：

抵抗とコイルにつながれた回路を見るとインダクタンスを質量
電流を速度とみなすと
IR+L(dI/dt)=0
空気抵抗のある物体が減衰する姿に見られるから
電流には慣性があると思う。トンデモかもしれないけど磁場はその慣性を
伝える役目と考えられる。

34 ：

その論理で行けば、インダクタンスに慣性があると言ったほうが自然な気がするよ

35 ：

敢えてコイルに巻かなくてもインダクタンス成分は現れるから、同じ事じゃ無いの？
電流に慣性があると言うのと。
そう言う意味では確かに慣性（変化に対する抵抗）はある。

36 ：

網一歩話しを進めれば、場に慣性が在ると云える。即ち、並行する閉回路に場の変化を妨げる様に
誘導電流を生ずる。

37 ：

砂川の教科書買った、これで勉強するぞ！

38 ：

　ここも、クソガキの、巣窟！！！！
　ニートは、ちゃんと、面接対策しないと！！！！！

39 ：

やっぱり初等的な電磁気学の教科書といえば砂川か長岡やねー

40 ：

>>38
ﾏﾙﾁ乙ｗ

41 ：

>>37
どれだ？

42 ：

そう、砂川の電磁気と量子力学の教科書は２種類づつある…

43 ：

いいねえ
自分も砂川重信の理論電磁気学持ってるよ
最初のほうでMaxwell 方程式を導出して、それを元に現象を記述しようとしているのが格好良い！
なんか、Maxwell 方程式が最後のゴールみたいになってる本が多いんだよね・・・

44 ：

メコス磁気学
恥部程度のメコス磁気学のスレ

45 ：

砂川の散乱の量子論は本の大きさがコンパクトで好き

46 ：

>>43
何いってんだ？探せばいくらでもある

47 ：

割と早くマクスウェルの方程式が出て来るのは上級の教科書だね。
ジャクソン、パノフスキー、ランダウ、ストラットンといったところ。
シュヴィンガーもたぶんそうじゃないかな。実物を見たことないけど。

48 ：

帰納型か演繹型かの違いだね
帰納型教科書の場合は
クーロンの法則→ガウスの法則→電場と電位→定常電流
→アンペールの法則→ビオ・サバールの法則→ファラデーの法則
→マクスウェル方程式→電磁波
という流れで一応完結するし、教養として電磁気学を学ぶ程度ならこれで十分だと思う。
けど物理学を専門とする人ならマクスウェル方程式から先の展開を扱った教科書も読むべし

49 ：

逆をたどるだけなんて中学生でもできる
やるだけ時間の無駄

50 ：

>>49
逆をたどるってどういうこと？

51 ：

逆を辿ったらリエナール・ヴィーヒェルトポテンシャルが出てきたでござるよ

52 ：

逆を辿ったらジェフィメンコの方程式が出てきたでござるよ

53 ：

逆を辿ったらスネルの法則が出てきたでござるよ

54 ：

中学生ども流石だ

55 ：

は？俺小学生だし

56 ：

俺は幼稚園児だし

57 ：

カード現金化『ユキチカ！』 http://yukichika.jp/

58 ：

>>38
わかった。ありがとう。

59 ：

メコス磁気学
恥部程度のメコス磁気学のスレ

60 ：

ベクトル解析の参考書でいいのって何ですか？

61 ：

>>60 そのまま電磁気を題材にした深谷先生の本。
　誤植多いけど。

62 ：

ありがとうございます。

63 ：

近接作用とは電荷の周りの空間を誘電体のように考えればいいの？
無限連続に偏極を繰り返すと。

64 ：

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65 ：

>>63
もともとは、物質同士の接触に依る作用だ。
これも、微視的に見れば粒子の間の遠隔作用に過ぎない訳だが、電磁気力や重力とは違う物かも知れないから
区別して近接作用と呼んでいる。

66 ：

遠隔作用＝クーロンの法則
近接作用＝場の微分方程式
じゃないの？

67 ：

>>66
＞近接作用＝場の微分方程式
＞じゃないの？
ここのところ、分かりません。もうちょっと解説願います。

68 ：

場の微分方程式というのは、たとえば電磁気の場合なら
（ふつうの微分形の）マクスウェル方程式のことです。

69 ：

遠隔作用=coulomb の法則では電荷Q1、位置r1 の点電荷P1と、電荷Q2、位置r2 の点電荷P2の間に働く力の大きさが
1/(4\pi \epsilon0) ・ (Q1 Q2)/|r1-r2|^2
になる。近接作用の場合、Maxwell 方程式
\Box A^i =\myu0 j^i
0=\nablai j^i
に従って電磁場が変化する。そして、電荷P2は、遠くにある電荷P1からではなく、
P1から空間を伝わってきた電磁波によって力を受ける。
P1,P2の位置が固定されてから十分な時間が経ち、電磁波の影響がない、定常状態においては、
働く力はCoulomb の法則の場合と一致する。
ただし、電磁波の影響がある場合や、位置が固定されてから十分な時間が経っていない場合には、
働く力は Coulomb の法則に一致するとは限らない。

70 ：

divrotA=0は計算で０ということは分かりますが
物理的に説明すると
回転要素の発散はあり得ないということですがイメージつきません。

71 ：

閉曲線を描くように移動する物体は、
ある領域に入っていくと必ずそこから出てくるわけで、
差し引きするとゼロになる。

72 ：

>>71
うまい！

73 ：

電磁石同士の反発力は弱いのでしょうか？
永久磁石同士だと、磁気回路でいうと反発時でも磁束の量がおなじなので反発力は強いのかなと思うのですが
鉄心のある電磁石同士を反発させると、お互いの磁束が打ち消しあいなくなってしまうと思えるので
反発力ってでるのかなと疑問です。
だれか知らないでしょうか？

74 ：

>>73
電磁石同士の反発力や引力の大きさは
それぞれに流れる電流の大きさに比例する。
電流さえ大きくすれば、反発力はいくらでも強くなる。
このケースを磁荷で考えるのは無理。
磁力線どうしが互いにはじき合う、と思えば理解できる。

75 ：

>>74
どうもありがとうございます。
私もそう思っていたのですが、磁気回路で考えると
永久磁石は、電気回路でいう出力抵抗が大きな電源（磁石の透磁率が低いから磁気抵抗大）
鉄心入り電磁石は、出力抵抗が小さな電源（鉄心の透磁率大だから磁気抵抗小）
にそれぞれ相当するように思います。
たとえばＵ型の永久磁石どうし同じ起磁力で反発方向に向かい合わせるともともと出力抵抗が大きいので、横方向の空気を通って磁束がでてもあまり磁束の量は変わらないと思う。
しかし、Ｕ型の電磁石同士同じ起磁力で反発させたら、磁束は横方向に出るしかないと思いますが、横方向は空気の磁気抵抗が大きいので磁束量は激減してしまうように思うのです。
力は磁束が少なければ出ないと思ったので、反発の場合は力が弱くなるのかなと考えた次第です。

76 ：

>>75
あなたの語るイメージが私にはつかめないけど、電磁石の場合、
電流が２倍なら磁束も２倍。これがすべて。
どういうイメージであなたが、磁束が激減すると考えているのかは
わからない。でも、仮にそうであっても、その状態で電流を２倍にすれば
磁束は２倍。１０倍にすれば磁束は１０倍。いくらでも
大きくなる。だから反発力も大きくなる。

77 ：

>>75
もしかして、半径が同じ２つの導線リングを平行にほとんど重ねて、
たがいに逆方向の円電流を流すようなケースを想像してる？
それなら、たしかに外部にできる磁場は弱いし、反発力も
弱いですね。

78 ：

>>77
私のイメージはよく見るＵ型の永久磁石がありますが、あれを鉄心の電磁石で作ったものを考えました。

79 ：

>>78
図で描くと
　　　　Ａ　　　　　　　Ｂ
　　　−−−Ｓ　　Ｎ−−−
　　｜　　　　←　　　　　　｜
　　｜　↓　　　　　　　　　｜　吸引方向
　　｜　　　　　　　　　　↑｜　この場合は磁気抵抗の小さい鉄心中を通る
　　｜　　　　→　　　　　　｜　磁束数は多いと考えられる
　　　−−−Ｎ　　Ｓ−−−　
　　　　　Ａ　　　　　　　Ｂ
　　　−−−Ｎ　　Ｎ−−−
　　｜　　　　　　　　　　　　｜
　　｜　　　　↓　↓　　　　｜　反発方向
　　｜　　　　　　　　　　　　｜　この場合磁束はほぼ磁気抵抗の大きな空気中を通る
　　｜　　　　　　　　　　　　｜　磁束数は激減すると考えられる。
　　　−−−Ｓ　　Ｓ−−−
　
永久磁石の場合は、磁石ないと空気に透磁率の差はないので、吸引方向でも反発方向でも磁束数にそれほど大きな差はでない。

80 ：

>>79
＞永久磁石の場合は、磁石ないと空気に透磁率の差はないので、吸引方向でも反発方向でも磁束数にそれほど大きな差はでない。
訂正
＞永久磁石の場合は、磁石内と空気に透磁率の差はないので、吸引方向でも反発方向でも磁束数にそれほど大きな差はでない。

81 ：

>>78
それなら、永久磁石も電磁石も同じ。
釘を100個ぶら下げることのできる強さのU字型の永久磁石を２つ用意する。
また、永久磁石と同じサイズのU字型の鉄心に細い導線を巻いた電磁石を
２つ用意し、どちらの導線にも釘を100個ぶら下げることのできる強さの
電流を流しておく。
このとき、永久磁石どうしの反発力と、電磁石どうしの反発力は
ほとんど同じはず。
ついでに１つの永久磁石と１つの電磁石どうしの反発力もほぼ同じ。

82 ：

>>80
ああ、あなたの主張がわかりました。
つまり、電流が真空中に作る磁場を、鉄芯が増幅する
ようなことを考えているのですね。
たしかに、その通りかも知れません。
増幅の様子はたぶん、線型ではなく、外から鉄心に加わる磁場が
強くなるほど増幅率は大きくなりそうですね。
このへんの物性はよく知らないけど、たぶんそうでしょう。
鉄芯に巻いた電磁石どうしの場合、引力は反発力より小さくなると思います。
だれか物質中の電磁場に詳しい人が教えてくれるといいのですが。

83 ：

>>82　訂正
>鉄芯に巻いた電磁石どうしの場合、引力は反発力より小さくなると思います。
引力は反発力より＜大きく＞なると思います。

84 ：

>>82
はいその通りです。
教科書とかみても記述を見つけられなかったので、ここで質問させてもらいました。
だれか専門の方いないかなあ

85 ：

ここまで見え見えの自演も珍しいｗ

86 ：

>>84
少し考えてみたけど、非線形性は関係ないかな。もっと単純な話のようです。
向かい合った２つの電磁石に同じ電流Iを流すとする。
まず引力のケースで、一方の電磁石の鉄芯内を貫く磁束Φを考えると
Φ = L I + L' I
ここで、L Iは自分を流れる電流が作る磁束。L' Iは他方を流れる電流が作る磁束。
引力は積Φ・Iに比例するとして、引力〜(L+L')I^2。
反発力のケースでは、Φ = L I - L' Iなので、反発力〜(L-L')I^2。
こんな説明でどう？

87 ：

>>86
力は電流の１乗に比例するんではなかったでしょうか？
ちょっとよくわからないです。
しかし自演扱いされちゃったよ。まいったな　汗）

88 ：

>>87
力はIとBの積に比例。今の場合、BがIに比例するから、力はI^2に比例。

89 ：

>>88
うーん。わかったようなわからないような。ちょっとじっくり考えさせてください。

90 ：

　　 　　　/ﾞﾐヽ､,,___,,／ﾞヽ
　　 　　　i ノ　　 川　｀ヽ'
　　 　　　/　｀　・　 ． ・　i､　　　よ〜ぞらに流星を〜♪
　　 　　彡,　　 ミ(_,人_)彡ミ 　　　
　∩, 　/　ヽ､,　　 　　　ノ　　　　　　
　丶ニ|　　　 '"''''''''"´　ﾉ　　　　　　　
　　　　∪⌒∪"￣￣∪

91 ：

そういえばそろそろぬこ達の静電気シーズンだねｗ

92 ：

なぜか学生時代のときは電磁気学の講義と称して
ずっと電気回路ばかりやらされていたな…

93 ：

もうすぐクリスマスだね。

94 ：

偏微分方程式の判別式には1階微分の係数は入ってきませんよね．
しかし，
a(∂^2 u/∂t^2) + b(∂u/∂t) - Δu = 0
のような双曲型の方程式でもaとbの関係によっては波数が虚数になって
波動解が見つからないこともありますよね．この場合，
「双曲型微分方程式にもかかわらず波動解が存在しない」
と言っちゃっていいんでしょうか？

95 ：

物理的にはエバネッセント光とかあるから問題ないんじゃね？

96 ：

>>94
波数kや振動数ωが十分大きな領域では
一階微分の項が無視できるから、
常に波動解が存在しているのでは？

97 ：

>>95
どうもです

98 ：

>>96
たしかに仰るとおりですね
どうもです

99 ：

メコス磁気学
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