C上有界な正則関数は定数関数のみである
fは領域D上で正則な関数で,しかも定数関数でないならば,|f(z)|はD上で最大値を取らない.
f:X→Rは連続関数
Xの任意の点xに対して,xのある近傍へのfの制限が定数関数であれば,fはX全体で定数関数である.
ある開集合Oで定義された正則な関数が
O⊂O'となる開集合O'に解析接続出来るかとか
O'の点での具体的な値とかどうやって求めるんだ
fが単連結な領域D上で正則とならば,D上の長さを持つ任意の単純閉曲線γと,γに囲まれた任意の点aに対して等式:
f(a)=∫[γ]f(z)/(z-a)dz
が成り立つ.
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
定理の内容をきちんと述べよ
名称を連呼するだけならば馬鹿でもできる
代数学の基本定理の証明は、リュービルの定理かルーシェの定理を使うのがいいですね。
ε-δ論法でも手間暇かければ証明できますが（杉浦 解析入門１に載っています）
やっていることは本質的に最大値の原理（>>9）と変わらないので敢えてすることはないかと。
ようするに、zが十分小さい範囲を動いているときは、係数が0でない最小次数の項だけを評価すればよくて
ある点aを中心とする十分小さい円周上を動かしたとき、f(a)が0でなければ、かならずf(a+εe^(iθ))がf(a)よりも小さくなる点があるってことですね
f(x)/{g(x)}^2のx=aでの留数ってどうやって求めるんですか？
慎重にローラン展開すれば
二つの項からなる公式が得られる
f(x)=f(a)+f'(a)t+f"(a)t^2/2+…
g(x)=t(g'(a)+g"(a)t/2+…)
f(x)/{g(x)}^2
=(f(a)/t^2+f'(a)/t+f"(a)/2+…)(g'(a)+g"(a)t/2+…)^(-2)
=(f(a)/(g'(a)t)^2+f'(a)/(tg'(a)^2)+f"(a)/(2g'(a)^2)+…)(1+g"(a)t/2g'(a)+…)^(-2)
=(f(a)/(g'(a)t)^2+f'(a)/(tg'(a)^2)+f"(a)/(2g'(a)^2)+…)(1+(-2)g"(a)t/2g'(a)+…)
留数は
(-2)g"(a)f(a)/2g'(a)^3+f'(a)/g'(a)^2
={f'(a)g'(a)-f(a)g"(a)}/{g'(a)}^3
頭が良くて数学が出来てかっこいいヤツ。それが必要条件。
さらに arXiv math に論文だせば十分条件にもなる。
俺､一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
良い論文の出版を遅らせるお馬鹿なヤツ。
俺にはわからんな。
h= h0 h1 h2 h3 …
g= g1 g2 g3 …
fh: f0h0 f0h1+f1h0 f0h2+f1h1+f2h0 f0h3+f1h2+f2h1+f3h0 …
1/g^3= 1/(g1g1g1(1 g2/g1 g3/g1 …)^3)
=(1/g1g1g1)(1 (-3)(g2/g1 g3/g1 …) 6(g2/g1 g3/g1 …)^2 …)
=(1/g1g1g1)(1 (-3)(g2/g1 g3/g1 …) 6(g2/g1)^2 …)
留数は
(f0h2+f1h1+f2h0)/g1g1g1+((-3)(f0h1+f1h0)(g2/g1))/g1g1g1+(f0h0)((-3)(g3/g1)+6(g2/g1)^2)/g1g1g1
適当に解釈してください
{f(a)h"(a)+2f(a)h(a)+f"(a)h(a)}/2{g'(x)}^3
-3g"(a){f(a)h'(a)+f'(a)h(a)}/2{g'(a)}^4
+f(a)h(a)[3{g"(a)}^2-g"'(a)g'(a)]/2{g'(a)}^5
Cと異なる任意の単連結領域は単位円板|z|<1に等角同値である
リーマンの定理
fはD-{a}で正則、点aの近傍で有界ならば、点aでの主要部は0（⇔aは除去可能）
を使う。
定義域を0まで拡張したfをf~とでも書こう。
f~(0)がA(1/2)の内部にあるときは同相性に、
境界にあるときは正則性（最大値の原理 >>9）に、
外部にあるときは連続性に反する（自明）。
※ "同相性"はfの同相性である
fは領域|z|<Rで正則で,f(0)=0,|f(z)|≦Mをみたすとする.このとき
|z|<R ⇒ |f(z)|≦M|z|/R
が成り立つ.特に0<|z|<Rなる或るzにおいて等号が成り立つとき,|z|<Rにおいて
f(z)=e^(iθ)(M/R)z
である.
たとえば螺旋状の曲線も、ある点を中心に回転していると言えそうだけど
回転数の期待値を考える時にはそういう拡張も必要になります
Σ(n＝-∞～∞)1/(ｚ-n)^2
がＣ＼Ｚで広義一様に絶対収束することの理由を教えて下さい
ある正項級数 a_1+a_2+…+a_n+… と,定数Mが取れて,十分大きなnに対して,
x∈E ⇒ |f_n(x)|≦M*a_n
が成り立つならば,関数項級数 f_1(x)+f_2(x)+…+f_n(x)+… は集合E上で一様に絶対収束する.
自分でやってみたのですが、広義一様収束は示せました。
任意のＲをとって、|ｚ|≦Ｒで考える。２Ｒ≦Nとなる自然数Nをとる
Σ(n＝-∞～∞)1/(ｚ-n)^2＝Σ(n＝-∞～-N)1/(ｚ-n)^2＋Σ(n＝-N～N)1/(ｚ-n)^2＋Σ(n＝N～∞)1/(ｚ-n)^2…①
と分ける。
まず第１項について
Σ(n＝-∞～-N)1/(ｚ-n)^2＝Σ(n＝N～∞)1/(ｚ＋n)^2と考えて、ワイエルシュトラスの判定送を使って第１項が一様に絶対収束することを示す。
N≦nの時
|1/(ｚ＋n)^2|≦4/n^2
Σ(n＝N～∞)4/n^2＜∞だから、①の第１項は一様に絶対収束する。同様に第３項も一様に絶対収束する。
したがって、|ｚ|≦ＲでΣ(n＝-∞～∞)1/(ｚ-n)^2は一様収束するから、広義一様収束が示された。
しかし、絶対収束が示せません…
上の証明と同様にΣ(n＝-∞～∞)|1/(ｚ-n)^2|＝Σ(n＝-∞～-N)|1/(ｚ-n)^2|＋Σ(n＝-N～N)|1/(ｚ-n)^2|＋Σ(n＝N～∞)|1/(ｚ-n)^2|と分けます。
第１項と第３項は先ほどの議論から、収束しますが、第２項が有限かどうかわからないため、絶対収束が示せません…
方針がまずいのでしょうか？アドバイスお願いします
2012 1月発売
たった９０ページなのに３３６０円
高いな
とても面白いタイトルですね。是非とも眺めてみたいです。
猫
すみません…自分でも考えてみます 方針がまずかったのかな…
解説お願いします
よろしい。定義を書いて違いを説明してみなさい。
Σ(n＝-∞～∞)1/(ｚ-n)^2は広義一様に絶対収束する
とテキストにあったのですが、これは
広義一様収束かつ絶対収束
ですよね？
ちなみに広義一様収束、広義一様絶対収束の定義は
Ｄ上でΣｆ_nが広義一様収束する⇔Σｆ_nがＤ上の任意のコンパクト集合上で一様収束する
Ｄ上でΣｆ_nが広義一様絶対収束する⇔Σｆ_nがＤ上で広義一様収束かつ絶対収束する
ではないですか…？
テキストには
広義一様に絶対収束としか書いてなくて…
1/ｚ^2＋Σ(n＝1～∞){1/(ｚ＋n)^2＋1/(ｚ-n)^2}＝Σ(n＝-∞～∞)1/(ｚ-n)^2
という式変形の正当化をしようとしてます。
右辺が広義一様絶対収束してれば、和の取り方を任意に変えても値は変わらないから、式変形が正当化されたということになりそうです。
なので、テキストにあった[広義一様に絶対収束する]というのは広義一様絶対収束ということだと思います。
すみません、広義一様の意味です
広義一様に絶対収束してることが示されれば、>>58の正当化はできますよね…？
>>47のような議論で、任意のＲに対して |ｚ|≦Ｒにおいて一様収束していることが示せました
すなわち、任意のコンパクト集合上で一様収束しているということだから、Ｃ＼Ｚで広義一様収束しているとなりました
間違いでしょうか…？
関数の有限個の和だから、広義一様収束すると思ったのですが、間違いでしょうか…？
第2項の絶対値はそのような任意のNに対して上に有界に見えませんが・・・．
たしかに…
そうすると広義一様収束も怪しくなりました
証明の方針のアドバイスをお願いします…
領域V上で広義一様収束は「Vに含まれる任意のコンパクト集合で一様に収束」で
広義一様絶対収束は「Vに含まれる任意のコンパクト集合で一様に絶対収束」
でおｋ？
そうだと思います…
>>47は本当に広義一様に絶対収束しているでしょうか…？
実軸上にぽつりぽつりと特異点を持つ函数になると思うので，
それを踏まえたうえで広義一様に絶対収束を示さなければならない。
いま，C＼Z上の任意のコンパクト集合Kをとる．
n＜0に対して
Σ[n=-∞ to -1]1/|z-n|^2＝Σ[n=1 to ∞]1/|z＋n|^2
となるが，
|z＋n|^2＝|n＋Rez|^2＋|Imz|^2≧|n＋c|^2 （cはKで決まる定数）
よって，
Σ[n=1 to ∞]1/|z+n|^2≦Σ[n=1 to ∞]1/|n＋c|^2
となって広義一様収束性はOK．
n≧0も同様に
Σ[n=0 to ∞]1/|z-n|^2≦Σ[n=0 to ∞]1/(n＋Rez)^2
となりのでOK．
こんな感じでどうすか？
返信ありがとうございます！
任意のコンパクト集合ｋを{ｚ∈Ｃ||ｚ|^2≦Ｒ}の形の集合に限っても良いですよね？
この時、>>71の証明中のｃはＲを使って書けますか？
Σ[n=0 to ∞]1/|z-n|^2≦Σ[n=0 to ∞]1/(n＋Rez)^2≦Σ[n=0 to ∞]1/(n＋c)^2 （cはKで決まる定数）
だからOK
>>72
論証の仕方次第だけど，そこの集合に限ったら特異点含んじゃうよ．
何故そのようなｃが取れるのでしょうか…？
そのようなcが取れるのはKはコンパクトだから
何がまずいのか上の方で言われてるけどそれも理解できないってこと？
何がわからないのかはっきりさせないとだめでしょ．
だめ？いい？だけ聞いて何がしたいの？
|ｚ|≦Ｒにおいて
Σ(n＝-∞～-N)1/(ｚ-n)^2は一様に絶対収束するから、ｆに一様に絶対収束していると仮定
Σ(n＝N～∞)1/(ｚ-n)^2も一様に絶対収束しているから、ｇに一様に絶対収束していると仮定する。
h(ｚ)＝Σ(n＝-N～N)|1/(ｚ-n)^2|
とおくと
sup|Σ(n＝-k～k)|1/(ｚ-k)^2|－(f(ｚ)＋h(ｚ)＋g(ｚ))|→０(k→∞)
だから、Σ(n＝-∞～∞)1/(ｚ-n)^2は
|ｚ|≦Ｒでｆ(ｚ)＋ｈ(ｚ)＋ｇ(ｚ)に一様に絶対収していると考えたのですが、どうでしょうか…？
Σ(n＝-N～N)1/(ｚ-n)^2はｚを動かした時には有界ではないのはわかるのですが、まずいのでしょうか？ 有界でない関数に一様に絶対収束しているだけだと思ったのですが、間違いでしょうか？
何故Ｋがコンパクトであることから、そのようなｃが取れるとわかるのでしょうか…？
無知ですみません、解説お願いします
そもそも|z|≦Rに特異点もってるって言われてるのにそれはなんでスルーなの？
すみません…
>>47の議論は任意のＲについて|ｚ|≦Ｒで考えていますが、訂正します
Ｃ＼Ｚの任意のコンパクト集合Ｋについて、Ｋは有界な閉集合だから
任意のｚ∈Ｋについて
あるＲが存在して|ｚ|≦Ｒとなる
以下は>>47の議論を展開してΣ(n＝-∞～-N)1/(ｚ-n)^2、Σ(n＝N～∞)1/(ｚ-n)^2 が一様に絶対収束していることを示せて
Σ(n＝-∞～∞)|1/(ｚ-n)^2|＝Σ(n＝-∞～-N)|1/(ｚ-n)^2|＋Σ(n＝-N～N)|1/(ｚ-n)^2|＋Σ(n＝N～∞)|1/(ｚ-n)^2|
の右辺の第２項はＫにおいて特異点をもたず、有界で 第１項 第３項は一様収束するから、
Σ(n＝-∞～∞)1/(ｚ-n)^2が広義一様に絶対収束することが示された
この議論はどうでしょうか…？
Kはコンパクトなんだからその上の連続関数1/|z±n|^2は評価できると思うけど？
どうしてもNを持ちだしたいんだら>>47の考え方でいいと思うけど。（細かいところは読んでないけどね）
1/|ｚ＋ｎ|^2の評価がうまくできなかったためです
ありがとうございます 考えをまとめてみます
Ｃ＼Ｚ上の任意のコンパクト集合ｋにおいて
Σ(n＝1～∞)1/(ｚ-n)^2は一様に絶対収束していることを示す。
Ｋ上で|1/(ｚ-n)^2|は連続な実数値関数で、Ｋはコンパクトだから、あるｃ∈Ｋがあって最大値をとる。つまり
|1/(ｚ-n)^2|≦|1/(ｃ-n)^2|
であって
Σ(n＝1～∞)|1/(ｃ-n)^2|は収束するから、ワイエルシュトラスの判定法より Σ(n＝1～∞)1/(ｚ-n)^2はＫ上で一様に絶対収束する。
同様に
Σ(n＝1～∞)1/(ｚ＋n)^2もＫ上で一様に絶対収束する。
ゆえに
Σ(n＝-∞～∞)1/(ｚ-n)^2＝Σ(n＝1～∞)1/(ｚ-n)^2＋Σ(n＝0～∞)1/(ｚ＋n)^2
はＫ上で一様に絶対収束する
ゆえに示された
どうでしょうか…？
よいと思います．
>>88
ありがとうございます。やっと納得できました
ありがとうございました
なぜ？
Rez＝-nとなってしまうときケアしてなかった．
ちょっと考え直す！
これが0じゃないもので下からおさえる。
そのためには>>47の考え方が意外とうまくいく。
和の項をある有限個N（Kで決まる）だけ除いてそれ以降だけみれば
|z－n|^2≧|Rez－n|^2＞0はいえる。
Σ[n＝N to ∞]1/|Rez－n|^2はK上一様収束する。
これにたいして|z-n|を下から評価すればよい。
一致の定理
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