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ソレは低脳が言うセリフではない。
猫
>7 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2011/12/19(月) 07:43:50.45
> 数式に弱いと思うなら,なおさら今のうちに修得しなくてはならない.
>
ところで中学校と高等学校は定期試験があることを入学時から知らされないか.
低脳がそんな事を言うても無駄や。
猫
>9 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2011/12/19(月) 17:11:27.16
> つまりわたくしは低脳でない.
> ところで中学校と高等学校は定期試験があることを入学時から知らされないか.
>
上里美里本庄深谷妻沼
神川美里岡部深谷妻沼南河原 北川辺
神川児玉岡部深谷 熊谷熊谷行田羽生羽生 ｳﾄﾞﾝ大利根
神泉児玉 ﾈｷﾞ深谷ﾅｵｻﾞﾈ熊谷行田行田加須加須大利根
神泉児玉 花園川本熊谷熊谷行田行田 ｺﾌﾝ 加須ｺｲﾉﾎﾞﾘ栗橋
神泉ﾗｲﾝｸﾀﾞﾘ寄居江南江南熊谷大里吹上川里騎西加須鷲宮栗橋
吉田吉田皆野長瀞東秩父嵐山滑川大里吹上川里菖蒲菖蒲久喜鷲宮幸手
小鹿野吉田吉田皆野皆野小川嵐山東松山 ﾋｬｯｹﾂ鴻巣鴻巣菖蒲菖蒲久喜久喜幸手
小鹿野小鹿野ﾜｲﾝ吉田ﾜﾄﾞｳｶｲﾎｳ小川嵐山 東松山吉見 北本北本菖蒲白岡白岡幸手幸手
小鹿野小鹿野小鹿野秩父秩父横瀬都幾川玉川坂戸川島桶川桶川伊奈蓮田白岡宮代杉戸
大滝両神両神小鹿野 ﾐｭｰｽﾞﾊﾟｰｸ秩父 横瀬越生鳩山坂戸川島川島上尾伊奈蓮田宮代宮代杉戸
大滝両神両神 荒川ｿﾊﾞ秩父秩父 ｵﾝｾﾝ毛呂山 鶴ヶ島川越川越川越 上尾蓮田 ｸﾚﾖﾝｼﾝﾁｬﾝ 庄和
大滝大滝大滝荒川荒川秩父ｵﾘﾓﾉ名栗飯能日高日高川越 ｺｴﾄﾞ川越川越さいたま 岩槻春日部庄和
大滝大滝 ｵﾝｾﾝ 荒川秩父秩父 名栗飯能日高狭山川越川越上福岡さいたまﾐﾇﾏ岩槻ﾆﾝｷﾞｮｳ 松伏
大滝大滝大滝荒川秩父名栗飯能飯能飯能ｻﾔﾏﾁｬ大井富士見ｻｸﾗｿｳさいたま 岩槻越谷松伏
大滝大滝大滝 名栗飯能飯能ｲﾙﾏｷﾁ所沢大井志木志木ﾚｯｽﾞさいたま ｲﾓﾉ 越谷吉川
大滝 飯能入間入間沢所沢所沢三芳朝霞戸田蕨川口川口ｾﾝﾍﾞｲ吉川
ｾｲﾌﾞﾄﾞｰﾑ所沢所沢三芳朝霞戸田川口鳩ヶ谷草加三郷
ｻﾔﾏｺ所沢所沢所沢新座和光戸田 八潮三郷
埼所沢 新座和光 三郷
そんな簡単なものを今の時期に始めるの？
じゃあ、終わらせて見いや！
実数列{x_[n]},{y_[n]}があって、x_[1]<x_[2]<…<lim(x_[n])=+∞とする。
lim[n→∞](y_[n]-y_[n-1])/(x_[n]-x_[n-1])=c(<+∞)
⇒lim[n→∞]y_[n]/x_[n]=c
ある問題を考えていた時に思いついた命題が載っていた。
どんな問題？
たしか、なんかの条件を満たすf:Q→Qで、何回か（3回か5回だと思った）合成したら恒等写像になるものはあるか、という問題。
(3) f(x,y)=x^2*y/(x^4+y^2) (x,y)≠0
f(x,y)=0 (x,y)=0
がR^2上連続というのは誤り。y=x^2に沿って原点に近づければ不連続となる。
やる
x_[1]<x_[2]< … → ∞ ⇒ x_[n]−x_[n−1]>0
lim[n→∞](y_[n]−y_[n−1])/(x_[n]−x_[n−1])=c
⇒ ∀ε>0 ∃N ∀n>N [|(y_[n]−y_[n−1])/(x_[n]−x_[n−1])−c|<ε]
⇒ c−ε<(y_[n]−y_[n−1])/(x_[n]−x_[n−1])<c＋ε
⇒ (c−ε)(x_[n]−x_[n−1])<y_[n]−y_[n−1]<(c＋ε)(x_[n]−x_[n−1])
⇒ Σ{(c−ε)(x_[i]−x_[i−1])|i＝N＋1〜n}<Σ{y_[i]−y_[i−1]|i＝N＋1〜n}<Σ{(c＋ε)(x_[i]−x_[i−1])|i＝N＋1〜n}
⇒ (c−ε)(x_[n]−x_[N])<y_[n]−y_[N]<(c＋ε)(x_[n]−x_[N])
⇒ |y_[n]/x_[n]−c−(y_[N]−c x_[N])/x_[n]|<ε(1−x_[N]/x_[n])<ε
⇒ |y_[n]/x_[n]−c|<|(y_[N]−c x_[N])/x_[n]|＋ε
x_[n] → ∞ ⇒ ∃M>N ∀n>M [ x_[n]>|(y_[N]−c x_[N])/ε| ]
⇒ |y_[n]/x_[n]−c|<|(y_[N]−c x_[N])/x_[n]|＋ε<ε＋ε=2ε
∴ lim[n→∞]y_[n]/x_[n]=c
つい、やってしまう。
やらないといけないね
やらないといけないね
2年なら位相は必ずやっておけ
教科書何だ？
斉藤毅 集合と位相 (東京大学出版会)
×斎藤
○斉藤
二度と間違えるな
×斉藤
○斎藤
二度と間違えるな
練習問題が難しいよね
年が明けたらやるかもな
遅いかな？
さあ
伊藤か溝畑
ここに計算というのは、頭を使わない反復作業のことだから、論理もこれと同じである
つまり、寝ぼけた頭を覚ますために、計算問題や簡単な証明問題をやればいいことになる
1+2+…+(N+1)=1+2+…N+1=(1+2+…+N)+1
その二つが教科書(参考書)指定なの？
面白い。
ルベーグ積分は3年だからまだ分からない
今年のシラバスでは伊藤清三が参考書に指定されている
教科書によって流儀が違うから、これ以外の本を買いたいときは相談しろ、とも書いてある
時間ないぞ
でも精読しないと力つかないと思う
すみません
金の無駄だ
誘ってくれた人に感謝。
誰の本使いましたか？
あすは連結性とコンパクト性をやる
(2) U∈O⇔任意のx∈Uに対して、x∈V⊂UとなるV∈Oが存在する
は同値。
(1)を仮定して(2)を示す
U∈Oならば、VとしてU自身をとればいい。
任意のx∈Uに対して、x∈V_[x]⊂UなるV_[x]∈Oが存在したとすると、仮定よりU=∪_[x∈U]V_[x]∈O。
(2)を仮定して(1)を示す
各U_[i]∈Oと任意のx∈U_[i]に対して、x∈V_[i,x]⊂U_[i]なるV_[i,x]∈Oが存在するので、x∈∪_[i∈I]U_[i]とすると、あるjに対してx∈V_[j,x]⊂U_[j]⊂∪_[i∈I]U_[i]となっている。よって、∪_[i∈I]U_[i]∈O。
(2)はR^nの開集合の定義。
想像力はたらかせるしかない
私もそう思います。
誰の本か分からない。タイトルは「測度論」だと思ったが、ググってみても見覚えのある本は出てこない。(大学の図書にあった古い本だから、外装も変わってるだろうなー)
(1) Aはコンパクト
(2) Yを任意の位相空間、y∈Yを任意の点とする。このとき、A×{y}の任意の開近傍W⊂X×Yに対し、Aの開近傍U⊂Xと、yの開近傍V⊂Yで、U×V⊂Wをみたすものが存在する。
(3) Yを任意の位相空間、y∈Yを任意の点とする。このとき、A×{y}の任意の開近傍W⊂X×Yに対し、yの開近傍V⊂Yで、A×V⊂Wをみたすものが存在する。
「コンパクトで連続なら一様連続」の証明に使いそうだな。
これ証明難しい
どうやんの？
自分がどう外界を認識しているかが如実に分かる。
そうですね
f(x)がx=aで連続 ⇔ aに収束する任意の数列{x_[n]}に対して、数列{f(x_n)}はf(a)に収束する
f(x)はx=aで連続とする。
{x_n}がaに収束するとすると、あるNが取れて、
n≧N ならば |x_[n]-a|<Rとできる。 (R>0)
よって、任意のε>0をとったとき、あるδが取れて
|x_[n]-a|<δ ならば |f(x_[n])-f(a)|<ε となる。
上のRとしてδを取れば、f(x_[n])→f(a) (n→∞) が示される。
aに収束する任意の数列{x_[n]}に対して、数列{f(x_n)}はf(a)に収束するとする。
背理法による。f(x)がaで連続でないと仮定する。すなわち、
あるε>0があって、任意のδに対して、
|x-a|<δ でありながら |f(x)-f(a)|≧ε となるとする。
数列{δ_[n]}として、δ_[n]→0 (n→∞)となるものを取ると、各nに対して、
|x_n-a|<δ_[n] となるx_[n]を項とする数列{x_n}が作れる。
δ_[n]→0 (n→∞)より、任意のε'と取ったとき、あるNが取れて
n≧N ならば δ_[n]<ε' すなわち |x_[n]-a|<ε'とできる。
つまり、数列{x_[n]}はaに収束する。よってはじめの仮定より、あるNがあって、
n≧N ならば |f(x_n)-f(a)|≦ε とできるが、これは矛盾。
変数の動く領域を書き忘れる癖を直しましょう
ε>0、δ>0、自然数N、……など
知識が無ければ分からないのが当然。
Lagrangeの未定乗数法によって極値の候補となる点を求めたのち、求めた点が極値となるかどうか調べればいい。
線型代数の手法で容易に求まるが、敢えてLagrangeの未定乗数法で求めてみる。
g(x,y,z)=ax+by+cz+d=0の条件のもと、f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2の極値を求める。
f(x,y,z)≧0だから下に有界、g(x,y,z)=0となる点の集合は閉集合だから、f(x,y,z)はg(x,y,z)=0の条件のもとで、最小値を持つ。
gradg=(a,b,c)≠0なので、極値を取る点は gradf=λgradg かつ g(x,y,z)=0 となる点の中にある。
これを解いて、(x,y,z)=(λ/2)(a,b,c) かつ g(x,y,z)=0
よって、λ=-2d/(a^2+b^2+c^2)
ゆえに、(x,y,z)=-d/(a^2+b^2+c^2)(a,b,c)
a=b=c=0ということはないので、c≠0としても一般性を失わない。
このとき∂g/∂z=c≠0なので、陰関数定理よりg(x,y,z)=0となる点の近傍で、z=z(x,y)が存在して
∂z/∂x=-(∂g/∂x)/(∂g/∂z)=-a/c, ∂z/∂y=-(∂g/∂y)/(∂g/∂z)=-b/c
∂f/∂x=2x-2z(a/c), ∂f/∂y=2y-2z(b/c)
∂^2f/∂x^2=2+2(a/c)^2, ∂^2f/∂y∂x=∂^2f/∂x∂y=2(a/c)(b/c), ∂^2f/∂y^2=2+2(b/c)^2
(∂^2f/∂x^2)(∂^2f/∂y^2)-(∂^2f/∂y∂x)^2
=4+4((a/c)^2+(b/c)^2)>0 で、2+2(a/c)^2>0 だから、この点で極小値を取る。
極小値は、f(x,y,z)=d^2/(a^2+b^2+c^2)
最小値は極小値であるから、f(x,y,z)はこの点で最小値を取る。
よって、求めるべき距離は、|d|/√(a^2+b^2+c^2)
法線ベクトルを使ったことは覚えているのだが
点P(x0,y0,z0)から平面αにおろした垂線の足をH(x,y,z)とすると
PHとαは垂直、つまりPHとnは平行
よって、PH=λn ∴ (x-x0,y-y0,z-z0)=λ(a,b,c)
この式より、|λ|=|PH|/|n|
内積(x-x0,y-y0,z-z0)・λ(a,b,c)=λ(ax+by+cz-ax0-by0-cz0)を考えるとこれは|PH|^2に等しい
(x,y,z)はαの点なのでax+by+cz=-d
よって、|PH|^2=-λ(ax0+by0+cz0+d)
∴ |PH|=|ax0+by0+cz0+d|/√(a^2+b^2+c^2)
これは3変数だけど、陰関数定理つかって2変数の極値問題に落とせたけど、
(Ｆの変数)-(条件式の数)が3以上のときはどうやって極値かどうか判定すればいいの？
ヘッセ行列(∂^2f/∂x_[i]∂x_[j]) (1≦i,j≦n)が正定値かどうか調べる。
正定値なら極小、不定値なら極大、正負両方の固有値をもつときは鞍点。
それ以外の場合は、もっと調べてみないとわからない。
二次形式のところだ
n次正方行列Aの、(i_[l],j_[k])成分を(l,k)成分とする、行列Ａの部分行列が作れる。
これは、i_[1],i_[2],…,i_[s]番目の行ベクトルと、j_[1],j_[2],…,j_[r]番目の列ベクトルの交差する部分を並べた行列である。
I=Jのとき、これをAの主小行列といい、その行列式を主小行列式という。
なかなか難しいな
「U_[i](∀i∈I)の有限個の共通部分」の全体の集合が、Uのすべての元を開集合とする位相の中で最弱
これを、Uによって生成される位相という
{V|任意のx∈Vに対して、あるUの元の有限族{U_1,…,U_n}が存在して、x∈∩_[i=1,n]U_[i]⊂Vとなる}
と書ける
× 「U_[i](∀i∈I)の有限個の共通部分」の全体の集合が
○ 「「U_[i](∀i∈I)の有限個の共通部分」の任意の和集合」の全体の集合が
Vが「Uの有限個の元U_[1]^(λ),…,U_[n_[λ]]^(λ)共通部分」の和集合で表せるとする
V=∪_[λ∈Λ](∩_[i=1,n_[λ]]U_[i]^(λ)) （ただし、{1,…,n_[λ]}=φのときは、(∩_[i=1,n_[λ]]U_[i]^(λ))=X(全体)と約束する）
このとき、任意のx∈Vに対して、あるλ∈Λがあって、x∈(∩_[i=1,n_[λ]]U_[i]^(λ))⊂Vとなっているから、有限族として{U_[i]^(λ)}_[i=1,n_[λ]]を取ればいい
Vの任意の元xに対して、Uの元のある有限族{U_[1]^(x),…,U_[n_[x]]^(x)}が存在して、
x∈∩_[i=1,n_[x]]U_[i]^(x)⊂Vとなったとする
このとき、V=∪_[x∈V](∩_[i=1,n_[x]]U_[i]^(x))である
Oを任意の位相とする
O_Uを、Uによって生成される位相とする（定義は>>90を採用）
U⊂Oとすると、位相の定義より、Uの元の任意の有限個の共通部分はOに属し、その共通部分の任意の和集合もOに属するので、O_U⊂O
O_U⊂Oとすると、U⊂O_Uなので、U⊂O
g(x)=x_[1]^2+…+x_[n]^2-k=0 (k≠0) のもと、二次形式f(x)=Σ[i=1,n]a_[ii]x_[i]^2+2Σ[i<j]a_[ij]x_[i]x_[j]=(x,Ax)の最大値・最小値を求める。
gradg=(2x_[i])≠0なので、極値を取る点は、gradf=λgradgをみたす点のなかにある。
gradf=λgradg
∴ 2([a[11]-λ,a_[21],…,a_[n1]],[a[12],a[22]-λ,…,a_[n2]],…,[a_[1n],a_[2n],…,a[nn]-λ])x=0
∴ (A-λE)x=0 (Eは単位行列)
∴Ax=λx
よって、f(x)=(x,Ax)=λ(x,x)=λk
(A-λE)x=0が非自明な解をもつので、λはAの固有値。
よって、f(x)の最大値はmax{λk], min{λk}
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