俺選数学標準問題集

1 ：12/04/01 〜 最終レス ：12/05/16

標準〜やや難レベルの問題を貼っていくスレです
■ 掛け算/割り算
　a*b　a･b　→　a×b
　a/b　→　a ÷ b
■ 累乗　
　a^b　　→　a の b乗
■ 数列
　a[n] 　→ 数列aの第n項目
　Σ[k=1,n]a[k]　 → 数列の和
■ 積分
　∫[0,1] x^2 dx
■ ベクトル
　↑AB　↑a=(0,0,-1)
■順列・組合せ
　C[n,k]
■極限
　lim[n→∞]a[n]

2 ：

解説などは余裕があるときに書きます

3 ：

[1]
a,b,c,d≧0 とする
(1)
a^2+b^2≧2ab を示せ
(2)
(a)
a^3+b^3+c^3-3abc を因数分解せよ
(b)
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≧0 を示せ
(c)
a^3+b^3+c^3≧3abc を示せ
(3)
(a)
a^4+b^4≧2(ab)^2,c^4+d^4≧2(cd)^2 を示せ
(b)
a^4+b^4+c^4+d^4≧4abcd を示せ

4 ：

[2]
x,y,zは正整数で,x≦y≦zとする
(1)
(1/x)+(1/y)+(1/z)≦3/x を示せ
(2)
(1/x)+(1/y)+(1/z)=1 を満たす組(x,y,z)を求めよ
(3)☆
(1/x)+(1/y)+(1/z)<1 を満たすとき
(1/x)+(1/y)+(1/z)の最大値と,そのときの組(x,y,z)を求めよ

5 ：

[3]
(1)
以下の等式を示せ
(a)
kC[n,k]=nC[n-1,k-1]
(b)
C[n,k]=C[n-1,k]+C[n-1,k-1]
(2)
以下の和を計算せよ
(a)
Σ[k=0,n]C[n,k]
(b)
Σ[k=0,n](-1)^k*C[n,k]
(c)
Σ[k=0,n]kC[n,k]
(d)
Σ[k=0,n]k^2*C[n,k]
(e)
Σ[k=0,n]{1/(k+1)}C[n,k]
(f)☆
Σ[k=0,n](C[n,k])^2

6 ：

[4]
(1)
(a)
〇｜〇｜〇｜…｜〇｜〇
図のようにn個の球〇と,(n-1)個のしきり｜がある
しきりをk個選ぶ方法は何通りか
(b)
nを3以上の整数とする
以下の条件を満たす正整数x,y,zの組(x,y,z)は何通りあるか
（条件） x+y+z=n
(c)
nを3以上の整数とする
以下の条件を満たす正整数x,y,zの組(x,y,z)は何通りあるか
（条件） x+y+z≦n
(2)
(a)
〇〇…〇，｜｜…｜
図のようにn個の球〇と,m個のしきり｜がある
これらを横一列に並べる方法は何通りか
(b)
nを0以上の整数とする
以下の条件を満たす0以上の整数x,y,zの組(x,y,z)は何通りあるか
（条件） x+y+z=n
(c)
nを0以上の整数とする
以下の条件を満たす0以上の整数x,y,zの組(x,y,z)は何通りあるか
（条件） x+y+z≦n

7 ：

[5]
(1)
m,nを正整数とし
I(m,n)=∫[-π,π]{cos(mx)}{cos(nx)}dx とする
以下の場合におけるI(m,n)の値を求めよ
(a)
m=nのとき
(b)
m≠nのとき
(2)
f(x)=cosx+cos(2x)+…+cos(nx)とする
y=f(x) (-π≦x≦π)とx軸で囲まれた図形を
x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ

8 ：

[6]
(1)
cos3θ=cos2θを満たすθの値を求めよ
(2)
(a)
cos2θ,cos3θをそれぞれcosθの式で表せ
(b)
cos(2π/5)の値を求めよ

9 ：

[7]
サイコロをn個投げる
(1)
出た目の数の最大値がk (k=1,2,…,6)以下になる確率を求めよ
(2)
出た目の数の最大値がk (k=1,2,…,6)になる確率を求めよ

10 ：

[8]
N=3^100とする
また,log2=0.3010,log3=0.4771,log7=0.8450 (いずれも対数の底は10)とする
(1)
Nの1の位の数を求めよ
(2)
Nは何桁の数か求めよ
(3)
(a)
log1,log4,log5,log6,log8,log9 の値をそれぞれ求めよ
(b)
Nの最高位の数を求めよ

11 ：

[9]
サイコロをn個投げたとき,出た目の数の積をX[n]とする
(1)
X[n]が2で割りきれる確率を求めよ
(2)
(a)
X[n]が2で割りきれるが,4で割りきれない確率を求めよ
(b)
X[n]が4で割りきれる確率を求めよ
(3)
(a)
X[n]が2でも3でも割りきれない確率を求めよ
(b)
X[n]が2または3で割りきれる確率を求めよ
(c)
X[n]が6で割りきれる確率を求めよ

12 ：

[10]
nを正整数とする
xy平面上において,0≦y≦n^2-x^2 を満たす領域をDとする
(1)
領域Dを図示せよ
(2)
(a)
領域Dにおいて,x座標がk (kは整数で,-n≦k≦n)の
格子点(x座標、y座標がともに整数である点)の個数を求めよ
(b)
領域Dにある格子点の個数を求めよ

13 ：

[11]
(1)
kを正整数とする
∫[(k-1)π,kπ]e^(-x)*|sinx|dx を求めよ
(2)
nを正整数とする
lim[n→∞]∫[0,nπ]e^(-x)*|sinx|dx を求めよ

14 ：

[12]
x,y,zは
x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=14,x^3+y^3+z^3=20,x≦y≦z
を満たす
(1)
xy+yz+zxの値を求めよ
(2)
(a)
a^3+b^3+c^3-3abcを因数分解せよ
(b)
xyzの値を求めよ
(3)
(a)
3次方程式 t^3+At^2+Bt+C=0がt=x,y,zを解に持つとき,A,B,Cの値を求めよ
(b)
x,y,zの値を求めよ

15 ：

普通に市販の問題集でやった方がいいだろ
ここで解くメリットが思い浮かばない

16 ：

>>15
自己満なんだし水差さなくてもいいでしょ

17 ：

[13]
nは正整数とする
(1)
n-2,n,n+2を3で割った余りはそれぞれ異なることを示せ
(2)
n-2,n,n+2の全てが素数となるようなnを求めよ

18 ：

[14]
(1)
1からn (n≧2)までのうちの相異なる2数の積の和をS[n]とおく
例えば,S[2]=1･2=2,S[3]=1･2+1･3+2･3=11である
(a)
(1+2+…+n)(1+2+…+n)の展開を考えることにより
(Σ[k=1,n]k)^2をΣ[k=1,n]k^2,S[n]を用いて表せ
(b)
S[n]を求めよ
(2)
1からn (n≧3)までのうちの相異なる3数の積の和をT[n]とおく
例えば,T[3]=1･2･3=6,T[4]=1･2･3+1･2･4+1･3･4+2･3･4=50である
(a)
T[n+1]をT[n],S[n]を用いて表せ
(b)
T[n]を求めよ

19 ：

[15]
n人(n≧2)がじゃんけんを1回行う
(1)
k人(1≦k≦n-1)が勝つ確率を求めよ
(2)
(a)
Σ[k=1,n-1]C[n,k]=2^n -2を示せ
(b)
あいこになる確率を求めよ
(3)
(a)
kC[n,k]=nC[n-1,k-1]を示せ
(b)
Σ[k=1,n-1]kC[n,k]=n･2^(n-1)-nを示せ
(c)
あいこの場合の勝者の人数を0人として,勝者の人数の期待値を求めよ

20 ：

[15]
(1)
xy-3x+2y-6を因数分解せよ
(2)
XY=6を満たす整数(X,Y)の組を全て求めよ
(3)
xy-3x+2y=12を満たす整数(x,y)の組を全て求めよ

21 ：

>>20訂正
[16]
(1)
xy-3x+2y-6を因数分解せよ
(2)
XY=6を満たす整数(X,Y)の組を全て求めよ
(3)
xy-3x+2y=12を満たす整数(x,y)の組を全て求めよ

22 ：

[17]
(1)
3x+7y=10を満たす整数(x,y)の組を1つ求めよ
(2)
3X+7Y=0を満たす整数(X,Y)の組を求めよ
(3)
3x+7y=10を満たす整数(x,y)の組を求めよ
(4)☆
x,yを正整数として,3x+7yの形では表すことのできないの最大の整数を求めよ

23 ：

[1]
(1)
a^2+b^2≧2ab
a^2+b^2 -2ab≧0
(a-b)^2≧0
(2)(a)
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
(2)(b)
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≧0
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca≧0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧0
(2)(c)
a^3+b^3+c^3≧3abc
(a),(b)の結果より明らかである。
(3)(a)
a^4+b^4≧2(ab)^2
a^4+b^4-2(ab)^2≧0
(a^2-b^2)^2≧0
c^4+d^4≧2(cd)^2
(c^2-d^2)^2≧0
(3)(b)
a^4+b^4+c^4+d^4≧4abcd
(a)の結果より、2(ab)^2+2(cd)^2≧4abcdを示せばよい。
2(ab)^2+2(cd)^2-4abcd≧0
2(ab-cd)^2≧0
[2]
(1)
(1/x)+(1/y)+(1/z)≦3/x
(1/x)+(1/y)+(1/z)≦3(1/x)
条件の逆数をとって、1/x≧1/y≧1/z
したがって、(1/y)+(1/z)≦2/x
(2)分からん
(3)分からん
[3]
(1) (a)
kC[n,k]=nC[n-1,k-1]
左辺=n(n-1)(n-2)…(n-k)/(k+1)(k+2)…1
右辺=n(n-1)(n-2)…(n-k)/(k+1)(k+2)…1
(1)(b)分からん
(2)(a)〜(f)分からん

24 ：

[2]
x,y,zは正整数で,x≦y≦zとする
(1)
(1/x)+(1/y)+(1/z)≦3/x を示せ
0<x≦y≦zより(1/z)≦(1/y)≦(1/x)だから
(1/x)+(1/y)+(1/z)≦(1/x)+(1/x)+(1/x)=3/x
(2)
(1/x)+(1/y)+(1/z)=1 を満たす組(x,y,z)を求めよ
(1)より
1=(1/x)+(1/y)+(1/z)≦3/x
∴x≦3
・x=3のとき
(1/x)+(1/y)+(1/z)=1
(1/3)+(1/y)+(1/z)=1
(1/y)+(1/z)=2/3
(1/z)≦(1/y)より
2/3=(1/y)+(1/z)≦(1/y)+(1/y)=2/y
∴y≦3
x=3,x≦y≦3より3≦y≦3だから満たすのはy=3のみ
x=3,y=3を代入すると
(1/x)+(1/y)+(1/z)=1
(1/3)+(1/3)+(1/z)=1
(1/z)=1/3
z=3で条件を満たす
∴(x,y,z)=(3,3,3)
・x=2のとき、・x=1のときは自力でやってみてください

25 ：

[18]
サイコロを20個投げて,4以下の目の数がn個出る確率をp[n]とおく
(1)
p[n]を求めよ
(2)
p[n]/p[n-1] (n=1,2,…,20)を求めよ
(3)
p[n]/p[n-1]≧1となるnの値を求めよ
また,等号が成り立つのはどのようなときか
(4)
p[n]を最大,最小にするnの値をそれぞれ求めよ

26 ：

ああ、成る程。あざすあざす。

27 ：

[19]
空欄を埋めよ
(1)
n人(n≧2)を2つの部屋A,Bに配分する方法は
空の部屋があるような配分方法も含めて,全部で[a]通りある
このうち,どちらか一方の部屋にn人すべてを配分する方法は[b]通りある
したがって,どちらの部屋にも少なくとも1人がいる配分の方法は[c]通りある
(2)
n人(n≧3)を3つの部屋A,B,Cに配分する方法は
空の部屋があるような配分方法も含めて,全部で[a]通りある
このうち,空の部屋が2室であるような配分方法は[b]通りある
また,空の部屋が1室であるような配分方法は,(1)を用いて考えて,[c]通りある
したがって,どの部屋にも少なくとも1人がいる配分の方法は[d]通りある
(3)☆
n人(n≧4)を4つの部屋A,B,C,Dに配分する方法のうち
どの部屋にも少なくとも1人がいる配分の方法は[a]通りある

28 ：

[19]の答え（間違えてたら指摘してね）
(1) [a] 2^n [b] 2 [c] 2^n - 2
(2) [a] 3^n [b] 3 [c] 3(2^n - 2) [d] 3^n -([b]+[c}) = 3^n - 3・2^n + 3
(3) [a] 4^n - 4・3^n + 6・2^n - 4

29 ：

>>28
正解です

30 ：

[20]
f(x)=(logx)/xとする
(1)
lim[x→+0]f(x)を求めよ
(2)
(a)
logx<√xを示せ
(b)
lim[x→∞]f(x)を求めよ
(3)
f(x)の増減を調べてグラフを描け
(4)
e^πとπ^eどちらが大きいか
(5)
a^b=b^a (a<b)を満たす正整数(a,b)の組を求めよ

31 ：

[21]
数列{a[n]}は任意の正整数nにおいて,以下の条件を満たす
（条件）
(a[1]+a[2]+…+a[n])^2 = (a[1])^3+(a[2])^3+…+(a[n])^3
a[n]>0
(1)
a[1],a[2],a[3]の値を求めよ
(2)
a[n]を求めよ

32 ：

[22]
1からn(n≧2)までの番号のついた箱と球がそれぞれn個ある
それぞれの箱に球を1個ずつ入れる
このとき,以下の条件を満たす球の入れかたをa[n]通りとする
（条件）
どの箱の番号も,入れられた球の番号と一致しない
例えば,a[2]=1,a[3]=2である
(1)
a[4],a[5]の値を求めよ
(2)
n≧4とする
番号nの箱に番号(n-1)の球が入っている
このとき(a),(b)のそれぞれの場合において
条件を満たすような入れかたをa[n-1],a[n-2]を用いて表せ
(a)
番号(n-1)の箱に番号nの球が入っている
(b)
番号(n-1)の箱に番号nの球が入っていない
(3)
n≧4とする
a[n]をa[n-1],a[n-2]を用いて表せ
(4)☆
a[n]=n!Σ[k=0,n]((-1)^k)/k! を示せ

33 ：

[23]
(1)
(a)
Σ[k=1,n](k+1)^5-Σ[k=1,n]k^5 を計算せよ
(b)
(k+1)^5-k^5=ak^4+bk^3+ck^2+dk+e
を満たす定数a,b,c,d,eの値を求めよ
(c)
(b)の両辺の和をとることにより,Σ[k=1,n]k^4を求めよ
(2)☆
Σ[k=1,n]k^p (pは自然数)はnの(p+1)次多項式として表されることを
pに関する数学的帰納法を用いて示し
またそのときのn^(p+1)とn^pの係数を求めよ

34 ：

[24]
mを正の整数とする
(1)
m^3<m^3+3m^2+2m+6<(m+2)^3を示せ
(2)
m^3+3m^2+2m+6はある正の整数の3乗である
mを求めよ

35 ：

[25]
平面上に△ABCと点Pがあり
2↑AP+3↑BP+6↑CP=↑0
が成り立つ
(1)
点Pはどのような位置か
(2)
面積比△PBC:△PCA:△PABを求めよ

36 ：

[26]
2次関数f(x)=ax^2+bx+cが以下の条件を満たす
（条件）
|f(x)|≦1 (-1≦x≦1)
(1)
a,b,cをそれぞれf(1),f(0),f(-1)を用いて表せ
(2)
|f'(x)|≦4 (-1≦x≦1)
を示せ

37 ：

[27]
曲線
x=(1+cosθ)cosθ
y=(1+cosθ)sinθ (-π<θ≦π)
を考える
(1)
dx/dθ,dy/dθを求めよ
(2)
曲線の概形を描け
(3)
曲線によって囲まれた図形の面積を求めよ
(4)
曲線によって囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる
立体の体積を求めよ

38 ：

明らかにレベル下げてるけど人来ないね(笑)

39 ：

[28]
数直線上の点k(k=0,1,…,n)に粒子があり
粒子は1秒ごとに正,または負の方向にそれぞれ確率1/3,2/3で1だけ移動し
点0または点nに移動すると,そこで移動を停止する
粒子が最終的に点0にいる確率をp[k]とする
(1)
p[0],p[n]の値を求めよ
(2)
p[k]をp[k+1],p[k-1] (k=1,2,…,n-1)で表せ
(3)
p[k]を求めよ

40 ：

[29]
rを正の実数とする
(1)
xyz空間において
x^2+z^2≦r^2,y^2+z^2≦r^2
を満たす点全体からなる立体を考える
(a)
この立体を平面z=t (-r≦t≦r)で切ったときの
切り口の面積S(t)を求めよ
(b)
この立体の体積を求めよ
(2)☆
xyz空間において
x^2+y^2≦r^2,y^2+z^2≦r^2,z^2+x^2≦r^2
を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ

41 ：

[30]
a,b,cは整数で,等式 a^2+b^2=c^2 を満たすものとする
(1)
a,b,cのうち,少なくとも1つは2の倍数であることを示せ
(2)
(a)
平方数を3で割った余りとしてあり得るものを全て求めよ
(b)
a,b,cのうち,少なくとも1つは3の倍数であることを示せ
(3)
a,b,cのうち,少なくとも1つは4の倍数であることを示せ

42 ：

[31]
a,bは正整数,pは素数とする
(1)
a^2-ab+b^2≧1を示せ
また,等号が成り立つときはどのようなときか
(2)
a^3+b^3=p を満たす組(a,b,p)を全て求めよ
(3)
a^3+b^3=p^2 を満たす組(a,b,p)を全て求めよ
(4)
(a)
a^2-ab+b^2≦a+b を満たす組(a,b)を全て求めよ
(b)
a^3+b^3=p^3 を満たす組(a,b,p)は存在しないことを示せ

43 ：

[32]
nを正整数,pを素数とする
(1)
C[p,k] (k=1,2,…,p-1) はpで割りきれることを示せ
(2)
(n+1)^p-(n^p+1)はpで割りきれることを示せ
(3)
n^p-nはpで割りきれることを示せ

44 ：

[33]
2次方程式x^2-4x-1=0の2つの実数解のうち
大きいものをα,小さいものをβとする
n=1,2,3…に対し,s[n]=α^n + β^n とおく
(1)
α,βを求めよ
(2)
(a)
s[1],s[2]を求めよ
(b)
s[n+2]をs[n+1],s[n]で表せ
(3)
(a)
s[n]が正整数であることを示し,s[2012]の1の位の数を求めよ
(b)
β^2012以下の最大の整数を求めよ
(c)
α^2012以下の最大の整数の1の位の数を求めよ

45 ：

解いていいの？

46 ：

もちろん

47 ：

[34]
半径1の円に内接する正n角形の面積をS[n],周の長さをL[n]とおく
また,半径1の円に外接する正n角形の面積をs[n],周の長さをl[n]とおく
(1)
S[n],L[n],s[n],l[n]を求めよ
(2)
lim[n→∞]S[n],lim[n→∞]L[n],lim[n→∞]s[n],lim[n→∞]l[n]を求めよ
(3)
n<mのとき
S[n]<S[m],L[n]<L[m],s[m]<s[n],l[m]<l[n]を示せ

48 ：

[35]
(1)
1辺が1の正四面体の各頂点を通る球の半径Rを求めよ
(2)
1辺が1の正四面体の各面に接する球の半径rを求めよ

49 ：

[36]
コインをN枚同時に投げて,表が出たコインを取り除くという操作を行う
そして,残ったコインで同じ操作を繰り返し行い
コインが無くなった時点で試行を終了するものとする
(1)
N=1のとき
(a)
ちょうどn回目の操作で試行が終了する確率を求めよ
(b)
n回以下の操作で試行が終了する確率を求めよ
(2)
N≧1のとき
(a)
n回以下の操作で試行が終了する確率を求めよ
(b)
ちょうどn回目の操作で試行が終了する確率を求めよ

50 ：

[37]
自然数nに対して
(2+√3)^n=a[n]+√3*b[n]により数列{a[n]},{b[n]}を定義する
(1)
(2-√3)^n=a[n]-√3*b[n]で表されることを示せ
(2)
(a[n])^2 - 3(b[n])^2 の値を求めよ
(3)
適当な自然数k[n]を用いて
(2-√3)^n=√k[n]-√(k[n]-1)と表されることを示せ

51 ：

[38]
1辺の長さが8の正三角形ABCの辺AB,BC,CA上に
それぞれ点P,Q,RをAP=BQ=CR=3となるようにとる
線分AQと線分BRの交点をL
線分BRと線分CPの交点をM
線分CPと線分AQの交点をNとする
(1)
線分AQの長さを求めよ
(2)
線分AL,ANの長さを求めよ
(3)
△LMNの面積を求めよ

52 ：

[39]
三角形ABCの外心をO,重心をG,内心をI,垂心をHとする
また,三角形の三辺の長さをAB=l,BC=m,CA=nで表すことにする
(1)
↑OGを↑OA,↑OB,↑OCで表せ
(2)
↑OIを↑OA,↑OB,↑OCで表せ
(3)
↑OH=↑OA+↑OB+↑OCで表されることを示せ

53 ：

メモ
[21]
S[k](n)=1^k+2^k+3^k+…+n^kと定義する時
{S[p](n)}^a={S[q](n)}^bとなるような
自然数a,b,p,q(a,bはa＜bで互いに素)の組を求めよ
[24]
n+1,n^2+n+8が共に自然数の3乗になるような自然数nを全て求めよ

54 ：

[17]おもしろそうだからやる
〔1〕
(x,y)=(1,1)
〔2〕
(X,Y)=(7n,-3n)
但しnは整数とする
〔3〕
(x,y)=(7n+1,-3n+1)
但しnは整数とする
〔4〕
rを任意の非負整数とする
r mod 3 = 0 ならば、0 以上の整数は 3x+7y の形で表せる。
従って、候補は無し。
r mod 3 = 1 ならば、7 以上の整数は 3x+7y の形で表せる。
従って、候補は 1,4 。
r mod 3 = 2 ならば、14は3*0+7*2の形であらわせるので
15 未満の非負整数でしか「3x＋7y の形で表せない値」が存在しない。
従って、候補は2,5,8,11
故に11

55 ：

x,yは正整数(1,2,3,…)です…

56 ：

[40](02 京大)
半径1の円周上に相異なる3点A,B,Cがある
(1)
AB^2+BC^2+CA^2>8ならば△ABCは鋭角三角形であることを示せ
(2)
AB^2+BC^2+CA^2≦9が成立することを示せ
また,この等号が成立するのはどのような場合か

57 ：

[41](96 東北大)
xy平面の点(0,1)を中心とする半径1の円をCとし
第1象限にあってx軸とCに接する円C[1]を考える
次に,x軸,C,C[1]で囲まれた部分にあって,これらに接する円をC[2]とする
以下同様に,C[n](n=2,3,…)をx軸,C,C[n-1]で囲まれた部分にあって
これらに接する円とする
(1)
C[1]の中心のx座標をaとするとき,C[1]の半径r[1]をaを用いて表せ
(2)
C[n]の半径r[n]をaとnを用いて表せ

58 ：

[42](10 京大)
n個のボールを2n個の箱へ投げ入れる
各ボールはいずれかの箱に入るものとし,どの箱に入る確率も等しいとする
どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率をp[n]とする
このとき,極限値
lim[n→∞](log p[n])/n
を求めよ

59 ：

[43](08 東工大)
nを自然数,P(x)をn次多項式とする
P(0),P(1),…,P(n)が整数ならば
すべての整数kに対し,P(k)は整数であることを証明せよ

60 ：

[44](96 東大)
nを正の整数とし,n個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える
ただし,1個のボールも入らない箱があってもよいものとする
以下に述べる4つの場合について,それぞれ相異なる入れ方の総数を求めたい
(1)
1からnまで異なる番号のついたn個のボールを
A,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合
その入れ方は全部で何通りあるか
(2)
互いに区別のつかないn個のボールを
A,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合
その入れ方は全部で何通りあるか
(3)
1からnまで異なる番号のついたn個のボールを
区別のつかない3つの箱に入れる場合
その入れ方は全部で何通りあるか
(4)
nが6の倍数6mであるとき
n個の互いに区別のつかないボールを
区別のつかない3つの箱に入れる場合
その入れ方は全部で何通りあるか

61 ：

[45](84 創価大)
0≦x≦1,0≦y≦1の範囲で
(x-2y+1)^2+(x+y-1)^2
の最大値と最小値を求めよ

62 ：

>>55
やっちまった・・・
じゃあそれに10を足した21かな？

63 ：

>>57
(1)
r[1]=a^2/4
(2)
r[n]=2^[{(-1)^n-1}*2log2a+{(-1)^n}-1]
むむむ
あたってる気がしないぞ！

64 ：

>>61
まず、与式をｘについての二次式とみて、与えられた定義域における値域を求める
で、最大値と最小値それぞれにおけるｙについての二次式を、与えられた定義域における値域を求める

65 ：

>>62
正解
>>63
(2)が違う

66 ：

[46](84 同志社大)
同一直線上にない3点O,A,Bがあり,↑OA=↑a,↑OB=↑bとする
(1)
点C,Dをそれぞれ↑OC=2↑a,↑OD=3↑bを満たす点とし
線分ADと線分BCの交点をEとする
↑OEを↑a,↑bで表せ
(2)
点P,Qはそれぞれ↑OP=s↑a,↑OQ=t↑bを満たす点であるとき
線分AQと線分BPが↑OR=(1/2)↑a+(2/3)↑bを満たす点Rで交わるように
s,tの値を定めよ

67 ：

[47](97 東京理科大)
平面上のベクトル↑a,↑bが
|↑a+3↑b|=1,|3↑a-↑b|=1を満たすように動く
このとき,|↑a+↑b|の最大値をR,最小値をrとする
Rとrを求めよ

68 ：

[48](84 東邦大)
I[1]=∫[0,π/2]{(sinx)^3/(sinx+cosx)}dx
I[2]=∫[0,π/2]{(cosx)^3/(sinx+cosx)}dx
とおくとき
(1)
I[1]+I[2]を計算せよ
(2)
I[1]とI[2]の関係を導いて,それらの値を求めよ

69 ：

[49](83 鹿児島大)
関数f(x)のx=aにおける微分係数f'(a)が存在するとき
次の極限値を求めよ
ただし,nは正の整数とし,a≠0とする
lim[x→a](x^n*f(x)-a^n*f(a))/(x^n-a^n)

70 ：

[50](86 東工大)
整数a[n]=19^n+(-1)^(n-1)*2^(4n-3) (n=1,2,3,…)
のすべてを割り切る素数を求めよ

71 ：

[51](08 京大)
次の式で与えられる底面の半径が2,高さが1の円柱Cを考える
C={(x,y,z)|x^2+y^2≦4,0≦z≦1}
xy平面上の直線y=1を含み,xy平面と45ﾟの角をなす平面のうち
点(0,2,1)を通るものをHとする
円柱Cを平面Hで二つに分けるとき,点(0,2,0)を含む方の体積を求めよ

72 ：

[52](05 一橋大)
(1)
p,2p+1,4p+1がいずれも素数であるようなpをすべて求めよ
(2)
q,2q+1,4q-1,6q-1,8q+1がいずれも素数であるようなqをすべて求めよ

73 ：

ここで解くメリットがわからない

74 ：

[53](00 阪大)
点Oを中心とする円を考える
この円の円周上に3点A,B,Cがあって
↑OA+↑OB+↑OC=↑0
を満たしている
このとき,三角形ABCは正三角形であることを証明せよ

75 ：

[54](06 京大)
△ABCの内心をPとする
↑PA+↑PB+↑PC=↑0が成り立っているとき
この三角形は正三角形であることを示せ

76 ：

[55](93 京大)
n≧3とする
1,2,…,nのうちから重複を許して6個の数字をえらびそれを並べた順列を考える
このような順列のうちで,どの数字もそれ以外の5つの数字のどれかに
等しくなっているようなものの個数を求めよ

77 ：

[56](75 名大)
三角形ABCにおいて,∠C=n∠Bならば
b<c<nb (b=CA,c=AB)であることを証明せよ
ただし,nは2以上の整数とする

78 ：

[57](82 東工大)
nを自然数とする
半径1/nの円を互いに重なり合わないように半径1の円に外接させる
このとき外接する円の最大個数をa[n]とする
lim[n→∞]a[n]/nを求めよ

79 ：

[58](74 京大)
0≦α<β<γ<2πであって
cosα+cosβ+cosγ=0,sinα+sinβ+sinγ=0
であるという
β-αとγ-βの値を求めよ

80 ：

[59](05 京大)
先頭車両から順に1からnまでの番号のついたn両編成の列車がある
ただしn≧2とする
各車両を赤色,青色,黄色のいずれか一色で塗るとき
隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような塗り方は何通りか

81 ：

[60](00 千葉大)
nが3以上の整数のとき
x^n+2y^n=4z^n
を満たす整数x,y,zはx=y=z=0以外に存在しないことを証明せよ

82 ：

[61](11 新潟大)
実数a,b,cに対して,3次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cを考える
このとき,次の問いに答えよ
(1)
f(-1),f(0),f(1)が整数であるならば
すべての整数nに対して,f(n)は整数であることを示せ
(2)
f(2010),f(2011),f(2012)が整数であるならば
すべての整数nに対して,f(n)は整数であることを示せ

83 ：

解答のない問題集ほど要らないものはない
自己満クソスレ乙

84 ：

[62](96 京大)
nを3以上の整数とする
円周上のn等分点のある点を出発点とし
n等分点を一定の方向に次のように進む
各点でコインを投げ,表が出れば次の点に進み
裏が出れば次の点を飛び越しその次の点に進む
(1)
最初に1周まわったとき,出発点を飛び越す確率p[n]を求めよ
(2)
kは2以上の整数とする
k-1周目までは出発点を飛び越し
k周目に初めて出発点を踏む確率をq[n,k]とする
このときlim[n→∞]q[n,k]を求めよ

85 ：

[63](00 京大)
円に内接する四角形ABPCは次の条件(ｲ),(ﾛ)を満たすとする
(ｲ)三角形ABCは正三角形である
(ﾛ)APとBCの交点は線分BCをp:1-p (0<p<1)の比に内分する
このときベクトル↑APを↑AB,↑AC,pを用いて表せ

86 ：

[64](72 東京医科歯科大)
x[n]=∫[0→π/2](sinθ)^n dθ (n=0,1,2,…)
のとき次の問に答えよ
(1)
x[n]={(n-1)/n}x[n-2]であることを示せ
(2)
nx[n]x[n-1]の値を求めよ
(3)
数列{x[n]}は減少数列であることを示せ
(4)
lim[n→∞]n(x[n])^2を求めよ

87 ：

[65](82 岐阜大)
αを0<α<1の有理数とし,x>0,y>0の範囲でx^α+y^α=1を考える
この曲線上の点Pにおける接線が両座標軸と交わる点をA,Bとするとき
線分ABの長さがPの位置に関係なく一定となるようなαの値を求めよ

88 ：

[66](92 京大･改)
サイコロをくり返しn回振って,出た目の数を掛け合わせた積をXとする
すなわち,k回目に出た目の数をY[k]とすると,X=Y[1]Y[2]…Y[n]
(1)
Xが3で割り切れる確率p[n]を求めよ
(2)
Xが4で割り切れる確率q[n]を求めよ
(3)
Xが6で割り切れる確率r[n]を求めよ

89 ：

[67](72 京大)
実数または複素数のx,y,z,aについて
x+y+z=a,x^3+y^3+z^3=a^3
の2式が成立するとき
x,y,zのうちの少なくとも一つはaに等しいことを示せ

90 ：

[68](84 筑波大)
f(x)=x^3-(3/4)xとする
(1)
f(x)の区間[-1,1]における最大値,最小値,およびそれらを与えるxの値を求めよ
(2)
x^3の係数が1である3次関数g(x)が区間[-1,1]で,|g(x)|≦1/4をみたすとき
g(x)-f(x)は恒等的に0であることを示せ

91 ：

[69](79 京都府医大)
1回の試行で事象Aの起こる確率はpであって
Aが起これば2点,起こらなければ1点の得点が与えられる
この試行をくり返し行うとき,得点が途中で丁度n点となる確率をp[n]とする
ただし,p[0]=1とする
(1)
p[n](n≧2)をp[n-1],p[n-2],pで表せ
つぎに,p[n]をn,pの式で表せ
(2)
得点の合計が途中でn点とならないで2n点となる確率を求めよ

92 ：

[70](85 お茶の水女大)
a,b,cは整数で,a^3+2b^3+4c^3=2abcとする
(1)
a,b,cはいずれも偶数であることを示せ
(2)
a=b=c=0であることを示せ

93 ：

[71](98 東大)
xyz空間に5点A(1,1,0),B(-1,1,0),C(-1,-1,0),D(1,-1,0),P(0,0,3)をとる
四角錐PABCDのx^2+y^2≧1をみたす部分の体積を求めよ

94 ：

自己満スレなんだからsageろや(^p^)凸

95 ：

[72](85 弘前大)
2つの数列{a[n]},{b[n]}は関係式
b[n]=(1･a[1]+2･a[2]+…+n･a[n])/(1+2+…+n) (n=1,2,…)
をみたしている
(1)
{a[n]}が等差数列ならば,{b[n]}も等差数列であることを示せ
(2)
{b[n]}が等差数列ならば,{a[n]}も等差数列であることを示せ

96 ：

[73](10 京大)
座標空間内で
O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1),E(1,0,1),F(1,1,1),G(0,1,1)
を頂点にもつ立方体を考える
この立方体を対角線OFを軸に回転させて得られる回転体の体積を求めよ

97 ：

[74](04 早大)
nを自然数とする
n,n+2,n+4がすべて素数であるのはn=3の場合だけであることを示せ

98 ：

[75](04 東工大)
場所1から場所nに異なるn個のものが並んでいる
これらを並べ替えてどれもが元の位置にならないようにする方法の総数をD(n)とする
ただしn≧2とする
(1)
n=4の場合の並べ替え方をすべて書き出して,D(4)を求めよ
(2)
n≧4に対して
D(n)=(n-1){D(n-2)+D(n-1)}
を証明せよ

99 ：

[76](09 阪大)
以下の問いに答えよ
(1)
√3が無理数であることを証明せよ
(2)
a,bを有理数とする
多項式f(x)=x^2+ax+bがf(1+√3)=0を満たすとき,a,bを求めよ
(3)
nを2以上の自然数とする
g(x)は有理数を係数とするn次多項式で最高次の係数が1であるとする
g(1+√3)=0となるとき,g(1-√3)=0を示せ

100read 1read

1read 100read

TOP カテ一覧 スレ一覧 2ch元 削除依頼 ▲

早慶上智制覇したけど質問ある？ (254)
【大学】実質2浪が仮面で早稲田目指すスレ【逃亡】 (870)
東京工科大学205 (891)
【京大】京大入試成績開示スレ【2012】 (200)
早慶上智制覇したけど質問ある？ (254)
★旧帝未満の負け組国公立よりかは断然マーチ!!☆ (251)
--log9.info------------------
　　　　心のハゲ　　　　 (507)
【肥大】頭蓋骨【歪】part8 (722)
【人柱】ネット通販の増毛シート２【求む】 (944)
逆立ちで頭皮の血行を良くしたらどうよ？ (774)
【脂性肌】スカルプDシャンプー【乾燥肌】 (796)
最強！！！家庭用電位治療器 (657)
【顔文字は】福山雅治って植毛やん4【ﾌﾞｻｷﾓ婆】 (789)
【新発売】LION 『PRO TEC HEAD』　1頭 (299)
産毛 ヾ(oﾟωﾟo)ﾉﾞ プニプニ！プニプニ！ (124)
柑気楼（かんきろう）について語る (524)
最近、髪が大量に抜けるのは放射能の影響 (132)
放射能でハゲてきたヤツ (130)
ハゲる利点 (130)
デュタのスレ8 (506)
L-リジン (820)
どうしてハゲの頭はあんなに光ってるんだ (153)
--log55.com------------------
格板は我々ホモが完全制圧した part.16
【頂 上】上 級 国 民 vs ホ モ【決 戦】
格板は我々ホモが完全制圧した part.17
格板は我々ホモが完全制圧した part.18
ケツRをあてに毎晩トンスルをひっかける首吊りチョンコ(笑)
格板は我々ホモが完全制圧した part19
格板は我々ホモが完全制圧した part.20
格板は我々ホモが完全制圧した part.21