1=0.999......の色々な証明を考えるスレ

1 ：2013/01/16 〜 最終レス ：2013/06/02

全員が納得できるような証明を考えましょう

2 ：

またこの問題のスレがたったｗ　うんざり。
全員納得できる証明はありません。
おわり。

3 ：

よくわからんが…
超準数学では云々派
数学哲学、直観主義、数学的構成主義　派
などなど、強烈な主義主張の人たちが数学の中にいて訳が分からん状態なんだっけ？

4 ：

・中学生用
　 　 X = 0.99999...
　 10X = 9.99999...
10X-X = 9
　 　 X = 1
・高校生用
0.99999... = Σ[n=1,∞]9*(0.1^n) = 0.9/(1-0.1) = 1

5 ：

>>4 終了
これでわからん奴はもっと勉強してから来い

6 ：

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7 ：

>>4
公比級数の和を求める際、高校レベルでは、
S=a+ra+r^2a+....r^(n-1)a
rS= ra+r^2a+...+r^(n-1)a+r^na
(1-r)S=(1-r^n)a
S=(1-r^n)a/(1-r)
と求めるから
x=0.9999...
10x=9.99....
とやることと本質的には同じ意味
これはどちらも0.9999....というのは、9が無限に続くのだから、それに手を加えることは果たして正しいのか、という疑問に対する答えにはならないのです
何かもっと決定的なものはないでしょうか

8 ：

無い物ねだりしてもしかたないだろ。
違う数としても矛盾はないからな。

9 ：

>>8
詳しくお願いします

10 ：

そもそも普通の実数の定義等を破棄して、1と0.999…を違う数と仮定しても何の矛盾もないだろ。
それだけだ。だから、証明も何もないよ…
>>7とかは普通の実数の定義からもたらされるところの計算だろ？
それができないとするなら、違う数としても何の問題もないよ。

11 ：

>>10
なるほど
実数を認めるなら1=0.999....
認めないならば1≠0.999.....
そこに矛盾はないのですね
ならば実数を認めないとするときの0.999...というものは、どういう意味を持つのでしょうか？

12 ：

特に意味はないんじゃないの？
使いにくいしね。

13 ：

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14 ：

ヤクザやなりすましを使い成人式を荒らしているのは
広告代理店やテレビ局の自作自演です。
反原発デモでチンドンや太鼓を鳴らし、ソントを行っている在日
街宣車に乗り、騒音を撒く朝鮮人
構図は全て同じです
http://mamorenihon.files.wordpress.com/2011/10/zainichi_seijinshiki_1.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-1_jEcAWVs1s/Tm4X2mLBhhI/AAAAAAAABok/MObw2nzMyoI/s1600/IMG_9062-714071.jpg
http://wave.ap.teacup.com/renaissancejapan/timg/middle_1228711905.jpg
ソント(声闘)・・朝鮮人は、声や音が大きければ、主張が通る、どんな凶悪犯罪でも無罪になると思い込む。
だから朝鮮人は大音量で街宣車を走らせる。
原発サウンドデモ＝ソント
在日(もちろんテレビや新聞は通名で報道)が凶悪犯罪を起こしたとき、人権派()弁護士が異様に沢山付くのも
弁護士が多ければ=声が大きければ、無罪になると思い込んでいるから。

15 ：

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16 ：

>>7
ε-δでおｋ

17 ：

朝鮮人犯罪があまり報道されない、そしてテレビが日常的に嘘を吐く理由。（間借りしているだけなどと言う工作員に注意）
（間借りしているだけだ等と言う社員と工作員には注意）
韓国文化放送(MBC)　〒135-0091　東京都港区台場2-4-8 18F
フジテレビジョン　、、　〒137-8088　東京都港区台場2-4-8　
韓国聯合TVNEWS(YTN)　〒105-0000　東京都港区赤坂5-3-6
TBSテレビ　　　　　、 、、 .〒107-8006　東京都港区赤坂5-3-6　
大韓毎日　　 、、、、、、、、、、、、 〒108-0075　東京都港区港南2-3-13 4F
東京新聞(中日新聞社東京本社)　〒108-8010　東京都港区港南2-3-13
京郷新聞 　、、、、、、〒100-0004　東京都千代田区大手町1-7-2
産経新聞東京本社　 〒100-8077　東京都千代田区大手町1-7-2
(ｻﾝｹｲｽﾎﾟｰﾂ、夕刊ﾌｼﾞ、日本工業新聞社)
朝鮮日報　 　、、、 　〒100-0003　東京都千代田区一ツ橋1-1 4F
毎日新聞東京本社　〒100-8051　東京都千代田区一ツ橋1-1-1
日本放送協会 、、 〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1
韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C　

18 ：

>>4
中学生用で追加
1/3＝0.3333333・・・・・・
両辺を3倍して
　1＝0.999999・・・・・
大学生用？
　0.99999・・・・　に、どんなに小さな数εを加えても 1 を超えるので、
1＝0.999999・・・・・　

19 ：

0.333… は 1/3= で出て来ますが
0.999… は実際どんな式から出て来るんですか？出来るだけ身近なのだと

20 ：

>>19
出て来るとは？

21 ：

9/9の筆算で最初0にしたら？

22 ：

なんで9やねん………orz
1/1でいい

23 ：

>>19
16進数の　０．FFFFFFFF・・・　を10進数に変換したとき、
あるいは、見た目が違うだけだけど　2進数の　０．11111111・・・・　を
10進数に変換したとき等じゃないか。

24 ：

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25 ：

p-進厨はまだ現れんのか

26 ：

>>7
マジレスすると、x=0.999…を十倍してやる方法は
10*0.999……
を「具体的に」計算してるから駄目というだけで、この表記そのものは何ら問題ではないよ
だから無限級数では完全な証明になってる（もちろん無限級数が収束するかどうかはεδに依る）

27 ：

コレは一体どういう意味なんですかね？
★★★『阪大基礎工あがりの人でも数学者になれたんだろ』★★★
何だか蔑みの様にも、また見下しの様にも見えませんかね。日本の学歴
階層構造というのか、或いは理学部が他所を見下してるのか、極めて不
思議な価値観を醸し出してますわナ。コレをもし：
★★★『日本人如き（のサル）でも数学者になれたんだろ』★★★
な〜んてどっかの国の誰かが言ったら怒るんですかね、ソレとも褒め言
葉なんで嬉しがるべきなんですかね？
ケケケ狢
>785 ：１３２人目の素数さん：2013/02/02(土) 16:27:31.55
> >>782
> 極端な平等主義？
>
> あほか。
> だから阪大基礎工あがりの人でも数学者になれたんだろ。
>
> 東大、京大って言ったって、
> 高校数学の学力試験を勝ち抜いたくらいで大きい顔をされてもね。
> （しかも、数学では差がつかずに、他の古文、漢文、日本史、世界史などの
> 教科で得点に差がついただけ）
>
> 結集する意味なし。
> 別にカリキュラムに沿ってお勉強してるんじゃあるまいし。
> 天才はどこでも育つ。個人の問題だから。
>
> 余裕のあるところで、自分で好き勝手なことをやってればいい。
> 特にこれからの時代、既存の難問を解いてるだけの数学者よりも
> 問題を見つけ出す数学者が必要とされる。
> 秀才型数学者は黙ってろ、って。
>

28 ：

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29 ：

テスト勉強にかねてうp
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org3933290.jpg.html

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31 ：

Y=3.87/4.83
@=nY=ZY

32 ：

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33 ：

>>10
0.999…の意味について、定義は不要だよ派 ってのはいないの？

34 ：

それは、わざわざ定義を宣言するまでもなく「0.999…」という表現が、唯一の意味なり用法なりを持っている
と言いたいのだろうか？

35 ：

そう、言語レベルでの実無限派。
現に目前に構成できているものにわざわざ定義を与える必要はないって立場。

36 ：

そうか
でも数学では通用しないよ

37 ：

まあコミュニケーションが成立しづらいだろうね

38 ：

言語レベルでの実無限っていうのは、無限長のtermとかformulaがあるということ。
0.999…を実際に書き下せるので別に定義を与える必要が感じられない。
可能か不可能かは物理的な制約である。

39 ：

>>38自体にもツッコミどころはあるが無視するとして…
で、「0.999…」は数学の文脈においてどう振る舞うのか
何もかも初めから定まってるんだっけ？

40 ：

>>39
ほんとに実無限だと0.999…なんかは個物として扱われるから、右の0.999…と左の0.999…は別物
ということになり、属性の違いがあることも認められるのではないか。

41 ：

別に0.999…に限らずあらゆる小数がバラバラになりそうだな

42 ：

0.99999...がある整数を表すとしたらそれは何か？　→1
同様に、0.99999...がある実数を表すとしたらそれは1である。
もうこれでいいような気がしてきた。

43 ：

無限桁あるんだ、有限桁で止めるな、ってうるさい。
じゃ無限項足せばいいんだろ。
各桁 9/10^n を 区間[0, 9/10^n] で代用したら ∪[0, 9/10^n] = [0, 1) だ。
これで極限とかじゃなく本当に無限項足したことになるな。
結果は [0, 1) ≠ [0, 1] となったが次にどんな妄想をすればいい？
１． 0.99999...は1に限りなく近いが異なる数
２．[0, 1) と [0, 1] は同値ってことにしろ

44 ：

計算間違えてるから意味不明だけど？

45 ：

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46 ：

>>40
自然数論
0.999…=0.999…;…999…
0.999…=0.999…;…000…
超準解析
0.999…=0.999…;…999…
0.999…≠0.999…;…000…
結論
自慰

47 ：

自然数論というのは「数についての自然な理論」の意味ではありませんよ

48 ：

>>43,44
∪[0, 9/10^n] = [0, 1) じゃなくて ∪[0, １-1/10^n] = [0, 1) と言いたいんだろ

49 ：

９÷９の２通りの筆算の仕方
　　　１
　　＿＿
　９）９
　　　９
　　　─
　　　０

　　　０．９９９…
　　＿＿＿＿
　９）９
　　　８１
　　　──
　　　　９
　　　　８１
　　　　───
　　　　　９
　　　　　８１
　　　　　───
　　　　　　９
∴１＝０．９９９…

50 ：

上と下の筆算の結果が一致するのは何故でしょうね

51 ：

同じ式の計算をしてるからね

52 ：

同じ式を計算すれば方法に依らず結果が一致することの証明は必要だよ
√(-1)×√(-1)≠√[(-1)(-1)] だから、複素数では分数指数の指数法則は成り立たない

53 ：

そういや筆算の正当性（特に商が無限小数になるとき）ってどうやって証明するんだろう
考えたことなかったや

54 ：

無限級数とイプシロンデルタの合わせ技だろ。面倒だし特に利益ないからなー

55 ：

もし「上限」という用語がなくて「最大値」で兼用していたら混乱の元になるよね。
集合{0.9, 0.99, 0.999, ・・・} の最大値は1である。1に等しい要素はないが、任意の正数εに対して・・・
なんて「最大値」を再定義しながら無限集合にも適用し、状況に応じて区別すんの。
「和」にも上限と同じような用語があればよかったんじゃない？

56 ：

最大値の定義はもともと有限とか無限とか区別してない。
無限集合では最大値が存在しない場合があるってだけ。
和は2項演算だからな。本来の定義自体は無限なんて適用外。

57 ：

0.999...=αとおく。
両辺を10倍し9を引くと、
9.999...-9=10α-9
が得られるが、左辺=αであるから、
α=10α-9
となる。これを解けば、α=1、すなわち、0.999...=1であることがわかる。■

58 ：

それで納得する層っているんだっけ？

59 ：

いるよｗ
各レベルで色々な話ができる問題だからな。最終的には超準解析まで行くのか？

60 ：

それで皆が納得するならこのスレ不要

61 ：

まずは実数の10進数表示の方法・意味について再確認しなきゃな

62 ：

0.999...と表記してある数に対し加減乗除の演算をしてよいのかどうか
これをはっきりしないと証明方法が決まらない

63 ：

0.999...は実数ではないのかい？
実数は体だから四則演算が定義されているが

64 ：

∽は加減乗除に使えるの？

65 ：

使えない。実数じゃないからな。

66 ：

> ∽
実数じゃない以前に…

67 ：

　テメ〜ら、いいかげんにしねえと、ブッRぞ！
　無職の、知的障害の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども！
　R！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

68 ：

>>4
これすげーな

69 ：

>>68
だから、10倍していいのか？

70 ：

実数を10倍したらダメと？

71 ：

>>69
10倍するのはいいだろ。
桁ごとの操作がOKかはまた別。

72 ：

0.999...は無限桁だから、10倍しても1/10倍してもやはり無限桁
おわかりか？

73 ：

哲厨って「無限である」ことに妙にこだわって、数学的な定義には無頓着だね。

74 ：

>>72
数学なんだからさ、そんなざっくりした説明やめろよ。
「無限桁だから」じゃ哲厨の言い分と変わらん。

75 ：

>>74
では無限桁小数を１０倍したら有限桁になる理屈を教えてくれ

76 ：

有限桁になるわけねーだろｗ

77 ：

>>75
10倍すると、数字の並びはそのままで小数点が一つずれる。
無限小数が無限級数を用いて定義されていることを知らずして、どうして上の事実を認めるのか。

78 ：

・>>4や>>57の説明が証明だと納得している
・近似値だと思って納得している
・無限に近いものはその数と同じだと「みなす」んだと思って納得している
これらは別に悪いわけじゃないけど、「数学の基本はいい加減なものである」というデマのいいエサになっている。

79 ：

んなわけねーだろ
中世じゃあるまいし

80 ：

中世に生きている人もいるんです。
第一印象にこだわる事と直観を大切にすることを区別できない人もいるんです。
無限を理念的にとらえて尾ひれをつけていく人もいるんです。

81 ：

×　無限に近いものはその数と同じだと「みなす」んだと思って納得している
○　無限に近づくものはその数と同じだと「みなす」んだと思って納得している

82 ：

数列の形で考えましょう。
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　→　1
左辺と右辺がありますね。
左辺：　無限数列 {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　}
右辺：　極限値
式全体：　数列が限りなく１に近づくことを示す命題
　　　　　　（この場合1に到達はしない）
そして、0.999...　は、　右　辺　を　表　す　記　号　です。
これが定義です。
なにか曖昧なところがありますか？
（ε-N論法に翻訳するのは好きにやってください）
なお注意点として、
１は数列 {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　}に属しません。
当然0.999...も数列 {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　}に属しません。
でも1=0.999...で問題ありません。
0.999...　は、　右　辺　を　表　す　記　号　だからです。

83 ：

>>43
お前は何かを勘違いしている。
この2つを見れば勘違いに気づくかもしれない↓
(1) ∪[n∈N] [0, 1−1/10^n) ≠ [0, 0.999…].
(2) ∪[n∈N] [0, 1−1/10^n) ＝ [0, 0.999…).
この(1)(2)は正しい式である。仮に 0.999…≠1 であろうとも、
(1)(2)は成立するところがポイントである(あまり変な体系にしなければ成立する)。

84 ：

私に言わせれば、定義定義と五月蠅く言っている人達のほうこそ思考停止しているのではないか。
数学にも無定義語というものがあるだろう。直線や点など、性質を述べることはできても定義はしない対象だ。
0.99999・・・も既にそこにあるものであり、わざわざ定義などにこだわる意味があるのか。
意図的に議論の進行を妨げているのでなければ、そろそろその先へ進むべきであろう。

85 ：

>>83　(1)(2)は成立するところがポイントである(あまり変な体系にしなければ成立する)。
「仮に 0.999…≠1 であろうとも、」って0.999…が何であるか定義せずにどう考えろってんだ？

86 ：

無定義語というのは、その(形式的な)運用規則が定められているから意義があるんだよ。
運用規則がなければ単なる一つの無意味な記号に過ぎず、
単なる記号から何事かを導こうとするのは神秘主義的と言わざるを得ない。
微分形式が生まれた経緯が反論になると思うかもしれないが、あれは積分の諸性質からの類推なので事情が違う。
有限小数からの類推で無限小数の計算規則を推測するのもアリだが、0.999…が1と等しいかどうか考察する役には立つまい。
結局、何らかの位相的な議論を要するように思える。

87 ：

>>84
お前は0.999...に定義が不要だっていうのか。
深く正しく考えれば自ずと答えが出るとでも思っているのか？
残念ながらそうではない。
結局どこかで定義が必要になる。

「0.999...は数列 {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　} に属しません」
っていうのは理解しているか？
いったん1=0.999...を忘れて、0.999...を「0.のあとに9が無限に並んだモノ」として考えてもそうなるんだぞ。
{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　} をいくら眺めていても0.999...は捜し出せない。

88 ：

>>86
>結局、何らかの位相的な議論を要するように思える。
位相や大小関係の定められていない抽象的な代数体系じゃ定義できないからね。
それに加えて、収束することも必要条件になってくるから、
「単なる記号から何事かを導こうとするのは神秘主義的と言わざるを得ない。」
というのは至言だ。

89 ：

{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　}
={(10-1)/10,(10^2-1)/10^2,・・・,(10^n-1)/10^n,・・・}
この無限数列の極限値を考えれば、0.999...=lim[n→∞](10^n-1)/10^n=1
実数全体の集合Rは、有理数列の極限値全体の集合であり、このようなRの構成法を完備化と言う。

90 ：

>>78
一見、納得してしまうけど、
0.00...1がどこかに消えたようでスッキリしない…

91 ：

>>74
可算濃度×N＝可算濃度
でいんじゃね？

92 ：

>>90
0.00...1 と最後に 1 を想定してしまうとスッキリしないのは当たり前だよ
有限だという気持ちがどこかにあるから

93 ：

>>92
「無限に続いているので最後の桁はない」って説明する人がよくいる。
それだと、一般に無限集合は最後の要素を持たない、という誤まった理解に繋がりそうで気になってしまう。

94 ：

>>90
0.999...と9が無限桁並んだその先の桁まで考えているの？
0.999...0
0.999...1
0.999...2
・・・
0.999...8
0.999...9
これらのものを考えることも可能だが、結論から言って 0.999... までしか考えない。
実数を作るためにそこまでの「精度」は必要ないから。

95 ：

>>93
「無限集合の最後の要素」って何？

96 ：

>>94
じゃ0.000...1〜0.000...9の差があるんだから厳密には違うんだろ？

97 ：

>>95
Nを自然数全体の集合とする。これの最後になにか一つ付け加えればいい。
N = {0, ,1, 2 ,3, ・・・}
N+1 = {0, ,1, 2 ,3, ・・・, N}
とすればいいだろ。
Nには最後の要素はない。
N+1には最後の要素はあるけど、最後の一つ前の要素はない。

98 ：

>>87
> 0.999...は数列 {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・　} に属しません
じゃあ含めちゃえばいいじゃん。
{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・ , 0.999..., 0.999...1, 0.999...2, 0.999...3, ・・・, 0.999...9　} → 1
0.999...は左辺に含まれてる。だから右辺の1に等しくならない。
はい論破ｗ

99 ：

今時「はい論破」なんて恥ずかしい言い方する人間残ってたのか

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