高校数学の質問スレPART359

1 ：2013/10/21 〜 最終レス ：2013/10/22

【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでねっていう言葉、君に届いてる？？
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしない人いるなう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いにだけ気をつけましょう。
・長い分母または分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者はわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
　　（変に省略するよか全文書いた方がいい、まて説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何か分からないので、どこまで考えたのかを明記しませう。それがない場合、放置されることかあるんです。
　　（特に、自分がやってみたのにあわないので教えがほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答が心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ちてください。
※前スレ
高校数学の質問スレPART358(仮)
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1381256803/

2 ：

前スレ
>>998
>>996だけどごめん、>>967 の展開する前の元の式見たら、
(2乗)+(2乗)+(2乗)・・・�@の形になってるから、仮に0になるとしたら
この2乗の中身がすべて0のときに限る。(いずれかが0でなければ和は0にならない)
それで条件3式得られるから、x,y,zの値は一通りに定まることになる。
またx,y,z=0とすれば0になるから、その一通りとは(x,y,z)=(0,0,0)であることがわかる。
補足すると、もしx,y,z≠0で与式が0になるものがあると存在すれば、
�@のうち2乗の中身のどれかは0でなくなる。（中身すべてが0になるのはx,y,z=0のときに限るから）
だから与式が0になるのはx,y,z=0のときに限るとわかる

3 ：

主な公式と記載例
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b　[a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a　　[２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R　[正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A)　　　　　 [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b)　　[加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a))　　[底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h　　[微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2)　[和差積商の微分]

4 ：

基本的な記号の使い方は以下を参照してください。その他については>>1のサイトで｡
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
　a+b　→　a 足す b　　　（足し算)　　　　　a-b　→　a 引く b 　　　（引き算)
　a*b　→　a 掛ける b　　（掛け算) 　　　　a/b　→　a 割る b　　 　（割り算)
■ 累乗　^
　a^b 　　　　a の b乗
　a^(b+1)　　a の b+1乗
　a^b + 1　　（a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
　a/(b + c)　と a/b + c
　a/(b*c)　　と a/b*c
　はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
　a[n] or a_(n) 　　　　→ 数列aの第n項目
　a[n+1] = a[n] + 3 　→ 等差数列の一例
　Σ[k=1,n]a_(k)　　 　 → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」「すうがく」などで変換せよ（環境によって異なる）．�唐ﾍ高校では使わない）
　∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
■ 三角関数
　(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1　　　　　cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
　AB↑　a↑
　ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
　（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
　（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
　（行（または列ごと）に表示する．　例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
　P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk
■共役複素数
　z=x+iy ( x , y は実数 ) に対し　z~=x-iy

5 ：

単純計算は質問の前に　　ttp://www.wolframalpha.com/　　などで確認
入力例
因数分解
factor x^2+3x+2
定積分
integral[2/(3-sin(2x)),{x,0,2pi}]
極限
limit(t*ln(1+(1/t^2))+2*arctan(t))) as t->infinity
無限級数
sum (n^2)/(n!) , n=1 to infinity
極方程式
PolarPlot[2/sqrt(3-sin(2t)), {t, 0, 2Pi}]
グラフ描画ソフトなど
ＦunctionView　　ttp://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/
GRAPES　　ttp://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/
GeoGebra　　ttps://sites.google.com/site/geogebrajp/
入試問題集
http://www.densu.jp/index.htm
http://www.watana.be/ku/
http://www.toshin.com/nyushi/
参考書などの記述についての質問はその前に前後数ページを見直しましょう
またマルチポストは嫌われます

6 ：

http://i.imgur.com/Um3nfOA.jpg
五番がどうしてもできません
やり方だけでもいいのでご教授下さい

7 ：

>>2
2じょう+2じょう+2じょうのかたちにはなってないです！

8 ：

>>3-5
ごめん付け足しありがとう。

9 ：

>>6
次数下げ

10 ：

割とかわいい。
http://www.nicovideo.jp/watch/sm22046979
http://www.nicovideo.jp/watch/sm22046963
http://www.nicovideo.jp/watch/sm14923866
http://www.nicovideo.jp/watch/sm14923835

11 ：

>>7
ごめんｗ見間違えてた
ってか2{x+(3y+2z)/2}^2-(3/2)(y+5z/3)^2+43z^2/6 これxの二次関数の平方完成表記になってるから、
y,z固定したと見れば 与式はx=-(3y+2z)/2で最小値-3(y+5z/3)^2 +43z^2/6 をとる。
この最小値が負であるようなy,z≠0が存在すれば、y,zを固定したf(x,y,z)はx軸と二点で交わるから、x≠0なるf(x,y,z)=0を満たすxもあることになる。
そこで-3(y+5z/3)^2 +43z^2/6が負であればいいんだけど、
これはyの二次関数と見れば上に凸だから、zを固定して(たとえば1)十分に大きなy(z=1のときはたとえばy=1とかであれば十分)をとれば負の値（y=z=1なら-7/2）になる。・・・�@
ここで与式にy=z=1を代入すれば、2(x+5/2)^2-7/2になる。これはx軸と交点を二つもつから、=0とすれば少なくともひとつはx≠0を満たす。(ちなみにx=(-5+-√7)/2)
�@のとき、y,zの組み合わせは無限にあり、それによりxの値も定まるから、x,y,zの組み合わせは無限にある。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%7Bx%2B%283y%2B2z%29%2F2%7D%5E2-%283%2F2%29%28y%2B5z%2F3%29%5E2%2B43z%5E2%2F6%3D0
このページにはx,y,z=0のやつしか書いてないけどこれはInteger solution:整数解ってことね

12 ：

>>9
やってもできません

13 ：

前の>>825=>>834=>>836だが、2＜e＜3と3＜π＜4を使えば、前の>>819の問題
5.8<e+π<5.95を証明せよ。
の解答はもっと簡単に出来る。
ただ、高校までの範囲でe＜3をどうやってきれいに示すのかが分からない
(仮に必要なら他は高校までの範囲で示せる。出題者が出したという不等式とやらも未だに分からない。
一昨日した(1+1/4)^4＜14/5をするような、ド派手な数値の手計算は結局必要なのか？)。
一応ね、大まかな解答の方針を書くと
6＜2π＜8に着目すると58/10＜e+π＜119/20=595/100を示すには
1/5＜π-e＜41/20=205/100
であることを示せばよい。そこで1/5＜π-e＜41/20=205/100を示す。
2＜e＜3、3＜π＜4から
π-e＜2＜41/20=205/100 。
今、1/5＜π-eつまり1/(5π)＜1-e/πを示す。
3＜πから1/π＜1/3だから、2/3＜1-e/π。
また、1/π＜1/3から、1/(5π)＜1/15
であって、1/15＜2/3。
よって、1/(5π)と1-e/πの大小関係は
1/(5π)＜1-e/π。
これで1/5＜π-eが示されて、結局1/5＜π-e＜41/20を得る。
6＜2π＜8、e+π=2π-(π-e)だから、1/5＜π-e＜41/20に注意すると、
58/10＜e+π(0＜d＜1/5なる有理数dを任意にとって考える)、
e+π＜119/20=595/100(41/20＜d＜58/10なる有理数dを任意にとって考える)がどちらも背理法で示せる。
これで、58/10＜e+π＜119/20=595/100、即ち5.8<e+π<5.95が示せた。

14 ：

>>6
α^2+3α+4=0 から
α^2=-3α-4
これを代入しまくればαの一次式になる。
αは√含むけど解答は整数ってことからわかるけど、αの一次の項もきれいに消える。

15 ：

>>6
割り算

16 ：

http://engawa.2ch.net/test/read.cgi/lifework/1153306408/962
原始関数って何？

17 ：

>>16
ぐぐれ

18 ：

>>13の
>今、1/5＜π-eつまり1/(5π)＜1-e/πを示す。
>3＜πから1/π＜1/3だから、2/3＜1-e/π。
>また、1/π＜1/3から、1/(5π)＜1/15
>であって、1/15＜2/3。
>よって、1/(5π)と1-e/πの大小関係は
>1/(5π)＜1-e/π。
の部分が論理的に支離滅裂だったから出直してくる。

19 ：

Wikipediaのフェルマーの小定理のページで、a^(p-1)≡1 mod pについて、
証明にaについての数学的帰納法を使っていたんですが、
aにはpの倍数でないという条件があるので、それでは数学的帰納法ではaがp未満のときしか示せませんよね？
これはどうなんでしょうか？

20 ：

>>19
数学的帰納法で示したのは　a^p≡a
これが全ての自然数aについて成り立つと主張している
aがpの倍数でないときは両辺をaで割ることができる

21 ：

>>20
全ての自然数aに対しa^p≡aが成り立つことを示し、aとpが互いに素であるときは両辺aで割れるので…
という流れなら分かるんですが、
先にa^(p-1)≡1とa^p≡aの同値性を示しちゃってるんで、少なくとも良い書き方ではないですよね。
同値性が成立するときはaに条件が付きますし…

22 ：

そんぐらい分かれよ、って書いた人も、俺も思ってるよ

23 ：

数学の証明が「それくらい分かれよ」で済ませられたらいいなあ
示す順序からして、a^(p-1)≡1が全ての自然数aに対して成り立つと捉えられるぞこの書き方

24 ：

そうだな
でも気付けよ

25 ：

>>13
1/5＜π-e＜41/20つまり、0.2＜π-e＜2.05は荒い。
どうして5.8<e+π<5.95のような精度が良いのが導けるのだろうか？

26 ：

すみません質問があります
X軸とY軸に接し、(1,-2)を通る円の半径を求めよ
という問題があるのですが見当もつかず困っています
誰かわかる方いらっしゃればぜひお願いします

27 ：

(x-a)^2+(y-a)^2=a^2に(1,-2)を代入

28 ：

第4象限だから
(x-a)^2+(y+a)^2=a^2
だった

29 ：

>>28
ありがとうございます！

30 ：

>>11
遅れましたがご丁寧にありがとうございます！理解しました

31 ：

誰か数学得意な人教えてください
問題2、
赤玉6個、白玉4個が入った箱から1個ずつ取り出し、4回元に戻すことを行った時の次の確率を求めよ。
(1)1回目と3回目に赤玉が出る
(2)2回赤玉が出る
(3)4回目に3個目の赤玉が出る
お願いします！

32 ：

問題文がおかしい
「1個ずつ取り出し」た時点で、手元にある玉が1個だとすると、
そこから玉を箱に「4回元に戻すこと」は不可能
例えば、問題文が
「赤玉6個、白玉4個が入った箱から無作為に玉を1個取り出し、色を確認してから箱に戻す。
この試行を4回行うとき、次の確率を求めよ。」
だったら成立する
(1)　1回の試行で、赤玉が出る確率は、6/(6+4) = 3/5
題意から、2回目と4回目に引く玉の色は考えなくてよい。
よって、求める確率は、3/5×3/5
(2)　1回の試行ごとに、赤玉が出たことを○、白玉が出たことを×と書くと、
題意の事象は、○○××、○×○×、○××○、×○○×、×○×○、××○○の6通り
これらの事象が起こる確率は、すべて(3/5)^2×(1-3/5)^2で表される。
よって、求める確率は、6×(3/5)^2×(1-3/5)^2
(3)　題意の事象は、○○×○、○×○○、×○○○の3通り
これらの事象が起こる確率は、すべて(3/5)^3×(1-3/5)で表される。
よって、求める確率は、3×(3/5)^3×(1-3/5)

33 ：

>>31
(1)1回の試行で赤玉が出る確率は3/5、
白玉が出る確率は2/5
(3/5)*1*1*(3/5)=9/25 …答
(2)赤玉…R 白玉…W とする
Rが2回出る場合のうち1通りを考える
RRWW
(3/5)^2*(2/5)^2=36/5^4
R2個、W2個の並べ方はC[4,2]=6通りゆえ、
(36/5^4)*6=216/625 …答
(3)○○○R
○はRRWの順列ゆえ、並べ方は3通り
そのうちの1通りを考える
RRWR
(3/5)^2*(2/5)*(3/5)=54/625
よって求める確率は
3*(54/625)=162/625 …答

34 ：

>>13　
exp(x)=1+x+x^2/2+x^3/3!+x^4/4!+...なので
exp(1)=2+1/2+1/6+1/24+...>65/24
∞>exp(-1)=1-1+1/2-1/6+24-1/120+-...=(1-1)+(1/2-1/6)+(1/24-1/120)+...>11/30
→exp(1)<30/11　以上から、65/24<e<30/11　を得る
一方、単位円に内接する正n角形の周長は、2nsin(π/n)
単位円に外接する正n角形の周長は、2ntan(π/n)なので、
2nsin(π/n)<2π<2ntan(π/n)
半角の公式などを使えば、sin(π/12)、tan(π/12)などを求めることができ、
65/24+12sin(π/12)　<　e+π　<　30/11+tan(π/12)　
つまり、5.814...　<　e+π　<　5.942...　が示せる

35 ：

高１です。
ユークリッド原論というのをみていたら「相似で相似に置かれた」という表現が
出ていました。この「相似に置かれた」とはどのようなことでしょうか？
うまくイメージできません。
また、それなら「相似であるが、相似に置かれていない」という表現も
ありそうに思いますが、それはどのようなことを指すのでしょうか？

36 ：

>>35
聞いたことがない表現なのでｇｇってみた
「相似で相似に置かれた図形」⇔「相似で、なおかつ相似な位置に描かれた図形」
「相似な位置」⇔「指定された2線分が、対応する辺となるような相似関係の位置」
だそうだ
今風に言うと、たぶんこんな感じ
2つの図形A,Bについて、AとBは相似であるとして、その相似比がa：bであるとする。
それとは別に、少なくとも2つの線分をもつ図形Sがあるとする。
このとき、図形Sに含まれる線分から、2線分α,βを選び出したとき、次のことが成り立つならば、
特に「AとBは相似で相似に置かれた図形である」という：
『図形Aが線分αを含み、図形Bが線分βを含み、なおかつα：β=a：bである』

37 ：

ってか、何の因縁があってユークリッド原論なんて読んでるんだ？
(1)背伸びしてみたかったから
→背伸びする方向が間違っている。ユークリッド原論なんて紀元前に書かれたものを、21世紀の今になって読んだところで、誰も褒めてくれない。
せめて、もうちょっと現代数学に近い方向に背伸びしてみた方がいい。内容的には「オイラーの贈物」あたりが丁度いいだろう。
(2)先生から「読んでみろ」と言われたから
→結論から言うと、その先生はバカだ。特に、爺さん世代の先生には、「私の若い頃は、原論を読んで勉強してた」とか、
武勇伝を語りたがる人が多い。しかし、それは「戦時中は食料が無かったから木の枝でも食べていた」とか、それと同じようなものだ。
食べ物も教材も豊富にある現代に生きる君は、別の読みやすい本を選べばいい。
(3)図形問題が苦手でテストで点が取れないから、1からやり直そうと思った
→「1からやり直す」とは、そういう意味ではない。
学校で教えられる図形というのは、簡単に言えば「ユークリッド原論から大事なところを抜き出して、噛み砕いてわかりやすくした」ようなものだ。
だから、分かりにくい原論を読むのではなく、分かりやすい形になった教科書や参考書を読もう。
(4)数学史に興味がある
→ユークリッド原論そのものについて語った、「ユークリッド『原論』とは何か(岩波科学ライブラリー)」という書籍がある。
数学史的な意味合いを知りたいなら、これを読む方が良いだろう。
(5)時間が余っててやることが無いから、なんとなく読んでいる
高1だとまだ実感がわかないだろうが、高3(受験生)になると、大抵の人は「ああ、高1高2の時にもっと勉強しとけばよかった」と思うものだ。
数学以外にも、受験に必要な科目はいっぱいある。英語、古文漢文、理科、地歴公民……
暇つぶしのつもりで、そういった勉強にも目を向けてみてはどうだろうか。

38 ：

○○は無価値だ（ﾄﾞﾔｧ　と言ったところで自分が偉くなれるわけじゃないぞ

39 ：

いや、原論が無価値だとは言ってない。
ただ、「高校生が原論を読むこと」は無価値だろうよ

40 ：

ここで質問するようなやつが原論を読むことは無価値だろうなあ。

41 ：

確かちくまから文庫が出てたな
あのくどいまでの論理展開は高校生が読んでも価値はあると思うけど

42 ：

ユークリッド原論で相似が出てくるのは平面幾何の終わりのほうだ。
あとは数論と立体幾何だな。

43 ：

>>40
脊髄反射で質問者を貶すのはやめれ

44 ：

sin(x)+cos(x)=√2のとき
xを求めよ。正しxは実数であり、-π≦x≦2π。

45 ：

合成

46 ：

>>36 どうもありがとうございます。おかげでなんかイメージできました。
自分、ユークリッド原論を読むというほど熱心じゃないです。
ただパズルが好きなので、ときどきページをパラパラして見ています。
勉強しているというより、気分転換にながめたりいじったり、といった感じです。
さっきお聞きしたのは６−３１にありました。
これって a^2+b^2=c^2 の拡大番みたいですね。

47 ：

素数をそのまま二つ並べて自然数と見て、それが素数なら連結素数と呼ぶ。
連結素数は無限に存在するか？正し二つの素数の大小の順は問わない。
例
2,3→23
13,9→139

48 ：

実数解の存在する代数方程式で、冪根で表示できないような解は超越数と断定できるのですか？

49 ：

質問です。
数列{a[n]}が
a[1]=11/3
a[n+1]=5a[n]-4n-3 (n=1,2,3,…) …(＊)
で定められている。
(問1)(＊)を、定数p,qを用いて
a[n+1]+p(n+1)+q=5(a[n]+pn+q)
と変形するとき、p,qの値を求めよ。
(問2)一般項a[n]を求めよ。
(問3)自然数nに対して、Σ_[k=1,n][a[n]]をnを用いて表せ。ただし、[x]はxを超えない最大の整数を表すものとする。
(問1)(問2)は分かるんですけど、(問3)がわかりません。
問3では、
5^(n+2)-5^n=(5^2-1)5^n=24*5^n=3*8*5^n
より、5^(n+2)-5^nは3の倍数であるから、5^nと5^(n+2)をそれぞれ3で割った余りは一致する。
とあるんですけど、なぜですか？

50 ：

a-b=3s
b=3t+b'
a=b+3s=3t+b'+3s=3(t+s)+b'

51 ：

>>50わかりました！
でも、なぜ、5^(n+2)から5^nを引くっていう思考になったのですか？

52 ：

周期性がわかる
ｶﾞｳｽ記号の和の計算がΣでできる

53 ：

連結素数が有限個であると仮定する。
すると、連結素数の個数をmとおいて、連結素数を小さい方から順番にr[1], r[2], ..., r[m]と書くことができる。
また、自然数nに対して、その桁数をf(n)と書く。
次に、k番目の連結素数r[k]を構成する2つの素数のうち、左側にあるものをp_1[k], 右側にあるものをp_2[k]とする。
このとき、r[k]は次のように表される。
r[k] = p_1[k] * 10^f(p_2[k]) + p_2[k]
そして、次のような自然数Mを定義する。
M = Π[k=1..m](r[k]) = Π[k=1..m](p_1[k] * 10^f(p_2[k]) + p_2[k]).
このMを用いて、r[m]よりも大なる連結素数を構成することができるが、それを書くには忍法帖Lvが低すぎる。

54 ：

>>52
ごめんなさい、わかりません。
初め解説を読んだときに、まず思ったことが、5^(n+1)はいいのか？ってことでした。
初めから、偶数と奇数で場合分けするなーって見越しているんですか？
もしそうなら、どうして、そういう方針立てをしたんですか？

55 ：

Π(n=1,∞) (1+(1/n))^nを求めよ
いろいろ考えたのですが、分かりません
方針だけでもおしえてください

56 ：

>>53
連結素数ってなんですか？

57 ：

発散する

58 ：

素数自体は無限にあるけど、条件を加えた素数の有限性は証明できないんだよね。
例えば最上位桁が1の素数は無限に存在するか→証明できない。
こんなシンプル題も証明できない。数学って面白いね。

59 ：

>>55　Π(n=1,∞) 2 　なら判る？

60 ：

2

61 ：

>>55
無限乗積って高校で定義されてたっけ？まあいいか
a[n]=(1+(1/n))^nはnについて単調増加で、a[1]=2, lim[n→∞]a[n] = e =2.71828...
よって、部分積は2から始まって倍々以上のスピードで増えてくから、無限乗積は∞に発散する

62 ：

>>61
ありがとうございます
感覚的にはもしかしたら発散するかもと思っていたのですが、
意味ありげな問題だったので収束するかもとも思いまして…

63 ：

>>58
ベルトラン＝チェビシェフの定理から言えないの？

64 ：

先生に訊いてみるもんだな
部分和の式が結構面白い
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%CE%A0%28n%3D1%2C%E2%88%9E%29+%281%2B%281%2Fn%29%29^n

65 ：

部分積とか式眺めて1秒で出せるわ

66 ：

次のような二つの円板C1,C2を考える
C1={(x,y,0)｜ 1≧x^2+y^2} C2={(x,y,1)｜ 1≧x^2+y^2}
このとき
(1)C1の円上の点P(cosθ,sinθ,0)とC1の円周上の点Q(0,1,1)を通る
　直線の方程式を求めよ
(2)この直線をz軸のまわりに一回転してできる曲面と、C1、C2によって
　囲まれた立体の体積V(θ)を求めよ
(3)体積V(θ)がC1,C2をそれぞれ下底、上底とする円柱の体積の半分に
　等しくなるときのθを求めよ　ただし、2π≧θ≧0とする　
(1)はできましたが(2)から全く分かりません。解説お願いします。

67 ：

z=kと直線の交点を求め、それとz軸からの距離を半径とする円が、
求めようとしている立体を、平面z=kで切断したときの断面になる。
半径が判れば、断面図（=円）の面積もすぐにわかる。
それを、z=0から1まで、積分すればよい。

68 ：

>>67
ほんとこれ

69 ：

1辺の長さがaの立方体の体積はV=a^3
立方体の表面積は dV/da=3a^2 だと思いきや6a^2ですよね。
どういったときにS(a)=dV/da が成り立つんですか？

70 ：

錐体の底面積

71 ：

体積を積分によって求めようとするとき、単純に表面積を積分すればよいというものではない。
求めたい立体の体積を、代表的なサイズが、x+dxの時と、xの時で求め、それの差を取り、積分すれば、体積が求まる。
球や円の時は、たまたま、体積差（面積差）が表面積(円周差)とdrの積になっているから、表面積（円周）を
積分して、体積（面積）がでる。
立方体の場合は、(a+da)^3-a^3=3a^2da+3a(da)^2+(da)^3→3a^2daとして、aで積分すれば、a^3となる。
逆に、a^3を微分して出てきた3a^2は、上の式をdaで割って、da→0としたもの

72 ：

球だと
半径rで4πr^2 (4/3)πr^3だが
直径RでπR^2 (1/6)πR^3やろ
ｽｹｰﾙのおおきさのとりかた

73 ：

a=kr
6a^2=6k^2*r^2
a^3=k^3*r^3
3k^3*r^2=6k^2*r^2
k=2

74 ：

余りお勧めはしないが、立方体を球のアナロジーで考える場合には、次のような方法もある。
球と立方体を見比べ、球の半径にあたるものは、立方体では、一辺の半分に当たることに気づくはず。
それをｒとすると、2r=a、
立方体の体積は、a^3=8r^3
立方体の表面積は、6a^2=24r^2
このrを使った表現で、立方体の体積を、rで微分すれば、表面積をrで表したものになる。
あ、かぶってる

75 ：

>>48
　有理数係数の多項式の解であるのだから冪根で表示できなくても方程式の解であることには
違いない。代数的数という。理解するためにはガロア理論を理解する必要がある。

76 ：

>>75
質問の答えになってない

77 ：

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78 ：

>>48
断定できない
係数が代数的数なら解は超越数でないと断定できる

79 ：

>>48
>実数解の存在する代数方程式
と書いている以上、どういう係数体やどういう代数方程式を考えているかによる。
例えば、X^2-eX+1=0(eはネイピア数)という、Q(e)を係数体とする文字Xの2次方程式は
X=(e±√(e^2-4))/2という2つのベキ根で表示出来ない根を持つ
(Xは何乗してもQ(e)の元簡単にはeの有理式の形の式で表せない)が、
これらは両方超越数で、根は超越数と断定出来る。
同じQ(e)を係数体とする文字Xの2次方程式でも、
X^2-2X-1=0という2次方程式になると、
X=1±√5というベキ根で表示出来ない根を持つ
(この場合、Xは何乗しても有理数にはならない)が、
これらは両方代数的数で、超越数でないと断定出来る。

80 ：

>>25
>>13=>>18ですけど、確かにその通りかもは知れないですね。
1/5＜π-e＜41/20だけでは5.8<e+π<5.95は示せなかったです。
>>34
やはり、高校までの知識では5.8<e+π<5.95は示せないかも知れないですね。
大学以降のeの定義なら何とかなるんですけど。
国立の大学入試とは思えないですけど、5.8<e+π<5.95を示すことって本当に大学入試の問題なんですかね
(国立の問題って、まさか…、院の入試の訳ないよな？…)。

81 ：

>>48
失礼。>>79の
>X^2-2X-1=0という2次方程式になると、
>X=1±√5というベキ根で表示出来ない根を持つ
の部分について、X=1±√5はX=1±√2の間違いです。

82 ：

e+πが無理数であることが証明できたら論文が書ける

83 ：

(a^2-a^2*(sin(θ))^2)^(3/2)=a^3*(cos(θ))^2
こうなる過程を教えてください

84 ：

間違えましたこっちです
(a^2-a^2*(sin(θ))^2)^(3/2)=a^3*(cos(θ))^3
こうなる過程を教えてください

85 ：

>>84
三角函数の基礎の基礎からやり直せ馬鹿

86 ：

　　|α+β+γ| = | |α+β|+|γ| | ≦ |α+β|+|γ|
ってOK？

87 ：

　|α+β+γ| = | |α+β|+|γ| |　はダメ
a=1,b=1,c=-2のとき、
|a+b+c|=0
||a+b|+c|=4

88 ：

あ、a=-1,b=-1,c=2のとき、|a+b+c|=0 、||a+b|+c|=4　の間違い

89 ：

>>85　(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1　　　
これにa^2 をかければおk？

90 ：

>>80
高校だけの知識で示したつもりなんだが、
もしかして、今の高校では、e^x=1+x+x^2/2+...を習わないということ？

91 ：

α+β=√3、α*β=1 のときα^n+β^n(nは自然数)のとり得る値を求めたいのですが
気合いで(αとβの値求めてnを1〜12までで計算した)解いたら一応それらしい値がでましたが、もっとスマートな求め方があると思いました
どなたかヒントを頂けないでしょうか

92 ：

>>79
　すみません。方程式の解には前から興味を持っていたので横から便乗質問させてください。
　まず冪根で表せる実数（0は除く）というのは、自然数を n 有理数を p とするときとき ±n^p で表せると
してよいのでしょうか？
　であれば、指数が無理数（超越数は除く）の実数、たとえば 5^√3 も代数方程式の解となる実数なのでしょうか？

93 ：

>>91
(α＋β)(α^n＋β^n)=α^(n+1)+β^(n+1)＋αβ（α^(n-1)+β^(n-1)） より
α^(n+1)+β^(n+1)=(α＋β)(α^n＋β^n)-αβ（α^(n-1)+β^(n-1)）
これをα^n+β^nの漸化式として解く

94 ：

>>93なるほどそうすれば斬化式になるんですか 数列にもっていけまいかと悩んでいましたが解決しました ありがとうございます

95 ：

>>92
http://ja.wikipedia.org/wiki/ゲルフォント＝シュナイダーの定理より
「α≠0,1,βは無理数かつそれぞれ代数的数、ならばα^βは超越数」
これが本当なら5^(√3)は整数係数代数方程式の解にはならない
高校の範囲を逸脱してるから続けるならスレ移動

96 ：

>>90
記憶が正しければ、私=>>79=>>80=>>81は、高校のときにeの定義を
(1+1/n)^nのn→+∞のときの極限としていた。そう習った記憶がある。
高校でeの無限級数展開の定義の式を習ったかどうかは覚えていない。
>>92
文脈によるが、冪根で表せる実数（0は除く）aというのは、
aに対して或る自然数nが存在して、X^n=aが文字Xの代数方程式となる
ような実数aなら何でもよい。
ただ、aは実数体Rの或る部分体K⊆Rに属している必要がある。
KがX^n=aの形の代数方程式の係数体となる。
>>80の例だと、Q(e)が部分体Kに相当する。
他にも、√2=2^{1/2}を冪根で表せる実数aとして考えてもよい。
このときは、a=√2∈Q(√2)=Kとなる。
指数が無理数（超越数は除く）の実数が代数的数になるかどうかは、
私の知識だと、任意の代数的数a、任意の代数的な無理数bに対して、a^bが超越数になること位。
>たとえば 5^√3 も代数方程式の解となる実数なのでしょうか？
これは5が代数的数a、√3が代数的な無理数bに相当するから、超越数。

97 ：

>>92
>>96の
>aに対して或る自然数nが存在して、X^n=aが文字Xの代数方程式となる
の部分は
>aに対して或る自然数nが存在して、X^n=aが文字Xの「代数方程式の根」となる
の間違いですね。

98 ：

あっ、もしかして、eの無限級数の式って単純に(1+1/n)^nを二項定理で展開して
n→+∞とすれば得られる式だったのか…。
これが正しいなら、確かに高校までの数学で5.8<e+π<5.95を示すことは出来る。
>>92
まあ、これ以上代数方程式に興味があるなら、他に移ってした方がいい。

99 ：

興味があるという割りに教科書も読まず
人に聞くだけの最底辺の馬鹿な高校生wwww

100 ：

>>92
失礼。
>>97の訂正は不要だった。
＞>aに対して或る自然数nが存在して、X^n=aが文字Xの代数方程式となる
ときは、X=a^{1/n}がその代数方程式のベキ根かつ実根となる。
まあ、>>98に書いたように、これ以上代数方程式に興味があるなら、他に移った方がいい。

101 ：

>>92
幾度も訂正をして失礼。
>>96の文章の書き方上、やはり>>97の訂正は必要になる。
>>100の下の部分の説明は、その付け足しのようなモノだ。
まあ、ここでの代数方程式の話は終了な。

102 ：

>>91
もしもし

103 ：

>>92
そういえば、面倒だから簡単に書いたが、>>96の
>私の知識だと、任意の代数的数a、任意の代数的な無理数bに対して、a^bが超越数になること位。
の部分ではa≠0、1を仮定している。
a=0、1のときは、任意の代数的な無理数bに対して0^b=0、1^b=1となって
どちらも代数的数になること位は分かるよな？
これ位はすぐに分かるだろうと想定して書いた。
ここは誤解を招きかねない表現だから、注意して断っておく。

104 ：

形態的な外科手術ってなんでしょう

105 ：

ある問題があって、それが小問(1),(2),(3)に分かれているとします。
このとき、例えば、小問(1)で置換積分を使う必要があり、○○x=tと置いて解いたとします。
次に、小問(2)でも置換積分を使う必要があったとして、小問(1)と同じ文字tを使って△△x=tと置くのは問題ないんでしょうか？
それとも、別の文字、たとえば△△x=uなどとしなくてはならないんでしょうか？

106 ：

好きにすればぁ

107 ：

>>105
無問題

108 ：

座標平面上に正三角形ABCがある。A(-1,2),B(1,-1)のとき、点Cの座標を求めよ。
△ABCは正三角形だから3辺の長さは等しい。|↑AB|=√13だから
|↑CA|=|↑CB|=√13
各辺は正だから、
|↑CA|^2=|↑CB|^2=13.
よって、
(x+1)^2+(y-2)^2=13…�@
(x-1)^2+(y+1)^2=13…�A
�@を変形すると、(x+1)^2+(y^2+2x+1)-6y+3=13, よって、(y+1)^2=-(x+1)^2+(6y-3)+13.
これを�Aに代入して、(x-1)^2-(x+1)^2+(6y-3)+13=13, -4x+6y-3=0, y=2x/3+1/2…�B
これを�@に代入してできる方程式(x+1)^2+(2x/3-3/2)^2=13の2つの解が点Cのx座標で、それに対応して�Bからy座標が求まる。
こんな感じで解いてて、最後の方程式がゴチャゴチャしててなんか無駄な気がするんですが
もっと簡単な求め方ってありますか？

109 ：

>>108
ABの中点Pを取って↑PCを考える

110 ：

>>108
�BはABの垂直二等分線かな、後は数�Vになるな

111 ：

内積の計算から、垂直二等分線の方程式は求まるんでないか？
最後は、結局ごちゃごちゃとしたものになるんじゃないかと思うけど。

112 ：

高校数学はややこしい定義や証明なしでもテクニカルな計算がいろいろできて楽しいよな

113 ：

ﾍﾞｸﾄﾙつかう意味ねえじゃん
点と点の距離
(x+1)^2+(y-2)^2=13 x^2+2x+y^2-4y=8
(x-1)^2+(y+1)^2=13 x^2-2x+y^2+2y=11
4x-6y=-3
y=(1/6)(4x+3)
y-2=(1/6)(4x-9)

114 ：

|a|+|b|≧|a+b|を証明せよ。

115 ：

いやです

116 ：

>>66の(2)の答えはπ(sinθ+2/3)で合ってますか？

117 ：

書き忘れましたが>>114のa,bは四元数です。

118 ：

>>114
両辺正または0より、両辺2乗しても同値
a^2+b^2+2|a||b|≧a^2+b^2+2ab
⇔2|a||b|≧2ab
⇔|a||b|≧ab
これを証明する
a≧0,b≧0 またはa<0,b<0ならば、
|a||b|-ab=0
a≧0,b<0 または a<0,b≧0ならば
|a||b|-ab≧0
よってあらゆる実数a,bにおいて
与えられた不等式は成り立つ

119 ：

>>114
書き忘れましたが>>114の元は不定計量ヒルベルト空間の元です。

120 ：

>>117
ふざけんな
頑張って解答書いたんだぞ
最近質問してるやつ高校生じゃないだろ
高校範囲を逸脱してる内容が多すぎる
これじゃ高校生のためのスレなのに高校生が見るのに億劫になる

121 ：

>>116　θ=π/2のとき、立体は円柱だからπのはず。残念ですね。

122 ：

>>108
(0, 1/2)±(√3/2)(3, 2)

123 ：

>>121
>>67の「z=kと直線の交点を求め、それとz軸からの距離を〜」の部分の
z軸からの距離ってz=kと直線の交点と点(0,0,k)の距離ですか？

124 ：

>>114は質問じゃなくて出題だからスレチ

125 ：

分からない問題スレならスレチじゃないな

126 ：

>>123
答えはπ(sinθ+2)/3

127 ：

>>126
ありがとうございます。
よかったらそこに至るまでの過程を教えてくれませんか？

128 ：

直線(x-1)/2=(y-1)/9=(5-z)/4を含み、点(5,7,1)を通る平面が原点を
中心とし半径7の球から切り取る部分のうち、原点を含む部分の体積を求めよ
平面の方程式は出たんですが、その後が分かりません。
どうすればいいのでしょうか？

129 ：

>>120
ありがとう、一応高校生だが、大学の専門書読んでるんだよｗ
今まで20回以上は逸脱した問題出したかなー
ポエマーじゃないよ、ありがとう。

130 ：

バームクーヘン分割っていつでも使っていいんですか？

131 ：

>>128
球の中心と平面との距離を求める

132 ：

複素数空間が絶対値を norm として norm 空間になることの証明が地味に難しい.
暗算では不可能かもしれぬ.
a, b, c, d を実数とする時, √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≧√((a+c)^2+(b+d)^2) を示せ.
両辺を二乗して a^2+b^2+c^2+d^2 を引いて 2 で割り二乗して a^2c^2+b^2d^2 を引いて a^2d^2+b^2c^2≧2abcd.
最後の式の等号成立は ad=bc と同値だが, 元の不等式の等号成立はこれに ac+bd≧0 も加わる.

133 ：

俺みたいな地方駅弁目指してる人間が質問しずらいわ

134 ：

>>131　
平面の方程式が5x-2y+2z-13=0、球の中心と平面の距離が13/(√33)ですよね
ここからどうすればいいんですか？

135 ：

球の中心を通り、問題の平面と垂直な平面による断面図を考えてみよう

136 ：

>>133
駅弁だろうが東大だろうが、数学の体系それ自身は何も変わらない

137 ：

>>135
うーん…
よく分かりません

138 ：

わけわからんｗｗｗ

139 ：

>>134
計算ミスか>>128で問題を写し間違ってる。

140 ：

z-5　で計算しているようだ。

141 ：

>>108
複素平面でA(α), B(β)とする。α=-1+2i, β=1-i
Cは α+(cos(π/6)+isin(π/6))(β-α)とα+(cos(-π/6)+isin(-π/6)(β-α)

142 ：

>>139
確認しましたが、問題は写し間違っていませんでした。点（5,7,1）を通るから、平面の法線ベクトルを（a,b,c）とおくと
方程式は、a（ｘ−5）＋b（ｙ−7）＋ｃ(z-1)＝0・・・�@ とおける。�@は直線上の1点（1,1,5）を通るから、代入して、
-4a-6b+4c＝0 ⇔ -2a-3b+2c=0また、�@の方向ベクトル（2,9,4）は法線ベクトルと垂直だから
2a+9b+4c＝0・・・�B　�A、�Bより、b=-c、a=5c/2 �@に代入して
5c/2（ｘ−5）-c（ｙ−7）＋ｃ(z-1)＝0 となる。c＝0のときは平面を表さないから、c≠0、よって
5(x-5)-2(y-7)+2(z-1) ＝0、すなわち平面の方程式は　5x-2y+2z-13=0 である。

143 ：

>>142
>�@の方向ベクトル（2,9,4）
間違い（>>140）

144 ：2013/10/22

>>143
平行ベクトル（2,9,-4）ですか？