（難問）eが二次方程式の解ではない事を証明せよ

1 ：2013/02/26 〜 最終レス ：2013/03/24

問.自然対数の底eが任意の整形式の二次方程式の解ではない事を証明せよ。
（ただしeが超越数であるという事実は用いない事）
e自身やe^2やe^3、、e^n（n∈Z）が無理数であるという事実は別の方法で初等的に証明可能なので使っても良いとする。
eが
e=lim(h→∞)(1+1/h)^h=Σ(k=0→∞)1/k!
を満たす数であること
d(e^x)/dx = e^x
であり
e^x=Σ(k=0→∞)x^k/k!
であるという事実だけから
a*e^2 + b*e +c = 0を満たす(a,b,c∈Z)は存在しないことを証明したいのですが可能なんでしょうか?
エレガントな解法がきっとあると思うんです。
e^ix=cosx + i*sinx
や
e^iπ＝-1
は使っても構いません。
　eは超越数と言われますが、eはなぜ二次方程式の解ではないのですか?二次方程式の解は一般的に無理数であり、その集合は数直線上に稠密にあってeに限りなく近い無理数も含まれます。その数がなぜeと同じではないと言い切れるのか。
　eが超越数であるという与えられた答えから矛盾を得るのではなく、ある整形式の二次方程式の解がeであってはなぜいけないのか簡潔に証明してください。

2 ：

ｸｿｽﾚ立てんな
二次方程式の解が√p + q(p,q∈R)であらわされる事を用いたら瞬殺じゃね、
とｵﾓﾀがうまくいかんかった。

3 ：

超易しい

4 ：

おR女学院

5 ：

> 二次方程式の解は一般的に無理数であり、その集合は数直線上に稠密にあってeに限りなく近い無理数も含まれます。その数がなぜeと同じではないと言い切れるのか。
その理屈は有理数にもあてはまるだろ
有理数の集合は数直線上に稠密にあってeに限りなく近い有理数も含まれます。その数がなぜeと同じではないと言い切れるのか。

6 ：

連分展開でオワ

7 ：

もし大学入試の範疇で解けるんなら良問だと思う。

8 ：

>>7
無理じゃないか。

9 ：

ae^2+be+c=0を満たすa,b,cが存在すると仮定する(a,b,cは整数 a≠0)
D=b^2-4ac とすると、Dは整数である
また、解の公式より
e=(-b±√D)/(2a)
整理すると
2ae+b=±√D
両辺を二乗すると
(2ae+b)^2=D
左辺は明らかに整数ではないがこれは右辺が整数であることに矛盾する
これじゃ駄目なの？

10 ：

ラストの左辺が整数でないことを示す問題だろｗ

11 ：

eを二乗して有理数倍してe自身の有理数倍を合わしたときそれが無理数である事はeが超越数である前提が無いなら自明ではない。

12 ：

>>5
いえいえ有理数でないことは解ってるんですよ。
ウィキペディアにも載ってると思いますが、
e=Σ(k=0→∞)1/k!=p/qとおいて
両辺にq!をかけてやれば示せます。

>>6
さすがですね。目から鱗でした。
しかしながら、
連分数展開形式の違いを示してeの正則連分数展開は循環しない事を示せば証明できそうだけど
この場合の前提では示せねばならない補題が多すぎませんか。
ぱっと思いつく限りで示せねばならない補題は
・二次無理数の正則連分数展開は常に循環する事
・eの連分数展開を求めてそれがe自身の性質を全て満たし循環しない事
これができた時点で証明終わりとできそうですが、「二つの実数の正則連分数表記が一致しない事とその二数が一致しない事が同値」と示すには、あと重要な証明が必要で
「全ての無理数の正則連分数展開が一種類しかない事を示して元の数と一対一で対応する事」を示さなければなりません。
可能でしょうけど、それが示せなければeが複数の正則連分数展開を持つ可能性を潰せないですよね。
方針としては大変ですよね。もう少しエレガントな証明はありませんか?
>>7
問題がシンプルなんで大学入試の範疇でも証明できそうな気がするんですが、なかなか難しいです。

13 ：

↑のトリップはテストです。こっちがホンモノ

14 ：

意外に難問だ。e^2が無理数である事すら証明できない。

15 ：

eが超越数であることの証明
http://mathematics-pdf.com/pdf/e_transnum.pdf
これを少しいじれば・・・・・

16 ：

＞＞１５
　２０代の、無職の、ごくつぶしがあああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
　R！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

17 ：

>>12
eの連分展開の証明で簡単なものは1ページくらい（まあ
計算全部書くと大変だがｗ）で、高校数学でもできる話。
君の言う補題を「大変」と思うなら、大変だろうな。
なお、連分展開つかって、eの超越性は比較的簡単に
示せるので、その意味では二次方程式の解にないことを
示せる人は超越数であることまですぐにわかるという意味では、
簡単でないというのは確か。

18 ：

有限マクローリン展開
e^x = Σ[m=0,...,n-1]x^m/m! + e^(θx)/n! (0<θ<1)
だけを使って証明できたよ
（証明）
ae^2 + be + c = 0 (a,b,cは整数,a≠0) と仮定すると ae + b = -ce^(-1)
∴a(Σ[m=0,...,n-1]1/m! + e^θ/n!) + b = -c(Σ[m=0,...,n-1](-1)^m/m! + e^(-θ)/n!)
ここで、P[n] := aΣ[m=0,...,n-1]1/m! + b + cΣ[m=0,...,n-1](-1)^m/m! = -(ae^θ + ce^(-θ))/n!
とおくと |(n-1)!P[n]| = |ae^θ + ce^(-θ)|/n → 0 (n → ∞)
(n-1)!P[n]は整数より、十分大きい任意のnに対して (n-1)!P[n] = 0 ∴P[n] = 0
P[n+1] - P[n] = a(1/n!) + c((-1)^n/n!) = 0 ∴a + (-1)^n c = 0
P[n+2] - P[n+1] = a(1/(n+1)!) + c((-1)^(n+1)/(n+1)!) = 0 ∴a + (-1)^(n+1) c = 0
この２式より a = 0 となり矛盾■

19 ：

>>18
訂正
有限マクローリン展開の最終項に x^n かけるの忘れてた
なので e^(-θ)/n! のところ (-1)^n e^(-θ)/n! に変更
証明の５行目は
|(n-1)!P[n]| = |ae^θ + (-1)^n ce^(-θ)|/n ≦ { |a| e^θ + |c| e^(-θ) }/n→ 0 (n → ∞)
に変更

20 ：

天才だ。

21 ：

これなら大学入試レベルでいけそうだな
東大あたりで出してくんないかな

22 ：

ノーヒントだと無理>_<でも、うまくいくと分かっている前提で読めば>>18は二行目で先が見えるな
ここまでヒントがあれば一応問題になる…か？

23 ：

有限マクローリン展開をヒントに出してやればイケそうだね。
18の方法で一般N次方程式に拡張して超越性まで証明できんのかな？
大学入試なら
>>1の設題を小門(1)にして3問展開で最終的に超越性まで示すようなカッコいい問題にして欲しい。

24 ：

18の方法はe^(-1)を使うところが肝だから、
同じ方針では3次方程式相手では難しいのか。
e^2やe^3に対しては剰余項*(n-1)!が発散するから
二次方程式だからこそ高校数学でも解けるという絶妙な問題だね。

25 ：

本当に久しぶりに数学板らしいスレを見た

26 ：

天書の証明の29ページあたりにe^4が無理数であるらしい事の証明が載ってるんだが、よく解らん。
誰か解説ｷﾎﾞﾝﾇ
http://www.iecn.u-nancy.fr/~chassain/djvu/Proofs-from-the-Book-2004.pdf

27 ：

>>26
　ニートの、ごくつぶしのクソガキ！
　抹Rるから、覚悟しとけ！！！！！！！！

28 ：

>>26
要するにその本ではe^2の無理性を証明するのに18と同じような事をしてて
e^4で同じようにしたら、24が言うように
剰余項が発散するから(n-1)!をかける代わりに十分大きいnでの整数Q[n]=(n-1)!/2^nをかけてもいけるよって話。
Σ内の一般項は約分されて整数を維持できるから
18の議論はeをe^2に置き換えても成立するし、
ae^4+be^2+c=0
を満たすa,b,cは存在しなくてe^4も無理数になるって事。
同様にpが整数ならe^2pはとりあえず無理数で、その平方根も無理数で
すべての整数sについてe^sは無理数だって意味。
3次方程式や一般の4次方程式については成立するかは不明。
メンドいだけでたぶんできると思う。
eが超越数である事はほぼ明白になるね。

29 ：

スレタイがクソで書き込みも全部クソ

30 ：

＞メンドいだけでたぶんできると思う。
全然できる気がしねえ…

31 ：

たぶんムリ

32 ：

有限マクローリン展開って高校数学レベルで証明できるっけ？
もしできるならe^xの有限マクローリン展開を求めさせて
それから>>1を解かせてもいいね

33 ：

べき級数が収束して=はともかく、有限で切るなら平均値の定理を使うだけだからできるでしょ

34 ：

背理法を用いて、2次関数y=x^2+C、Cは定数、が平面R^2上の点(0、C)を通ること、
2次関数y=-x^2-CがR^2上の点(0、-C)を通ること、
及び2つの1次関数y=ax、y=-ax、a≠0は定数、が共に座標平面上でx、y両軸に対称であることと、
2次関数y=x^2+C、y=-x^2-Cが共に座標平面上でy軸に対称であること
を用いれば、話は少し理屈っぽくなるが、高校の内容?だけで幾何学的に証明出来る。
ae^2+be+c=0を満たすa、b、c∈Z-{0}が存在することを仮定したとき、
両辺をe^2+(c/a)=-(b/a)eと変形してC=c/a、d=b/aとおけば、
e^2+C=(-d)eとなって、あとは-(-e)^2-C=d(-e)、つまりe^2+C=deであることが
グラフに関する対称性による幾何学的議論から導かれてe=0となって矛盾が生じる。

35 ：

訂正出来るとは思うが、>>34の3行目の
>及び2つの1次関数y=ax、y=-ax、a≠0は定数、が共に座標平面上でx、y両軸に対称
は、「共に」を除き、2つの1次関数のグラフを同時にイメージして読むか、或いは
>及び2つの1次関数y=ax、y=-ax、a≠0は定数、が共に座標平面上でy軸に対称
の間違い。

36 ：

eの性質はどこで使ってるの？
√3+1とかで同じ矛盾導けんじゃ？

37 ：

>>36
eは無理数だから、eは方程式ax^2+bx+c=0の重根となって、
グラフの形を考えるときに2次関数と1次関数の各グラフは1点で接することになって、
2次関数と1次関数の各グラフの交点の関係が特別な場合になり、
y軸についての交点に関する幾何学的形状が詳細に決まる。
2次関数と1次関数の計4つのグラフの接点の総個数が4個になってしまう。
そして、これら4点は長方形をなし、4個の頂点のx座標の各絶対値は何れもeになって0ではない。
これら4頂点のx座標の各絶対値について矛盾が生じ、長方形が構成出来なかったことになって矛盾が生じる。
eに限らず、判別式が0になるような無理数であれば、同様な議論が成り立つ。
√3+1>0が2次方程式の根になるときは1-√3<0も根になって、
無理数だが判別式は0でなく、計4つのグラフの交点の総個数は16個になり、4個ではなくなる。
つまり、方程式が重根であるか否かや総個数などが異なる場合になり、
eが重根になるときとは違って、すべての点から長方形が作れず、
グラフの交点のx座標が2次方程式の重根ではなくなる。

38 ：

>>37の上から4行目の「y軸についての交点に関する」は「グラフの交点に関する」か何かに訂正。

39 ：

>>37の下から4行目の
>計4つのグラフの交点の総個数は16個になり、4個ではなくなる。
の「16」はあり得なかった。イメージが変だった。
何れにしろ総個数が4にならないことは確か。
あと、下から2行目の
>すべての点から長方形が作れず、
は
>すべての点を用いて長方形が作れず、
と訂正。

40 ：

>>39の下から4行目の計4つのグラフの交点の総個数は、正しくは「8」か。

41 ：

これあってんの？分かる人説明お願いします~_~;
ある実数を解に持つ二次方程式の判別式がなぜ初めから解るんだ？ｅが実は√127-8.551と同値だったりする可能性を考慮したら破綻しそうな気がするんだが。

42 ：

気科学的考察とか長々と書いてるけど、eがax^2+bx+c=0の解なら-eはax^2-bx+c=0の解
って言ってるだけでね？

43 ：

＞e^2+C=(-d)eとなって、あとは-(-e)^2-C=d(-e)、つまりe^2+C=deであることが
多分、ここが間違い
y=x^2+Cとy=-dxがx=e上で交わるとき、y=-x^2-Cとy=dxもx=e上で交わるね
（yの値が反転するだけでxの値は反転しない）

44 ：

横レスだが、そもそも1行目の
＞eは無理数だから、eは方程式ax^2+bx+c=0の重根となって、
この時点からワケが分からないのだが。
何で重根になるの？
「eは無理数である」という事実だけから そんなことが言えるの？
言えないよね？

45 ：

"有理数" の間違いだとしても間違いかな……。

46 ：

何でeが重根になるのか全く分からんが、もし重根になったとしても、
今度は別のツッコミが発生する。
2次方程式 ax^2+bx+c=0 が重根を持つならば、その重根は −b/(2a) と表される。
従って、もしeが方程式 ax^2+bx+c=0 の重根となるならば、e＝−b/(2a) が成り立つことになる。
今の場合、a,b∈Z であるから、eは有理数となってしまい、eが無理数であることに矛盾する。
幾何学的考察が全くいらないｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

47 ：

>>37は>>36を受けてだからeと√3+1とかの違いを説明してるだけじゃね？

48 ：

>>47
幾何学的考察が先にあって、その結果として
「eは重根になる」という結論が得られた …… (*)
のであれば、同じ論法が「√3＋1」にも適用できてしまうのではないか、
という危惧が発生する。この危惧を払拭するには、その幾何学的考察が
「eには適用できて√3＋1には適用できない」
ことの理由を説明しなければならない。で、その理由の一行目が
＞eは無理数だから、eは方程式ax^2+bx+c=0の重根となって、
なのだから、これは循環論法である。
ここから考えられるのは次の2つ。
・実際に循環論法であり、つまりは証明になってない。
・循環論法に陥るのは(*)から出発した場合であるから、(*)自体が間違い。
1行目の場合は、そのまま「証明になってない」。
2行目の場合は、幾何学的考察を経由せずに「eは重根になる」という
結果が得られていることになり、この場合、>>46のツッコミが成立するｗｗ
どっちに転んでもアホｗ

49 ：

eが無理数であることは別途証明できるから循環論法といっていいのやら…

50 ：

>>49
むしろそっちの方が>>48に合致するんだが。
eが無理数であることを別途証明してあるとして、
その上で>>48を再び読んでごらんｗ
そもそも、eが無理数だと何で「重根」になるのか全く
書かれていないので、本来問題にすべきはコレなんだがね。

51 ：

＞eに限らず、判別式が0になるような無理数であれば、同様な議論が成り立つ。
とあるからeが判別式=0になる無理数であることは分かっていて、それを使うと幾何学的考察ができると>>37は言ってるんだと思うのだが
eが無理数であることはともかくとして、eが判別式=0になることはどうやって分かったんだという疑問が残る
そして、eが判別式=0であることが分かるならそこから幾何学的考察をしなくても>>46で済む話だということになる

52 ：

>>41-50
そもそも、私=>>34などにとっては、むしろeが無理数であることから直接eが超越数であることを示す方が簡単だ。
ただ、これをするには今度は主に少し複雑な解析的議論をビシビシやることになって、ここに書く気がしない。
そして、幾何学的議論もすることになり、話は長くなる。
少なくとも代数的数と超越数の言葉位は知らないと話にならない。

53 ：

新手の荒らしかよｗ
せっかく>>33までいい流れになってたのに何故こうなった？？

54 ：

>>41-51
普段している研究と混ぜこぜにしてしまったようだ。
研究内容から前もってeが判別式=0になることがスケスケで見えてしまった。
確かに>>37のような幾何学的考察は不要だった。

55 ：

ん？

56 ：

>>53
荒らしではないな。
ただ、私の方法だと初等的に示すには話が少し長くなるだけ。

57 ：

ん？

58 ：

>>52
どうせこのスレ1000まで行かないんだから、
ビシビシ書いても誰も困らないと思うよｗ
代数的数も超越数も知ってるから問題なし。
知らない奴にはwikiのリンクでも貼っておけばよし。

59 ：

>>58
それが、紙に書いた式を見ると、ここに書くのが難しいような式が多く出て来て、
おまけにe^eが超越数であることなども示せる手法だから、ここには書けない。
2ちゃんの式より複雑であることは間違いない。
ここに書いたら、1つの式を書くのに
(4、6個も括弧を使って括るような式)+(4、6個も括弧を使って括るような式)
みたいな式を幾つも書くことになり、ややこしくなると思う。
勿論、式には数だけでなく記号も出て来るw

60 ：

いやここまでのレスから本人の勘違いってことがわかるから続けなくていいよ

61 ：

e^e, π^πが超越数かは未解決
おめでとう

62 ：

>>60
まあ、多くの人はそう感じるだろうな。
鍵になる概念は、どちらかというと解析的概念ではない。
ではでは〜。

63 ：

また数学板で伝説が一つ誕生したわけか

64 ：

>>61
位相群って如何なるモノか知ってる？

65 ：

e+πが無理数なことも証明済みだっけ
約一名にとっては

66 ：

>>64
いきなりどうした？

67 ：

>>65
うん、これも位相群が恐ろしい程までに大きな威力を発揮する。
あとは論文にするだけ。

68 ：

東大入試作問スレでも問題出しているやつだろ？

69 ：

こいつ？
★東大入試作問者になったつもりのスレ 第二十一問
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342469355/338
338 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2013/03/08(金) 17:00:54.38
>>337
こうやって簡単な問題に答えて
スルーしていく問題こそが本当の問題なんですよ・・・。
そんな1分くらいで解けるような問題なんぞ出す意味が無いですから。
>>333へ。
340 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2013/03/08(金) 17:22:20.63
キモくしてるんですよ・・・。
2ch初心者ですか？・・・。
あぁ...お願いしますよぉ。

70 ：

>>66
いや、ちょっとね。
単なる独り言。

71 ：

>>68-69
私は予備校教師でもなければ東大入試モドキの問題なんか一切出していない。
>>1を解くことについては、むしろ予備校教師やそのスレで問題出している人の方が能力は上だろう。

72 ：

>>61
>>65
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_unsolved_problems_in_mathematics#Analysis

73 ：

>>72みたいに>>61と>>65に何の文もなくただサイトだけ出されてもな〜。
何いいたいんだか趣旨が分からない。
>>61と>>65の各文は様々な意味に受け取れ、幾らなんでも空気読むことを要求し過ぎだ。
もはや文脈がつながらなくなっている。

74 ：

とりあえず幾何考察とやらを図示して模範回答をキャプして、jpg貼れや。エクセルでいいから

75 ：

>>74
余計なことを2チャンでする気はない。
位相群や位相体の構成といって通じないようだったら、私の考え方は分からない。
2チャンの目的の達成のためだけなら、多くの幾何考察もいらない。
することは、どちらかというと主に解析的なこと。

76 ：

>>34
>>37
思いっきり突っ込まれっちゃったからね
もう書けないんでしょう

77 ：

> どちらかというと解析的概念ではない。

78 ：

理屈っぽくなるが証明できるとかおかしな表現使う奴が
数学のプロとは思えん

79 ：

このスレの趣旨からして位相群やら高校生がチンプンカンプンな概念は抜いて証明しないと。
連分数や無限積分使えば証明できんのは明白なんだから、いかにシンプルで初等的に解けるかが大事。二次関数のグラフから格子点とか使って中学生でも解るように図示出来たらスマートだけどね。

80 ：

>>76
>>1の証明のためだけなら幾何考察は不要で、ここに書く気はない。
位相体を構成して、あとは解析ビシビシで十分。
本当はe=Σ(k=0→∞)1/k!と無限級数表示した時点で、eは既に超越数になっている。

81 ：

> eが無理数であることから直接eが超越数であることを示す方が簡単
> eが判別式=0

82 ：

>>81
おやおや、バカだぜこいつwwwですか。
まあいいけど。

83 ：

√2も無限級数表示でけるよね？超越数の概念が拡がったねw

84 ：

すべての実数は無限級数で表せるから何が言いたいのか

85 ：

>>73
>>61の意味がわからないって？
>>72もアドレスを見ただけで言いたいことはわかるが

86 ：

>>83-84
もはや話にならん。
位相体の構成と解析ビシビシといって分からないようならダメだ。

87 ：

せやせや

88 ：

解析ビシビシね、世の中には知らない概念がたくさんあるんですね。インターネッツで調べて勉強してきます！

89 ：

> ただ、これをするには今度は主に少し複雑な解析的議論をビシビシやることになって、ここに書く気がしない。
> そして、幾何学的議論もすることになり、話は長くなる。

> 鍵になる概念は、どちらかというと解析的概念ではない。

90 ：

>>89
位相体の構成と解析ビシビシって言ってわかんないの？
遅れてるねキミ

91 ：

運営乙

92 ：

>>85
>>72のサイトだけなら意味は分かるが、
それを>>61や>>65と一緒に挙げた意味が分からない。
単純に列挙するだけならサイトだけで十分。
>>88
数学は、勉強しても脳ミソや知識を使わないと意味がない。

93 ：

これ途中から別のヤツ書いてるだろ（笑）

94 ：

>>93
いや、確かに内容は変わっているけど書いているのは同一人物だよ。
最初は高校レベルの範囲だけで>>1を解こうとしたが出来なかった。

95 ：

超越数と言えば、「ベイカーの定理」を使ってどうこうという話はよく聞く。
「超越数　ベイカー」でググると、一番上にwikiがヒットし、
上から5,6番目には「超越数論入門」と題したpdfもヒットする。
wikiについては、その内容はそのままベイカーの定理であり、
ちゃんと超越数についての話題も載っている。また、「超越数論入門」の
pdfでは、ベイカーの定理についてちょっとだけ触れられている。
このように、超越数の理論において、ベイカーの定理は非常に有名であるから、
「ベイカーの定理も知らんのか。話にならん」というのであれば話は分かる。
だが、>>86はそうではない。
「位相体」を使ってどうこうという話は、俺自身は全く聞いたことがない。
「超越数　位相体」でググると、この2つをリンクさせて
論じているサイトがまったくヒットしない。
「topological field transcendental number」としてググっても、
この2つをリンクさせて論じているサイトがまったくヒットしない。
従って、仮に "位相体の構成と解析ビシビシ" とやらで
超越数について論じることが出来るのだとしても、
その方法は極めてマイナーであるか、あるいは極めて
独創的であるかのどちらかである。
どちらにせよ、ほとんど知られていない方法ということになるので、
>>86の返答の仕方はおかしい。お前しか知らない方法をチラつかせて
「話にならん」というのは酷である。

96 ：

二次関数のグラフで解けたらかっこ良いよな！eの有理近似式二つ、上限と下限使って説明出来んかな？

97 ：

ああ、マジで頭でっかちの難関受験生に出題してどんな珍答考え出すか見てみたい。

98 ：

e^2+be+c=0
e^2+beは整数ではない(定石の証明で示せるので省略)ので駄目
Q.E.D.

99 ：

>>98
圧巻だ。

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