高校数学の質問スレPART349

1 ：2013/03/22 〜 最終レス ：2013/04/02

前スレ
高校数学の質問スレPART348
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1362455583/
【【【【【質問者必読！】】】】】
まず>>1-3をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
　　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
　　（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。

2 ：

主な公式と記載例
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b　[a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a　　[２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R　[正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A)　　　　　 [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b)　　[加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a))　　[底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h　　[微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2)　[和差積商の微分]

3 ：

基本的な記号の使い方は以下を参照してください。その他については>>1のサイトで｡
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
　a+b　→　a 足す b　　　（足し算)　　　　　a-b　→　a 引く b 　　　（引き算)
　a*b　→　a 掛ける b　　（掛け算) 　　　　a/b　→　a 割る b　　 　（割り算)
■ 累乗　^
　a^b 　　　　a の b乗
　a^(b+1)　　a の b+1乗
　a^b + 1　　（a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
　a/(b + c)　と a/b + c
　a/(b*c)　　と a/b*c
　はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
　a[n] or a_(n) 　　　　→ 数列aの第n項目
　a[n+1] = a[n] + 3 　→ 等差数列の一例
　Σ[k=1,n]a_(k)　　 　 → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」「すうがく」などで変換せよ（環境によって異なる）．�唐ﾍ高校では使わない）
　∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
　∫[0,x] sin(t) dt
■ 三角関数
　(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
　cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
　AB↑　a↑
　ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
　（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
　（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
　（行（または列ごと）に表示する．　例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
　P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk
単純計算は質問の前に　　ttp://www.wolframalpha.com/　　などで確認

4 ：

単純計算は質問の前に　　ttp://www.wolframalpha.com/　　などで確認
入力例
定積分
integral[2/(3-sin(2x)),{x,0,2pi}]
極方程式
PolarPlot[2/sqrt(3-sin(2t)), {t, 0, 2Pi}]
無限級数
sum (n^2)/(n!) , n=1 to infinity
極限
limit(t*ln(1+(1/t^2))+2*arctan(t))) as t->infinity

5 ：

単発スレを立てると目立つので回答率大幅アップ！
保険として質問スレにいくつかマルチしておけばバッチリ！！

6 ：

>>4
そのサイトって定積分はしてくれるようだけど
不定積分の結果も分かるの？
x→x^2/2+C
cosx→-sinx+C
みたいに

7 ：

前スレ997
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1362455583/997

商品価格決定に際して式作ったんだ。
ちゃんと勉強してなかったからこんな単純な解になるとも思わず、一昼夜考えていた。
これ数学的に出ないとあきらめた。
数学って面白いし、結構ビジネスでは使われますね。
数学、勉強します。

8 ：

>>6
>>1
>web検索などで調べるようにしましょう

9 ：

y=x^2+ax+b
y=km
が交わる時
kとmの範囲を求めよ

10 ：

k≦m

11 ：

test

12 ：

>>9
いっつもそういう系統の問題だすのやめて。
本当に。
なんでそういう系統の問題しか出せないの？
永遠にわからないよそんなんじゃあ。

13 ：

分かるかどうかより当面を切り抜ける方が大事じゃん

14 ：

>>9
これに的確に答えるのは難しいな

15 ：

>>14
バカは帰れ、の一言で済む

16 ：

すみません、教えて下さい。
「n回目にAが勝つ確率をp(n)とする。
p(1)=1
p(n+1)=(1/3)p(n)+(1/2)(1-p(n))という漸化式が成り立つので、これを解くと、
p(n+1)=-(1/6)p(n)+1/2
p(n+1)-3/7=-(1/6)(p(n)-3/7)・・・」とあるのですが、
ここで-3/7が出てくるのはなぜなのでしょうか？

17 ：

>>16
3/7=-(1/6)・(3/7)+1/2
だから

18 ：

>>16
特性方程式の解
p_(n+1)-α=-1/6(p_(n)-α)
にすることを考えたときのαの値

19 ：

>>17
>>18
ありがとうございます！
本当にありがとうございます！

20 ：

＞＞１８
　テメ〜、いいかげんにしねえと、ブッRぞ！
　３０代の、無職の、関西の、知的障害の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども！
　R！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

21 ：

∫[0,π/2](sinx)^7dx
が16/35になるはずなのですが、
どうしても1/7にしかなりません
上の式の計算方法を教えてください

22 ：

>>21
t=cos(x)　と置いて置換積分。sin^2(x)=1-cos^2(x)に注意。

23 ：

略解を見てもわからなかったのでお願いします。
「△ABCの∠Aおよびその外角の二等分線と
　直線BCの交点をそれぞれD,Eとする。
　AB=5, BC=3, CE=6のときのBC,BDを求めよ。」
これで、BD:DC＝5:3になるのはわかるのですが、
BCの求め方がわかりません。
略解では「(BC+6):6=5:3よりBC=4」となっているのですが、
なぜBE:CE=AB:ACといえるのでしょうか？

24 ：

>>23
条件をよく読め
BE:EC=BA:ACって書くと分かりやすいかも

25 ：

∫sin(sin(x))

26 ：

>>23
AC=3なのか？
∠DAE=90°、∠BAD=∠CADだから、△ABEと△ACEはAEを底辺と見たときの高さの比がAB：AC。

27 ：

>>22
なる程分かりました！

28 ：

Dが内分点 Eが外分点になるのは同じような証明のはずだぞCからADまたはAEに平行な線引けばいい

29 ：

偶然だが・・・
∠DAE、∠BAD　∠CAD、△ABEと△ACE
だえ？　バッド、キャド、安部、エース
アベノミクス！？

30 ：

>>26
すいませんAC=3の間違いでした。
補助線引いたら納得しました。ありがとうございました。

31 ：

正整数の平方の逆数和はπ^2/6 に収束しますが
素数の平方の逆数和の収束値は求められますか？

32 ：

高校数学範囲外 デス

33 ：

>>30
・問題の写し間違いには気をつけましょう。

34 ：

p(n+1)-3/7=-(1/6)(p(n)-3/7)
↓
p(n)-3/7 = (-1/6)^(n-1) (p(1)-3/7)
上からしたの式に展開していく理由というか理屈が分かりません。
言葉で教えていただけないですか。

35 ：

等比数列

36 ：

>>34
例えば
a[n+1] = (-1/6)*a[n] を満たす数列 はどんな数列だかわかるかい？

37 ：

>>35　検索してみましたが、出発点の数字に等しい数をかけてる数列でしょうか。
>>36　すみません分かりません。
共に教示していただいてると思います。
が、いまいちまだ分かりません。

38 ：

>>37
教科書に戻りなさい

39 ：

>>37
基本からやり直すべき。
>a[n+1] = (-1/6)*a[n]
は日本語の文でいうと「a[n+1]は、a[n] を-1/6倍したもの」だろ。つまり
「a[2] は a[1] を -1/6倍したもの」　「a[3] は a[2] を -1/6倍したもの」　「a[4] は a[3] を -1/6倍したもの」・・・
こういう数列をなんていうんだ？

40 ：

半径Rの円に内接し得る三角形の全周の長さの範囲を求めよ。
章末Cレベルです。
誰か糸口をお願いします。

41 ：

>>38　ありがとうございます。やはり基本が大事ですね。教科書をもっと読んでみます。
>>39　詳しくありがとうございます。これは「等比数列」なのではないでしょうか？

42 ：

>>41
>これは「等比数列」なのではないでしょうか？
その通りだ。
じゃあ、その一般項 a[n] は n の式で書けるか？ a[n] = (-1/6)^(n-1) * a[1] となることは分かっているか？

43 ：

>>41
p[n]=b*p[n-1]+cから、p[n]をp[1],b,cで表わす公式を覚えている(知っている)ならば、変更する理由/理屈はない。
知らないならば、a[n]=p[n]+rとして、a[n]=b*a[n-1]=b^(n-1)*a[1]に変更すれば求められる。
ちなみに、一般的にp[n]=b*p[n-1]+cの場合、
p[n]=b^(n-1)*p[1]+b^(n-1)*c/(b-1)+c/(b-1)
である。

44 ：

a[n]=b[n-1]+3
b[n]=2a[n-1]-1
のとき
両方求めて
lim(n→∞)a[n]/b[n]
を求めなさい
という問題がよく分かりません。
答えは1/4ですが間違いですか？
自信全然ないんで

45 ：

>>42
ありがとうございます。時間が経ってしまいました。
今、考えてるのですがイマイチ分かりません。

46 ：

a[0]=3
b[0]=1
です

47 ：

昨晩から数列の問題が多いな・・・

48 ：

>>43
すごい、ありがとうございます！

49 ：

赤の玉６個白の玉３個黒の玉１個が入った袋を３つ用意する
それぞれの袋から無作為に３つずつ玉を取り出す
この合計９個の玉に赤の玉が少なくとも一つ入っている確率を求めなさい
余事象で色々と考えましたがわかりません
よろしくお願いします

50 ：

>>49
答えは？　答えさえあってれば書くんでお願いします。　多分大丈夫だけど

51 ：

普通に余事象で
1-(C[6,3]/C[10,3])^3だろ

52 ：

1-(C[4,3]/C[10,3])^3だった

53 ：

>>52
やっぱりそうだよねｗ　あせった〜

54 ：

お願いします

55 ：

>>52
ありがとうございました

56 ：

>>44
連立漸化式なんだから一方を他方に代入して3項間にしなよ
a_[n]=2a_[n-2]+2
b_[n]=2b_[n-2]+5

57 ：

>>56
あれ？
何故-2になってるのですか？
変形式お願いします

58 ：

>>40
A+B+C=π
0<A<π,0<B<π,0>C>πの条件下
2R(sinA+sinB+sinC)の範囲考える
とりあえずC=π-A-B代入

59 ：

>>57
a[n]=b[n-1]+3
b[n]=2a[n-1]-1
→
a[n-1]=b[n-2]+3
b[n-1]=2a[n-2]-1
下の式を上に代入

60 ：

>>56
純粋に初めて見た
凄いなそれ

61 ：

恥ずかしながら、因数分解が分かりません…
大問2の1と2です、分かる方教えてください
http://i.imgur.com/bnrkEnL.jpg

62 ：

>>61
(1) 「次数の低い文字に着目」という定石に従う　この問題では z のある項を z でくくれば手掛かりが見える
(2) この手の2次式の因数分解は「2次の項だけ」「y のない項だけ」「x のない項だけ」に着目しても因数分解できる

63 ：

暇だから全部書いちゃおうかな、、
2(1) x^2y-2xyz-y-xy^2+x-2z
=-2z(xy+1)+xy(x-y)+x-y
=-2z(xy+1)+(xy+1)(x-y)
=(xy+1)(x-y-2z)
(別解1)
x^2y-2xyz-y-xy^2+x-2z
=x^2y+(-2yz-y^2+1)x-2z-y
=(yx+1)(x-2z-y)
(別解2)
x^2y-2xyz-y-xy^2+x-2z
=-xy^2+(x^2-2xz-1)y+x-2z
=(xy+1)(-y+x-2z)
(2)6x^2-xy-2y^2-7x+7y-3
=6x^2+(-y-7)x-2y^2+7y-3
=6x^2+(-y-7)x-(2y-1)(y-3)
=(2x+y-3)(3x-2y+1)
(別解)
6x^2-xy-2y^2-7x+7y-3
=-2y^2+(7-x)y+6x^2-7x-3
=-2y^2+(7-x)y+(3x+1)(2x-3)
=(-2y+3x+1)(y+2x-3)

64 ：

>>62
ヒントを元に解けました、ありがとうございます！
>>63の解答も丁寧で助かりました…

65 ：

模試とかでいつも計算とか思考が遅くて時間が足りなくなるから「計算力」を鍛えたい
数学毎日やってるけど一向に伸びないので何をしたら良いか教えてください

66 ：

　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな嫌なら見るな
　　　　　　　　　嫌なら見るな　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
　　　嫌なら見るな　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
　嫌なら見るな　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
嫌なら見るな　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
　嫌なら見るな　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
　　　嫌なら見るな　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
　　　　　　嫌なら見るな　　　　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
　　　　　　　　　　嫌なら見るな　　　　　　　　　　嫌なら見るな
　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな嫌なら見るな
　　　　　　　　　嫌なら見るな　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
　　　嫌なら見るな　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
　嫌なら見るな　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
嫌なら見るな　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
　嫌なら見るな　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
　　　嫌なら見るな　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
　　　　　　　　　　嫌なら見るな　　　　　　　　　　　嫌なら見るな
　　　　　　　　　　　　　　　嫌なら見るな嫌なら見るな

67 ：

>>65
思考の最適化というかなんというか
問題見た瞬間に「ああ、こうすれば解けるな」って道筋が見えるようになると
無駄なことをしなくなって自ずと早くなる
まぁ要するに道筋が見えるようになるまで問題演習を積めって話だ

68 ：

道筋というものを意識してると速いよ

69 ：

>>67,68
参考になりましたありがとう
頑張ります

70 ：

割と有名な問題と、その問題の証明に関するもので

. 与えられた円に内接する三角形のうち面積が最大のものは正三角形である
ということを次のように「証明」した。この証明の誤りを訂正せよ。
点 A, B, C を円周上に取る。二点 B, C を固定して A を動かすと、A
が B と C を端点とする円弧の長い方の中点のとき高さが最大なので面
積も最大となる。もちろん、AB や CA を固定して考えても同じであ
る。つまり、どれかの辺を底辺と見たとき二等辺三角形になっていない
なら、それより面積の大きい三角形が存在することになる。よって、三
角形 ABC が正三角形のとき面積は最大となる。

というような問題をみたのですが、これが少し不安なのでよろしくお願いします
僕としては、
・この証明では、正三角形であることの必要性しか示されていないので、十分性も示さなければならない
・十分性を示すためには下から二行目の「それより面積の大きい三角形が存在することになる」を「それより正三角形の面積の方が大きくなる」に変えればＯＫ
という認識なのですがこれで間違いはないでしょうか？
それともこの証明には本質的な誤りがあるのでしょうか
ネットで同様の問題を調べたところ、大抵は微分などで証明していてこの証明法は使われていなかったので少し不安になりました

71 ：

＞もちろん、AB や CA を固定して考えても同じであ
＞る。つまり、どれかの辺を底辺と見たとき二等辺三角形になっていない
＞なら、それより面積の大きい三角形が存在することになる。
ここが誤り

72 ：

>>70
> というような問題
誤りを見つけろという問題で問題文があやふやでは答えようがない。

73 ：

>>71
それのどこがおかしいの？

74 ：

>>71
ありがとうございます
どのようなところが誤りなのかがよくわかりません
よければ詳しくお願いします

75 ：

>>70
△ABCが正三角形でない三角形であればそれより大きい三角形が存在する
つまり△ABCが面積最大となるときがあればそれは正三角形のときに限る
ことは示せている．正三角形の時にそれより大きい三角形を取ることができないことを示していない

76 ：

入試とか記述式の模試で1/12公式や1/3公式は使っても大丈夫ですか？

77 ：

直接的に考えると
AB=ACの二等辺三角形について
ABを固定してBC=CA になるようにすれば確かにさらに面積が大きな二等辺三角形になる
そこでまたBCを固定してAB=CAの二等辺三角形を作って…
とやっていけば延々と大きくなっていくがこの操作を繰り返しても正三角形にはたどり着く保証がない

78 ：

成程、確かに二回変形したら正三角形になるとは限りませんね。みなさん回答ありがとうございました

79 ：

二回ってなんだよ一般的には何度繰り返しても永久に正三角形にはならんよ

80 ：

面積が最大の三角形が存在することが証明されていないから駄目
「面積が最大の三角形が存在するのなら，それは正三角形以外にない」
ことが示されただけ

81 ：

>>80
うんそれとっくに言われてるよね
なんでいまさら

82 ：

正三角形で思い出したが
モーレーの定理ってやつで
たいていは、一般の角の三等分はできないはずなのだが
もしできると仮定し
三角形の内角を三等分したとする
すると どんな(任意)の三角形のその内部に正三角形が出来上がるという。
なんか神秘的な定理だとは思わないか？

83 ：

-1 ≦ x ≦ 1、-1 ≦ y ≦ 1を満たす実数x,yについて、x/yはどのような値を取るか、座標平面を用いずに説明しなさい。
と言う問題について、座標平面を用いずに…とあるのですが、どのように説明すれば良いのでしょうか？

84 ：

x/y → y/x に訂正です。
まあ変わらなさそですが。

85 ：

x/y=kとおく。
kの動きを追う。
x=yk
y=(1/k)x

86 ：

π ≦ x ≦ π に訂正です。
まあ変わらなさそですが。

87 ：

y/xのとりうる値の範囲出せばいいだけなのか？
なら
y=1で固定すると
1/xは1/x≧-1または1≦1/xの任意の値をとる
次にx=1で固定するとyは-1≦y≦1となる任意の値をとる
以上からy/xは任意の実数値をとる

88 ：

>>70
数学を決める論証力(東京出版：大学への数学シリーズ)
に扱われてるよ。読んでみて。

89 ：

＞＞８８
　３０代の、無職の、ごくつぶしがあああああああああああ！！！！！！！！！！！！！
　R！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

90 ：

知恵袋、OKWave、こことかの投稿が激減してるのは春休みだからか？

91 ：

春休み宿題出るガッコは少ないんだろ

92 ：

>>77
正三角形にたどり着く保証は簡単だ
三辺全部が正三角形より大きいのも小さいのも不可能だから、正三角形より大きい辺も小さい辺もある
中間の辺を底辺として二等辺にすれば正三角形に近づくから正三角形に収束する

93 ：

これはひどい

94 ：

>>70、78
既に出てるように、ただ2回変形しただけだと正三角形にならないからその証明自体は間違いだけど
変形の際に少し考えて変形すれば、正三角形にできるということを補えばＯＫ
微分とかを使ってめんどくさい証明をする必要はない
・内接三角形がもし正三角形でなければ、60°未満の角と60°より真に大きい角がある
→それらが底角となるように底辺を選ぶ
→その底辺に対して元の証明と同様に頂点を動かして面積を増大させていくとどちらかの底角がかならず60°になる
→今度はその60°になった点を上に見て二等辺三角形になるように変形する
これで任意の内接三角形は二回の変形で面積を増大させつつ正三角形になることがいえる

95 ：

なんかひどい奴が出てきたな

96 ：

クソ論哲厨が釣れそうな餌だな

97 ：

平面x+y+z=kと
円x^2+y^2+z^2=k
が交点を持つためのkの条件を求めよ
3変数で分かりません

98 ：

>>97
x^2+y^2+z^2=kは円じゃないけど

99 ：

>>97
平面で円と直線の位置関係を捉えるのとほぼ同じ
球の中心と平面との距離と半径に着目

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